Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы: метод. указания к практическим занятиям

Муромский институт (филиал)
федерального государственного бюджетного образовательного
учреждения высшего профессионального образования
«Владимирский государственный университет имени Александра
Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых»




Теория вероятностей,
математическая статистика и
случайные процессы

Часть 1

Методические указания
к практическим занятиям
для студентов направления подготовки
231000.62 Программная инженерия





Составитель
А.А.Быков








Муром
2013
УДК 519.2
ББК 22.171
Т 33

Рецензент
Доктор технических наук
доцент, заведующий кафедрой САПР
Жизняков Аркадий Львович

Печатается по решению редакционно-издательского совета
Муромского института (филиала)
Владимирского государственного университета

Т 33 Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы: метод. указания к практическим занятиям / сост.: А.А.Быков.– Муром: Изд.-полиграфический центр МИ ВлГУ, 2012.– 51 с.– Библиогр. 9 назв.

В методических указаниях содержится в основном весь материал программы дисциплины «Теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы», приведены необходимые теоретические сведения и формулы, даны решения типовых задач, включены задачи для самостоятельного решения.
Курс практических занятий рассчитан на направления подготовки 230100 «Программная инженерия», но может быть полезен лицам, применяющим вероятностные и статистические методы при решении практических задач.

УДК 519.2
ББК 22.171

( Муромский институт (филиал) федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Владимирский государственный университет имени Александра Григорьевича и Николая Григорьевича Столетовых», 2012
Общие указания по выполнению практических заданий

В настоящих методических указаниях помещено более 200 задач, содержание которых соответствует программе направления подготовки бакалавров «Программная инженерия». Методические указания разделены на две части: теория вероятностей и математическая статистика. В начале каждой темы приведены необходимые теоретические сведения, затем даны решения типовых задач и задачи для самостоятельного изучения. Задачи расположены в порядке постепенного возрастания трудности их решения.
При домашней подготовке студенты должны ознакомиться с теоретической частью практического занятия и рекомендованной литературой. Тематике практических занятий 1-8 посвящены книги [1-9], теоретическая часть практических занятий 9-16 рассматривается в [1, 2, 6, 7].

Тема 1. Теория вероятностей

Практическое занятие №1
1.1. Классическое и статистическое определение вероятности
Вероятностью появления некоторого события A называется отношение числа случаев, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу равновозможных в данном опыте случаев и обозначается
13 EMBED Equation.3 1415,
где m число исходов, благоприятствующих событию A, n общее число исходов опыта.
Относительная частота события А определяется равенством
13 EMBED Equation.3 1415
где m – число испытаний, в которых событие А наступило; n – общее число произведённых испытаний.
Пример 1. Подброшены две игральные кости. Найти вероятность события A того, что выпадет хотя бы одна единица.
Решение. На каждой кости может выпасть любое число очков от 1 до 6. Поэтому пространство элементарных событий содержит 36 равновозможных исходов. Событию A благоприятствуют 11 исходов: (1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (1,4), (4,1), (1,5), (5,1), (1,6), (6,1), поэтому
13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – чётная, причём на грани хотя бы одной из костей появится шестёрка.
Решение. На выпавшей грани «первой» игральной кости может появиться одно очко, два очка, , шесть очков. Аналогичные шесть элементарных исходов возможны при бросании «второй» кости. Каждый из исходов бросания «первой» кости может сочетаться с каждым из исходов бросания «второй». Таким образом, общее число возможных элементарных исходов испытания равно 6·6=36. Эти исходы образуют полную группу и в силу симметрии костей равновозможны.
Благоприятствующими интересующему нас событию (хотя бы на одной грани появится шестёрка, сумма выпавших очков – чётная) являются следующие пять исходов (первым записано число очков, выпавших на «первой» кости, вторым – число очков, выпавших на «второй» кости; далее найдена сумма очков):
1) 6, 2; 6 + 2 = 8, 2) 6, 4; 6 + 4 = 10, 3) 6, 6; 6 + 6 = 12, 4) 2, 6; 2 + 6 = 8,5) 4, 6; 4 + 6 = 10.
Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех возможных элементарных исходов: P = 5/36.
При перевозке ящика, в котором содержалось 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причём неизвестно какая. Наудачу извлечения (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найти вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.
На красных карточках написаны буквы у, и, я, к, ц, ф, н, на синих буквы а, а, о, т, т, с, ч. После тщательного перемешивания, что вероятнее: с первого раза из букв на красных карточках составить слово «функция» или из букв на синих карточках слово «частота»?
Решение. Пусть событие A наудачу составленное из 7 букв слово «функция», событие B наудачу составленное из 7 букв слово «частота». Так как упорядочиваются два множества из 7 букв, то число всех исходов для событий A и B равно n = 7!. Событию A благоприятствует один исход m = 1, так как все буквы на красных карточках различны. Событию B благоприятствуют m = 2! · 2! исходов, так как буквы «а» и «т» встречаются дважды. Тогда P(A) = 1/7!, P(B) = (2!2!)/7!, P(B) > P(A).
Ребенок имеет на руках 5 кубиков с буквами: А, К, К, Л, У. Какова вероятность того, что ребенок соберет из кубиков слово "кукла"?
На каждой из пяти одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: "а", "м", "р", "т", "ю". Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех вынутых по одной карточке можно прочесть слово "юрта".

1.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей
Теорема сложения вероятностей несовместимых событий. Вероятность появления одного из двух несовместимых, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:
Р(А + В) = Р(А) + Р(В).
Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB).
Теорема умножения вероятностей. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:
P(AB) = P(A) * PA(B)
В частности, для независимых событий
P(AB) = P(A) * P(B)
Пример 1. На стеллаже библиотеки в случайном порядке расставлено 15 учебников, причём пять из них в переплёте. Библиотекарь берёт наудачу три учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из взятых учебников окажется в переплёте (событие А).
Решение. Первый способ. Требование – хотя бы один из трёх взятых учебников в переплёте – будет осуществлено, если произойдёт любое из следующих трёх несовместимых событий: В – один учебник в переплёте, С – два учебника в переплёте, D – три учебника в переплёте.
Интересующее нас событие А можно представить в виде суммы событий: A = B + C + D. По теореме сложения,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (*)
Найдём вероятности событий B, C и D:
13 EMBED Equation.3 1415
Подставив эти вероятности в равенство (*), окончательно получим
Р(А) = 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Второй способ. События А (хотя бы один из взятых трёх учебников имеет переплёт) и 13 EMBED Equation.3 1415 (ни один из взятых учебников не имеет переплёта) – противоположные, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 (сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице). Отсюда 13 EMBED Equation.3 1415.
Вероятность появления события 13 EMBED Equation.3 1415 (ни один из взятых учебников не имеет переплёта)
13 EMBED Equation.3 1415.
Искомая вероятность
13 EMBED Equation.3 1415.
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,7, а для второго – 0,8. найти вероятность того, что при одном залпе в мишень попадает только один из стрелков.
Сколько надо бросить игральных костей, чтобы с вероятностью, меньшей 0,3, можно было ожидать, что ни на одной из выпавших граней не появится шесть очков?
Решение. Введём обозначения событий: А – ни на одной из выпавших граней не появится 6 очков; Аi – на выпавшей грани i-й кости (i = 1, 2, , n) не появится 6 очков.
Интересующее нас событие А состоит в совмещении событий А1, А2, , Аn, т. е. А = А1А2Аn.
Вероятность того, что на любой выпавшей грани появится число очков, не равное шести, равна Р(Аi) = 5/6.
События Аi независимы в совокупности, поэтому применима теорема умножения:
13 EMBED Equation.3 1415
По условию, (5/6)n < 0,3. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда, учитывая, что log(5/6) < 0, найдём: n > 6,6. Таким образом, искомое число игральных костей n 
· 7.
Вероятность попадания в мишень стрелком при одном выстреле равна 0,8. сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью, меньшей 0,4, можно было ожидать, что не будет ни одного промаха?
По данным переписи населения (1891 г.) Англии и Уэльса установлено: темноглазые отцы и темноглазые сыновья (АВ) составили 5% обследованных лиц, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья 13 EMBED Equation.3 1415, светлоглазые отцы и темноглазые сыновья 13 EMBED Equation.3 1415, светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья 13 EMBED Equation.3 1415. Найти связь между цветом глаз отца и сына.
Пример. Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно p1=0,4; p2=0,5; p3=0,7. Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет ровно одна пробоина.
Решение. Рассмотрим событие А – ровно одно попадание в мишень. Это событие может осуществиться несколькими способами, т.е. распадается на несколько несовместных вариантов: может быть попадание при первом выстреле, промахи при втором и третьем; или же попадание при втором выстреле, промахи при первом и третьем; или, наконец, промахи при первом и втором выстрелах и попадание при третьем. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415

где A1,A2, A3 - попадание при первом, втором, третьем выстрелах, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415- промах при первом, втором, третьем выстрелах.
Применяя теоремы сложения и умножения вероятностей и пользуясь свойством противоположных событий, находим:
13 EMBED Equation.3 1415

.
Практическое занятие №2
2.1. Вероятность появления хотя бы одного события
Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий А1, А2, , Аn, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны:  р1 = 0,1; р2 = 0,15; р3 = 0,2. Найти вероятность того, что тока в цепи не будет.
Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.
Вероятность успешного выполнения упражнения для каждого из двух спортсменов равна 0,5. Спортсмены выполняют упражнение по очереди, причём каждый делает по две попытки. Выполнивший упражнение первым получает приз. Найти вероятность получения приза спортсменами.
Вероятность попадания в мишень каждым из двух стрелков равна 0,3. Стрелки стреляют по очереди, причём каждый должен сделать по два выстрела. Попавший в мишень первым получает приз. Найти вероятность того, что стрелки получат приз.
Вероятность хотя бы одного попадания в цель при четырёх выстрелах равна 0,9984. Найти вероятность попадания в цель при одном выстреле.

2.2. Формула полной вероятности
Вероятность события А, которое может наступить лишь при появлении одного из несовместимых событий (гипотез) B1, B2, , Bn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждой из гипотез на соответствующую условную вероятность события А:
13 EMBED Equation.3 1415, (*)
где 13 EMBED Equation.3 1415.
Равенство (*) называют формулой полной вероятности.
Пример. В урну, содержащую два шара, опущен белый шар, после чего из неё наудачу извлечён один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
Решение. Обозначим через А событиеизвлечён белый шар. Возможны следующие предположения (гипотезы) о первоначальном составе шаров: В1 – белых шаров нет; В2 – один белый шар; В3 – два белых шара.
Поскольку всего имеется три гипотезы, причём по условию они равновероятны, и сумма вероятностей гипотез равна единице (так как они образуют полную группу событий), то вероятность каждой из гипотез равна 1/3, т. е. P(B1) = P(B2) = P(B3) = 1/3.
Условная вероятность того, что будет извлечён белый шар, при условии, что первоначально в урне не было белых шаров, PB1(А) = 1/3.
Условная вероятность того, что будет извлечён белый шар, при условии, что первоначально в урне был один белый шар, PB2(А) = 2/3.
Условная вероятность того, что будет извлечён белый шар, при условии, что первоначально в урне было два белых шара, PB3(А) = 3/3 = 1.
Искомую вероятность того, что будет извлечён белый шар, находим по формуле полной вероятности:
13 EMBED Equation.3 1415
В урну, содержащую 2 шара, опущен белый шар, после чего наудачу извлечён один шар. Найти вероятность того, что извлечённый шар окажется белым, если равновозможны все возможные предположения о первоначальном составе шаров (по цвету).
В каждой из двух урн содержится K=3 черных и N=4 белых шариков. Из первой урны случайным образом вынимают два шар, а потом один из них перекладывают во вторую урну. Найти вероятность того, что шар, который достали из второй урны окажется черным.
Вероятности того, что во время работы цифровой электронной машины произойдёт сбой в арифметическом устройстве, в оперативной памяти, в остальных устройствах, относится как 3:2:5. Вероятности обнаружения сбоя в арифметическом устройстве, в оперативной памяти и в остальных устройствах соответственно равны 0,3; 0,7; 0,9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен.

2.3. Формула Бейеса
Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместимых событий (гипотез) B1, B2, , Bn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут быть переоценены по формулам Бейеса
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит в среднем 60% деталей отличного качества, а второй – 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.
Решение. Обозначим через А событие – деталь отличного качества. Можно сделать два предположения (гипотезы): В1 – деталь произведена первым автоматом, причём (поскольку первый автомат производит вдвое больнее деталей, чем второй) Р(В1) = 2/3; В2 – деталь произведена вторым автоматом, причём Р(В2) = 1/3.
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена первым автоматом, 13 EMBED Equation.3 1415.
Условная вероятность того, что деталь будет отличного качества, если она произведена вторым автоматом, 13 EMBED Equation.3 1415.
Вероятность того, что наудачу взятая деталь окажется отличного качества, по формуле полной вероятности равна
13 EMBED Equation.3 1415Искомая вероятность того, что взятая отличная деталь произведена первым автоматом, по формуле Бейеса равна
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. В трех ящиках – a, b и c – содержатся, соответственно, две золотые, одна золотая и одна серебряная и две серебряные монеты. Случайным образом выбирается ящик и из него произвольно вынимается монета. Монета оказалась золотой. Какова вероятность, что вторая монета в этом ящике также золотая?
Решение. Фактически нужно найти вероятность того, что монета вынута из ящика A.
Ведем полную группу событий: гипотеза  А – “Монета вынута из ящика a”; гипотеза  B – “Монета вынута из ящика b”; гипотеза  C – “Монета вынута из ящика c”. Очевидно, что 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть событие D означает “Вынута золотая монета”. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Согласно формуле Байеса,
13 EMBED Equation.3 1415.

В пирамиде 10 винтовок, из которых 4 снабжены оптическим прицелом. Вероятность того, что стрелок поразит мишень при выстреле из винтовки с оптическим прицелом, равна 0,95; для винтовки без оптического прицела эта вероятность равна 0,8. Стрелок поразил мишень из наудачу взятой винтовки. Что вероятнее: стрелок стрелял из винтовки с оптическим прицелом или без него?
Имеются три партии деталей по 20 деталей в каждом. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно 20, 15, 10. Из наудачу выбранной партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Деталь возвращают в партию и вторично из той же партии наудачу извлекают деталь, которая также оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из третьей партии.
Батарея из трёх орудий произвела залп, причём два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны р1 = 0,4, р2 = 0,3, р3 = 0,5.
Практическое занятие №3
3.1. Формула Бернулли
Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А. В пунктах 3.1 – 3.4 этой темы рассматриваются независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события одинакова.
Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), равна
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
где q = 1 – p.
Вероятность того, что в n испытаниях событие наступит: а) менее k раз; б) более k раз; в) не менее k раз; г) не более k раз, – находят соответственно по формулам:
13 EMBED Equation.3 1415

Пример. Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: выиграть две партии из четырех или три партии из шести (ничьи во внимание не принимаются)?
Решение. Играют равносильные шахматисты, поэтому вероятность выигрыша р = 1/2; следовательно, вероятность проигрыша q также равна 1/2. Так как во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности будут выиграны партии, то применима формула Бернулли.
Найдем вероятность того, что две партии из четырех будут выиграны:
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем вероятность того, что будут выиграны три партии из шести:
13 EMBED Equation.3 1415
Так как Р4(2) > Р6(3), то вероятнее выиграть две партии из четырех, чем три из шести.
Монету бросают пять раз. Найти вероятность того, что «герб» выпадет: а) менее двух раз; б) не менее двух раз.
В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) два мальчика; б) не более двух мальчиков; в) более двух мальчиков; г) не менее двух и не более трех мальчиков. Вероятность рождения мальчика принять равной 0,51.
Отрезок АВ разделен точкой С в отношении 2:1. На этот отрезок наудачу брошены четыре точки. Найти вероятность того, что две из них окажутся левее точки С и двеправее. Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения.

3.2. Локальная и интегральная теоремы Лапласа
Локальная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)
13 EMBED Equation.3 1415
Здесь
13 EMBED Equation.3 1415
Таблица функции
·(x) для положительных значений х приведена в приложении 1; для отрицательных значений х пользуются этой же таблицей [функция
·(x) четная, следовательно,
·(-x) = 
·(x)].
Интегральная теорема Лапласа. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < I), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна
13 EMBED Equation.3 1415
Здесь
13 EMBED Equation.3 1415
– функция Лапласа,
13 EMBED Equation.3 1415
Таблица функции Лапласа для положительных значений x (0 
· x 
· 5) приведена в приложении 2; для значений х > 5 полагают Ф(x) = 0,5. Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая, что функция Лапласа нечетная [Ф(x) = Ф(x)].

Пример 1. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 70 раз в 243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,25.
Решение. По условию, n = 243; k = 70; р = 0,25; q = 0,75. Так как n = 243 – достаточно большое число, воспользуемся локальной теоремой Лапласа:
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415
Найдём значение x:
13 EMBED Equation.3 1415
По таблице приложения 1 найдём
·(1,37) = 0,1561. Искомая вероятность
13 EMBED Equation.3 1415
Найти вероятность того, что событие А наступит 1400 раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,6.
Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена ровно 75 раз.
Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
Пример 2. Найти вероятность того, что если бросить монету 200 раз, то орел выпадет от 90 до 110 раз.
Решение: Имеем схему Бернулли с параметрами n = 200, p = q = 1/2 (вероятность выпадения орла/решки). Так как число n достаточно велико, будем использовать интегральную теорему Лапласа для подсчета вероятности, где m1 =90, m2 = 110. Подставляем:
13 EMBED Equation.3 1415
Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что «герб» выпадет ровно N раз.
Вероятность появления события в каждом из 100 независимых испытаний постоянна и равна р = 0,8. Найти вероятность того, что событие появится: а) не менее 75 раз и не более 90 раз; б) не менее 75 раз; в) не более 74 раз.


Практическое занятие №4
4.1. Отклонение относительной частоты от постоянной вероятности в независимых испытаниях
Оценка отклонения относительной частоты от постоянной вероятности. Вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р (0 < р < 1), абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа
·, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Вероятность появления события в каждом из 625 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,04.
Решение. По условию, n = 625; p = 0,8; q = 0,2;
· = 0,04. Требуется найти вероятность 13 EMBED Equation.3 1415. Воспользуемся формулой
13 EMBED Equation.3 1415
Имеем
13 EMBED Equation.3 1415
По таблице приложения 2 найдём Ф(2,5) = 0,4938. Следовательно, 2Ф(2,5) =2 * 0,4938 = 0,9876. Итак, искомая вероятность приближённо равна 0,9876.
Вероятность появления события в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,5. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.
Вероятность появления события в каждом из 10 000 независимых испытаний равна 0,75. Найти вероятность того, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,01.
Вероятность появления события в каждом из независимых испытаний равна 0,5. Найти число испытаний n, при котором с вероятностью 0,7698 можно ожидать, что относительная частота появления события отклонится от его вероятности по абсолютной величине не более чем на 0,02.
Вероятность появления события в каждом из 400 независимых испытаний равна 0,8. Найти такое положительное число
·, чтобы с вероятностью 0,99 абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от его вероятности 0,8 не превысила
·.

4.4. Наивероятнейшее число появлений события в независимых испытаниях
Число k0 (наступления события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает (или, по крайней мере, не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний.
Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства
13 EMBED Equation.3 1415
причем:
а) если число np – q – дробное, то существует одно наивероятнейшее число k0;
б) если число np – q – целое, то существует два наивероятнейших числа, а именно: k0 и k0 + 1;
в) если число np  – целое, то наивероятнейшее число k0 = np.
Испытывается каждый из 15 элементов некоторого устройства. Вероятность того, что элемент выдержит испытание, равна 0,9. Найти наивероятнейшее число элементов, которые выдержат испытание.
Пример. Два равносильных противника играют в шахматы. Найти наивероятнейшее число выигрышей для любого шахматиста, если будет сыграно 2N результативных (без ничьих) партий.
Решение. Известно, что если произведение числа испытаний n на вероятность р появления события в одном испытании есть целое число, то наивероятнейшее число
k0 = np.
В рассматриваемой задаче число испытаний n равно числу сыгранных партий 2N; вероятность появления события равна вероятности выигрыша в одной партии, т. е. p = 1/2 (по условию противники равносильны).
Поскольку произведение 13 EMBED Equation.3 1415 – целое число, то искомое наивероятнейшее число k0 выигранных партий равно N.
Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность промаха при одном выстреле для первого стрелка равна 0,2, а для второго 0,4. Найти наивероятнейшее число залпов, при которых не будет ни одного попадания в мишень, если стрелки произведут 25 залпов.
Сколько надо произвести независимых испытаний с вероятностью появления события в каждом испытании, равной 0,4, чтобы наивероятнейшее число появления события в этих испытаниях было равно 25?

Практическое занятие №5
5.1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины. Законы биномиальный и Пуассона
Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями.
Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень ее возможных значений и соответствующих им вероятностей.
Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна р; вероятность возможного значения X = k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли:
13 EMBED Equation.3 1415
Если число испытаний велико, а вероятность р появления события в каждом испытании очень мала, то используют приближенную формулу
13 EMBED Equation.3 1415
где k – число появлений события в n независимых испытаниях,
· = np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона.

Пример. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
X
1
3
6
8

P
0,2
0,1
0,4
0,3

Построить многоугольник распределения.
Решение. Построим прямоугольную систему координат, причем по оси абсцисс будем откладывать возможные значения хi, а по оси ординат – соответствующие вероятности рi. Построим точки:
M1(1; 0,2), M2(3; 0,1), M3(6; 0,4), и M4(8; 0,3). Соединив эти точки отрезками прямых, получим искомый многоугольник распределения (рис. 2).
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Рис. 5.1

Дискретная случайная величина Х задана законом распределения:
a)
X
2
4
5
6
б)
X
10
15
20


P(X)
0,3
0,1
0,2
0,4

P(X)
0,1
0,7
0,2

Построить многоугольник распределения.
Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Составить закон распределения числа отказавших элементов в одном опыте.
В партии из 10 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны две детали. Составить закон распределения числа стандартных деталей среди отобранных.
Партия продукции содержит К = 10% бракованных изделий. Какова вероятность, что при выборке из n = 260 деталей окажется L = 5% бракованных изделий.
После ответа студента на вопросы экзаменационного билета экзаменатор задает студенту дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать дополнительные вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Вероятность того, что студент ответит на любой заданный дополнительный вопрос, равна 0,9. Требуется: а) составить закон распределения случайной дискретной величины X – числа дополнительных вопросов, которые задаст преподаватель студенту; б) найти наивероятнейшее число k0 заданных студенту дополнительных вопросов.
Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятности того, что магазин получит разбитых бутылок: а) ровно две; б) менее двух; в) более двух; г) хотя бы одну.
Указание. Принять е-3 = 0,04979.
Устройство состоит из большого числа независимо работающих элементов с одинаковой (очень малой) вероятностью отказа каждого элемента за время Т. Найти среднее число отказавших за время Т элементов, если вероятность того, что за это время откажет хотя бы один элемент, равна 0,98.
Решение. Из условия задачи следует (поскольку число элементов велико, элементы работают независимо и вероятность отказа каждого элемента мала), что число отказов распределено по закону Пуассона, причем требуется найти параметр
· (среднее число отказов).
Вероятность того, что откажет хотя бы один элемент, по условию равна 0,98, следовательно, 1 – e
· = 0,98. Отсюда
13 EMBED Equation.3 1415
По таблице функции e-x находим
· = 3,9. Итак, за время Т работы устройства откажет примерно четыре элемента.
б) Найти среднее число
·, бракованных изделий в партии изделий, если вероятность того, что в этой партии содержится хотя бы одно бракованное изделие, равна 0,95. Предполагается, что число бракованных изделий в рассматриваемой партии распределено по закону Пуассона.
Указание. Принять е-3 = 0,05.
Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету р = 0,01. Сколько нужно купить билетов, чтобы выиграть хотя бы по одному из них с вероятностью Р, не меньшей, чем 0,95?

5.2. Простейший поток событий
Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени.
Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, которые обладают следующими тремя свойствами: стационарностью, «отсутствием последействия» и ординарностью.
Если постоянная интенсивность потока
· известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время t определяется формулой Пуассона
13 EMBED Equation.3 1415
Замечание. Поток, обладающий свойством стационарности, называют стационарным; в противном случае – нестационарным.
Показать, что формулу Пуассона, определяющую вероятность появления k событий за время длительностью t
13 EMBED Equation.3 1415
можно рассматривать как математическую модель простейшего потока событий; другими словами, показать, что формула Пуассона отражает все свойства простейшего потока.
Среднее число заказов такси, поступающих на диспетчерский пункт в одну минуту, равно трем. Найти вероятность того, что за 2 мин поступит: а) четыре вызова; б) менее четырех вызовов; в) не менее четырех вызовов.
Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин поступит: а) три вызова; б) менее трех вызовов; в) не менее трех вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.

5.3. Числовые характеристики дискретных случайных величин
Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности:
13 EMBED Equation.3 1415
Дисперсией случайной величины X называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D(X) = M[X – M(X)]2.
Дисперсию удобно вычислять по формуле
D(X) = M(X)2 – [M(X)]2.
Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:
D(X) = npq.
Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
а)
a)
X
-4
6
10

б)
X
0,21
0,54
0,61


P(X)
0,2
0,3
0,5


P(X)
0,1
0,5
0,4


Пример. Найти математическое ожидание случайной величины Z, если известны математические ожидания X иY:
а) Z = X + 2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3; б); Z = 3X + 4Y, M(X) = 2, M(Y) = 6.
Решение. а) Используя свойства математического ожидания (математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания), получим
M(Z) = M(X + 2Y) = M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 · 3 = 11.
Используя свойства математического ожидания, доказать, что: а) M(X – Y) = M(X) – M(Y); б) математическое ожидание отклонения X – M(X) равно нулю.
Дискретная случайная величина Х принимает три возможных значения: х1 = 4 с вероятностью p1 = 0,5; х2 = 6 с вероятностью p2 = 0,3 и х3 с вероятностью p3. Найти х3 и p3, зная, что M(X) = 8.
Дан перечень возможных значений дискретной случайной величины Х: х1 = –1, х2 = 0, х3 = 1, а также известны математические ожидания этой величины и ей квадрата: M(X) = 0,1, М(Х2) = 0,9. Найти вероятности p1, p2, p3, соответствующие возможным значениям х1, х2, х3.
Найти математическое ожидание дискретной случайной величины X – числа таких бросаний пяти игральных костей, в каждом из которых на двух костях появится по одному очку, если общее число бросаний равно двадцати.
Пример. Устройство состоит из n элементов. Вероятность отказа любого элемента за время опыта равна р. Найти математическое ожидание числа таких опытов, в каждом из которых откажет ровно m элементов, если всего произведено N опытов. Предполагается, что опыты независимы один от другого.
Решение. Обозначим через X число опытов, в которых откажет ровно m элементов. Так как опыты независимы и вероятности интересующего нас события (в одном опыте откажет ровно m элементов) в этих опытах одинаковы, то применима формула
M(X) = NP, (*)
где N – общее число опытов; Р – вероятность того, что в одном опыте окажется ровно m элементов.
Найдём вероятность Р по формуле Бернулли:
13 EMBED Equation.3 1415 (**)
Подставив (**) в (*), получим искомое математическое ожидание:
13 EMBED Equation.3 1415
Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание числа таких бросаний, в каждом из которых выпадет ровно m шестерок, если общее число бросаний равно N.
Бросают n игральных костей. Найти математическое ожидание суммы числа очков, которые выпадут на всех гранях.
События А1, А2,  , Аn несовместны и образуют полную группу; вероятности появления этих событий соответственно равны p1, p2,  , pn. Если в итоге испытания появляется событие Аi (i = 1, 2, , n), то дискретная случайная величина X принимает возможное значение хi, равное вероятности рi появления события Аi. Доказать, что математическое ожидание случайной величины X имеет наименьшее значение, если вероятности всех событий одинаковы.
Доказать, что математическое ожидание дискретной случайной величины заключено между наименьшим и наибольшим её возможными значениями.
Найти математическое ожидание дискретно случайной величины X, распределённой по закону Пуассона:
13 EMBED Equation.3 1415
Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 3X + 2Y, если известно, что D(X) = 5, D(Y) = 6.
Решение. Так как величины X и Y независимы, то независимы также и величины 3X и 2Y. Используя свойства дисперсии (дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых; постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его в квадрат), получим
D(Z) = D(3X + 2Y) = D(3X) + D(2Y) = 9D(X) + 4D(Y) = 9 · 5 + 4 · 9 = 69.
Случайные величины Х и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины Z = 2X + 3Y, если известно, что D(X) = 4, D(Y) = 5.
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
X
-5
2
3
4

p
0,4
0,3
0,1
0,2

Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения:
а)
X
4,3
5,1
10,6
б)
Х
131
140
160
180


p
0,2
0,3
0,5

р
0,05
0,10
0,25
0,60

Найти дисперсию дискретной случайной величины Х – числа появлений события А в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления событий А в каждом испытании равна 0,2.

Практическое занятие №6
6.1. Теоретические моменты
Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины Xk:
13 EMBED Equation.3 1415
В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию:
13 EMBED Equation.3 1415
Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
В частности, центральный момент первого порядка равен нулю:
13 EMBED Equation.3 1415
центральный момент второго порядка равен дисперсии:
13 EMBED Equation.3 1415
Центральные моменты целесообразно вычислять, используя формулы, выражающие центральные моменты через начальные:
13 EMBED Equation.3 1415
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
а)
X
1
3
б)
Х
2
4


p
0,4
0,6

р
0,05
0,10

Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
а)
X
2
3
5
б)
Х
2
4
6


p
0,1
0,4
0,5

р
0,1
0,2
0,3

Найти начальные моменты первого, второго и третьего порядков.
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
а)
X
1
2
4
б)
Х
1
2
3


p
0,1
0,3
0,6

р
0,1
0,2
0,3

Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвёртого порядков.
Решение. Центральный момент первого порядка равен нулю: 13 EMBED Equation.3 1415.
Для вычисления центральных моментов удобно воспользоваться формулами, выражающими центральные моменты через начальные, поэтому предварительно найдём начальные моменты:
13 EMBED Equation.3 1415
Найдём центральные моменты:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
X 3 5
p 0,2 0,8
Найти центральные моменты первого, второго, третьего и четвёртого порядков.
Указание. Найти предварительно начальные моменты и выразить через них центральные моменты.
Доказать, что центральный момент второго порядка (дисперсия) 13 EMBED Equation.3 1415 меньше обычного момента второго порядка 13 EMBED Equation.3 1415 при любом С 
· М(Х).
Доказать, что центральный момент третьего порядка связан с начальными моментами равенством
13 EMBED Equation.3 1415
Доказать, что центральный момент четвёртого порядка связан с начальными моментами равенством
13 EMBED Equation.3 1415

6.2. Неравенство Чебышева
Теорема. Вероятность того, что отклонение случайной величины Х от её математического ожидания по абсолютной величине меньше положительного числа
·, не меньше чем 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что 13 EMBED Equation.3 1415, если D(X) = 0,004.
Дано: 13 EMBED Equation.3 1415 и D(X) = 0,009. Используя неравенство Чебышева, оценить
· снизу.
Пример. Устройство состоит из 10 независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента за время Т равна 0,05. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что абсолютная величина разности между числом отказавших элементов и средним числом (математическим ожиданием) отказов за время Т окажется: а) меньше двух; б) не меньше двух.
Решение. а) Обозначим через Х дискретную случайную величину – число отказавших элементов за время Т. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Воспользуемся неравенством Чебышева:
13 EMBED Equation.3 1415
Подставив сюда М(Х) = 0,5; D(X) = 0,475;
· = 2, получим
13 EMBED Equation.3 1415
б) События 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 противоположны, поэтому сумма их вероятностей равна единице. Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415
Вероятность появления события А в каждом испытании равна Ѕ. Используя неравенство Чебышева, оценить вероят6ость того, что число Х появлений события А заключено в пределах от 40 до 60, если будет произведено 100 независимых испытаний.
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
X
0,3
0,6

P
0,2
0,8

Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что 13 EMBED Equation.3 1415.

6.3. Теорема Чебышева
Теорема Чебышева. Если последовательность попарно независимых случайных величин Х1, Х2, , Хn,  имеет конечные математические ожидания и дисперсии этих величин равномерно ограничены (не превышают постоянного числа С), то среднее арифметическое случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий, т. е. если
· – любое положительное число, то
13 EMBED Equation.3 1415
В частности, среднее арифметическое последовательности попарно независимых величин, дисперсии которых равномерно ограничены и которые имеют одно и то же математическое ожидание а, сходится по вероятности к математическому ожиданию а, т. е. если
· – любое положительное число, то
13 EMBED Equation.3 1415
Последовательность независимых случайных величин Х1, Х2, , Хn,  задана законом распределения
Xn
– n
·
0
n
·

P
1/2n
1-1/2n-1
1/2n

Применима ли к заданной последовательности теорема Чебышева?

Практическое занятие №7
7.1. Функция распределения вероятностей случайной величины
Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую для каждого значения х вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее х, т. е.
F(х) = P(X < x).
Часто вместо термина «функция распределения» используют термин «интегральная функция распределения».
Пример. Случайная величина Х задана функцией распределения
13 EMBED Equation.3 1415
Найти вероятность того, что в результате испытания величина X примет значение, заключенное в интервале (0, 1/3).
Решение. Вероятность того, что в результате испытания величина Х примет значение, заключенное в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале: P(a < X < b) = F(b) – F(a). Положив a = 0, b = 1/3, получим
P(0 < X < 1/3) = F(1/3) – F(0) == [(3/4)x + 3/4]x = 1/3 – [(3/4)x + 3/4]x = 0 = 1/4.
Случайная величина Х задана функцией распределения
13 EMBED Equation.3 1415
Найти вероятность того, что в результате испытания X примет значение: а) меньшее 0,2; б) меньшее трех; в) не меньшее трех; г) не меньшее пяти.
Случайная величина X задана на всей оси Ох функцией распределения F(x) = 1/2 + (1/
·) arctg(x/2). Найти возможные значения х1, удовлетворяющее условию: с вероятностью 1/4 случайная величина Х в результате испытания примет значение, большее х1.
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
X
2
4
7

P
0,5
0,2
0,3

Найти функцию распределения F(x) и начертить её график.
Дискретная случайная величина Х задана законом распределения
X
3
4
7
10

P
0,2
0,1
0,4
0,3

Найти функцию распределения F(x) и начертить её график.

7.2. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения: 13 EMBED Equation.3 1415.
Часто вместо термина «плотность распределения» используют термины «плотность вероятностей» и «дифференциальная функция».
Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b), определяется равенством
13 EMBED Equation.3 1415
Зная плотность распределения, можно найти функцию распределения 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х
13 EMBED Equation.3 1415
Найти плотность распределения f(x).
Решение. Плотность распределения равна первой производной от функции распределения:
13 EMBED Equation.3 1415
Заметим, что при х = 0 производная 13 EMBED Equation.3 1415 не существует.
Дана функция распределения непрерывной случайной величины Х
13 EMBED Equation.3 1415
Найти плотность распределения f(x).
Непрерывная случайная величина Х заданная плотностью распределения f(x) = (3/2)sin 3x в интервале (0, 
·/3); вне этого интервала f(x) = 0. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (
·/6, 
·/4).
Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти функцию распределения F(x).
Задана плотность распределения непрерывной случайной величины Х:
13 EMBED Equation.3 1415
Найти функцию распределения F(x).

7.3. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
Математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством
13 EMBED Equation.3 1415
где f(х) – плотность распределения случайной величины X. Предполагается, что интеграл сходится абсолютно.
В частности, если все возможные значения принадлежат интервалу (а, b), то
13 EMBED Equation.3 1415
Модой М0(X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. В частности, если распределение имеет два одинаковых максимума, то его называют бимодальным.
Медианой Ме(X) непрерывной случайной величины X называют то ее возможное значение, которое определяется равенством
13 EMBED Equation.3 1415.
Дисперсия непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох определяется равенством
13 EMBED Equation.3 1415
или равносильным равенством
13 EMBED Equation.3 1415
Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется так же, как и для дискретной величины:
13 EMBED Equation.3 1415
Начальный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины X определяется равенством
13 EMBED Equation.3 1415
Центральный теоретический момент порядка k непрерывной случайной величины X определяется равенством
13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 2x в интервале (0, 1); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.
Решение. Используем формулу 13 EMBED Equation.3 1415
Подставив a = 0, b = 1, f(x) = 2x, получим
13 EMBED Equation.3 1415.
Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = (1/2)x в интервале (0, 2); вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.
Случайная величина X в интервале (– с, с) задана плотностью распределения 13 EMBED Equation.3 1415; вне этого интервала f(x) = 0. Найти математическое ожидание величины X.
Случайная величина X задана плотностью вероятности (распределение Лапласа) 13 EMBED Equation.3 1415. Найти математическое ожидание X.
Найти математическое ожидание случайной величины X, заданной функцией распределения
13 EMBED Equation.3 1415
Случайная величина Х, возможные значения которой неотрицательны, задана функцией распределения 13 EMBED Equation.3 1415. Найти математическое ожидание величины X.
Случайная величина X задана плотностью распределения f(x) = 2 cos 2x в интервале (0, 
·/4); вне этого интервала f(x) = 0. Найти: а) моду; б) медиану Х.
Случайная величина X в интервале (2, 4) задана плотностью распределения 13 EMBED Equation.3 1415; вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду, математическое ожидание и медиану величины X.
Случайная величина X в интервале (3, 5) задана плотностью распределения 13 EMBED Equation.3 1415; вне этого интервала f(x) = 0. Найти моду, математическое ожидание и медиану величины X.
Случайная величина X в интервале (0, 
·) задана плотностью распределения 13 EMBED Equation.3 1415; вне этого интервала f(x) = 0. Найти D(X).
Найти дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения
13 EMBED Equation.3 1415
Случайная величина X в интервале (0, 
·) задана плотностью распределения 13 EMBED Equation.3 1415; вне этого интервала f(x) = 0. Найти дисперсию функции Y = 
·(X) = X2, не находя предварительно плотности распределения Y.
Случайная величина X задана плотностью распределения 13 EMBED Equation.3 1415 при x 
· 0; f(x) = 0 при x < 0. Найти: а) математическое ожидание; б) дисперсию Х.
Пример. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х, заданной функцией распределения:
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Найдем плотность распределения
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем математическое ожидание:13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем дисперсию: 13 EMBED Equation.3 1415.


Практическое занятие №8
8.1. Равномерное распределение
Равномерным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величиной X, если на интервале (а, b), которому принадлежат все возможные значения X, плотность сохраняет постоянное значение, а именно f(x) = 1/(b – a); вне этого интервала f(x) = 0.
Цена деления шкалы амперметра равна 0,1 А. Показания округляют до ближайшего целого деления. Найти вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка, превышающая 0,02 А.
Найти математическое ожидание случайной величины Х, равномерно распределённой в интервале (а, b).
Пример. Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, распределенной равномерно в интервале (а, b).
Решение. Используем формулу
13 EMBED Equation.3 1415.
Подставив f(x) = 1/(b – a), М(Х) = (a + b)/2 и выполнив элементарные выкладки, получим искомую дисперсию
13 EMBED Equation.3 1415
Среднее квадратическое отклонение случайной величины X равно квадратному корню из ее дисперсии:
13 EMBED Equation.3 1415
В частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины R, распределённой равномерно в интервале (0, 1), соответственно равны:
13 EMBED Equation.3 1415

Диаметр круга х измерен приближенно, причем a 
· x 
· b. Рассматривая диаметр как случайную величину X, распределенную равномерно в интервале (а, b), найти математическое ожидание и дисперсию площади круга.

8.2. Нормальное распределение
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
где а – математическое ожидание,
· – среднее квадратическое отклонение Х.
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (
·, 
·),
13 EMBED Equation.3 1415
где 13 EMBED Equation.3 1415 – функция Лапласа.
Асимметрия, эксцесс, мода и медиана нормального распределения соответственно равны:
13 EMBED Equation.3 1415
Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины X равно a = 3 и среднее квадратическое отклонение
· = 2. Написать плотность вероятности X.
Написать плотность вероятности нормально распределенной случайной величины X, зная, что M(X) = 3, D(Х) = 16.
Нормально распределённая случайная величина Х задана плотностью 13 EMBED Equation.3 1415 Найти математическое ожидание и дисперсию Х.
Дана функция распределения нормированного нормального закона 13 EMBED Equation.3 1415 Найти плотность распределения f(x).
Пример. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение нормально распределённой случайной величины Х соответственно равны 10 и 2. Найти вероятность того, что в результате испытания Х примет значение, заключенное в интервале (12, 14).
Решение. Воспользуемся формулой
13 EMBED Equation.3 1415
Подставив
· = 12,
· = 14, а = 10 и
· = 2, получим P(12 < X < 14) = Ф(2) – Ф(1). По таблице приложения 2 находим: Ф(2) = 0,4772, Ф(1) = 0,3413. Искомая вероятность P(12 < X < 14) = 0,1359.
Производится измерение диаметра вала без систематических (одного знака) ошибок. Случайные ошибки измерения X подчинены нормальному закону со средним квадратичесим отклонением
· = 10мм. Найти вероятность того, что измерение будет произведено с ошибкой, не превосходящей по абсолютной величине 15 мм.
Автомат изготовляет шарики. Шарик считается годным, если отклонение X диаметра шарика от проектного размера по абсолютной величине меньше 0,7 мм. Считая, что случайная величина X распределена нормально со средним квадратичесим отклонением
· = 0,4 мм, найти, сколько в среднем будет годных шариков среди ста изготовленных.

Практическое занятие №9
9.1. Функция одного случайного аргумента
Если каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y, то Y называют функцией случайного аргумента X и записывают Y = j(X).
Если X – дискретная случайная величина и функция Y = j(X) монотонна, то различным значениям X соответствуют различные значения Y, причем вероятности соответствующих значений X и Y одинаковы. Другими словами, возможные значения Y находят из равенства
yi = j(xi),
где xi – возможные значения X; вероятности возможных значений Y находят из равенства
P(Y = yi) = P(X = xi).
Если же Y = j(X) – немонотонная функция, то, вообще говоря, Различным значениям X могут соответствовать одинаковые значения Y (так будет, если возможные значения X попадут в интервал, в котором функция j(X) не монотонна). В этом случае для отыскания вероятностей возможных значений Y следует сложить вероятности тех возможных значений X, при которых Y принимает одинаковые значения. То есть, вероятность повторяющегося значения Y равна сумме вероятностей тех возможных значений X, при которых Y принимает одно и то же значение.
Если X – непрерывная случайная величина, заданная плотностью распределения f(х), и если у = j(х) – дифференцируемая строго возрастающая или строго убывающая функция, обратная функция которой x = y(у), то плотность распределения g(y) случайной величины Y находят из равенства
g(y) = f[y(y)]
· [y'(y)].
Если функция у = j(х) в интервале возможных значений X не монотонна, то следует разбить этот интервал на такие интервалы, в которых функция j(х) монотонна, и найти плотности распределений gi(у) для каждого из интервалов монотонности, а затем представить g(у) в виде суммы:
13 EMBED Equation.3 1415
Например, если функция j(х) монотонна в двух интервалах, в которых соответствующие обратные функции равны y1(у) и y2(у), то
13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
X
1
3
5

p
0,4
0,1
0,5

Найти закон распределения случайной величины Y = 3Х.
Решение. Найдем возможные значения величины Y = 3X. Имеем: y1=3
·1=3; у2=3
·3=9; у3=3
·5=15. Видим, что различным возможным значениям X соответствуют различные значения Y. Это объясняется тем, что функция у=j(х)=3х монотонна. Найдем вероятности возможных значении Y. Для того чтобы Y=у1= 3 достаточно, чтобы величина X приняла значение х1=1. Вероятность же события Х=1 по условию равна 0,4; следовательно, и вероятность события Y=у1=3 также равна 0,4.
Аналогично получим вероятности остальных возможных значений Y:
p(Y = 9) = p(Х = 3) = 0,1;
p(Y = 15) = p(Х = 5) = 0,5.
Напишем искомый закон распределения Y:
Y
3
9
15

p
0,4
0,1
0,5


Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
X
3
6
10

p
0,2
0,1
0,7

Найти закон распределения случайной величины Y=2X+1.
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
X
-1
-2
1
2

p
0,3
0,1
0,2
0,4

Найти закон распределения случайной величины Y=X2.
Дискретная случайная величина X задана законом распределения:
X
p/4
p/2
3 p/4

p
0,2
0,7
0,1

Найти закон распределения случайной величины Y=sin(X).
Задана плотность распределения f(x) случайной величины X, возможные значения которой заключены в интервале (a, b). Найти плотность распределения случайной величины Y=3X.
В прямоугольной системе координат xOy из точки A(4,0) наудачу (под произвольным углом t) проведен луч, пересекающий ось Oy. Найти дифференциальную функцию g(y) распределения вероятностей ординаты y точки пересечения проведенного луча с осью Oy.
Случайная величина X равномерно распределена в интервале (-p/2, p/2). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=sinX.
Случайная величина X распределена равномерно в интервале (0, 2p). Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=cosX.
Случайная величина X распределена нормально с математическим ожиданием, равным a, и средним квадратическим отклонением, равным s. Доказать, что линейная функция Y=AX+B также распределена нормально, причем M(Y)=Aa+B, s(Y)=|A|s.
Задана плотность 13 EMBED Equation.3 1415 нормально распределенной случайной величины X. Найти плотность распределения g(y) случайной величины Y=X2.
Случайная величина X задана плотность распределения f(x)=(1/2)sinx в интервале (0, p); вне этого интервала f(x)=0. Найти математическое ожидание случайной величины Y=j(X)=X2, определив предварительно плотность распределения g(Y) величины Y.
Случайная величина X задана плотностью распределения f(x)=(1/2)sinx в интервале (0, p); вне этого интервала f(x)=0. Найти дисперсию функции Y=j(X)=X2, используя плотность распределения g(y).
Задана функция распределения F(x) случайной величины X. Найти функцию распределения G(y) случайной величины Y=3X+2.
Задана функция распределения F(x) случайной величины X. Найти функцию распределения G(y) случайной величины Y=-(2/3)X+2.

9.2. Функция двух случайных аргументов
Если каждой паре возможных значений случайных величин X и Y соответствует одно возможное значение случайной величины Z, то Z называют функцией двух случайных аргументов X и Y и пишут
Z =
·
·X, Y).
Если X и Y – дискретные независимые случайные величины, то, для того чтобы найти распределение функции Z = X + Y, надо найти все возможные значения Z, для чего достаточно сложить каждое возможное значение X со всеми возможными значениями Y; вероятности найденных возможных значений Z равны произведениям вероятностей складываемых значений X и Y.
Если X и Y – непрерывные независимые случайные величины, то плотность распределений g(z) суммы Z = X+Y (при условии, что плотность распределения хотя бы одного из аргументов задана в интервале (
·,
·) одной формулой) может быть найдена по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
либо по равносильной формуле
13 EMBED Equation.3 1415
где f1 и f2 – плотности распределения аргументов; если возможные значения аргументов неотрицательны, то плотность распределения g(z) величины Z = X+Y находят по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
либо по равносильной формуле
13 EMBED Equation.3 1415
В том случае, когда обе плотности f1(x) и f2(у) заданы на конечных интервалах, для отыскания плотности g(z) величины Z = X + Y целесообразно сначала найти функцию распределения G(z), а затем продифференцировать ее по z:
g(z) = G'(z).
Если X и Y – независимые случайные величины, заданные соответствующими плотностями распределения f1(x) и f2(у), то вероятность попадания случайной точки (X, Y) в область D равна двойному интегралу по этой области от произведения плотностей распределения:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Дискретные независимые случайные величины X и Y заданы распределениями:
X
1
3

Y
2
4

p
0,3
0,7

P
0,6
0,4




Найти распределение случайной величины Z=X+Y.
Решение. Для того чтобы составить распределение величины Z=X + Y, надо найти все возможные значения Z и их вероятности.
Возможные значения Z есть суммы каждого возможного значения X со всеми возможными значениями Y:
z1 = 1+2 = 3; z2 = 1+4 = 5; z3 = 3+2 = 5; z4 = 3+4 = 7.
Найдем вероятности этих возможных значений. Для того чтобы Z = 3, достаточно, чтобы величина X приняла значение x1=l и величина Y – значение y1=2. Вероятности этих возможных значений, как следует из данных законов распределения, соответственно равны 0,3 и 0,6. Так как аргументы X и Y независимы, то события Х = 1 и Y = 2 независимы и, следовательно, вероятность их совместного наступления (т. е. вероятность события Z = 3) по теореме умножения равна 0,3
·0,6=0,18.
Аналогично найдем:
p(Z = 1+4 = 5) = 0,3
·0,4=0,12; p(Z = 3+2 = 5) = 0,7
·0,6=0,42;
p(Z = 3+4 = 7) = 0,7
·0,4=0,28.
Напишем искомое распределение, сложив предварительно вероятности несовместных событий Z = z2 = 5, Z = z3 = 5 (0,12+0,42 = 0,54):
Z
3
5
7

p
0,18
0,54
0,28

Контроль: 0,18 + 0,54 + 0,28=1.
Дискретные случайные величины X и Y заданы распределениями:
X
4
10

Y
1
7

P
0,7
0,3

P
0,8
0,2

Найти распределение случайной величины Z = X + Y.
Независимые случайные величины X и Y заданы плотностями распределений:
f1(x) = e-x (0
· x <
·), f2(y) = (1/2)e-y/2 (0
· y <
·).
Найти композицию этих законов, т.е. плотность распределения случайной величины Z = X + Y.
Заданы плотности распределений независимых равномерно распределенных случайных величин X и Y:
f1(x)=1/2 в интервале (0, 2), вне этого интервала f1(x)=0;
f2(y)=1/2 в интервале (0, 2), вне этого интервала f2(y)=0;
Найти функцию распределения и плотность распределения случайной величины Z=X+Y. Построить график плотности распределения g(z).



Список рекомендуемых источников

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб. пос. для студентов вузов. Изд. 5-е, стер. – М.: Высш. шк. 1999. – 400 с.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пос. для вузов. Изд. 7-е, стер. – М.: Высш. шк. 1999. – 479 с.
Дедкис И.С. и др. Сборник задач по теории вероятностей. – Ленинград: ЛВИА им. Можайского. – 1963. – 208 с.
Бричикова Е.А., Гусак А.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. – М.: Тетра-Системс. 2007.-288 с.
Андрухаев Х.М. Сборник задач по теории вероятностей. Учеб. пос. – М.: Просвещ. 1985. – 160 с.
Краснов М.Л. Вся высшая математика. Том 5. Теория вероятностей. Математическая статистика. Теория игр. Учебник для вузов.-М.: УРСС. 2001.-296 с.
Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика - 3 изд.. – Юнити-дана. 2007.-551 с.
Севостьянов Б.А. и др. Сборник задач по теории вероятностей. – М.: Наука. 1980. – 224 с.
Соколов Г.А., Чистяков Н.А. Теория вероятностей. Учебник. – М.: Экзамен. 2005.-416 с.








Приложение А

Таблица значений функции 13 EMBED Equation.3 1415

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0,0
0,3989
3989
3989
3988
3986
3984
3982
3980
3977
3973

0,1
3970
3965
3961
3956
3951
3945
3939
3932
3925
3918

0,2
3910
3902
3894
3885
3876
3867
3857
3847
3836
3825

0,3
3814
3802
3790
3778
3765
3752
3739
3726
3712
3697

0,4
3683
3668
3652
2637
3621
3605
3589
3572
3555
3538

0,5
3521
3503
3485
3467
3448
3429
3410
3391
3372
3352

0,6
3332
3312
3292
3271
3251
3230
3209
3187
3166
3144

0,7
3123
3101
3079
3056
3064
3011
2989
2966
2943
2920

0,8
2897
2874
2850
2827
2803
2780
2756
2732
2709
2685

0,9
2661
2637
2613
2589
2565
2541
2516
2492
2168
2444

1,0
0,242
2396
2371
2347
2323
2299
2275
2251
2227
2203

1,1
2179
2155
2131
2107
2083
2059
2036
2012
1989
1965

1,2
1942
1919
1895
1872
1849
1826
1804
1781
1758
1738

1,3
1714
1691
1669
1647
1626
1604
1582
1561
1539
1510

1,4
1497
1476
1456
1435
1415
1394
1374
1354
1334
1315

1,5
1295
1276
1257
1238
1219
1200
1182
1163
1145
1127

1,6
1109
1092
1074
1057
1040
1023
1006
0989
0973
0957

1,7
0940
0925
0909
0893
0878
0863
0848
0833
0818
0804

1,8
0790
0775
0761
0748
0734
0721
0707
0694
0681
0009

1,9
0656
0644
0632
0620
0608
0596
0584
0573
0562
0551

2,0
0,054
0529
0519
0508
0498
0488
0478
0468
0459
0449

2,1
0440
0431
0422
0413
0404
0396
0387
0379
0371
0363

2,2
0355
0347
0339
0332
0325
0317
0310
0303
0297
0290

2,3
0283
0277
0270
0264
0258
0252
0246
0241
0235
0229

2,4
0224
0219
0213
0208
0203
0198
0194
0189
0184
0180

2,5
0175
0171
0167
0163
0158
0154
0151
0147
0143
0139

2,6
0136
0132
0129
0126
0122
0119
0116
0113
0110
0107

2,7
0104
0101
0099
0096
0093
0091
0088
0086
0084
0081

2,8
0079
0077
0075
0073
0071
0069
0067
0065
0063
0061

2,9
0060
0058
0056
0055
0053
0051
0050
0048
0047
0043

3,0
0,0044
0043
0042
0040
0039
0038
0037
0036
0035
0034

3,1
0033
0032
0031
0030
0029
0028
0027
0026
0025
0025

3,2
0024
0023
0022
0022
0021
0020
0020
0019
0018
0018

3,3
0017
0017
0016
0016
0015
0015
0014
0014
0013
0013

3,4
0012
0012
0012
0011
0011
0010
0010
0010
0009
0009

3,5
0009
0008
0008
0008
0008
0007
0007
0007
0007
0006

3,6
0006
0006
0006
0005
0005
0005
0005
0005
0005
0004

3,7
0004
0004
0004
0004
0004
0004
0003
0003
0003
0003

3,8
0003
0003
0003
0003
0003
0002
0002
0002
0002
0002

3,9
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0002
0001
0001

Приложение Б
Таблица значений функции
13 EMBED Equation.3 1415


x

·(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)

0,00
0,0000
0,32
0,1255
0,64
0,2389
0,96
0,3315

0,01
0,0040
0,33
0,1293
0,65
0,2422
0,97
03340

0,02
0,0080
0,34
0,1331
0,66
0,2454
0,98
0,3365

0,03
0,0120
0,35
0,1368
0,67
0,2486
0,99
0,3389

004
0,0160
0,36
0,1406
0,68
0,2517
1,00
03413

0,05
0,0199
0,37
0,1443
0,69
0,2549
1,01
0,3438

0,06
0,0239
0,38
0,1480
0,70
0,2580
1,02
0,3461

0,07
0,0279
0,39
0,1517
0,71
0,2611
1,03
0,3485

0,08
0,0319
0,40
0,1554
0,72
0,2642
1,04
03508

0,09
0,0359
0,41
0,1591
0,73
0,2673
1,05
0,3531

0,10
0,0398
0,42
0,1628
0,74
0,2703
1,06
03554

0,11
0,0438
0,43
0,1664
0,75
0,2734
1,07
03577

0,12
0,0478
0,44
0,1700
0,76
0,2764
1,08
03599

0,13
0,0517
0,45
0,1736
0,77
0,2794
1,09
03621

0,14
0,0557
0,46
0,1772
0,78
0,2823
1,10
03643

0,15
0,0596
0,47
0,1808
0,79
02852
1,11
03665

0,16
0,0636
0,48
0,1844
0,80
0,2881
1,12
0,3686

0,17
0,0675
0,49
01879
0,81
0,2910
1,13
0,3708

0,18
0,0714
0,50
0,1915
0,82
0,2939
1,14
0,3729

0,19
0,0753
0,51
0,1950
0,83
0,2967
1,15
03749

0,20
0,0793
0,52
0,1985
0,84
0,2995
1,16
0,3770

0,21
0,0832
0,53
0,2019
0,85
0,3023
1,17
0,3790

0,22
0,0871
0,54
0,2054
0,86
0,3051
1,18
0,3810

0,23
0,0910
0,55
0,2088
0,87
0,3078
1,19
0,3830

0,24
0,0948
0,56
0,2123
0,88
0,3106
1,20
0,3849

0,25
0,0987
0,57
0,2157
0,89
0,3133
1,21
03869

0,26
0,1026
0,58
0,2190
0,90
0,3159
1,22
0,3883

0,27
0,1064
0,59
0,2224
0,91
0,3186
1,23
0,3907

0,28
0,1103
0,60
0,2257
0,92
0,3212
1,24
0,3925

0,29
0,1141
0,61
0,2291
0,93
0,3238
1,25
0,3944

0,30
0,1179
062
0,2324
0,94
0,3264



0,31
0,1217
0,63
0,2357
0,95
0,3289












1,26
0,3962
1,59
0,4441
1,92
0,4726
2,50
0,4938

1,27
0,3980
1,60
0,4452
1,93
0,4732
2,52
0,4941

1,28
0,3997
1,61
0,4463
1,94
0,4738
2,54
0,4945

1,29
0,4015
1,62
0,4474
1,95
0,4744
2,56
0,4948

1,30
0,4032
1,63
0,4484
1,96
0,4750
2,58
0,4951

1,31
0,4049
1,64
0,4495
1,97
0,4756
2,60
0,4953

1,32
0,4066
1,65
0,4505
1,98
0,4761
2,62
0,4956

1,33
0,40,82
1,66
0,4515
1,99
0,4767
2,64
0,4959

1,34
0,4099
1,67
0,4525
2,00
0,4772
2,66
0,4961

x

·(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)
x
Ф(x)

1,35
0,4115
1,68
0,4535
2,02
0,4783
2,68
0,4963

1,36
0,4131
1,69
0,4545
2,04
0,4793
2,70
0,4965

1,37
0,4147
1,70
0,4554
2,06
0,4803
2,72
0,4967

1,38
0,4162
1,71
0,4564
2,08
0,4812
2,74
0,4969

1,39
0,4177
1,72
0,4573
2,10
0,4821
2,76
0,4971

1,40
0,4192
1,73
0,4582
2,12
0,4830
2,78
0,4973

1,41
0,4207
1,74
0,4591
2,14
0,4838
2,80
0,4974

1,42
0,4222
1,75
0,4599
2,16
0,4846
2,82
0,4976

1,43
0,4236
1,76
0,4608
2,18
0,4854
2,84
0,4977

1,44
0,4251
1,77
0,4616
2,20
0,4861
2,86
0,4979

1,45
0,4265
1,78
0,4625
2,22
0,4868
2,88
0,4980

1,46
0,4279
1,79
0,4633
2,24
0,4875
2,90
0,4981

1,47
0,4292
1,80
0,4641
2,26
0,4881
2,92
0,4982

1,48
0,4306
1,81
0,4649
2,28
0,4887
2,94
0,4984

1,49
0,4319
1,82
0,4656
2,30
0,4893
2,96
0,4985

1,50
0,4332
1,83
0,4664
2,32
0,4898
2,98
0,4986

1,51
0,4345
1,84
0,4671
2,34
0,4904
3,00
0,49865

1,52
0,4357
1,85
0,4678
2,36
0,4909
3,20
0,49931

1,53
0,4370
1,86
0,4686
2,38
0,4913
3,40
0,49966

1,54
0,4382
1,87
0,4693
2,40
0,4918
3,60
0,499841

1,55
0,4394
1,88
0,4699
2,42
0,4922
3,80
0,499928

1,56
0,4406
1,89
0,4706
2,44
0,4927
4,00
0,499968

1,57
0,4418
1,9
0,4713
2,46
0,4931
4,50
0,499997

1,58
0,4429
1,91
0,4719
2,48
0,4934
5,00
0,499997


Оглавление

13 TOC \o "1-1" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc346012953" 14Общие указания по выполнению практических заданий 13 PAGEREF _Toc346012953 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc346012954" 14Практическое занятие №1 13 PAGEREF _Toc346012954 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc346012955" 14Практическое занятие №2 13 PAGEREF _Toc346012955 \h 1491515
13 LINK \l "_Toc346012956" 14Практическое занятие №3 13 PAGEREF _Toc346012956 \h 14131515
13 LINK \l "_Toc346012957" 14Практическое занятие №4 13 PAGEREF _Toc346012957 \h 14171515
13 LINK \l "_Toc346012958" 14Практическое занятие №5 13 PAGEREF _Toc346012958 \h 14201515
13 LINK \l "_Toc346012959" 14Практическое занятие №6 13 PAGEREF _Toc346012959 \h 14271515
13 LINK \l "_Toc346012960" 14Практическое занятие №7 13 PAGEREF _Toc346012960 \h 14311515
13 LINK \l "_Toc346012961" 14Практическое занятие №8 13 PAGEREF _Toc346012961 \h 14371515
13 LINK \l "_Toc346012962" 14Практическое занятие №9 13 PAGEREF _Toc346012962 \h 14401515
13 LINK \l "_Toc346012963" 14Список рекомендуемых источников 13 PAGEREF _Toc346012963 \h 14461515
13 LINK \l "_Toc346012964" 14Приложение А 13 PAGEREF _Toc346012964 \h 14471515
13 LINK \l "_Toc346012965" 14Приложение Б 13 PAGEREF _Toc346012965 \h 14481515
13 LINK \l "_Toc346012966" 14Оглавление 13 PAGEREF _Toc346012966 \h 14501515
15


Учебное издание


Теория вероятностей,
математическая статистика и
случайные процессы

Методические указания к практическим занятиям
для студентов направления подготовки
230100.62 Программная инженерия

Ответственный за выпуск –
заведующий кафедрой систем автоматизированного проектирования,
доцент Жизняков Аркадий Львович

Составитель
Артём Александрович Быков


Подписано в печать 17.01.2013. Формат 60x84/16.
Бумага для множит. техники. Гарнитура Таймс. Печать ризография.
Усл. печ.л. 3,56. Уч.-изд.л. 2,08. Тираж 100 экз. Заказ №1584.
Муромский институт (филиал)
государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования
«Владимирский государственный университет»
Издательско-полиграфический центр
Адрес: 602264, Владимирская обл., г. Муром, ул. Орловская, 23








13PAGE 144815


13PAGE 144915