Разработка уроков алгебры и начал математического анализа по теме Производная

Тема: Приращение функции (1 УРОК)
Цели урока:
Формирование понятий приращения функции и приращения аргумента, секущей, геометрического смысла приращения функции;
Развитие вычислительных навыков;
Воспитание познавательного интереса к предмету.
Тип урока: формирование новых понятий.
Метод обучения: обучающая беседа.
Ход урока
I. Организационный момент:
Взаимное приветствие учителя и учащихся, проверка готовности учащихся к уроку.
II. Анализ контрольной работы по теме: “Решение тригонометрических уравнений и неравенств”/
Сообщение темы и целей урока.
III. Актуализация знаний:
Формула периметра прямоугольника;
Формула площади прямоугольника;
Определение функции, определение тангенса угла;
Как найти значение функции в данной точке?
Пример: Найти значение функции f(x) = x2 + 2x в точке x0 = -3.
Решение: f(x0) = f(-3) = (-3)2 + 2∙(-3) = 9 - 6 = 3
Ответ: f(-3) = 3
IV. Изучение нового материала:
Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее изменение.
-228600315595Например: Дан график функции у = 4 -х2
По графику найти значение функции  в точке х1 = 1 и х2 = 2.
Разность х2 – х1 = 2 - 1 = 1; ∆x =1
f (1) = 3; f(2) = 0; f(2) – f(1) = 0 - 3 = -3
f = -3
В приведенном примере мы не только вычислили значения функции f(x) в некоторых точках, но и оценили изменения f этой функции при заданных изменениях аргумента х.
При сравнении значений функции f в некоторой фиксированной точке х0 со значениями этой функции в различных точках х, лежащих в окрестности х0, удобно выражать разность f(x) - f(x0) через разность х - х0, пользуясь понятиями “приращение функции” и “приращение аргумента”.
Рассмотрим функцию у = f(x). Пусть х – произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0. Разность х - х0 называется приращением независимой переменной (или приращением аргумента) в точке х0 и обозначается х. Таким образом, х = х - х0, откуда следует, что х = х0 +х.
Говорят также, что первоначальное значение аргумента х0 получило приращение х. Вследствие этого значение функции f изменится на величину f(x) - f(x0) = f(х0 + х) – f(x0).
Эта разность называется приращением функции f в точке х0, соответствующим приращению х, и обозначается f, т. е. по определению
f = f (х0+х) – f(x0), откуда f (х0 + х) = f(x0) + f.
Обратите внимание: при фиксированном значении х0 приращение f есть функция от х.
Пример 1:
Найти приращение аргумента и приращение функции в точке х0, если
Решение:
Пример 2: Найдите приращение Δf функции f(х)= в точке х0, если приращение аргумента равно Δх.
Δf=f(х0+Δх)-f(х0)=
Пример 3.
Дан куб с ребром а. Выразим погрешность ΔV, допущенную при вычислении объема этого куба, если погрешность при измерении длины ребра равна Δх.
-11430095250По определению приращения х=а+Δх, тогда ΔV=V(х)-V(а)= (а+Δх)3-а3=3а2Δх+3а(Δх)2+(Δх)3.
Рассмотрим график функции у = f (x). Геометрический смысл приращения функции можно понять, рассмотрев рисунок. Прямую l, проходящую через любые две точки графика функции f, называют секущей к графику f. Уравнение прямой на плоскости имеет вид у = кх + в. Угловой коэффициент k секущей, проходящей через точки (х0; f(x0) и (х; f(x)), равен tga. ABC – прямоугольный.


Закрепление материала: № 177 (а,1)
Дано: прямоугольник, а=15 м, в=20м, Δа=0,11м
Найти: ΔP,ΔS
Решение: Р=2(а+в) ΔP=P-Р0, Р0=2( 15+20)=70м, Р=2(15,11+20)=70,22м, ΔP=70,22-70=0,22м
S=ав, ΔS=S-S0, S0=15*20=300м2, S=15,11*20=302,2м2, ΔS=302,2-300=2,2 м2
Ответ: 0,22м, 2,2м2178(а,в)
А)Дано: f(х)=, х0=-2, Δх=0,1
Δf=f(х0+Δх)-f(х0)=
В)Дано: f(х)=3х+1, х0=5, Δх=0,01
Δf=f(х0+Δх)-f(х0)=3(5+0,01)+1-(3*5+1)=16,03-16=0,03
180 (устно)
VI. Домашнее задание: п.12, №177(б), 178(б, г)
VII. Подведение итогов урока.
№ 178
Б) f(х)=2х2-3, х0=3, Δх=-0,2, Δf-? Δf=f(х0+Δх)-f(х0)=2(3-0,2)-3-2*3+3=-0,4
Г) f(х)=, х0=2, Δх=0,1, Δf-? Δf=f(х0+Δх)-f(х0)=0,205
№177
Б)R0=2см, 1) ΔR=0,2 см, 2)ΔR 3) ΔR=0,1 см 4)h ΔS-?
S=πR2, ΔS=S-S0
1) S0=3,14*22=12,56 см2 S=3,14*(2+0,2)2=15,1976 см2, ΔS=15,1976-12,56=2,6376 см2
2) S0=3,14*22=12,56 см2 S=3,14*(2+ΔR)2=3,14*(4+4ΔR+ΔR2)=12,56+12,56ΔR+3,14ΔR2 см2, ΔS=12,56+12,56ΔR+3,14ΔR2 -12,56=12,56ΔR+3,14ΔR2 см2
3) S0=3,14*22=12,56 см2 S=3,14*(2+0,1)2=13,8474 см2, ΔS=13,8474-12,56=1,2874 см2
4) S0=3,14*22=12,56 см2 S=3,14*(2+h)2=3,14*(4+4h+h2)=12,56+12,56h+3,14h2 см2, ΔS=12,56+12,56h+3,14h2 -12,56=12,56h+3,14h2 см2
Тема : Приращение функции (2 урок)
Цель: Закрепить понятия приращение аргумента, приращение функции
Ход урока
Орг часть
Проверка знаний
Устный счет ( таблицы «вычисление степеней»)
Фронтальный опрос
Что называют приращением аргумента? Записать формулу
Что называют приращением функции? Записать формулу
Чему равен угловой коэффициент секущей к графику ?Работа у доски
№179 (г)
f(х)=, х0=1,22, х=1,345, Δf-? Δх-? Δх=х-х0, Δх=1,345-1,22=0,125
Δf=f(х)-f(х0)=1,3-1,2=0,1
184(в)
f(х)=, х1=1,х2=2, k-? угол α- тупой или острый?
k=tg α=
Δf=f(х2)-f(х1)=0,5*4-0,5*1=2-0,5=1,5
Δх= х2-х1=2-1=1
k=1,5:1=1,5 ; α-острый
Самостоятельная работа
№ 179 (а)
f(х)=cos2х, х0=,х=, Δf-? Δх-? Δх=х-х0, Δх=, Δf=f(х)-f(х0)=
VI. Домашнее задание: п.12, №179(б), 184(б)
VII. Подведение итогов урока.
№179
Б) f(х)=4х-х2, х0=2,5, х=2,6, Δf-? Δх-?
Δх=х-х0, Δх=2,6-2,5=0,1
Δf=f(х)-f(х0)=4 *2,6-2,62-4*2,5+2,52 =10,4-6,76-10+6,25=-0,11
№184 (б)
f(х)=, х1=-1,х2=-2, k-? угол α- тупой или острый?
k=tg α=
Δf=f(х2)-f(х1)=0,5*4-0,5*1=2-0,5=1,5
Δх= х2-х1=-2+1=-1
k=1,5:(-1)=-1,5 ;-1,7 < tg α <-1 1200 < α < 1500 α-тупой
Тема: Понятие о производной функции.( 3урок)
Цель: ввести понятия « касательная к графику», « мгновенная скорость движения», « производная», « дифференцирование»;рассмотреть алгоритм нахождения производной, формулы дифференцирования.
Ход урока
ОРГ часть
Устный счет
Объяснение нового материала
34290012700
-800100184150
-11493534290
3657600114300
0266700
0102870
10477534925
012065
11430019685
4.Первичное закрепление
№191 (а)

Δf= f(х0+Δх)-f(х0)=2(1+0,5)2-2*12=2,5 f´=Δf:Δх=2,5:0,5=5
Δf= f(х0+Δх)-f(х0)=2(1+0,1)2-2*12=0,42 f´=Δf:Δх =0,42:0,1=4,2
Δf= f(х0+Δх)-f(х0)=2(1+0,01)2-2*12=0,0402 f´=Δf:Δх =0,0402:0,01=4,02
№ 192 (а)

при х0→0
При х0=2
При х0=-1
V. Домашнее задание: п.13, №191(б), 192(б)
VI. Подведение итогов урока.
Тема: Понятие о непрерывности функции. Основные теоремы о непрерывных функциях.(5 урок)
Цель: Ввести понятия « предельного перехода»,» непрерывной функции»; рассмотреть правила предельного перехода; рассмотреть построения функций не являющихся непрерывными;
Развивать вычислительные навыки;
Воспитывать внимательность при чтении , выполнении задания
Ход урока
1.ОРГчасть
2. Проверка знаний
Устный счет (арифметические действия дробей с разными знаками; чтение графиков)
Фронтальный опрос
Что называют приращением аргумента в точке х0? Как обозначают приращение аргумента? Найдите приращение аргумента в точке х0, если х=4, а х0= -2. Чему равно х0, если х=3,6, Δх=0,2.
Что называют приращением функции в точке х0? Как обозначают приращение функции? Выразите приращение функции в точке х0 через х0 и Δх.
Какую прямую называют секущей к графику? Чему равен угловой коэффициент секущей?
Какую прямую называют касательной к графику функции? Чему равен угловой коэффициент касательной? Какой знак имеет угловой коэффициент , если угол между касательной и осью х тупой? острый? Равен 00?
Дайте определение производной функции f в точке х0Что называют дифференцированием?
Чему равна производная постоянной? Какие формулы дифференцирования вам известны?
Работа по карточкам
-11430035560
1.разность f(х)-f(х0)
2. а) Л б) И
3.а) Δf=2(х0+Δх)2-1-2х02+1=2х02+4 х0Δх+2Δх2-2х02=
=4 х0Δх+2Δх2
б) Δf=k(х0+Δх)+b- kх0-b= kΔх
4) а)Δх=2, Δf=9-5=4
б) Δх=, Δf=
5) 1)- 2)0 3)0 4.0+
-228600320040035433003429003. Объяснение нового материала
35433002910840-11430053340
Первичное закрепление
№ 197 (устно)
а)да,да,да б) да,нет,да в) да,да,нет г) да,да,да№198 (а,в)
№200(а,в)
А) в)
f(0)→4 f(-2)→5
f(2)→2 f(0)→4

Домашнее задание п 14 №198 (в), 200 (б,г) 203(б)
Тема: Производные суммы, разности, произведения, частного. Производная степенной функции(7 урок)
Цель:
Рассмотреть правила вычисления производных (суммы, разности, произведения, частного, степенной функции);
Развивать вычислительные навыки
Ход урока
1.ОРГчасть
2. Проверка знаний
Устный счет ( таблица свойства степеней)
Фронтальный опрос
Дайте определение производной функции f в точке х0Что называют дифференцированием?
Чему равна производная постоянной? Какие формулы дифференцирования вам известны?
Что называют предельным переходом?
Какая функция называется непрерывной в точке х0? ( № 197)
Объяснение нового материала
Выведем несколько правил вычисления производных.
Правило 1.Если функции u и v дифференцируемы в точке х0, то их сумма дифференцирема в этой точке и
(u+v)´=u´+v´
Лемма. Если функция f дифференцируемы в точке x0, то она непрерывна в этой точке:Δf→0, т. е.
f (x0+Δx)→f (x0 ) при Δx→0.
Правило 2. Если функции u и v дифференцируемы в точке x0, то их произведение дифференцируемо в этой точке и
(uv)´ = u´v+uv´.
Следствие. Если функция u дифференцируема в точке x0, а С-постоянная, то функция Сu дифференцируема в этой точке и
(Сu )´= Сu ´
Коротко говорят: постоянный множитель можно выносить за знак производной.
Правило 3. Если функции u и v дифференцируемы в точке х0 и функция v не равна нулю в этой точке, то частное также дифференцируемо в точке х0 и

Пример1. найдем производные функций : а) f(x)=х2- б) f(x)=
а) (х2- )´=(х2)´-( )´=2х-(- )=2х+;
б) ()´=Производная степенной функции
Формула для вычисления производной степенной функции хn, где n- натуральное число, большее 1, такова:
(хn)´=nхn-1
Пример 2. Найдем производные функций : а) f(x)=х -5; б) f(x)=3х7-
а) (х -5)´=-5х-6
б) (3х7-)´=21х6-5(-3)х-4=21х6+15х-4
4. Первичное закрепление
№208 ( 1 строчка)
f´(х)=2х+3х2 f´(х)= -
№209 ( 1 строчка)
f´(х)=3х2 (4+2х-х2)+х3(2-2х)=12х2+6х3-3х4+2х3-2х4=-5х4+8х3+12х2
f´(х)=
№210 (а,в)
34290066040 f´(х)=

22860030480 f´(х)=
№ 211 ( 1 строчка)
2971800223520
11430048260 f´(х)= 8х7-12х3-1 f´(х)=
Итог урока
Домашнее задание п 15 № 208 ( 2 стр); 209 ( 2 срт);210 ( б,г) 211 ( 2 стр)
№208
f´(х)=2х+3 f´(х)=3х2
№209
f´(х)=2х(3х+х3)+х2(3+3х2)=6х2+2х4+3х2+3х4=9х2+5х4
f´(х)=2(1-х3)+(2х-3)(-3х2)=2-2х3-6х3+9х2
№210

1143003175 f´(х)=
114300117475 f´(х)=
2343150150495№ 211
22860038735 f´(х)= 7х6-20х4+2 f´(х)=х- 9х-4
Тема: Производные суммы, разности, произведения, частного. Производная степенной функции( 8 урок)
Цель:
Закрепить правила вычисления производных (суммы, разности, произведения, частного, степенной функции);
Развивать вычислительные навыки
Ход урока
1.ОРГчасть
2. Проверка знаний
1.Устный счет ( таблица свойства степеней, таблица « Найдите производную»)
2.Фронтальный опрос (записать на доске формулы производных суммы, разности, произведения, частного, степенной функции)
3. Работа у доски в тетрадях
№212 (а)
11430060960
f´(x)= 2х-3 f´(-0,5)=2*(-0,5)-3=-4 f´(2)=2*2-3=1
№213 ( 1строчка)

а) f´(x)= 4х-1; 4х-1=0; х=0,25 Ответ: 0,25
б) f´(x)= –х2+2х; –х2+2х=0; х(-х+2)=0; х=0 или х=2 Ответ: 0; 2
№ 214 ( 1 строчка)

3886200145415 а) f´(x)=4-6х ; 4-6х<0; х> Ответ: (;+)б) f´(x)=3х2+3х ; 3х2+3х<0; 3х2+3х=0; х=0; х=-1 Ответ: (-1;0)
Самостоятельная работа
Найдите производные функций:
А) f(x)=2х5- б) f(x)=(2 в) f(x)=
Ответ: а)10х4+8х -3 б) в)
Итог урока
Домашнее задание: № 212(в,г) 213 ( 2 строчка) 214 ( 2 строчка)
№212

f´(x)= ; f´()= ; f´()=3 . f´(x)= f´(-3)=-9 f´(0)=
№213
f´(x)=х2-3х-4; х2-3х-4=0; D=25; х1= 4 х2=-1 Ответ:-1; 4
f´(x)=2-10х 2-10х=0; х= 0,2 Ответ: 0,2
№214
f´(x)=2х-5; 2х-5<0 ; х<2,5 Ответ: ( -; 2,5)
422910048895 f´(x)=4-х2; 4-х2<0; 4-х2=0; х1=-2 х2=2 Ответ: ( -; -2)
Тема : Производная сложной функции. Сложная функция (композиция функций).(10 урок)
Цель: рассмотреть правило вычисления производной сложной функции
Ход урока
1.ОРГ часть
2. Проверка знаний ( устный счет, фронтальный опрос)
Работа по карточке
11430068580
1) дифференцируемы, дифференцируема , (u+v)´=u´+v´
2) истина, ложь
3) б
4) а)10х9-9х-4 б)-4· х-5 в) 7х6-6х-1
г)1-20х д) е)
3. Объяснение нового материала
Чтобы вычислить производную сложной функции необходимо выделить в ней «внутреннюю» и «внешнюю» функции . Например, у=f(х)=1-х2-это внутренняя функция, а g (у)=-это внешняя функция. Т.е. сложная функция h состоит из функций g и f и можно ее представить как h(х)=g(f(х)).
Затем, вычисляют производную « внутренней»и « внешней» функций
Таким образом,
если функция f имеет производную в точке х0, а функция g имеет производную в точке у0=f(х0), то сложная функция h(х)= g(f(х)) также имеет производную в точке х0, причем
h´(х)= g´(f(х0))·f´(х0)
Т.е. производная сложной функции равна произведению производных «внутренней» и «внешней» функций
Пример 1 f(x)= (2х+3)100 f´(x)=2·100·(2х+3)99 =200·(2х+3)99
Пример 2 f(x)= f´(x)=6х·
4. Первичное закрепление
№224 ( 1 строчка)
3086100111125228600111125
f´(x)= 16(2х-7)7 f´(x)= -15(5х+1)-4
228600270510№225 (а)
f´(x)=4,5 (3-)-10
Итог урока
Домашнее задание п 16 № 224 (2 строчка) №225 (в)
297180090170№224
f´(x)=36(9х+5)3 f´(x)= -30(6х-1)-6
№225
f´(x)=-15(4-1,5х)9
Тема : Производная сложной функции. Сложная функция (композиция функций). (11 урок)
Цель:
Закрепить понятия « производная», « сложная функция»; правила вычисления производных ( суммы, произведения, частного, сложной функции);
Развивать вычислительные навыки
Ход урока
1.ОРГчасть
2. Проверка знаний
Фронтальный опрос
Дайте определение производной
Чему равна производная суммы?
Чему равна производная произведения?
Чему равна производная частного ?Чему равна производная степенной функции ?Чтобы найти производную сложной функции следует представить ее в виде… ( внутренней и внешней функции)
Запишите правило вычисления производной сложной функции
Устный счет
Найдите производную функций
f(x)= х2+х3 f(x)= х2+3х-1 f(x)=х3+ f(x)= х8-3х4
Таблица для устного счета « решите неравенство»
Таблица для устного счета « Решите уравнение»
Работа у доски
Найдите производные функций
1) f(x)= ( 3--8 f´(x)=-8·( 3--9·(=4·( 3--9
2) f(x)= f´(x)=
3) f(x)= ( f´(x)=
4. Самостоятельная работа
1. Решите уравнение f´(x)=0, если f(x)=
(f´(x)=х2-3х-4 f´(x)=0 х2-3х-4=0 Д=25 х1=4 х2=-1 Ответ: -1; 4)
2. Решите неравенство f´(x)<0, если f(x)= х2-5х
(f´(x)=2х-5 f´(x)<0 2х-5<0 х<2,5 Ответ: ( -; -2,5)
3.Найдите производную функции
А) f(x)= ( f´(x)= )
Б) f(x)= ( 5х+3)10 ( f´(x)=50 (5х+3)9 )
В) f(x)= ( 2х-4)11-(7+ (f´(x)= 22(2х-4)10-5 (7+ )
5. Итог урока
Домашнее задание № 225 (г) 230 ( б,г)
№225
Г) f´(x)= 65 ( 5х-2)13+24( 4х+7)-7
№ 230
Б) f´(x)= г) f´(x)= -15 х2(3-х3)+
Тема: Производные основных элементарных функций. Производные тригонометрических функций(12 урок)
Цель: Ввести формулы производной синуса, косинуса, тангенса и котангенса; применить формулы производных тригонометрических функций на практике;
Развивать вычислительные навыки;
Воспитывать
Ход урока
1.ОРГчасть
2. Проверка знаний
Фронтальный опрос
Чему равна производная от числа? От переменной х? от выражения kх+b? От суммы функций? От произведения двух функций? От частного? Степенной функции? Сложной функции
Устный счет
Проверьте правильна ли найдена производная
( нет, ) ((9-6х)3)´=-18(9-6х)4 ( нет, -18(9-6х)3) (ДА)
Найдите производную функции
у= х5+24х у=(3х-4)2 у= у=
Задайте формулой функцию f (х):
f´(х)=2х ( f (х)=х2) f´(х)=5-3х2 (f (х)=5х-х3) f´(х)= (f (х)=) f´(х)=-2х -3 (f (х)=х-2)
Работа по карточкам
457200114300
1. постоянная, дифференцируема, (Сu)`=Сu`
2.истина, ложь
3.
4.а) -6х-7-8х3 б)3х2 в)5х4-15х2+1
г)5-20х д)
е)
5)f´(х)= , f´(-1)=, f´(t+1)=

Объяснение нового материала
(sin х )´=cos х (cos х)´= -sin х (tg х) = (ctg х)´=
Пример . Найти производную функции у= sin (ах+b) у´=а соs(ах+b)
Первичное закрепление ( работа у доски)
№231 ( 1 строчка)
217170064135у´=2 соs х у´=- х
№232 ( 1 строчка)
у´=-3sin х у´=1-2sin х
№233 ( 1 строчка)
у´= у´= -sin х-
№ 234 (а)

f´(х)= f´(0)= 0 f´(π)=0
5. Итог урока Домашнее задание п 17 № 231 ( 2 строчка) 232( 2 стр) 233 (2 стр) 234 (б)
№231у´=-0,5 cos х у´=1,5 cos х№232 у´=sin х у´=2 cos х-1,5 sin х
№233 у= у´= у´= - cos х№234

f´(х)= f´(0)= 3 f´(π)=3
Тема : Подготовка к контрольной работе (13 урок)
Цель : Подготовить обучающихся к контрольной работе по теме « Производная»
Ход урока
1.ОРГчасть
2. Проверка знаний
Проверка домашнего задания ( устно)
Устный счет
Таблица « Найти производную», « Решить уравнение»
Диктант по формулам
1. Записать формулы для нахождения производной суммы, частного, произведения, сложной функции, степенной функции; производную косинуса, тангенса, синуса, котангенса.3. Работа у доски
Что называют приращением аргумента? Функции?
Для функции у=х2 найдите приращение ∆ у, если х0=1, ∆х=0,6
х= х0+∆х=1,6 ∆у=у(х)-у(х0)=1,62-12=1,56
Найдите производную функции:
а)f(х)= f´(х)=
б) f(х)= f´(х)=
в) g (х)=4 sin х- и вычислите g´() g´(х)=4 соs х g´() =4 соs()=-2
г)h(х)=- и вычислите h´(-1) h´(х)=
h´(-1)=-8
3.Решите уравнение, если f(х)=
f´(х)=х2-4 g´(х)=
х2-4=0 или х1=2 х2=-2 х3=0
Ответ: -2;0;2
4. Итог урока Домашнее задание Карточка (2 вариант контрольной работы)
1.Для функции у=0,5х2 найдите приращение ∆ у, если х0=1, ∆х=0,8
2.Найдите производную функции:
а)f(х)= б) f(х)= в) g (х)=3 соs х- и вычислите g´()
г)h(х)=- и вычислите h´(1)
3.Решите уравнение, если f(х)=