Конспект урока алгебры в 11 классе по теме Способы решения иррациональных уравнений

План – конспект урока алгебры в 11 М классе
 по теме «Способы решения иррациональных уравнений»
Цели:
Образовательные: усвоить различные способы решения иррациональных уравнений и научиться применять их в соответствии с заданным уравнением.
Развивающие: способствовать формированию умений применять приёмы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, сознательного отношения к учению, познавательной активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.
Тип урока – урок изучения нового материала.
ПЛАН УРОКА:
Организационный момент 
Подготовка к изучению нового материала
Изучение нового материала
Первичная проверка понимания
Подведение итогов урока
Домашнее задание
ХОД  УРОКА
I. Организационный момент 
Подготовка учащихся к работе на уроке.
II. Подготовка к изучению нового материала
Формулирование целей урока для определения действий школьников во время лекции.
Повторение.
а) Определение иррационального уравнения
б) Решение уравнений
уравнение     равносильно системе     
уравнение         равносильно любой из систем
                                или                  
в) Наиболее распространенный метод решения иррациональных уравнений – последовательное возведение в степень.
3. Решите уравнение    
(Учащиеся должны высказать разные предположения, и  они затрудняются решить данное уравнение, учитель предлагает оставить его и решить после изучения других способов решения иррациональных уравнений)
III. Изучение нового материала
Одним из сложных разделов алгебры, изучаемых в школьной программе, являются иррациональные уравнения, так как отсутствуют общие алгоритмы их решения и приходится делать преобразования, приводящие к уравнениям, не равносильным данным. Рассмотрим случаи, когда проще свести решение уравнения к решению следствия и проверке. Следствия могут быть получены:
Последовательным возведением исходного уравнения в степень.
Заменой исходного уравнения системой уравнений.
Умножением обеих части исходного уравнения на разность радикалов.
Использованием монотонности функций в левой части уравнения.
Использованием подстановок, сводящих исходное уравнение к рациональному.
1. Пусть дано уравнение   .     
Возведем обе части уравнения в куб, воспользовавшись формулой
 (a + b)3= a3 + b3 + 3ab(a + b).
Получим уравнение   
Заменим сумму кубических корней величиной с и получим следствие последнего уравнения: .   Это уравнение решается последовательным возведением в куб.
Пример:      Решите уравнение    
Это уравнение равносильно уравнению 
Следствием его является уравнение       
Решение -  х = 80.  Проверка показывает, что это число является корнем данного уравнения.
2. Некоторые уравнения удобно заменить системой уравнений.
Пример:  Решите уравнение  
Возведение в степень не дает результата. Тогда сделаем замену:   
Заменим данное уравнение системой   Исключая из первых двух уравнений переменную х, получим систему  Решаем эту систему методом подстановки, получимa1=0, a2= -2, a3= 1, тогда х1=2, х2=10, х3= 12. Проверка показывает, что все найденные значениях есть корни данного уравнения.
Этот прием хорош в том случае, когда сумма или разность подкоренных выражений есть константа.
3. Уравнения вида , в котором разность подкоренных выражений есть число, можно решать, умножив обе части уравнения на разность радикалов.
Пример:   Решите уравнение  
Умножив обе части уравнения на разность корней, получим уравнение       
Сложив почленно эти уравнения, получим и  х = .  Проверка показывает, что найденное число корень данного уравнения.
4. При решении некоторых уравнений полезно воспользоваться тем, что функция    монотонна.
Пример:   Решите уравнение    
В левой части уравнения сумма возрастающих функций, а в правой — константа, значит уравнение имеет не более одного корня. х = 1 — корень уравнения.
5. Решить уравнение         
Решение: 
Обозначая                Получим     
Откуда t = –3,  t = 2.
Следовательно,                   
Согласно проверке,    x = 2  корень исходного уравнения.
IV. Первичная проверка понимания1. Почему данные уравнения не имеют корней?
a) 
б) 
в)  
г)  
2. Решите уравнения:
а)  
б)  
в)   
V. Подведение итогов урока
VI. Домашнее задание на выбор:
1. Решить уравнения:
 
 
 
 
 
2. Пообобрать или придумать иррациональные уравнения, решаемые изученными приемами
3. Индивидуальное задание для желающих: Найти в пособиях по математике другие способы решения иррациональных уравнений.