Популярно о системах счисления


Популярно о системах счисления
Система счисления — это способ записи (представления) чисел.Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача — их посчитать. Для этого можно — загибать пальцы, делать зарубки на камне (одно дерево — один палец\зарубка) или сопоставить 10 деревьям какой-нибудь предмет, например, камень, а единичному экземпляру — палочку и выкладывать их на землю по мере подсчета. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором — композиция камней и палочек, где слева — камни, а справа — палочкиСистемы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, — на однородные и смешанные.Непозиционная — самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции (разряда). То есть, если у вас 5 черточек — то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет.Позиционная система — значение каждой цифры зависит от её позиции (разряда) в числе. Например, привычная для нас 10-я система счисления — позиционная. Рассмотрим число 453. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу 400, 5 — кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 — единиц и значению 3. Как видим — чем больше разряд — тем значение выше. Итоговое число можно представить, как сумму 400+50+3=453.Однородная система — для всех разрядов (позиций) числа набор допустимых символов (цифр) одинаков. В качестве примера возьмем упоминавшуюся ранее 10-ю систему. При записи числа в однородной 10-й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 450 (1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4), а 4F5 — нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9.Смешанная система — в каждом разряде (позиции) числа набор допустимых символов (цифр) может отличаться от наборов других разрядов. Яркий пример — система измерения времени. В разряде секунд и минут возможно 60 различных символов (от «00» до «59»), в разряде часов – 24 разных символа (от «00» до «23»), в разряде суток – 365 и т. д.
Непозиционные системы
Как только люди научились считать — возникла потребность записи чисел. В начале все было просто — зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления — единичная.
Единичная система счисления
Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек (палочек), количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из 100 фиников будет равен числу, состоящему из 100 черточек.Но эта система обладает явными неудобствами — чем больше число — тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав.Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук (единиц). Все это позволило создать более удобные системы записи чисел.
Количество (р) различных символов, используемых для изображения числа в позиционной системе счисления, называется основаниемсистемы счисления.
Основание показывает, во сколько раз изменяется количественное значение цифры при перемещении ее в младший или старший разряд.
Набор символов, используемый для обозначения цифр, называетсяалфавитом.
Так, например, алфавит двоичной системы счисления содержит всего два символа: 0и 1, а алфавит шестнадцатеричной системы - 16 символов: десять арабских цифр и шесть латинских букв (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F).
 
Любое число N в позиционной системе счисления можно представить в следующем виде:
 
Np=±(ak−1⋅pk−1+ak−2⋅pk−2+...+a0⋅p0+a−1⋅p−1+...+a−m⋅p−m)
 
Такой вид записи числа называют развернутой формой записи числа,
 
где р - основание системы счисления;
ai - цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;
k - количество разрядов в целой части числа;
m - количество разрядов в дробной части числа.
 
Нижние индексы определяют местоположение цифры в числе (разряд):
- положительные значения индексов - для целой части числа;
- отрицательные значения индексов - для дробной части числа.
 
Свернутой формой записи числа называется запись в виде:
 
N=(ak−1ak−2...a1a0,a−1a−2...a−m)p
 
Например:
- при р=10 в записи числа 2466,67510 в десятичной системе счисления k=3, m=3;
- при р=2 в записи числа 1011,112 в двоичной системе k=3, m=2.
 
Свернутой формой записи чисел мы и пользуемся в повседневной жизни, ее называют естественной или цифровой.
 
Основанием позиционной системы счисления может быть любое натуральное число (например, 5, 21, 37). Во избежание путаницы справа от числа нижним индексом приписывают основание: 1011012, 3678, 3B8A16, 3AO37.
Десятичная система счисления
Основание: p=10.Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.
  
Десятичная система счисления наиболее распространенная система счисления в мире. Используется при повседневном счете. Для записи чисел используются арабские цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).
  
Число в десятичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 10), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Пример:
765,34510=7⋅102+6⋅101+5⋅100+3⋅10−1+4⋅10−2+5⋅10−3
Двоичная система счисления
Основание: p=2.
Алфавит: 0,1.
 
Двоичную систему счисления широко применяют в вычислительной технике. К еедостоинствам относятся:
- возможность использования наиболее простой элементной базы микроэлектроники - всего с двумя устойчивыми состояниями;
- возможность использования аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации;
- возможность использования простейших правил арифметики.
 
Основной недостаток двоичной системы - быстрый рост количества разрядов, необходимых для записи чисел. По этой, а также по некоторым другим причинам в вычислительной технике, кроме двоичной, применяются также восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
 
Число в двоичной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 2), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Пример:
1011,012=1⋅23+0⋅22+1⋅21+1⋅20+0⋅2−1+1⋅2−2
Восьмеричная система счисления
Основание: p=8.Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7.
 
Восьмеричная система чаще всего используется в областях, связанных с цифровыми устройствами. Характеризуется лёгким переводом восьмеричных чисел в двоичные и обратно, путём замены восьмеричных чисел на триады (группы по 3 разряда) двоичных. Ранее широко использовалась в программировании и вообще компьютерной документации, однако в настоящее время почти полностью вытеснена шестнадцатеричной.
 
Число в восьмеричной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 8), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Пример:
567,128=5⋅82+6⋅81+7⋅80+1⋅8−1+2⋅8−2
Шестнадцатеричная система счисления
Основание: p=16.Алфавит: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F.
 
Здесь только десять цифр из шестнадцати имеют общепринятое обозначение 0,1,...,9. Для записи остальных цифр (10,11,12,13,14 и 15) обычно используются первые шесть букв латинского алфавита.
 
Шестнадцатеричная система счисления, на сегодняшний день является наиболее популярным средством компактной записи двоичных чисел. Очень широко используется при разработке и проектировании цифровой техники.
 
Число в шестнадцатеричной системе счисления записывается в виде суммы числового ряда степеней основания (в данном случае 16), в качестве коэффициентов которых выступают цифры данного числа.
Пример:
10FC16=1⋅163+0⋅162+F⋅161+C⋅160
Помимо рассмотренных выше позиционных систем счисления, существуют и другие, например:- троичная (0,1,2);
- пятеричная (0,1,2,3,4)
- двенадцатеричная (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B)
- тринадцатеричная (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C).
 
Обрати внимание!
В системах счисления с основанием больше 10 для представления чисел после цифр 0,1,2,…,9 используют латинские буквы в алфавитном порядке: А (10), В (11), С (12) и т. д.