Доклад Элементы статистики и теории вероятности.Подготовка кЕГЭ
В настоящее время элементы статистики и теории вероятностей включены в государственный стандарт основной школы. Решение комбинаторных задач способствует развитию логического мышления, расширению кругозора, формированию математической культуры учащихся, возможности использования математических методов и технологий статистической обработки в различных исследованиях.
Теория вероятности – очень сложный предмет, если рассматривать отдельно.
Но на ЕГЭ надо знать только самые основные понятия теории вероятностей. Если дети их будете понимать, то и задача покажется лёгкой.
1. Случайное событие (СС)- это событие, которое либо произойдёт, либо нет.
В жизни мы постоянно сталкиваемся со случайными событиями.
Примеры:
Вы купили лотерейный билет. Он либо выигрышный, либо нет. Случайное событие - выигрыш. Оно может произойти, а может и нет.
Вы подбросили монету. Выпадение орла - случайное событие. Выпадение решки тоже случайное событие.
Студент сдаёт экзамен. Выпадение определённого билета – случайное событие. Сдаст или не сдаст тоже случайное событие.
и т.д.
2. Каждое случайное событие (СС) иметь свою вероятность произойти (сбыться, реализоваться).
Каждый, думаю, понимает интуитивно, что такое вероятность. Одно событие может произойти со 100%-ой вероятностью, другое почти с нулевой и т.д.
Примеры:
Вероятность восхода солнца рано утром = 100%,
Вероятность выпадения восьмёрки на игральной кости (кубике) = 0%, т.к. 8-рки нет на кубике.
А вероятность, что изделие бракованное – может принимать любое значение (от 0 до 1). Это зависит от условий. Вот такие вероятности и будем находить в дальнейшем.
3. Испытание – любое действие, которое может привести к одному или нескольким результатам.
4. Исход - конечный результат испытания. Значит испытание может иметь один или несколько исходов.
Например:
Бросаете монету – это испытание. Исходы – орёл, решка.
Подбросили кубик (иногда называют игральной костью) – это испытание. Выпасть может 1, 2, 3, 4, 5 или 6 – это исходы.
5. Благоприятный исход - желаемый исход.
Примеры:
Бросаете монету. Хочу, чтобы выпала решка, => благоприятный исход = выпала решка. Значит выпадение орла – неблагоприятный исход.
Сдаю экзамен. Из 20 билетов 10 знаю на отлично, 5 на хорошо, 3 на удовлетворительно и 2 не знаю. Хочу сдать на хорошо. Тогда благоприятный исход = сдать на хорошо. А какова вероятность сдать на хорошо? Ответ: 5/20=1/4. Почему? Подробности ниже.
Какова же связь между этими понятиями?
ЗАПОМНИ:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Эта формула называется классической формулой вероятности или классическим определением вероятности. Где:
Р(А) - вероятность события А.
m – число (количество) благоприятных исходов,
n – число (количество) всех исходов.
ПРАВИЛО: Вероятность всегда равна от 0 до 1. Ни меньше, ни больше!
Рассмотрим тот же пример:
Сдаю экзамен. Из 20 билетов 10 знаю на отлично, 5 на хорошо, 3 на удовлетворительно и 2 не знаю. Хочу сдать на хорошо. Тогда благоприятный исход = сдать на хорошо. А какова вероятность сдать на хорошо?
Решение:
m = 5.
n =20.
Значит Р(А) = 5/20 = 0,25.
Аналогично, можно найти вероятность сдать экзамен на отлично: Р(А1) = 10/20 = 0,5.
вероятность сдать экзамен на удовлетворительно: Р(А2) = 3/20 = 0,15.
вероятность не сдать экзамен: Р(А3) = 2/20 = 0,1.
Заметьте, ответы представлены в десятичной дроби, потому что в бланках ЕГЭ, надо писать в десятичном виде (если не указано иное).
Классическая формула вероятности – самая главная и основная. Но бывают затруднения в нахождении n и m.
В этом случае надо знать элементы комбинаторики.
1. Теорема о перемножении шансов: Пусть множество А состоит из k элементов, а множество B из m элементов, тогда можно образовать ровно km пар, взяв первый элемент из множества A, а второй из множества B.
т.е. если первый элемент можно выбрать k способами, а второй элемент m способами, то пару элементов можно выбрать km способами.
Примеры:
При подбрасывании трёх монет возможно 2·2·2=8 различных результатов. Т.к. первая монета принимает 2 результата (орел или решка), вторая тоже два, и третья также два результата.
бросая дважды игральную кость, получим 6·6=36 различных результатов. Объяснить самостоятельно.
2. Выборы шариков из урны (или кубиков из ящика, или карточек из коробки, или книг с полки, или изделий из партии, или номер при жеребьёвке и т.д.):
Есть урна (ящик), содержащая n пронумерованных объектов (шаров). Мы выбираем из этой урны k шаров; результатом выбора является набор из k шаров. Нас интересует, сколькими способами можно выбрать k шаров из n, или сколько различных результатов может получиться?
На этот вопрос нельзя дать однозначный ответ, пока мы не определимся:
а) с тем, как организован выбор: можно ли шары возвращать в урну, и
б) с тем, что понимается под различными результатами выбора: учитывается или нет порядок.
Рассмотрим следующие возможные способы выбора:
1) Выбор с возвращением: каждый вынутый шар возвращается в урну, каждый следующий шар выбирается из полной урны. Таким образом, в полученном наборе из k шаров могут встречаться одни и те же.
1.1) Выбор с учётом порядка: например, при выборе трёх шаров из 5, лежащих в урне, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) различны, если порядок учитывается.
1.2) Выбор без учёта порядка: т.е. наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми. Например, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) не различаются и образуют один и тот же результат выбора, если порядок не учитывается.
2) Выбор без возвращения: вынутые шары в урну не возвращаются, и в полученном наборе не могут встречаться одни и те же шары.
2.1) Выбор с учётом порядка: например, при выборе трёх шаров из 5, лежащих в урне, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) различны, если порядок учитывается.
2.2) Выбор без учёта порядка: т.е. наборы, отличающиеся лишь порядком следования номеров, считаются одинаковыми. Например, наборы (1, 5, 2) и (2, 5, 1) не различаются и образуют один и тот же результат выбора, если порядок не учитывается.
Шпаргалка:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Символ n! ( называется факториал ) – сокращённая запись произведения: 1 · 2 · 3 · · ( n – 1 ) ·n .
Подробнее о шпаргалке:
Размещением k элементов из n (из n элементов по k) называются соединения, которые можно образовать из n элементов, собирая в каждое соединение по k элементов, при этом соединения могут отличаться друг от друга как самими элементами, так и порядком их расположения.
Перестановка: возьмём n различных элементов: a1 , a2 , a3 , , an . Будем переставлять их всеми возможными способами, сохраняя их количество и меняя лишь порядок их расположения.Каждая из полученных таким образом комбинаций называется перестановкой. Общее количество перестановок из n элементов обозначается Pn . Это число равно произведению всех целых чисел от 1 до n.
Сочетание без повторений: число способов выбрать m элементов из n различных элементов (m
·n) без упорядочения.
Сочетание с повторениями: число способов разместить m одинаковых элементов (предметов) в n ячейках (ящиках).
А сейчас давайте рассмотрим решение некоторых задач:
В секции айкидо занимаются 10 юношей и 4 девушки. Из них два юноши и одна девушка имеют 1 дан. Для проведения спаррингов во время тренировки жеребьевкой выбираются 1 юноша и 1 девушка. Какова вероятность, что оба выбранных спортсмена будут иметь первый дан?
2/10*1/4=1/20=0,05
В шестом классе учатся 28 человек. Из них 6 учащихся занимаются плаванием, а 4 учащихся - фехтованием, причем 3 занимаются и плаванием, и фехтованием одновременно. Какова вероятность, что случайным образом выбранный шестиклассник из этого класса занимается плаванием или фехтованием.
6+4-3=7 7/28=1/4=0,25
Найдите вероятность выпадения четного числа очков при подбрасывании игрального кубика.
Общее число исходов-6
Число благоприятных исходов-3 (2,4,6)
3/6=0,5
Подбрасываются две монеты. Найдите вероятность того, что на обеих выпадает герб.
Общее число исходов-4
Число благоприятных исходов-1
1/4=0,25
Из пяти отрезков, длины которых равны 2,3,5,10 и 12 см, наугад выбирается один. Найдите вероятность того, что длина этого отрезка окажется более 5 см.
Общее число исходов-5
Число благоприятных исходов-2
2/5=0,4
В ящике находится 10 одинаковых по форме шаров, среди которых имеются 5 белых, 3 черных и 2 зеленых. Найдите вероятность того, что вынутый наугад шар не окажется зеленым.
5+3=8
8/10=0,8
В ящике находится 20 одинаковых по форме шаров, среди которых имеются 2 синих, 5 белых, 9 красных и 4 зеленых. Найдите вероятность того, что вынутый наугад шар окажется белым или красным.
5+9=14
14/20=0,7
Подбрасывают два игральных кубика. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков окажется равной 4. Ответ, используя правило округления представьте в виде десятичной дроби, содержащей три значащие цифры.
Общее число исходов-36
Число благоприятных исходов-3
3/36=1/12=0,0833
В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в двух из них встречается вопрос о грибах. На экзамене школьнику достаётся один случайно выбранный билет. Найдите вероятность того, что в этом билете не будет вопроса о грибах.
25-2=23
23/25=92/100=0,92
На тарелке лежат пирожки, одинаковые на вид: 4 с мясом, 8 с капустой и 3 с вишней. Петя наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что пирожок окажется с вишней.
4+8+3=15
3/15=1/5=0,2
Доля брака в производстве процессоров составляет 0,05%. С какой вероятностью процессор только что купленного компьютера окажется исправным?
0,05%=0,0005
1-0,0005=0,9995
Из слова ЭКЗАМЕН случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?
Общее число исходов-7
Число благоприятных исходов-3
3/7
Подбрасывают два кубика, какова вероятность, что оба числа окажутся меньше 5?
Общее число исходов-36
Число благоприятных исходов-16
11 12 13 14
21 22 23 24
31 32 33 34
41 42 43 44
16/36=4/9
В ящике 3 красных и 3 синих шара. Из него, не глядя, вытаскивают друг за другом два шара. Какова вероятность, что они буду одного цвета?
Общее число исходов- 6*5=30
Число благоприятных исходов-6*2=12
12/30=2/5=0,4
или
После того как вытащили 1 шар, второй того же цвета можно вытащить с вероятностью 2/5
Карточка с цифрами 1, 2, 3, 4, 5 перемешивают и выкладывают в ряд. Какова вероятность, что получится четное число?
Последняя цифра должна быть четной, находим вероятность выпадения четной цифры
2/5
Буквы слова АКТЕР перемешивают и случайным образом выкладывают в ряд. С какой вероятностью при этом получится слово ТЕРКА.
Общее число исходов- 5*4*3*2=120
Число благоприятных исходов-1
1/120
Буквы слова Кубик перемешивают и случайным образом выкладывают в ряд. С какой вероятностью получится это же самое слово?
Общее число исходов- 5*4*3*2=120
Число благоприятных исходов-2
так как две буквы К.
2/120=1/60
Два человека садятся в электричку, в которой 8 вагонов. С какой вероятностью они окажутся в разных вагонах, если каждый из них выбирает вагон случайным образом?
Пусть первый человек уже сел в один вагон, значит вероятность, того что второй сядет в другой вагон 7/8.
Одновременно бросают 3 монеты. С какой вероятностью выпадет хотя бы один орел?
ООО ООР ОРО ОРР РОО РОР РРО РРР
Общее число исходов-8
Число благоприятных исходов-7
7/8
13 EMBED Word.Document.8 \s 1415
Заголовок 315