ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ по учебной дисциплине Математика для специальности 11.02.08 Средства связи с подвижными объектами (базовая подготовка)

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ № 54
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
по учебной дисциплине
Математика
11.02.08 Средства связи с подвижными объектами
(базовая подготовка)
Москва
2016
ОДОБРЕН
Предметной (цикловой)
комиссией математики

Протокол № ____
от «__» _________ 20___ г.
Разработан на основе Федерального государственного образовательного стандарта по специальности среднего профессионального образования
11.02.08 Средства связи с подвижными объектами (базовая подготовка)
Председатель предметной (цикловой) комиссии
_____________/О.Н. Бобкова Заместитель директора по учебной методической работе

_______________/И.Г. Бозрова


Составители:
Т.Н. Рудзина, преподаватель математики ГБПОУ КС №54
Ф.И.О., ученая степень, звание, должность, наименование ОУ СПО


ПАСПОРТ
ФОНДА ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ
по учебной дисциплине
математика
11.02.08 Средства связи с подвижными объектами (базовая подготовка)
Результаты обучения
(освоенные умения,
усвоенные знания) Наименование темы
Уровень освоения
темы Текущий контроль
Промежуточная аттестация
Наименование
контрольно-оценочного средства
Уровень трудности Наименование
контрольно-оценочного средства Уровень трудности
1 2 3 4 5 6 7
Введение.
Раздел 1. Комплексные числа. 2 Знать:
- определение комплексного числа, геометрическое представление комплексных чисел;
- алгебраическую форму комплексного числа.
Тема 1.1. Алгебраическая форма, тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел. 2 Устный опрос по теме.
2
Уметь:
- выполнять действия над комплексными числами в алгебраической форме;
- решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом; Проверочные задания из практического занятия №1 в 4-х вариантах.
Самостоятельная работа №1. 2 Знать: тригонометрическую и показательную формы записи комплексных чисел;
формулу Эйлера; правила действий с комплексными числами в различной форме записи 2 Устный опрос по теме. 2 Уметь:
- выполнять действия над комплексными числами в разных формах;
- переходить из одной формы представления комплексных чисел к другой Проверочные задания из практического занятия №2,3 в 4-х вариантах.
Самостоятельная работа обучающихся №1.
2 РАЗДЕЛ 2.
Математический анализ.
Знать:
- определение предела числовой последовательности и функции, свойства пределов, замечательные
пределы;
- определение функции, непрерывной в точке, её свойства;
определение производной, её геометрический и физический смысл;
- табличные производные, правила дифференцирования;
- правило вычисления производной сложной функции;
- определение дифференциала функции, его свойства;
- определение производных и дифференциалов высших порядков;
- определение экстремумов функции, выпуклости графика функции, точек перегиба, асимптот.
Тема 2.1. Пределы и непрерывность функций. Дифференциальное исчисление. 2 Устный опрос по теме.
2 Уметь:
- вычислять пределы последовательностей и функций;
- раскрывать неопределенности;
- классифицировать точки разрыва.
- вычислять производные сложных функций, производные и дифференциалы высших порядков;
- находить экстремумы и точки перегиба функций;
- проводить исследование функций с помощью производных и строить их графики.
Проверочная работа в 2-х вариантах из практических занятий 4,5.
Самостоятельная работа обучающихся №2.
Проверочные задания из практического занятия №6 из 4-х вариантов.
Проверочные задания из практического занятия №7, 8 из 4-х вариантов.
Расчетно-графическая работа в 4-х вариантах.
2 Знать:
- определение неопределенного интеграла, его свойства, табличные интегралы;
- формулы интегрирования при помощи замены переменной и по частям для неопределенного интеграла;
- определение определенного интеграла, его свойства, основную формулу интегрального исчисления – формулу Ньютона- Лейбница;
- формулы интегрирования при помощи замены переменной и по частям для определенного интеграла;
- геометрический смысл определенного интеграла, приложения определенного интеграла в геометрии;
Тема 2.2. Интегральное исчисление. 2 Устный опрос по теме. 2 Уметь:
- вычислять неопределенные и определенные интегралы методом замены переменной и по частям;
- применять определенный интеграл для решения геометрических задач.
Проверочные задания из практического занятия №10, 11, 12, 13 в 4-х вариантах.
Расчетно-графическая работа в 4-х вариантах из практического занятия №14.
Самостоятельная работа обучающихся №3. 2 Знать:
- определение обыкновенного дифференциального уравнения, общего и частного решения, геометрическое представление решений.
Тема 2.3.
Дифференциальные уравнения. 2 Устный опрос по теме.
2 Уметь:
- решать обыкновенные дифференциальные уравнения 1-го порядка с разделяющимися переменными, линейные однородные и линейные неоднородные;
- решать линейные однородные. Проверочные задания из практического занятия № 15, 16 в 2-х вариантах.
Комплект заданий в тестовой форме
Самостоятельная работа обучающихся № 4.
2 Знать:
- определение числового ряда, остатка ряда, свойства рядов;
- признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак положительных рядов;
- определение знакочередующихся рядов, признак Лейбница;
- определение абсолютной и условной сходимости произвольных числовых рядов;
- определение функциональных последовательностей и рядов , определение степенного ряда, радиуса и области сходимости;
- определение ряда Тейлора, формулы разложения элементарных функций;
- определение ряда Фурье. Тема 2.4.
Ряды.
2 Устный опрос по теме.
2 Уметь:
- исследовать на сходимость положительные ряды;
- исследовать на абсолютную и условную сходимость числовые ряды;
- вычислять радиус сходимости степенного ряда, исследовать поведение степенного ряда на концах интервала сходимости;
- разлагать элементарные функции в ряд Тейлора. Проверочные задания из практического занятия № 17,18, 19 в 4-х вариантах.
Самостоятельная работа обучающихся № 5. 2 Раздел 3. Элементы теории вероятностей и математической статистики. Знать:
- определение вероятности.
Тема 3.1. Основные понятия теории вероятностей.
Вероятности событий.
2 Устный опрос по теме. 2 Уметь:
- вычислять вероятности в простейших случаях 2 Проверочные задания из практического занятия № 21-26.
Самостоятельная работа № 6 Знать:
- определение математического ожидания и дисперсии; Тема 3.2.
Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.
2 Устный опрос по теме. 2 Уметь:
- составлять функцию распределения для дискретных величин, вычислять математическое ожидание и дисперсию; 2 Проверочные задания из практического занятия № 27-28.
Самостоятельная работа № 7. Знать:
-понятие выборки, вариационного ряда, медианны, моды, среднего арифметического.
Тема 3.3. Основные понятия математической статистики.
2 Устный опрос по теме. Уметь:
- составлять вариационные ряды, вычислять медиану, среднее арифметическое, находить моду. 2 Проверочные задания из практического занятия № 29, 30
Самостоятельная работа № 8. Раздел 4. Основные численные методы. Знать:
- определение приближенного числа, погрешности. Тема 4.1.
Приближенные числа и действия с ними. Численное интегрирование. 2 Устный опрос по теме.
2 Уметь:
- вычислять погрешность результата действий над приближенными числами;
- находить приближенное значение алгебраических и трансцендентных уравнений;
- находить приближенное решение систем линейных уравнений;
- составлять интерполяционные и экстраполяционные формулы;
- находить значения интегралов численными методами;
Проверочные задания из практического занятия № 31-33.
Самостоятельная работа обучающихся № 9. 2 Зачет 2
2. Состав КОС
для текущего контроля знаний, умений обучающихся
по учебной дисциплине/ разделам и темам

№
п/п Наименование КОС Материалы для преставления
в ФОС
Раздел1. Комплексные числа.
Тема 1.1. Алгебраическая форма, тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел.
1 Вопросы для устного опроса по теме. Перечень вопросов по теме.
2 Практические занятия №1,2,3
Задания для выполнения.
3 Самостоятельная работа №1 по теме. Комплект заданий в 2-х вариантах.
Раздел 2.
Математический анализ.
Тема 2.1. Пределы и непрерывность функций. Дифференциальное исчисление.
7 Вопросы для устного опроса по теме. Перечень вопросов по теме.
8 Практические занятия № 4-9. Задания для выполнения.
9 Самостоятельная работа №3по теме. Комплект заданий в 4-х вариантах.
Тема 2.2. Интегральное исчисление.
10 Вопросы для устного опроса по теме. Перечень вопросов по теме.
11 Практические занятия №10-14 Задания для выполнения.
12 Самостоятельная работа №4 по теме. Комплект заданий в 4-х вариантах.
Тема 2.3.Дифференциальные уравнения.
13 Вопросы для устного опроса по теме. Перечень вопросов по теме.
14 Практические занятия №15-16. Задания для выполнения.
15 Самостоятельная работа №5 по теме. Комплект заданий в 10-ти вариантах.
Тема 2.4. Ряды.
16 Вопросы для устного опроса по теме. Перечень вопросов по теме.
17 Практические занятия №17-20. Задания для выполнения.
18
Проверочные задания из практического занятия №4. Комплект заданий в 4-х вариантах.
19 Самостоятельная работа №5 по теме. Раздел 3. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Тема 3.1. Основные понятия теории вероятностей.
Вероятности событий.
.
20 Устный опрос по теме. Перечень вопросов по теме.
21 Практические занятия №21-26 Задания для выполнения.
22 Самостоятельная работа №6 по теме. Тема 3.2. Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.
23 Устный опрос по теме. Перечень вопросов по теме.
24 Проверочные задания из практического занятия №27 Комплект заданий в 4-х вариантах.
25 Проверочные задания из практического занятия №28 Комплект заданий в 4-х вариантах.
26 Самостоятельная работа №7 по теме. Тема 3.3. Основные понятия математической статистики.
27 Устный опрос по теме. Перечень вопросов по теме.
28
Проверочные задания из практического занятия № 29,30. Задания для выполнения.
29 Самостоятельная работа №8 по теме.
Раздел 4. Основные численные методы.
Тема 4.1. Приближенные числа и действия с ними. Численное интегрирование.
30 Устный опрос по теме.
Перечень вопросов по теме.
31 Проверочные задания из практического занятия №31,32,33
Задания для выполнения.
Зачет
32 Вопросы для подготовки к зачету по учебной дисциплине КИМы по учебной дисциплине
ФОНД ОЦЕНОЧНЫХ СРЕДСТВ.
Раздел1. Комплексные числа.
Тема 1.1. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.
Вопросы для устного опроса по теме.
Дайте определение мнимой единицы.
Как вычисляют степени мнимой единицы?
Какое число называется комплексным?
Какие комплексные числа называются чисто мнимыми? Приведите примеры комплексных чисел, чисто мнимых чисел.
Какие комплексные числа называются равными?
Какие комплексные числа называются сопряженными?
Как выполняются сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме?
Как выполняется деление комплексных чисел в алгебраической форме?
Как геометрически изображаются комплексные числа?
Что называется модулем и аргументом комплексного числа?
Напишите формулы для модуля и аргумента комплексного числа.
Какие корни и сколько корней имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом?
Как решить квадратное уравнение, если дискриминант его отрицателен?
Самостоятельная работа №1 по теме 1.1.
Вариант – 1.
Вычислите: i43+i48+i44+i45.
Выполните действия: а) (5 – 4i)(3 + 2i); б) (-1+i32)3.
Решите уравнение x2+4x +53 = 0.
Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если
z1= 1 + i и z2 = -2+2i3.
Вариант – 2.
Вычислите: i6+i20+i30+i51.
Выполните действия: а)2i(1 2+i32)(-12 + i32); б)1-i1+i.
Решите уравнение x2- 6x +13 = 0.
Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если z1= 5 и z2 = 3 – i.
Вариант – 3.
Вычислите: i15+i24-i49-i37∙i51.Выполните действия: а) (3 + i)+(-3 - 8i); б) (2-3i)-i+52.
Решите уравнение x2+25= 0.
Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если z1= 3 +i и z2 = 5.
Вариант – 4.
Вычислите: (i13+i17)2i - (i4+i24)∙6.Выполните действия: а) (3 – 5i)(2 - 3i); б)1-3ii-2+4i+13i-1.
Решите уравнение 36z2+36z+13=0. Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если
z1= -3 + 3i и z2 = 22-2i6.
Вариант – 5.
Вычислите: i∙i2∙i3∙i4.Выполните действия: а) (0,2 +0,1 i)+(0,8 – 1,1i); б)11+i.
Решите уравнение x2- 2x +5 = 0.
Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если z1= 1 -i и z2 = 3i.
Вариант – 6.
Вычислите: i1+i11+i21+i31+i41.Выполните действия: а) (12-i14)-(35+i23)+(34-i56)); б)1+i1-i.
Решите уравнение x2+3x +4 = 0.
Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если
z1= 6i и z2 = 1 - i3.
Вариант – 7.
Вычислите: i1+i2+i3+i4+i5.Выполните действия: а) (1-i)-(7-3i)-(2+i)+(6-2i); б)3-2i1+3i.
Решите уравнение x2- 10x + 34 = 0.
Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если z1=2 – 2i3 и z2 = 6i.
Вариант – 8.
Вычислите: 1i13+1i23+1i33.Выполните действия: а) (5 + 3i)(5 - 2i); б) -1+i3-2+i6.Решите уравнение 4x2- 20x + 26 = 0.
Найдите модуль и аргумент комплексных чисел z1 и z2, если z1= -33 +3i и z2 = -2 - 2i.
Тригонометрическая и показательная формы комплексных чисел.
Вопросы для устного опроса по теме.
Как записывается комплексное число в тригонометрической форме?
Как записывается комплексное число в показательной форме? Формула Эйлера.
Сформулируйте правило перехода от алгебраической формы комплексного числа к тригонометрической и обратно.
Сформулируйте правило перехода от алгебраической формы комплексного числа к показательной и обратно.
Как перейти от тригонометрической формы комплексного числа к показательной и обратно.
Как умножаются комплексные числа, записанные в тригонометрической форме.
Как умножаются комплексные числа, записанные в показательной форме?
Сформулируйте правило деления комплексных чисел в тригонометрической форме.
Сформулируйте правило деления комплексных чисел в показательной форме.
Как возвести в степень комплексное число, записанное в тригонометрической форме.
Как возвести в степень комплексное число, записанное в показательной форме?
Сформулируйте правило извлечения корня n –й степени из комплексного числа, записанного в тригонометрической форме.
Сформулируйте правило извлечения корня n –й степени из комплексного числа, записанного в показательной форме.
Сколько значений имеет корень n-й степени из комплексного числа?
Проверочные задания из практического занятия №4.
Вариант – 1.
Записать комплексные числа в тригонометрической и в показательной формах:
а) z=5i;б) z=1+i.Представьте в алгебраической и показательной формах комплексные числа:
а) z=3(cosπ4+isinπ4);б) z=5(cos11π6+isin11π6).Даны комплексные числа z1=3cos330°+isin330° и z2 =2(cos60°+isin60°).Найти: а) z1∙z2; б) z1z2; в) z24; г) 3z1.
Вариант – 2.
Записать комплексные числа в тригонометрической и в показательной формах:
а) z=-6;б) z=1-i.Представьте в алгебраической и показательной формах комплексные числа:
а) z=2,5(cos3π2+isin3π2);б) z=8(cos15π4+isin15π4).Даны комплексные числа z1=3cos5π4+isin5π4 и z2 =5(cosπ2+isinπ2).Найти: а) z1∙z2; б) z1z2; в) z24; г) 3z1.
Вариант – 3.
Записать комплексные числа в тригонометрической и в показательной формах:
а) z=-2-2i;б) z=3.Представьте в алгебраической и показательной формах комплексные числа:
а) z=10(cosπ3 +isinπ3);б) z=8(cosπ4+isinπ4).Даны комплексные числа z1=2cos2π3+isin2π3 и z2 =5(cosπ+isinπ).Найти: а) z1∙z2; б) z1z2; в) z24; г) 3z1.
Вариант – 4.
Записать комплексные числа в тригонометрической и в показательной формах:
а) z=-2i;б) z=-33+3i.Представьте в алгебраической и показательной формах комплексные числа:
а) z=4(cosπ2 +isinπ2);б) z=(cosπ+isinπ).Даны комплексные числа z1=0,5cosπ4+isinπ4 и z2 =2(cosπ6+isinπ6).Найти: а) z1∙z2; б) z1z2; в) z24; г) 3z1.
РАЗДЕЛ 2.
Математический анализ.
Тема 2.1. Пределы и непрерывность функций. Дифференциальное исчисление.
Вопросы для устного опроса по теме.
Дайте определение предела в точке.
Объясните раскрытие неопределенности 00.Дайте определение предела функции на бесконечности. Объясните основной метод раскрытия неопределенности ∞∞.Сформулируйте теоремы о пределах.
Сформулируйте и напишите первый и второй замечательные пределы.
Проверочная работа.
Вариант – 1.
Вычислите пределы.
limх→53х2-17х+103х2-16х+5;
limх→55-х3-2х-1;
limх→31+х2-13х2;
limх→∞2х3+х+13х3+х2+1;
limх→∞1-2хх.
Вариант – 2.
Вычислите пределы.
limх→14х2-7х+33х2-2х-1;
limх→0х3+х-3-х;
limх→01-1-х2х2;
limх→∞5х4-х3+2хх4-8х3+1;
limх→∞1+3х-х.
Дифференциальное исчисление.
Вопросы для устного опроса по теме.
Что называется приращением независимой переменной и приращением функции?
Дайте определение непрерывной функции. Какими свойствами на отрезке она обладает?
Что характеризует скорость изменения функции относительно изменения аргумента? Дайте определение производной.
Какая функция называется дифференцируемой в точке и на отрезке? Сформулируйте зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции.
Из каких операций складывается общее правило нахождения производной данной функции? Как вычислить частное значение производной?
Можно ли вычислить производную любой функции, пользуясь определением производной?
Выпишите в таблицу основные правила и формулы дифференцирования функций.
Повторите определение сложной функции. Как найти ее производную?
Каков геометрический смысл производной? Как геометрически определить значение производной в точке?
В чем заключается механический смысл производной?
Что называется производной второго порядка и, каков ее механический смысл?
Что называется дифференциалом функции, чему он равен, как обозначается и каков его геометрический смысл?
Повторите определения возрастающей и убывающей функций. В чем заключается признак возрастания и убывания функций?
В чем заключаются необходимый и достаточный признаки существования экстремума? Перечислите порядок операций для отыскания максимума и минимума функции с помощью первой производной.
В чем различие между нахождением максимума и минимума функции и нахождением ее наибольшего и наименьшего значений?
Как пишется наибольшее и наименьшее значения функции на данном отрезке?
Как определяются геометрически и по знаку второй производной выпуклость и вогнутость кривой?
Что называется точкой перегиба и каковы необходимый и достаточный признаки ее существования? Сформулируйте правило нахождения точки перегиба.
Какой схемой рекомендуется пользоваться при построении графика функции?
Проверочные задания из практического занятия №5.
Вариант – 1.
Найдите производную следующих функций:
а) y=x2+4x+3;б) y=6x+2x;в) y=x6-4x+1x;г) y=3x-43;д) y=3x-47-2x;е) y=3sin2x;ж) y=x2-4x;з) y=3+2x2x-3, y'(0,25)-?Найдите производную второго порядка заданных функций:
а) y=x3;б) y=cos2x;в) y=ln3x2-2x+5.Вариант – 2.
Найдите производную следующих функций:
а) y=x6-3x+8;б) y=4x-2x;в) y=x5-3x2+2x;г) y=8-6x5;д) y=5x+2x-3;е) y=5cos3x;ж) y=3x-x2;з) y=x2-3x2+3, y'(12)-?Найдите производную второго порядка заданных функций:
a) y=sinx;б)y=(5x+2)4;в) y=105-3x.Вариант – 3.
Найдите производную следующих функций:
а) y=3x4-6x2+5;б) y=4x+4x;в) y=x3-9x2+5x;г) y=6x2-7x3;д) y=5x+13-2x;е) y=2tg5x;ж) y=8x-7;з) ) y=4x-14x+1, y'(0,25)-?Найдите производную второго порядка заданных функций:
а) y=x4;б) y=1+cosx;в) y=xlnx.Вариант – 4.
Найдите производную следующих функций:
а) y=x7-4x2+9;б) y=6x-5x;в) y=4x+5234;г) y=3x2-x+1x;д) y=3+7x4-x;е) y=5sin6x;ж) y=3x-1;з) y=2x+12x-1, y'(3)-?Найдите производную второго порядка заданных функций:
а) y=2x;б) y=arcsinx2;в) y=1+3x.
Вариант – 1.
Найти промежутки монотонности функции y=ex-x.Исследовать на экстремум функцию y=x3-6x2+9x+3.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=2x3-15x2+24x+3 на промежутке 2;3.
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции y=13x3-3x2+8x-4.Вариант – 2.
Найти промежутки монотонности функции y=2xex.Исследовать на экстремум функцию y=-x3-3x2+24x-4.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=2x3+3x2-12x-1 на промежутке -1;2.
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
y=x4-10x3+36x2-100.Вариант – 3.
Найти промежутки монотонности функции y=2xex.Исследовать на экстремум функцию y=x3-3x2-9x-4.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=-x3-3x2+9x-2 на промежутке -2;2.
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции y=x4-8x3+18x2-48x+31.Вариант – 4.
Найти промежутки монотонности функции y=e1x+1.Исследовать на экстремум функцию y=-x3+6x2+15x+1.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции y=x3-3x2-9x-4 на промежутке -4;4.
Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
y=x4-6x3+12x2-10.Расчетно-графическая работа.
Исследуйте и постройте график данной функции.
Вариант – 1.
y=2x3-6x+5.Вариант – 2.
y=x3-x2-x+3.Вариант – 3.
y=x4-10x2+9.Вариант – 4.
y=-x4+2x2+3.Тема 2.2.. Интегральное исчисление.
Вопросы для устного опроса по теме.
Что является основной задачей интегрального исчисления?
Какая функция называется первообразной для заданной функции?
Почему при интегрировании функций появляется произвольная постоянная?
Почему одна функция имеет целую совокупность первообразных?
Как записать всю совокупность первообразных функций?
Что называется неопределенным интегралом?
Почему интеграл называется неопределенным?
Что означает постоянная С в определении неопределенного интеграла?
В чем заключается правило интегрирования выражения, содержащего постоянный множитель?
В чем заключается правило интегрирования алгебраической суммы функций?
Чему равен интеграл от дифференциала некоторой функции?
Напишите основные формулы интегрирования.
Как проверить результата интегрирования?
В чем состоит геометрический смысл неопределенного интеграла?
Что такое интегральные кривые? Как они расположены друг относительно друга? Могут ли они пересекаться?
Что такое определенный интеграл?
Сформулируйте основные свойства определенного интеграла.
В чем заключается геометрический смысл определенного интеграла?
Может ли площадь криволинейной трапеции быть равна отрицательной величине, нулю и почему?
Какие интегралы называются несобственными?
Проверочные задания из практического занятия №7.
Вариант – 1.
Найдите неопределенный интеграл:
а) методом непосредственного интегрирования:
1) (2-3x4)dx; 2) (1x-4x)dx.
б) методом подстановки:
1) (x3+1)∙x2dx; 2) 5x+7dx.в) методом интегрирования по частям:
1) 4x-1exdx; 2) 3-xcosxdx.Вариант – 2.
Найдите неопределенный интеграл:
а) методом непосредственного интегрирования:
1) (4+1x-x)dx; 2) (7x-3x5) dx.
б) методом подстановки:
1) ln3xxdx; 2) x7-x2dx.в) методом интегрирования по частям:
1) 5xexdx; 2) 6x+1cosxdx.Вариант – 3.
Найдите неопределенный интеграл:
а) методом непосредственного интегрирования:
1) (1x-x34)dx; 2) (5-sinx)dx.
б) методом подстановки:
1) ln22xxdx; 2) 2x2xdx.в) методом интегрирования по частям:
1) 2xsinxdx; 2) 3xexdx.Вариант – 4.
Найдите неопределенный интеграл:
а) методом непосредственного интегрирования:
1) (sinx+3x4-x)dx; 2) (17x-4-x32)dx.
б) методом подстановки:
1) xe-3x2dx; 2) 1xln4xdx.в) методом интегрирования по частям:
1) (2-x)exdx; 2) 6x-11cosxdx.Расчетно-графическая работа
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями. Выполните рисунок.
Вариант – 1.
y=-x2+4;y=0.y=sinx;x=0;y=0.y=x2; y=9.Вариант – 2.
y=x2+3;x=0;x=2; y=0.y=cosx;x=0;x=π4;y=0.y=-x2+6; y=2.Вариант – 3.
y=x2-2x;x=2;x=4; y=0.y=sinx;x=π6;x=3;y=0.y=x2+2; y=x+4.Вариант – 4.
y=-x2+4x;x=2; y=0.y=cosx;x=-π6;x=π6;y=0.
y=x2; y=x+2.Тема 2.3.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Вопросы для устного опроса по теме.
Какое уравнение называется дифференциальным?
Какая функция называется решением дифференциального уравнения?
Какое решение дифференциального уравнения называется общим и какое называется частным?
Каков геометрический смысл общего и частного решений дифференциального уравнения?
Может ли дифференциальное уравнение иметь конечное число решений?
Что такое порядок дифференциального уравнения и как его определить?
Сколько постоянных интегрирования имеет общее решение дифференциального уравнения первого, третьего порядка?
Как проверить, правильно ли найдено решение дифференциального уравнения?
Чем отличается дифференциальное уравнение от алгебраического уравнения?
Назовите известные вам типы дифференциальных уравнений.
Каков общий вид дифференциальных уравнений первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными?
Как решается уравнение с с разделенными переменными?
Чем отличается уравнение с разделяющимися переменными от уравнения с разделенными переменными? Как разделяют переменные?
Каков алгоритм решения уравнения с разделяющимися переменными?
В чем заключается задача Коши? Каков его геометрический смысл?
Каков общий вид линейных дифференциальных уравнений первого порядка?
Какими величинами являются и от чего зависят коэффициенты p и q в линейном дифференциальном уравнении первого порядка?
С помощью какой подстановки решается линейное дифференциальное уравнение первого порядка и к какому уравнению сводится его решение?
Какой вид имеет простейшее дифференциальное уравнение второго порядка? Как оно решается?
Как определяется и как записывается в общем виде линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами?
Что такое характеристическое уравнение?
Проверочные задания из практического занятия №8.
Решите дифференциальные уравнения.
Вариант – 1.
dydx=dxx-1;y'=x, если y=0 при x=2;1+x3dy=3x2ydx.Вариант – 2.
exdx=2ydy;2ydx=1+xdy, если y1=4;(1+x2)dy-2xydx=0.
Комплект заданий в тестовой форме
№1 Вопросы Ответы
1 2 3 4
1 Какие из приведённых диф. уравнений являются диф. уравнениями 1 -го порядка с разделёнными переменными:
1);
2);
3)? 3, 2 1 2 3
2 Найти частное решение дифференциального уравнения , если при .
3 Найти частное решение диф. уравнения , если при .
4 Найти общее решение диф. уравнения .
5 Найти общее решение диф. уравнения .
 
№
2 Вопросы Ответы
1 2 3 4
1 Какие из приведённых диф. уравнений являются диф. уравнениями 1 -го порядка с разделёнными переменными: 1) ; 2); 3)? 2, 3 1, 2 3 2
2 Найти частное решение дифференциального уравнения , если при .
3 Найти частное решение диф. уравнения , если при .
4 Найти общее решение диф. уравнения .
5 Найти общее решение диф. уравнения .
 
№3 Вопросы Ответы
1 2 3 4
1 Какие из приведённых диф. уравнений являются диф. уравнениями 1 -го порядка с разделёнными переменными: 1);
2); 3)? 1 1, 3 3, 2 3
2 Найти частное решение дифференциального уравнения , если при .
3 Найти частное решение диф. уравнения , если при .
4 Найти общее решение диф. уравнения .
5 Найти общее решение диф. уравнения .
 
№
4 Вопросы Ответы
1 2 3 4
1 Какие из приведённых диф. уравнений являются диф. уравнениями 1 -го порядка с разделёнными переменными: 1); 2); 3)? 1, 2, 3 2, 3 1, 3 1, 2
2 Найти частное решение дифференциального уравнения, если при .
3 Найти частное решение диф. уравнения , если при .
4 Найти общее решение диф. уравнения .
5 Найти общее решение диф. уравнения .
Ответы:
Вариант Задание 1 Задание 2 Задание 3 Задание 4 Задание 5
№1 3 3 1 4 4
№2 3 3 1 1 4
№3 1 2 4 1 2
№4 3 2 1 2 3
Тема 2.4.
Ряды.
Вопросы для устного опроса по теме.
Дайте определение числового ряда.
Что является суммой ряда?
Какой ряд называется сходящимся (расходящимся)?
Назовите свойства сходящихся рядов.
Сформулируйте необходимый признак сходимости ряда.
Назовите достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.
В чем заключается признак сравнения?
Сформулируйте признак сходимости Даламбера.
В чем заключается признак Коши и интегральный признак?
В чем отличие знакопеременного ряда от знакочередующегося?
Дайте определение абсолютно сходящегося ряда и условно сходящегося ряда
Сформулируйте признак Лейбница о сходимости знакопеременного ряда.
Понятие степенного ряда.
Ряд Тейлора.
Ряд Маклорена.
Проверочные задания из практического занятия №9 .
Числовые ряды. Признак Даламбера.
Вариант – 1.
Найдите 4 первых члена ряда по заданному общему члену an=1(2n+1)2n-1.Найдите формулу общего члена ряда:
а) 1+32+53+…;б) 25+57+89+… .Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда n=1∞2n5n.Вариант – 2.
Найдите 4 первых члена ряда по заданному общему члену an=n+1(2n-1)3n-1.Найдите формулу общего члена ряда:
а) 51+92+133+…;б) 42+77+1012+… .Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда n=1∞5nn5.Вариант – 3.
Найдите 4 первых члена ряда по заданному общему члену an=3n+2(3n-1)2n-1.Найдите формулу общего члена ряда:
а) 12+34+56+78…;б) 24+49+616+825… .Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда n=1∞3nn(n+1).Вариант – 4.
Найдите 4 первых члена ряда по заданному общему члену an=3n+1(n2+1)3n-1.Найдите формулу общего члена ряда:
а) 13+15+17+19…;б) 21+44+89+1616… .Используя признак Даламбера, исследуйте сходимость ряда n=1∞3nn2.Признак Лейбница. Промежуток сходимости. Ряд Маклорена.
Вариант – 1.
Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда:
а) n=1∞(-1)n-1∙12n;б) n=1∞(-1)n+1∙1n14.Найдите промежуток сходимости степенного ряда n=1∞xnn2n.Разложите в ряд Маклорена функцию fx=ln1+5x.Вариант – 2.
Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда:
а) n=1∞(-1)n+1∙n4n-1;б) n=1∞(-1)n-1∙1n∙3n.Найдите промежуток сходимости степенного ряда n=1∞xnnn.Разложите в ряд Маклорена функцию fx=cosx3.Вариант – 3.
Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда:
а) n=1∞(-1)n+1∙n6n-1;б) n=1∞(-1)n-1∙1(n+1)∙2n.Найдите промежуток сходимости степенного ряда n=1∞nn2nxn.Разложите в ряд Маклорена функцию fx=e4x.Вариант – 4.
Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда:
а) n=1∞(-1)n-1∙13n+1;б) n=1∞(-1)n+1∙1(4n-1)2.Найдите промежуток сходимости степенного ряда n=1∞xn(N+1)3n.Разложите в ряд Маклорена функцию fxsin5x.Раздел 3. Элементы теории вероятностей и математической статистики.
Тема 3.1. Основные понятия теории вероятностей.
Вероятности событий.
Вопросы для устного опроса по теме.
1. Что называется n-факториалом?
2. Перечислите основные задачи комбинаторики.
3. Что называется перестановками?
4. Запишите формулу для числа перестановок из m элементов.
5. Что называется размещениями?
6. Запишите формулу размещений из m элементов по n.
7. Что называется сочетаниями?
8. Запишите формулу для числа сочетаний из m элементов по n.
9. Какие события называются достоверными? Приведите примеры.
10. Какие события называются невозможными? Приведите примеры.
11. Что называется вероятностью события?
12. Что называется относительной частотой события?
13. Какие события называются несовместными? Приведите примеры.
14. Чему равна сумма несовместных событий? Приведите примеры.
15. Какие события называются противоположными?
16. Как формулируется теорема сложения вероятностей?
17. Чему равна сумма вероятностей противоположных событий?
18. Что называется условной вероятностью?
19. Как формулируется теорема умножения вероятностей?
20. Какая величина называется случайной?
Проверочные задания из практического занятия.
Вариант – 1.
Вычислите:
а) 52!50!; б) C1513; в) А73+А63+А53; г) 10!-8!89.
Решите уравнения:
а) Аn-23=4An-32; б) А73=42x; в) Ax2+Ax4Ax2=13.
Проверьте равенства:
а) С105+С106=С116; б) С2012=А208Р8.
Вариант – 2.
Вычислите:
а) 62!60!; б) C64+С50; в) А52∙А42∙А32; г) 5!+6!4!.
Решите уравнения:
а) 20Аn-23=An5; б) xAx3=112; в) A2x3=14Ax3.
Проверьте равенства:
а) С149+С1410=С1510; б) С154-C153=C1642.
Вариант – 3.
Вычислите:
а) 42!40!; б) C1714; в) А84+А74+А64; г) 12!-10!131.
Решите уравнения:
а) Аn-23=5An-32; б) Аn4=15An-23; в) Ax3+Ax2Ax2=15.
Проверьте равенства:
а) Сn6=Ann-6Pn-6; б) С156=C159.
Вариант – 4.
Вычислите:
а) 72!70!; б) C53+С60; в) А72∙А62+А52; г) 7!+5!4!.
Решите уравнения:
а) Аn5=30An-24; б) Ax3Ax4=12; в) A63=60x.
Проверьте равенства:
а) С114+С115=С125; б) С1810=А188Р8.
Тема 3.2.
Дискретная случайная величина и ее числовые характеристики.
Вопросы для устного опроса по теме.
1. Какая случайная величина называется дискретной?
2. Опишите схему Бернулли. Какие элементарные события повторяются в этих опытах?
3. Что называется законом распределения случайной величины?
4. Какой закон распределения называется биномиальным?
5. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины?
6. Что называется дисперсией случайной величины?
7. Что понимается под законом больших чисел?
Решение задач.
1. Имеется один билет лотереи «6 из 45» Событие А состоит в том, что он выигрышный, а событие В – в том, что он невыигрышный. Являются ли эти события несовместными?
2. Вычислить: 7!-5!6!.
3.Случайная величина X принимает значения 0; 1; 2; 3. Известно, что вероятности равны. Написать ряд распределения дискретной случайной величины X.
4. Из урны, в которой находится 12 белых и 8 черных шаров, вынимают наугад 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара окажутся черными
5. Определить вид случайной величины. Отметить буквой Н- непрерывные случайные величины. Отметить буквой Д-дискретные случайные величины, Н- непрерывные случайные величины.
а) Бросаем игральную кость два раза?
б) Время безаварийной работы станка.
в) Число студентов в группе.
г) Измерение температуры больного при обследовании.
д) Бросаем игральную кость четыре раза?
е) Количество осадков, выпавших в сутки.
6. Пусть на некотором предприятии трудятся 5 рабочих с месячной зарплатой – 25 тысяч рублей каждый, уборщица с зарплатой 15 тысяч рублей, бухгалтер с зарплатой 30 тысяч рублей и генеральный директор с зарплатой 230 тысяч рублей. Сколько в среднем зарабатывает сотрудник данного предприятия?
7. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.
Решение задач из практического занятия.
Вариант 1.
Случайная величина X принимает значения 0; 1; 2; 3. Известно, что вероятности равны. Написать ряд распределения дискретной случайной величины X.Стрелок производит выстрел по мишени с вероятностью попадания 70%. Написать ряд распределения случайной величины Z— числа попаданий , если было выполнено три выстрела.
Дискретная случайная величина распределена по закону:
Х -1 0 1 2
Р 0,2 0,1 0,3 0,4
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Вариант 2.
Случайная величина Y принимает значения -2; -1; 0; 1; 2. Известно, что вероятности равны. Написать ряд распределения дискретной случайной величины Y.
В партии деталей 10% нестандартных. Наудачу отобраны две детали. Написать ряд распределения дискретной случайной величины Z- числа стандартных деталей среди отобранных.
Дискретная случайная величина распределена по закону:
Х -1 2 0
Р 0,3 0,15 0,6
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Вариант 3.
В связке из трех ключей только один подходит к двери. Ключи перебирают до тех пор, пока не отыщется подходящий ключ. Построить закон распределения для случайной величины Х – числа опробованных ключей.
В группе, состоящей из 30 человек, 21 девушек. Написать ряд распределения случайной величины X— числа девушек из случайно отобранных трех студентов.
Дискретная случайная величина распределена по закону:
Х 1 0 2
Р 0,3 0,1 0,15
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Вариант 4.
Случайная величина Х принимает значения -2; 0; 2 с вероятностями, соответственно равными ¼, ½, ¼. Написать ряд распределения дискретной случайной величины X.
В партии из 20 радиоприемников имеется два неисправных. Для проверки случайным образом отбирают два приемника. Написать ряд распределения дискретной случайной величины Y- числа исправных приемников среди отобранных.
Дискретная случайная величина распределена по закону:
Х -1 0 2
Р 0,2 0,1 0,15
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
Раздел 4. Основные численные методы.
Тема 4.1.
Приближенные числа и действия с ними. Численное интегрирование.
Вопросы для устного опроса по теме.
Какое число называется приближенным?
Что называется истинной погрешностью и истинной абсолютной погрешностью?
Что называется границей абсолютной погрешности?
Какие цифры приближенного числа называются верными?
Какие цифры приближенного числа называются сомнительными?
Сформулируйте правило записи приближенных чисел. Приведите примеры.
Как округляются приближенные числа?
Что называется границей абсолютной погрешности приближенного числа?
Что называется границей относительной погрешности приближенного числа?
Перечислите правила действий с приближенными числами. Приведите примеры.
Формулы прямоугольников.
Формула трапеций.
Способы вычисления абсолютной погрешности при численном интегрировании.
Формулы приближенного дифференцирования, основанные на интерполяционных формулах Ньютона.
Способы вычисления погрешности в определении производной.
16. Метод Эйлера и нахождение значения функции с использованием метода Эйлера.
17. Понятие интегральной кривой.
18. Построение интегральной кривой.
Зачет.
Вопросы к зачету.
Определение комплексного числа в алгебраической форме, действия над комплексными числами в алгебраической форме.
Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль и аргумент комплексных чисел.
Тригонометрическая форма комплексного числа. Переход от алгебраической формы к тригонометрической и обратно.
Показательная форма комплексного числа. Переход от алгебраической формы к показательной и обратно.
Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной формах.
Числовая последовательность и её предел. Предел функции на бесконечности и в точке. Основные теоремы о пределах.
Первый и второй замечательные пределы.
Непрерывность функции в точке и на промежутке. Вычисление пределов функций и последовательностей.
Определение производной функции, её геометрический и физический смысл. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции.
Правила и формулы дифференцирования. Производные сложных функций. Производные и дифференциалы высших порядков.
Раскрытие неопределенностей.
Исследование функций с помощью производной: интервалы монотонности и экстремумы функций.
Выпуклость графика функций. Точки перегиба. Асимптоты.
Определение неопределенного интеграла, его свойства. Таблица основных интегралов.
Метод непосредственного интегрирования, метод замены переменной и метод интегрирования по частям в неопределенном интеграле.
Определенный интеграл, его свойства. Формула Ньютона – Лейбница. Вычисление определенного интеграла.
Интегрирование заменой переменной и по частям в определенном интеграле.
Приложения определенного интеграла в геометрии. Вычисление площадей фигур с помощью определенных интегралов.
Определение обыкновенных дифференциальных уравнений. Общее и частное решение. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Однородные уравнения 1-го порядка.
Уравнения, приводящиеся к однородным дифференциальным уравнениям. Линейные однородные и неоднородные уравнения 1-го порядка.
Дифференциальные уравнения 2-го порядка.
Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Линейные неоднородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Дифференциальные уравнения, допускающие понижения степеней.
Определение числового ряда, сумма ряда, остаток ряда. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости рядов.
Признаки сходимости рядов с положительными членами: признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак сходимости.
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость.
Функциональные последовательности и ряды. Степенные ряды.
Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд. Ряды Фурье.
Приближенные числа. Абсолютная и относительная погрешность. Приближенные вычисления.
Случайные события, их виды. Вероятность случайного события.
Вычисление вероятностей событий с использованием классического определения вероятности.
Сумма и произведение событий. Теорема сложения вероятностей.
Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Дискретная случайная величина, закон ее распределения.
Вычисление числовых характеристик дискретной случайной величины.
Предмет и задачи математической статистики. Выборка, выборочные распределения и их графические изображения.
Числовые характеристики выборки.
Абсолютная и относительная погрешности приближенного числа.
Учет погрешностей и правила действий с приближенными числами.
Приближенное вычисление определенных интегралов с помощью формул прямоугольников, трапеций и формулы Симпсона. Абсолютная погрешность при численном интегрировании.