Методические рекомендации по развитию логического мышления на уроках математики


Практическое применение развивающих заданий на уроках математики в 5-6 классе
Для осуществления формирования логического мышления учащихся 5-6 классов можно составить систему развивающих заданий по темам:
аналогия;
исключение лишнего;
классификация;
логические задачи;
перебор;
задачи с геометрическим содержанием;
задачи «на переливание»;
задачи-шутки;
ребусы;
занимательные задания.
Эти задачи можно разделить на группы, учитывая их воздействие на мыслительную деятельность учащихся.
Формирование гибкости ума, освобождение мышления от шаблонов происходит при решении задач-шуток, занимательных заданий, задач на перебор вариантов, так как в большинстве случаев эти задачи не привязаны к темам и не требует особой теоретической подготовки.
Логические задачи, ребусы, задачи «на переливание», задачи на классификацию учат школьников умению рассуждать, формируют математический стиль мышления, развивают логико-лингвистические способности детей, которые приводят к умению четко мыслить, полноценно логически рассуждать и ясно излагать свои мысли.
Задачи на аналогию и исключение лишнего используется для формирования умений поиска решения задач, интуиции, требуют знания теории и нешаблонного подхода к решению.
Задачи с геометрическим содержанием нацелены на знание геометрических фигур и их свойств как основы для формирования пространственных и изобразительных умений школьников, на расширение кругозора.
Учитель, преподающий в 5-6 классах, может развивать логическое мышление учащихся с помощью созданной системы заданий. Для этого необходимо учитывать следующее:
1. выбранные задания должны быть посильными для детей;
2. задания, отобранные для одного урока, должны быть разнообразными для воздействия на различные компоненты мышления;
3. если ученики не справляются с заданием, то целесообразно оставить его на обдумывание до следующего урока;
4. ученикам можно дать необязательное домашнее задание по составлению аналогичных задач;
5. если на уроке время ограничено, то эти задания можно применять на занятиях математического кружка.
Учащиеся хорошо воспринимают эти задания. Ребята видят в них отдых от утомительной, иногда однообразной часто арифметической тренировки. Это ненавязчивое средство обучения логическим приемам, которые применяются в каждом математическом рассуждении.
Система развивающих заданий
Аналогия
Аналогия - это сходство между объектами в некотором отношении. Использование аналогии в математике является одной из основ поиска решения задач. Задачи этой серии направлены на отработку таких познавательных приемов, как проведение словесных аналогий и нахождение аналогии между фигурами.
Например:
1. Уменьшаемое - разность, множитель - ….?
2. Продолжите ряд:
а) 1, 5, 13, 29,….б) 1, 4, 9, 16,….
в) 7, 19, 37, 61,…г) 1, 8, 27….
3. Восстановите примеры, считая, что одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, а разные буквы – разные цифры:

Исключение лишнего
В каждой задаче этой серии указаны четыре объекта, из которых три в значительной мере сходны друг с другом, и только один отличается от всех остальных.
Например,
1. ДЛИНА, ВКУС, ПЛОЩАДЬ, МАССА
2. КМ, СМ, КГ, ДМ
3. 1, 9, 27, 64
Можно предложить детям сначала решить анаграммы, затем исключить лишнее слово.
Например, МАПРЯЯ, ЧУЛ, РЕЗОТОК, РИПЕТРЕМ (лишнее слово - периметр)
Классификация
Классификация - это общепознавательный прием мышления, суть которого заключается в разбиении данного множества объектов на попарно непересекающиеся подмножества (классы). Число таких подмножеств, а также их состав зависит от основания классификации (т.е. признака, существенного для данных объектов), которое может применять различные значения.
Например,
1. Что объединяет слова длина, площадь, масса? Какое слово к ним подходит: секунда, центнер, величина, метр?
2. Разбейте данные слова на два столбика и озаглавьте каждый столбик.
Слагаемое, вычитаемое, сумма, частное, множитель, уменьшаемое, делитель, произведение, разность.
3. В каждом задании даны пять слов. Под этим списком должны стоять еще четыре слова, разбитые на две пары. Из них даны только три. Выберите из списка одно слово, которое нужно поставить вместо знака вопроса, чтобы найденное четвертое слово находилось с третьим в таком же отношении, что и первое со вторым.
а) Величина, количество, цифра, счет, номер
Слово - буква
Натуральное число - ?б) Координата, начало, единичный отрезок, направление, шкала.
Мороженое - порция
Координатный луч - ?в) Разность, умножение, произведение, деление, частное.
Слагаемое - сумма
Множитель - ?Перебор
Сущность этого приема заключается в проведении организованного разбора и анализа всех случаев, которые потенциально возможны в ситуации, описанной в задаче.
Например:
1. Сколько имеется двузначных чисел, у которых среди цифр есть хотя бы одна тройка?
2. В числе 48352 зачеркните такие две цифры, чтобы число, образованное оставшимися цифрами в том же порядке было наибольшим (наименьшим).
Задачи на переливание
1. Имеются два сосуда вместимостью 8л и 5л. Как с помощью этих сосудов налить из водопроводного крана 3л, 7л воды?
2. Восьмилитровый бидон наполнен водой. Как с помощью трехлитровой и пятилитровой банок отлить 1 л воды?
Задачи-шутки
1. Летела стая гусей. На первом озере села половина стаи и еще погуся, а на втором остальные 8 гусей. Сколько гусей было в стае?
2. Сколько концов у двух палок; у трех палок, у пяти с половиной палок?
3. Крышка стола имеет 4 угла. Один угол отпилили. Сколько углов осталось?
4. Какой математический знак нужно поставить между 3 и 4, чтобы полученное число было больше 3, но меньше 4.
5. Расстояние от села до города 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?
Занимательные задачи.
1. Чему равно произведение -18  (-17)  (-16)  …… 16  17  18
2. Вдоль улицы стоят 100 домов. Мастера попросили изготовить номера для всех домов от 1 до 100. Чтобы выполнить заказ, он должен запастись цифрами. Посчитай, сколько девяток потребуется мастеру?
3. Вдоль всей траектории забега поставили 15 столбов. После начала забега спортсмен был у третьего столба через три минуты. За сколько минут он пробежит весь путь?
2. Примеры заданий на развитие логического мышления у учащихся
Логические задачи - это задачи, требующие умения проводить доказательные рассуждения, анализировать. Логические упражнения прямо и непосредственно ориентированы на развитие логического мышления учеников. Логические упражнения представляют собой задания творческого характера. Они позволяют организовать на уроках интересные деятельностные ситуации, которые способствуют лучшему усвоению программного материала и развитию логического мышления педагогическая практика показывает, что у основной массы учащихся здравый смысл опережает математическую подготовку. Это обуславливает высокий интерес школьников к решению таких задач. От обычных они отличаются тем, что не требуют вычислений, а решаются с помощью рассуждений. Можно сказать, что логическая задача - это особая информация, которую не только нужно отработать в соответствии с заданным условием, но и хочется это сделать.
Логические задачи достаточно интересны и очень полезны для развития математических способностей. Они вырабатывают умение устанавливать связи между объектами, наблюдательность, настойчивость. Однако при решении таких задач ученики много тратят времени на рассуждения о том, с чего начать.
В следующих задачах многочисленные факты, содержащиеся в условии, ученики легко воспринимают с помощью схем или «графов». Язык графов прост, понятен и нагляден. Графовые задачи допускают изложение в занимательной, игровой форме. Для их решения часто не требуется глубоких знаний, а следует применить смекалку. Поэтому графовые задачи можно использовать для развития соображения и улучшения логического мышления детей, начиная с детского сада и заканчивая старшими классами средней школы.
1. Встретились Белов, Чернов и Рыжов. Один из них был блондин, другой - брюнет, третий - рыжий. Брюнет сказал Белову: «Ни у одного из нас цвет волос не соответствует фамилии». Какой цвет волос у каждого из них, если брюнеты всегда говорят правду?
Решение:
Белов……………блондин
Чернов…………..брюнет
Рыжов……………рыжий
2. Три клоуна Бим, Бом и Бам вышли на арену в красной, зеленой и синей рубашках. Их туфли были тех же трех цветов. У Бима цвета рубашки и туфель совпадали. У Бома ни туфли, ни рубашка не были красными. Бам был в зеленых туфлях, но в рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?
Решение
Бим…………красные туфли
Бом…………зеленые туфли
Бам…………синие туфли
красная рубашка зеленая рубашка синяя рубашка
Бом может быть только в синих туфлях, тогда Бим в красных туфлях и в красной рубашке. Теперь Бам может быть только в синей рубашке, тогда Бом в зеленой.
Не менее интересны в данном плане и задачи, решающиеся с помощью кругов Эйлера.
3. На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям, все они были прочитаны. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. Всего Гарри Поттер прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал только Рон?
Решение
Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:

Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно,
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал только Рон.
Ответ. 8 книг прочитал только Рон.
4. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
Решение
Изобразим множества следующим образом:

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек.
Ответ. 5 человек заняты только спортом.
Рассмотрим еще одну серию задач, достаточно сложных для пятиклассников, которые часто встречаются на олимпиадах. Чтобы научить решать школьников эти задачи, нужно начать с такой вспомогательной задачи.
5. Ребята заметили, что участок вести в 15 см гусеница проползла за 7 минут. Найдите длину гусеницы, если скорость ее движения 3 см/мин.
Задачу нужно решать обязательно с рисунком.
Из двух городов одновременно навстречу друг другу отправились два велосипедиста. Проехав некоторую часть пути, первый велосипедист сделал остановку на 30 минут, а затем продолжил движение до встречи со вторым велосипедистом. Расстояние между городами составляет 118 км, скорость первого велосипедиста равна 24 км/ч, скорость второго — 28 км/ч. Определите расстояние от города, из которого выехал второй велосипедист, до места встречи. Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 06.05.2014 вариант МА90701.
2. Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин., а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости — за 3 мин. Какова длина туннеля (в км)? Источник: ГИА-2012. Математика. Диагностическая работа №1 (4 вар)
Задачи с геометрическим содержанием
Большие возможности для развития логического мышления школьников имеются в содержании геометрического материала 5 класса.
Рассмотрим на примерах, как можно использовать занимательные задачи с геометрическим содержанием в 5 классе. При этом основной целью является формирование и развитие мыслительных операций: анализа и синтеза, сравнения, аналогий, обобщения, классификации; развитие и тренинг мышления вообще и творческого в частности.
1. Деревянный окрашенный кубик распилили пополам. Сколько стало окрашенных и неокрашенных граней у каждой половины?
2. Сколько (квадратов) треугольников вы видите на рисунке?
3. Разрезать квадрат на две равные фигуры (10 способов)
4. Какая из фигур «лишняя» на рисунке?
5. Нарисуйте два треугольника так, чтобы их общей частью были: а) шестиугольник; б) пятиугольник; в) четырехугольник; г) отрезок; д) точка.
На переменах мы с классом часто решаем логические задачи – «Данетки».
1. Одновременно к реке подошли два человека. И, хотя на берегу стояла лишь одноместная лодка и поблизости больше никого не было, они благополучно переправились на противоположный берег. Как это могло получиться? (Они подошли к разным берегам реки).
2. Один человек живет на 16 этаже многоэтажного дома. Когда он спускается вниз, то всегда едет до первого этажа на лифте. Когда он поднимается один, то едет до 10 этажа на лифте, а дальше идет пешком. Если он заходит с кем-то в лифт, то поднимается на лифте до 16 этажа. В дождливую погоду он также всегда поднимается до 16 этажа на лифте. Почему он так странно себя ведет? (Этот человек лилипут. Он не дотягивается до кнопки 16 этажа, а может достать только до 10 этажа. Когда кто-то еще заходит в лифт вместе с ним, то этот человек нажимает кнопку за него. В дождливую погоду лилипут пользуется зонтиком, чтобы нажать на кнопку 16 этажа..)Система развивающих заданий позволяет привить интерес к предмету, дает более глубокое и полное понимание изучаемых тем, развивает мышление учащихся. В результате повышается успеваемость учащихся.
Устойчивые положительные результаты можно получить при подборе заданий, имеющих отношение к заданной теме. Не следует предлагать занимательные задачи как средство заполнения досуга или развлечения. Проблема включения задач подобного вида в учебный процесс должна решаться естественным образом. Анализ показывает, что среди занимательных задач много задач чисто учебного назначения, но поданных в нестандартной или проблемной форме.
Воспитание культуры мышления должно проводиться повседневно. И.Л.Никольская, специально изучавшая данную проблему, установила экспериментально, что кратковременное обучение логическим понятиям не дает эффекта, его можно достичь только тогда, когда эти понятия органически вплетены в курс математики.

Литература
Никольский С.М., Потапов М.К., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Математика. 5 класс: учебник для общеобразовательных организаций. – 2-е изд. – М. : Просвещение, 2012.
Босова Л.Л., Босова А.Ю. Информатика: Учебник для 5 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014.
Босова Л.Л., Босова А.Б. Информатика: рабочая тетрадь для 5 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014.
Босова Л.Л., Босова А.Ю. Информатика: Учебник для 6 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013.
Босова Л.Л., Босова А.Б. Информатика: рабочая тетрадь для 6 класса. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2014.
Березина Л.Ю. Графы и их применение.-М., Просвещение, 1979.-143 с.
Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1990 - 128 с.
Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. и другие. Методика преподавания математики. - М.: Просвещение, 1977.
Пойа Д. Математическое открытие. - М.: Наука, 1970.
Столяр А.А. Методы обучения математике. - Минск: Высшая школа, 1966.
Фридман Л.М., Турецкий Е.Н., Стеценко В.Я. Как научиться решать задачи. - М.: Просвещение, 1979.
Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. - М.: Просвещение, 1983.