Урок по математике на тему: Логарифмы
Цели и задачи урока:
рассмотреть понятие логарифма числа и свойства логарифмов;
дать понятие десятичного и натурального логарифма;
овладеть знаниями и умениями использовать основное логарифмическое тождество, формулы перехода от одного основания к другому в процессе решения упражнений;
развивать мышление учащихся при выполнении упражнений;
продолжить формировать умение правильно воспринимать и активно запоминать новую информацию;
научить учащихся определять логарифм числа и его свойства;
вычислять значения несложных логарифмических выражений.
Тип урока: усвоение новых знаний.
Методическое обеспечение: проектор, презентация к уроку, учебники, индивидуальные карточки.
Ход занятия
1. Организационный момент
Перед началом урока преподаватель проводит проверку подготовленности кабинета к занятию.
Приветствие учащихся, определение отсутствующих, заполнение группового журнала. Сообщается тема и цель урока. (Слайд 2)
2. Актуализация знаний
В кратком вступительном слове преподаватель акцентирует внимание студентов о важной роли логарифмов в курсе математики, а также в общетехнических и специальных дисциплинах, при этом подчеркивает значение десятичных и натуральных логарифмов.
3. Повторение ранее изученного материала
Экспресс-опрос
Преподаватель задает вопросы:
а) Что такое степень; что такое основание степени; что такое показатель степени.
б) Работа над основными свойствами степеней. Рассмотреть связь между показателями степеней в равенствах
в) Решить устно примеры:
4. Изучение нового материала
План
1. Логарифм числа. Основные свойства логарифмов.
2. Основное логарифмическое тождество.
2. Формула перехода одного основания логарифмов к другому.
3. Десятичный логарифм.
4. Натуральный логарифм.
Преподаватель излагает новый учебный материал
Логарифм числа
Понятие логарифма числа связано с решением показательных уравнений.
Остановимся на решении двух показательных уравнений. Решение уравнения не вызывает труда. Так как то данное уравнение примет вид Поэтому уравнение имеет единственное решение
А теперь попробуем решить уравнение По теореме о корне это уравнение также имеет единственное решение. Однако, в отличие от предыдущего уравнения, это уравнение является иррациональным числом. Докажем, что корень данного уравнения является числом рациональным, т.е. Тогда выполняется равенство или Но в любой натуральной степени будет числом четным, а в любой натуральной степени – число нечетное. Получаем противоречие, которое и доказывает, что корень уравнения – число иррациональное. Обдумывая, ситуацию с показательным уравнением математики ввели в рассмотрение новый символ – логарифм. С помощью этого символа корень уравнения записали так: (читается : логарифм числа по основанию
Остановимся теперь на понятии логарифма числа. Очень часто приходится решать задачу: известно, что необходимо найти показатель степени т.е. решить задачу, обратную возведению числа в степень. При нахождении этого показателя степени и возникает понятие логарифма числа по основанию
дается определение логарифма (Слайд 3)
Например
а) log 3 81 = 4, так как 34 = 81;
б) log 5 125 = 3, так как 53 = 125;
в) log 0,5 16 = -4, так как (0,5)-4 = 16;
г) , так как ==
Введение основного логарифмического тождества (Слайд 4)
Обратите внимание на то, что является корнем уравнения , а поэтому =8
Таким образом и получается основное логарифмическое тождество
Это равенство является краткой символической записью определения логарифмов.
Решить примеры согласно тождеству: ;=5; .
Подчеркнем, что и одна и таже математическая модель
Операцию нахождения логарифма числа называют ЛОГАРИФМИРОВАНИЕМ. (Слайд5) Эта операция является обратной по отношению к возведению в степень с соответствующим основанием. Сравните.
Возведение в степень Логарифмирование
Основные свойства логарифмов (Слайд 6)
Эти свойства вытекают из определения логарифма и свойств показательной функции.
При любом a > 0 (a 1) и любых положительных x и y выполнены равенства:
loga 1 = 0.
loga a = 1.
loga xy = loga x + loga y.
loga = loga x - loga y.
loga xp = p loga xдля любого действительного p.
Решить примеры устно. Найти x Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Ответ:
Десятичные и натуральные логарифмы (Слайд 7)
На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10.
Логарифмом положительного числа по основанию 10 называют десятичным логарифмом числа в и обозначается, т.е. вместо пишут .
Например, (Слайд № 6)
Натуральным логарифмом (обозначается In) называется логарифм по основанию e
Примеры вычисления десятичных логарифмов (Слайд 8)
так как
, так как
так как
так как
так как
так как
Формулы перехода от одного основания логарифм к другому (Слайд8)
На практике рассматривается логарифм по различным основаниям. Отсюда возникает необходимость формулы перехода от одного основания к логарифму по другому основанию. (Слайд № 6)
Решить пример типа:
Упростить выражения:
a)
б)
в)
Ответ. a) ; б); в)
5. Закрепление изученного материала
Решить устно.
Найти логарифм по основанию a числа представленного в виде степени с основанием a
Работа в парах.
Найдите число (484,485,486)
Решить устно.
Упростите выражения, пользуясь основным логарифмическим тождеством.
1) 2) 3) 4)
Выполнить упражнения. Заполнить пропуски (письменно). (Слайд 10)
6. Подведение итогов
1. Выставление и комментирование оценок на уроке
2. Домашнее задание: п37. Решить №481, 486, 487.
7. Рефлексия
Преподаватель задает учащимся вопросы:
Какая тема была изучена на уроке?
Достигнута ли цель урока?
Учащиеся призваны воспроизвести в памяти то, что усвоили, и проанализировать выводы, которые были сделаны в течение всего занятия.
Что вам сегодня больше всего запомнилось на уроке, что понравилось?
Познавательный материал «В мире логарифмов»
(слайд 34)
Джону Неперу принадлежит сам термин «Логарифм», который он перевел как «Искусственное число». Этот термин был введен в 1594 году.
Джон Непер-шотландец. В 16 лет отправился на континент, где в течении 5 лет в университете изучал математику, физику, астрономию. В своей дальнейшей жизни Непер серьезно не занимался математикой и астрономией. Имел свое имение, занимался земледелием и изобретением приборов.
К идее логарифмических вычислений Непер пришел еще в 80-х годах XVI века, однако опубликовал свои таблицы только в 1614 году, после 25-летних вычислений. Они вышли под названием «Описание чудесных логарифмических таблиц».
Логарифмы позволили перейти от сложных действий: возведение в степень, извлечение корня к умножению и делению, а затем к сложению и вычитанию.
(слайд 35)
Логарифмы послужили основой создания замечательного вычислительного инструмента – логарифмической линейки, которая более 360 лет служила инженерно-техническим работникам всего мира (вплоть до 70-х годов двадцатого века). Логарифмическая линейка имеет 12 шкал, с помощью которых можно выполнить действия умножения, деления, возведение в степень (чаще всего в квадрат и в куб), извлечение квадратных и кубических корней.
Точность выполнения операций была достаточно высокая – 4-5 знаков после запятой.
Интересный факт: отправляясь на Луну, американские астронавты
взяли с собой логарифмическую линейку в качестве запасного калькулятора.
(слайд 36)
С логарифмами связана кривая, получившая название логарифмическая спираль или изогнутая спираль. Это особый вид спирали, часто встречающийся в природе. Логарифмическая спираль была впервые описана французским математиком Рене Декартом.
Логарифмическая спираль тесно связана с явлениями природы. В качестве доказательства этого удивительного соседства можно привести такие примеры:
(слайд 37)
живые существа обычно растут во всех направлениях, сохраняя общее начертание своей формы. Раковины улиток и маллюсков могут расти лишь в одном направлении. Чтобы не слишком вытягиваться в длину им приходится скручиваться.
(слайд 38)
в ухе человека есть орган – улитка, который тоже закручен по логарифмической спирали.
(слайд 39)
чешуйки сосновой шишки и семечки в подсолнухе расположены по дугам, близким к логарифмической спирали.
(слайд 40)
паук эпейра, сплетая паутину, скручивает нити вокруг центра по логарифмической спирали
(слайд 41)
рога горных козлов (архаров) закручены по логарифмической спирали
(слайд 42)
по логарифмической спирали формируется тело циклона, океанские волны
(слайд 43)
можно обратить внимание, что Галактики открытого космоса (в том числе Галактика, включающая в себя Солнечную систему), хвосты комет – это тоже явления в природе логарифмической спирали.
(слайд 44)
Интересный факт: Ночные бабочки, которые пролетая большие расстояния, ориентируются по параллельным лунным лучам. Но если они сменят ориентацию на точечный источник света, например, на пламя свечи, то инстинкт их тут же подводит и бабочки попадают в пламя по скручивающейся логарифмической спирали.
Еще один интересный факт: если вы хотите немедленно наблюдать логарифмическую спираль в природе, то согните указательный палец и он тут же примет форму логарифмической спирали.
(слайд 45)
При оценке видимой яркости светил и при измерении громкости шума, имеют дело с логарифмической зависимостью между величинами ощущения и порождающего его раздражения. Оба эти явления – следствия общего психофизического закона, согласно которому ощущения измеряются пропорционально логарифму раздражения.
(слайд 46)
Химическая шкала кислотности очень близка к шкале звездных величин и тоже связана с логарифмами.
(слайд 47)
Классификация силы землетрясений, созданная и представленная в 1935 году геологом Чарльзом Рихтером в виде шкалы, основана на принципе логарифма.
(слайд 48)
Логарифмы используются при нахождении банковского процента по вкладам. Зная процент по вкладам, который предлагают разные банки, можно определить какой из них более выгодный.