Програма математичного гуртка для учнів 10,11 класів

Міністерство освіти і науки України
Луганський обласний інститут післядипломної педагогічної освіти

Кафедра природничо-наукових дисциплін і методики їх викладання

Програма математичного гуртка
для учнів 10,11 класів


Творчий проект
Музикантової О. К. слухача курсів
підвищення кваліфікації
вчителів математики вчителя ЗШ№1 м. Краснодона

Краснодон
2012
Зміст
№ занять
Теми занять
Кількість годин
Примітки

 
 
Тема 1. Діофантові рівняння
2
Презентація №1 


Тема 2. Тригонометричні функції
11
 

1
Числове коло. Функції Y = sinX,
Y = cosX, Y = tgX, Y = ctgX, та їх графіки.
 
Презентація №2 

2
Кускові тригонометричні фунції
 
 

3
Рішення тригонометричних рівнянь

Презентація №3

4,5
Функціонально - графічний метод рішення тригонометричних рівнянь
 
 

6,7
Метод тригонометричних підстановок.
 
 

8,9
Рішення ірраціональних тригонометричних рівнянь.
 
 

10,11
Метод розкладання на множники.
 
 


Тема 3. Рішення більш складних ірраціогальни рівнянь.
7
 

1,2
Метод підстновки. Застосування властивості монотонності фунції при
 
 


Розв'язання ірраціональних рівнянь.
 
 

3,4
Графічний метод рішення ірраціональних рівнянь.
 
 

5,6,7
Рішення рівнянь та систем з параметрами.
 
Презентація №4


Тема 4. Математичні розваги.
4
Презентація №5 


Пояснювальна записка
Людство вступає в час постійних змін. Здатність сприймати зміни і творити їх – це найважливіша характеристика способу життя людини в ХХI столітті. Викладання математики має на меті досягти такого рівня розвитку, а також знань, умінь і навичок, який потрібний для їх підготовки для практичної діяльності в умовах сучасного виробництва , для вивчення на достатньо високому рівні споріднених шкільних предметів ( фізики, інформатики, хімії, біології) і продовження освіти у вищих навчальних закладах. Загальному піднесенню математичної підготовки має допомогти правильна організація позакласної роботи. Роботу математичного гуртка необхідно організовувати відповідно до здібностей дитини,її здатності до навчання і таланту. Математичний гурток допомагає розширенню кругозору учнів у різних областях елементарної математики. Гурткова робота сприяє розвитку у дітей математичного мислення, лаконічності мови, вмілому використанню символіки, правильному застосуванню математичної термінології. Мета цієї програми – познайомити учнів з основними прийомами і методами міркувань, які відповідають математичному стилю мислення, розкрити зміст деяких спеціальних видів задач, направлених на розвиток логічного , математичного та нестандартного мислення школярів, допомогти оволодіти навичками пошуку міркувань, які ведуть до математичного відкриття, а також розвивати позитивні риси особистості: кмітливість, зосередженість, активне сприйняття знань , наполегливість в доланні труднощів.
Якщо термін «Задача» розуміти ширше (зокрема, включити в число задач і вправи на обчислення, і вправи на доведення тверджень на інше), то можна стверджувати, що вивчення математики здійснюється в процесі розв’язування задач. І так, як в розв’язуванні кожної задачі, є зернина відкриття, то в ньому повинне мати місце здогадка, інтуїція, аргументоване міркування, яке відповідає здоровому глузду.
Для розв’язування таких задач, крім знань із відповідних розділів шкільної математики, знадобляться спостережливість, вміння порівнювати, проводити аналогії, узагальнювати і систематизувати набуті знання, робити висновки і їх обґрунтовувати.
Програма розрахована на 24 години (з листопада по травень по 4 години на місяць). До кожної з тем підібрані такі задачі, які відповідають рівню їх навченості. Задачі різної складності, які розв’язуються на заняттях, дають можливість здійснювати індивідуальний підхід в навчанні, забезпечити активну участь в пошуку розв’язування їх учнів з різним рівнем навченості.
Також треба стимулювати найбільш здібних і обдарованих учнів складати свої задачі на задану тему, що сприятиме удосконаленню їх знань і вмінь.
















Тема 1. Діофантові рівняння. Практична частина.

Розв’язування рівнянь у цілих числах є однією з найстародавніших математичних задач. Уж на початку другого століття до нашої ери вавилоняни вміли їх розв’язувати. Найбільшого розвитку ця галузь математики досягла в Стародавній Греції. Основним джерелом для нас є «Арифметика» Діофанта (III ст. до н. е.).
Діофантові рівняння користуються популярністю і сьогодні. Майже на кожній олімпіаді з математики зустрічаються рівняння такого виду. Пропонують ці рівняння і на вступних екзаменах у вищі навчальні заклади. Діофантовими рівняннями називаються алгебраїчні або система алгебраїчних рівнянь з цілими коефіцієнтами з двома або більшою кількістю невідомих, для яких знаходять цілі (або раціональні розв’язки, причому число невідомих повинно бути більшим від числа рівнянь).
1.1 Розв’язати рівняння в натуральних числах.
7х + 3у = 23.
Алгоритм.
Виразим одну змінну через іншу:
13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415
2.Виділим з дробу цілу і дробову частини:
13 QUOTE 1415
Відібрати необхідні числа згідно з умовами
13 QUOTE 1415 = 2, 13 QUOTE 1415 = 3.
Виконаємо перевірку.
713 QUOTE 1415 2+313 QUOTE 14153 =23
Відповідь: (2;3).
1.2 На станцію привезли 420 тон вугілля у вагонах по 15 тон, 20 тон і 25 тон. Скільки і яких вагонів було використано, якщо відомо, що всього було 27 вагонів?
Розв’язання :
Нехай було Х вагонів по 15 тон; У вагонів по 20 тон.
Тоді було (27-Х-У) вагонів по 25 тон.
Складаємо рівняння:
15Х + 20У + 25(27-Х-У) = 420
15Х + 20У + 675 – 25Х-25У = 420
-10Х- 5У = -255
У = 51-2Х
Так як вагонів було всього 27, отже Х = 25, У = 1, Z = 27-25-1 = 1
Відповідь: 25 вагонів по 15 тон, 1 вагон по 20 тон, 1 вагон по 25 тон.
1.3 Розв’язати рівняння в цілих коренях:
7(X + Z + YXZ) = 10 (1 + YZ)
Запишемо пропорцію зібравши зліва змінні:
13 QUOTE 1415= 13 QUOTE 1415
Далі запишемо ліву і праву частини ланцюговими дробами:
13 QUOTE 1415 = 1 + 13 QUOTE 1415 = 1 + 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 =13 QUOTE 1415=x+13 QUOTE 1415;
13 QUOTE 1415=1+13 QUOTE 1415
Отже, х=1,у=2,z=3.
1.4 Великий оркестр демонстрував своє мистецтво на площі. Спочатку музиканти вишикувались у квадрат, а потім перешикувались у прямокутник, причому кількість шеренг збільшилась на 5. Скільки музикантів в оркестри.
Розв’язання:
Нехай було 13 QUOTE 1415 шерег по 13 QUOTE 1415 музикантів, тоді (13 QUOTE 1415 + 5) шеренг після перебудови по У музикантів.
Кількість музикантів не змінилася.
13 QUOTE 1415 2 = (13 QUOTE 1415 + 5)У, тоді 13 QUOTE 1415

13 QUOTE 1415 =20
2013 QUOTE 1415 20 = 400 музикантів.
Відповідь:400














Тема II. Тригонометричні функції. Практична частина.

Яким числам відповідають точки А, F, Е, К, В, L, С, Р, Д, S, якщо відомо, що Е – середина дуги АВ, L – середина дуги ВС, дуги АF,FK, КВ – рівні.
Відповідь: 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415.
1.2. Яким числам відповідають точки А,N, K, M, D, L, C, F, B,якщо відомо, що К – середина дуги АД, F – середина дуги СВ, а дуги АN, NM, MD, DL – рівні.
Відповідь: 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415
1.3. Знайти точки, які відповідають числам 1;2;3; - 5.
Так,як 13 QUOTE 1415, а 13 QUOTE 1415, тому точка 1 розташовується на дузі АВ ближче к В, точки 2 та 3 – на дузі ВС, перша – ближче к В, друга – ближче к С. Щоб знайти -5, треба рухатись з А у від’ємному напрямі, тобто за годинною стрілкою. Якщо дійдемо в цьому напрямі до В (13 QUOTE 1415тобто 13 QUOTE 1415.
Тому -5 знаходиться праворуч точки В.
1.4 Для складання аналітичних записів (подвійних нерівностей) для дуг числового кола, розглянемо для приклада відкриту дугу МР, де М – середина першої чверті числового кола, а Р – середина її другої чверті. Нерівність, що являє собою аналітичну модель дуги, ми складемо у два етапи.
На першому етапі складемо ядро аналітичної записі, для заданої дуги МР отримаємо 13 QUOTE 1415
На другому етапі складемо загальний запис:
13 QUOTE 1415
Для дуги РМ треба врахувати, що А (О) лежить в середині дуги, а тому к початку дуги необхідно рухатись у від’ємному напрямі. Отже, ядро аналітичного запису дуги РМ має вигляд:
13 QUOTE 1415 , а загальний запис буде мати вигляд
13 QUOTE 1415.
Рішення цих вправ дозволяє будувати надійний фундамент для успішного засвоєння вивчає мого матеріалу.

2.1 Після повторення властивостей функцій Y = sin X, Y = cos X, Y= tg X, Y = ctg X по можливості, треба розглянути рішення так званих кускових функцій - функцій, які задані різними формулами на різних проміжках.
Збудувати графік функції
13 QUOTE 1415
2.2 Розв’язати рівняння.
13 QUOTE 1415
Побудуємо графік 13 QUOTE 1415. Розглянемо функцію 13 QUOTE 1415. Якщо 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415, тоді 13 QUOTE 1415. Якщо 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415, тоді 13 QUOTE 1415
Отже, 13 QUOTE 1415
Графік цієї функції має такий вигляд.
А зараз зобразимо обидва графіка в одній системі координат.
Обидва графіка перетинаються у двох точках, які симетричні відносно прямій 13 QUOTE 1415. Зрозуміло, що абсциса точки перетину належить інтервалу 13 QUOTE 1415,тоді 13 QUOTE 1415, тоді 13 QUOTE 1415.
Відповідь: 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415.

2.3 Побудувати графіки:
1) 13 QUOTE 1415
2) 13 QUOTE 1415
3) 13 QUOTE 1415
2.4 Розв’язати рівняння
13 QUOTE 1415
Розв’язання:
Нехай 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415.
Будуємо ескізи графіків в одній системі координат.
13 QUOTE 1415;
Відповідь: розв’язків немає.
2.5 Розв’язати рівняння.
13 QUOTE 1415
Розв’язання:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415
Розв’язок лише один, від’ємний.
Перевіримо:
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415.
Корінь знаходиться в проміжку 13 QUOTE 1415, але точно знайти його неможливо. Існують способи наближеного обчислення коренів рівнянь, але ми не розглядаємо їх.
2.6 Розв'язати рівняння
13 QUOTE 1415
Розв’язання. Ескізи графіків 13 QUOTE 1415 та 13 QUOTE 1415 в одній системі координат показують, що ці функції дотикаються при 13 QUOTE 1415.
Але те, що ми бачимо на графіках, треба довести аналітичним методом.
Нехай 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415.
Нехай 13 QUOTE 1415, тоді 13 QUOTE 1415 і 13 QUOTE 1415.
Кутовий коефіцієнт дотичної до двох кривих у точці (1;1) той самий, тобто 13 QUOTE 1415; тобто, дотична спільна, інших точок перетину немає.
Відповідь: 1.
У шкільній програмі багато часу приділено рішенню тригонометричних рівнянь, але зовнішнє тестування показало, що треба учнів знайомити з нестандартними способами, які допоможуть учням успішно засвоїти матеріал та підготуватися до вступних іспитів в вузи.
Метод тригонометричних підстановок застосовують у тих випадках, коли, зокрема, область визначення змінної
·x
·
· 1, тоді застосовують підстановку
х = 13 QUOTE 1415; t 13 QUOTE 1415 [- 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415], або x = 13 QUOTE 1415, t 13 QUOTE 1415 [ 0;
·].
3.1. Скільки коренів на відрізку [0;1] має рівняння:
8х (2х2 – 1) (8х4 – 8х2 + 1 ) = 1
Розв’язання:
Якщо х 13 QUOTE 1415 [ 0; 1], то існує (і тільки одне) число t із відрізка [ 0; 13 QUOTE 1415] таке, що х=13 QUOTE 1415. Підставимо х=13 QUOTE 1415 в вихідне рівняння, одержимо рівняння 813 QUOTE 1415(213 QUOTE 1415)(813 QUOTE 1415 - 813 QUOTE 1415 +1)=1(*). Виконаємо в ньому тотожні перетворення:
813 QUOTE 1415 - 813 QUOTE 1415 +1 = 813 QUOTE 1415(13 QUOTE 1415 -1) + 1 =
=813 QUOTE 1415(- 13 QUOTE 1415) + 1 = - 813 QUOTE 1415 + 1 =
= -213 QUOTE 1415 + 1 = -213 QUOTE 1415 +
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·–
·
·
·–
·
·
·
·
·–
·
·
·–
·
·
·–
·
·
·
·
·
·Так як 13 QUOTE 1415 = 0 не задовольняє рівняння (**), помножено останнє рівняння на 13 QUOTE 1415
· 0, одержимо
813 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415;
413 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415;
213 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415;
13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415;
13 QUOTE 1415 - 13 QUOTE 1415;
2sin 13 QUOTE 1415 cos 13 QUOTE 1415 = 0.
sin 13 QUOTE 1415 = 0; 13 QUOTE 1415 =
·n; t = 13 QUOTE 1415; n 13 QUOTE 1415 Z
cos 13 QUOTE 1415 = 0; 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 +
·k; t = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415, k 13 QUOTE 1415 Z.
Врахуємо, що t 13 QUOTE 1415 [ 0; 13 QUOTE 1415], одержимо n = 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415;13 QUOTE 1415.
Відповідь: 3 кореня.

3.2.Розвязати рівняння:
13 QUOTE 1415 = 413 QUOTE 1415
Рoзв’язання
Область визначення рівняння |x|13 QUOTE 1415Підстановка
х=13 QUOTE 1415 Одержимо рівняння 13 QUOTE 1415 =
=4 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
·sin t
·= cos 3t. Так як t 13 QUOTE 1415 [0;
·], то sin t
·0, тоді рівняння має вигляд sin t = cos3 t.
cos3t – sin t = 0;
cos3t – cos( 13 QUOTE 1415 - t) = 0
-2 sin ( 2t - 13 QUOTE 1415 )sin (t + 13 QUOTE 1415 ) = 0.
sin(2t - 13 QUOTE 1415 ) = 0 2t - 13 QUOTE 1415 =
·n; t = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415, n 13 QUOTE 1415 Z

sin (t + 13 QUOTE 1415 ) = 0 t + 13 QUOTE 1415
·k; t=-13 QUOTE 1415Z
t=13 QUOTE 1415 Z
тоді
t= 13 QUOTE 1415+ 13 QUOTE 1415
Із одержаних серій розв’язків візьмемо лише ті, де t13 QUOTE 1415
t=13 QUOTE 1415
Тоді х=13 QUOTE 1415
·
Можна перейти до числових значень х:


13 QUOTE 1415
= - 13 QUOTE 1415 .
Cos13 QUOTE 1415= - cos13 QUOTE 1415
Відповідь: х = cos 13 QUOTE 1415
х = 13 QUOTE 1415 ; х = -13 QUOTE 1415.
4.1 Доведіть, що ас + вd13 QUOTE 1415 якщо a2 +b2 =c2 +d2 =1.
Розв’язання . Покладемо: а=13 QUOTE 1415.
Тоді ac + bd =cos13 QUOTE 1415 + sin13 QUOTE 1415
4.2.Розв’язати рівняння
13 QUOTE 1415= 2х2 _
Розв’язання
Область визначення рівняння х13 QUOTE 1415[-1;1].
Підстановка х=cos t;t13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415=2cos2-1+2cost13 QUOTE 14152t;
13 QUOTE 1415 = 213 QUOTE 1415+213 QUOTE 1415;
13 QUOTE 1415 |13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415+ 213 QUOTE 1415 t13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415,
13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 = 0;
213 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 )13 QUOTE 1415=0 ;
13 QUOTE 1415 ) = 0; 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 Z
t = - 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 , n13 QUOTE 1415 Z ;
13 QUOTE 1415) = 0; t = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415
Відберемо ті значення t, що задовольняють умові t13 QUOTE 1415
Одержимо t= 13 QUOTE 1415Тоді x = 13 QUOTE 1415.
Відповідь: x= 13 QUOTE 1415.
4.3 Розв’язати рівняння
13 QUOTE 1415 + 713 QUOTE 1415 = 5.
Нехай u = 13 QUOTE 1415 , тоді 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
12u2- 2u-2=0
6u2-u-1=0
u1=13 QUOTE 1415 u2=-13 QUOTE 1415
Отже , ми маємо
13 QUOTE 1415 +13 QUOTE 1415
отже х = 2 arctan 13 QUOTE 1415
Або tan 13 QUOTE 1415 звідки 13 QUOTE 1415 a 2arctan 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Відповідь: 2arctan 13 QUOTE 1415
-2arctan13 QUOTE 1415 +213 QUOTE 1415, n 13 QUOTE 1415
5.1 Розв`яжіть рівняння.
13 QUOTE 1415
Розв’язання. Хай 13 QUOTE 1415 , тоді 13 QUOTE 1415
Хай 13 QUOTE 1415, тоді 13 QUOTE 1415;
13 QUOTE 1415.
Отже, 13 QUOTE 1415, виходить, рівняння 13 QUOTE 1415 зводиться к системі рівнянь 13 QUOTE 1415 або к системі рівнянь 13 QUOTE 1415.
Розв’яжемо перше рівняння:
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
Розв’яжемо друге рівняння:
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Серія 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 вхожа в серію 13 QUOTE 1415отже, 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 – рішення системи, а також і рівняння.
Відповідь 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
5.2 Розв’яжіть рівняння.
13 QUOTE 1415
Розв’язання
13 QUOTE 1415
Хай 13 QUOTE 1415, тоді 13 QUOTE 1415, та рівняння буде мати такий вигляд.
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415, де 13 QUOTE 1415
Так як 13 QUOTE 1415, а 13 QUOTE 1415, то перейдемо до системи рівнянь
13 QUOTE 1415,
Звідки знаходимо 13 QUOTE 1415, тобто 13 QUOTE 1415.
Розв’язавши цю систему, маємо відповідь: 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415
5.3 Розв’язати рівняння
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 на 13 QUOTE 1415 має серію коренів 13 QUOTE 1415, а цьому відрізки належать три значення: 13 QUOTE 1415.
Крім цього у відповідь треба включити корені рівняння 13 QUOTE 1415тобто значення 4 и 13 QUOTE 1415.

6.1 Розв’язати рівняння
13 QUOTE 1415
Рішенням нерівності 13 QUOTE 1415.
Рішенням рівняння 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
Якщо 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415, та даному вирізу належить тільки значення 13 QUOTE 1415.
Якщо 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415, або 13 QUOTE 1415; відрізку 13 QUOTE 1415 належить тільки 13 QUOTE 1415.
За останніми значеннями параметру 13 QUOTE 1415 корені тригонометричного рівняння лежать поза 13 QUOTE 1415.
6.2 Розв’язати рівняння
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415.
Крім 13 QUOTE 1415, усі тригонометричного рівняння задовольняють цим умовам.
7.1 Розв’язати рівняння
13 QUOTE 1415
Рішення.
Знизимо степінь у лівій частині 4 рази:
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415
Відповідь: 13 QUOTE 1415.
7.2 Розв’язати рівняння.
13 QUOTE 1415.
Рішення.
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415,
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
Отже, 13 QUOTE 1415, або 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Відповідь: 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415.
8.1 Розв’язати рівняння.
13 QUOTE 1415
Якщо 13 QUOTE 1415 тоді
13 QUOTE 1415
Хай 13 QUOTE 1415, а 13 QUOTE 1415, тоді
13 QUOTE 1415
Отже 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Відповідь: 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415; де 13 QUOTE 1415.



Тема 3. Рішення більш складних ірраціональних рівнянь та нерівностей. Практична частина.

1.1 Розв’яжіть рівняння.
13 QUOTE 1415
Нехай 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415, тоді
13 QUOTE 1415;
13 QUOTE 1415;
13 QUOTE 1415;
13 QUOTE 1415, звідки
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415, так як 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 не є коренем рівняння.
Отже, 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415.
В цьому випадку після піднесення до квадрату, не можуть з’явитися сторонні корені, так як, підкорінне рівно додатному числу.
Відповідь:13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415.
1.2 Розв'язати рівняння.
13 QUOTE 1415
Розв’язання. Нехай 13 QUOTE 1415, тоді 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415.
Залишається вирішити сукупність двох рівнянь:
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415.
Перше рівняння має корні 13 QUOTE 1415 друге рівняння коренів не має.
Відповідь: 13 QUOTE 1415.

2.1 Розв’язати рівняння.
13 QUOTE 1415
Розв’язання:
13 QUOTE 1415 область визначення
13 QUOTE 1415 зростаюча функція, 13 QUOTE 1415 спадна. Якого виду монотонність функції 13 QUOTE 1415 нічого н можна сказати без додаткового дослідження її за допомогою похідної.
13 QUOTE 1415зростаюча функція. Перетворимо ліву частину так:
13 QUOTE 1415 .
Ця функція – спадна. У рівнянні функції різної монотонності, тому корінь може бути лише один. Перевіримо 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415. Відповідь: 13 QUOTE 1415.
2.2 Розв’язати рівняння
13 QUOTE 1415.
Розв’язання:
Область визначення рівняння 13 QUOTE 1415. Функція 13 QUOTE 1415 і 13 QUOTE 1415спадні, тоді сума двох спадних функцій також спадна функція. Функція 13 QUOTE 1415зростаюча, тому корінь рівняння лише один. Підбором 13 QUOTE 1415 робимо перевірку 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415.
Відповідь: 1.

2.3 Розв’язати рівняння.
13 QUOTE 1415
Розв’язання:
Область визначення рівняння 13 QUOTE 1415. Функції 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415зростаючи, їх сума – функція зростаюча. Функція 13 QUOTE 1415 спадна. Корінь рівняння може бути лише один. Підбором 13 QUOTE 1415, робимо перевірку.
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415.
Відповідь: 13 QUOTE 1415

3.1 Розв’язати рівняння
13 QUOTE 1415.
Розв’язання:
Графіки функцій 13 QUOTE 1415 та 13 QUOTE 1415 перетинаються у двох точках (1;1) і (4;2). Отже, рівняння має два кореня: 13 QUOTE 1415
Відповідь: 1; 4.

3.2 Побудуйте кускову функцію 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415, та розв’яжіть рівняння якщо 13 QUOTE 1415
Розв’язання:
Графіки функцій 13 QUOTE 1415, та 13 QUOTE 1415, якщо 13 QUOTE 1415 мають спільну точку (1; 1). Отже, рівняння має один корінь: 13 QUOTE 1415.

4.1 Розв’язати рівняння.
13 QUOTE 1415.
Розв’язання:
13 QUOTE 1415 область визначення рівняння.
Нехай 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415.
Будуємо ескізи графіків 13 QUOTE 1415 та 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 =13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415;
13 QUOTE 1415.
Графіки дотикаються при 13 QUOTE 1415.
Других спільних точок у графіків немає, хоч це слід обґрунтувати аналітично.
Робимо перевірку.
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415; 2 = 2.
Відповідь: 13 QUOTE 1415.
4.2 Розв'язати рівняння.
13 QUOTE 1415
Розв’язання:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 область визначення рівняння.
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415
Будуємо ескізи графіків 13 QUOTE 1415 та 13 QUOTE 1415 в одній системі координат.
13 QUOTE 1415;

13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 лише при умові 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 при 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 при 13 QUOTE 1415
Відповідь: розв’язків немає.

5.1 Розв’язати рівняння.
13 QUOTE 1415
Розв’язання:
Маємо 13 QUOTE 1415.
Якщо 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 14151
Якщо 13 QUOTE 1415то 13 QUOTE 1415 задовольняє умові 13 QUOTE 1415, отже є коренем рівняння;
Якщо а13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 14151=1 не задовольняє умові
13 QUOTE 1415, тобто стороннім коренем.
Відповідь: якщо 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 14151=1, 13 QUOTE 1415
якщо 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415.
5.2. При яких значеннях параметрах 13 QUOTE 1415, рівняння (13 QUOTE 1415)(13 QUOTE 1415 має один корінь?
Розв’язання:
Маємо: 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415. Єдиний корінь, по перше, у випадку, коли 13 QUOTE 1415 та, по-друге, коли з двох значень (13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415) один є стороннім коренем, а саме 13 QUOTE 1415. Це можливо, коли 13 QUOTE 1415 не належить області визначення рівняння:
13 QUOTE 1415 тобто при 13 QUOTE 1415
Відповідь: 13 QUOTE 1415 або 13 QUOTE 1415
6.1. Розв’язати рівняння.
13 QUOTE 1415
Нехай: 13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415 Маємо:
13 QUOTE 1415;
13 QUOTE 14150
13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415;
13 QUOTE 1415;
13 QUOTE 1415;
Тоді 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Відповідь: 13 QUOTE 1415: 13 QUOTE 1415
6.2. Розв’язати рівняння

Розв’язання:

Область визначення рівняння. Піднесемо обидві частини рівняння в області визначення до квадрата

Це рівняння квадратне відносно числа 7.
Нехай 13 QUOTE 1415
Тоді 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415;
13 QUOTE 1415 не задовольняє області визначення рівняння.
Відповідь: 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415

7.1 Розв’язати рівняння
13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415
При а13 QUOTE 1415 ліва частина рівняння не визначена, а при а13 QUOTE 14150 визначена.
При а13 QUOTE 1415 немає коренів.
а13 QUOTE 14150 після зведення у квадрат
213 QUOTE 1415=1-2х-2а
Знову зведемо у квадрат та спростимо:
4х2+4(а-1)х+4а2-4а+1=0
13 QUOTE 1415=4(1-а)2-4(4а2-4а+1)=4(2а-3а2)
Якщо Д=0 а1=0 а2=13 QUOTE 1415
Д13 QUOTE 1415 а13 QUOTE 1415
Якщо а13 QUOTE 1415, то рівняння немає коренів.
Якщо 013 QUOTE 1415 корені рівні
13 QUOTE 14151,2=13 QUOTE 1415
Перевірка.
Відповідь: якщо 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415, то коренів немає; якщо 13 QUOTE 1415, то 13 QUOTE 1415



Тема IV. Математичне тестування




























Література
Бевз В.Г. Історія математики. - Харків:Видавнича група «Основа», 2006.- 176 с.-
(Серія Бібліотека журналу «Математика в школах України»; вип.. 2 (38)).
2. Бевз Г. П. Методи навчання математики. – Харків:Видавнича група « Основа», 2003. – 96 с. – (Серія Бібліотека журналу «Математика в школах України»; вип.. 4).
3. Винниченко Е., Горошко Ю. Розв’язування задач із параметрами за допомогою « GRAN – 1» // Математика в школі. - 2006. - №4. – С. 25-28.
4. Галицкий М. Л. и др. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа.- М.: Просвещение, 1990. – 352 с.
5. Генкин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки. – Киров: АСА, 1994. – 272 с.
6. Губа Л. А. Нетрадиційні уроки математики . – Харків : Видавнича група « Основа», 2005. – 96 с.
7. Гузеев В.В. Методы и организационные формы обучения. – М.: Народное образование, 2001. – 128 с.
8. Державний стандарт базової і повної середньої освіти // Математика в школі. – 2004.- № 2.- С. 2 – 5.
9. Евсюк С. Л. Математика . Решение задач повышенной сложности .- Минск: Мисанта, 2003. - 224 с.
10. Епишева О. Б.,Крупич В. И. Учить школьников учиться математике. – М.: Просвещение, 1990.- 127 с.
11. Задачи повышенной трудности по алгебре и началам анализа: Учебное пособие для 10 – 11 классов/ Ивлев Б. М., Абрамов А, М,, Дудницын Ю. П. и др.. – М.: Просвещение, 195. – 48 с.
12. Звавич Л. И., Рязановский А. Р., Поташник А. М. Сборник задач по алгебре и математическому анализу для 10 – 11 классов: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики :Выпуск 1. – М.: Новая школа, 1996. – 38 с.
13. Інтерактивні технології на уроках математики / Упорядн. І.С. Маркова. – Вид. група «Основа»,2007. – 128 с. – ( Б-ка журналу «Математика в школах України»; Вип. 3(5) (15 шт. по 7,5 грн.).
14. Інтерактивні технології навчання: теорія, практика, досвід: методичний посібник/ автори – укладачі: О.Пометун, Л. Пироженко. – К.: А,П,Н,,2002. – 136 с.
15. Концепція математичної освіти 12 – річної школи. // Математика в школі. - №2. – С. 12 – 17.
16. Кушнір І. Шедеври шкільній математики. – К.: Астарта, 1995. – 575 с.
17.Марко М. Е. Дидактичні ігри на уроках математики. – Ужгород: Авторський навчально-виховний комплекс, 2003. – 141 с.
18. Математика після уроків. Тиждень математики / Упоряд. І. С. Маркова. – Харків: Видавнича група «Основа» , 2005. – 176 с. – (Серія « Бібліотека журналу « Математика в школах України»;вип.. 3 ( 27)).
19. Осинська В. М. Нестандартні методи розв’язання алгебраїчних рівнянь ( на допомогу учням 9 – 11 класів). – Луганськ: Знання, 2006. – 104 с.
20. Шмаков С. А.Игры учащихся – феномен культуры. – М.: Новая школа, 1994. – 240 с.
21. Шуба М. Ю. Занимательные задания в обучении математики. – М.: Просвещение, 1995. – 222 с.











13 PAGE \* MERGEFORMAT 143115






15