Предел функции в точке

Тема «Предел функции в точке»
Цель урока: формирование у учащихся наглядно – интуитивных представлений о пределе функции в точке.

Задачи урока:
ввести понятие предела функции в точке;
рассмотреть геометрическую иллюстрацию понятия предела функции в точке;
ввести понятие непрерывности функции;
рассмотреть правила о нахождении предела суммы, произведения и частного двух функций;
рассмотреть примеры нахождения предела функции в точке.

Тип урока: урок объяснение нового материала.

План урока.
Организационный момент.
Мотивация изучения темы.
Подготовительная работа.
Изучение нового материала.
Решение задач.
Домашнее задание.
Итог урока.

Ход урока.
1. Организационный момент.
- Здравствуйте, ребята. Тема нашего урока: «Предел функции в точке». Сегодня на уроке мы познакомимся с понятиями «предел функции в точке», «непрерывность функции», а также рассмотрим правила вычисления предела функции в точке.

2. Мотивация изучения темы.
- Эта тема очень важна для дальнейшего изучения алгебры: понятие предела функции имеет большое значение для построения графиков функций. Кроме того, в дальнейшем мы будем изучать понятие производной и без знания предела функции рассмотрение этого понятия невозможно.

3. Подготовительная работа.
- Перед тем как начать изучать новую тему выполним следующее задание: постройте график функции 13 EMBED Equation.3 1415 если:
а) при х = 4 значение функции не существует; (рис.1)
б) при х = 4 значение функции равно 3; (рис.2)
в) при х = 4 значение функции равно 2. (рис.3)
(В ходе выполнения этого упражнения учащиеся повторяют нахождение области определения функции, а также построение графика функции, которая при данном значении аргумента либо имеет значение, либо не определена).

Рисунок 1

Рисунок 13 SEQ Рисунок \* ARABIC 14215

Рисунок 13 SEQ Рисунок \* ARABIC 14315

4. Изучение нового материала.
- Воспользуемся построенными графиками функций. Во всех трех случаях изображена одна и та же кривая, тем не менее, это три разные функции.
- Чем они отличаются друг от друга?
(Они отличаются друг от друга своим поведением в точке х = 4).
- Как ведет себя функция в точке х = 4 на первом графике?
(Для функции 13 EMBED Equation.3 1415 при х = 4 значение функции не существует, функция в указанной точке не определена).
- Как ведет себя функция в точке х = 4 на втором графике?
(Для функции 13 EMBED Equation.3 1415 при х = 4 значение функции существует, но оно отличается от естественного значения функции в указанной точке).
- Как ведет себя функция в точке х = 4 на третьем графике?
(Для функции 13 EMBED Equation.3 1415 при х = 4 значение функции существует, и оно равно естественному значению функции в указанной точке, то есть двум).
- Если мы исключим точку х = 4 из рассмотрения, то все три функции будут тождественными.
- Для всех трех случаев используется одна и та же запись: 13 EMBED Equation.3 1415.
- В общем случае эта запись выглядит следующим образом: 13 EMBED Equation.3 1415.
- Эту запись читаем так: «предел функции y=f(x) при стремлении х к а равен b».
- А теперь ответьте на такой вопрос: какую из трех рассмотренных функций естественно считать непрерывной в точке х = 4?
(Непрерывной будет третья функция)
- Так как эта функция непрерывна, то она удовлетворяет условию 13 EMBED Equation.3 1415. И функцию f (x) называют непрерывной в точке х = а.
- Иными словами, функцию y = f (x) называют непрерывной в точке х = а, если предел функции y = f (x) при стремлении х к а равен значению функции в точке х = а.
- Функция y = f (x) называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке промежутка.
- При изучении различных функций (линейной, квадратичной, степенной, иррациональной, тригонометрических) мы отмечали, что они являются непрерывными либо на всей числовой прямой, либо на промежутке. Исходя из этого, можно сформулировать следующее утверждение: если выражение f (x) составлено из рациональных, иррациональных, тригонометрических выражений, то функция y = f (x) непрерывна в любой точке, в которой определено выражение f (x).

5. Решение задач.
- Для закрепления понятия предела функции в точке выполним номер 678.
№ 39.18. Какая из функций, графики которых изображены на рис. 74 – 81, имеет предел при х ( 3? Чему равен этот предел?

Решение.

Рисунок 74 Рисунок 75

Рисунок 76 Рисунок 77

Рисунок 78 Рисунок 79


Рисунок 80 Рисунок 81

- Решим номер 39.19 (а, б).
№ 39.19 (а, б). Постройте график какой – нибудь функции y = g (x), обладающей заданным свойством:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, (рис.4)
б) 13 EMBED Equation.3 1415. (рис.5)

Решение.

Рисунок 13 SEQ Рисунок \* ARABIC 14415 Рисунок 13 SEQ Рисунок \* ARABIC 14515


- Рассмотрим несколько примеров на вычисление пределов функций.
Пример 1. Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Выражение х3 – 2х2 + 5х + 3 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х3 – 2х2 + 5х + 3 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.
Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 7.
- Для решения следующего примера нам потребуются правила вычисления предела функции в точке.
Правило 1. 13 EMBED Equation.3 1415.
Правило 2. 13 EMBED Equation.3 1415.
Правило 3. 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 2. Используя эти правила, вычислим 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Выражение 13 EMBED Equation.3 1415 определено в любой точке х ( 0, в частности, в точке х = 2. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = 2, а потому предел функции при стремлении х к 2 равен значению функции в точке х = 2. Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 0.

- Решим номер 39.23.
№ 39.23. Вычислите: а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
а) 13 EMBED Equation.3 1415. Выражение х2 – 3х + 5 определено в любой точке х, в частности, в точке х = 1. Следовательно, функция у = х2 – 3х + 5 непрерывна в точке х = 1, а потому предел функции при стремлении х к 1 равен значению функции в точке х = 1.
Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 3.
б) 13 EMBED Equation.3 1415. Выражение 13 EMBED Equation.3 1415 определено в любой точке х ( 13 EMBED Equation.3 1415, в частности, в точке х = 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = 13 EMBED Equation.3 1415, а потому предел функции при стремлении х к 13 EMBED Equation.3 1415 равен значению функции в точке х = 13 EMBED Equation.3 1415. Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 0.
в) 13 EMBED Equation.3 1415. Выражение х2 + 6х – 8 определено в любой точке х, в частности, в точке х = - 1. Следовательно, функция у = х2 + 6х – 8 непрерывна в точке х = - 1, а потому предел функции при стремлении х к - 1 равен значению функции в точке х = - 1.
Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: - 1.
г) 13 EMBED Equation.3 1415. Выражение 13 EMBED Equation.3 1415 определено в любой точке х ( 13 EMBED Equation.3 1415, в частности, в точке х = 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, функция у = f (x) непрерывна в точке х = 13 EMBED Equation.3 1415, а потому предел функции при стремлении х к 13 EMBED Equation.3 1415 равен значению функции в точке х = 13 EMBED Equation.3 1415.
Имеем: 13 EMBED Equation.3 1415.

- Вы заметили, что в рассмотренных примерах вычисление пределов не составило значительных сложностей: достаточно было найти значение функции в точке, к которой стремится аргумент х. Но часты случаи, когда этот прием не срабатывает.
Пример 3. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Если подставить значение х = - 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: 13 EMBED Equation.3 1415.
Значит, функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 тождественны при условии х ( - 3. Но при вычислении предела функции при х ( - 3 саму точку х = - 3 можно исключить из рассмотрения. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: - 1,5.

- Решим номер 39.27.
№ 39.27. Вычислите: а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415;
г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
а) 13 EMBED Equation.3 1415. Если подставить значение х = 0 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: 13 EMBED Equation.3 1415.
Значит, функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 тождественны при условии х ( 0, х ( 1. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 0.
б) 13 EMBED Equation.3 1415. Если подставить значение х = - 1 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: 13 EMBED Equation.3 1415.
Значит, функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 тождественны при условии х ( 0, х ( - 1. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: - 1.
в) 13 EMBED Equation.3 1415. Если подставить значение х = 3 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: 13 EMBED Equation.3 1415.
Значит, функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 тождественны при условии х ( 3. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 3.
г) 13 EMBED Equation.3 1415. Если подставить значение х = - 5 в заданное выражение, то и в числителе, и в знаменателе получится 0, а на нуль делить нельзя. Но заданную алгебраическую дробь можно сократить: 13 EMBED Equation.3 1415.
Значит, функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 тождественны при условии х ( 0, х ( - 5. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: - 13 EMBED Equation.3 1415.

6. Домашнее задание.
- Открываем дневники и записываем домашнее задание: номера 39.19 (а, б), 39.24, 39.28. Эти номера подобны тем, которые мы решали в классе, образец записи у вас в тетрадях.

7. Итог урока.
- Сегодня на уроке мы познакомились с понятием предела функции, непрерывности функции в точке и на промежутке, правила вычисления предела в точке, научились вычислять предел функции в точке.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 3Рисунок 4Рисунок 11Рисунок 13Рисунок 14Рисунок 15Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 17Рисунок 21Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native