Применение производной при решении экономических задач
Аттестуемый педагог Луконина Светлана Александровна .
Предмет математика .
Возраст учащихся группа 12 ТЭО-19к, 1 курс на базе основного общего
образования .
Тема урока Применение производной при решении экономических задач .
Цели урока:
Образовательные: Познакомить учащихся с возможностями использования математического аппарата дифференциального исчисления в экономических расчётах. Закрепить, углубить и обобщить знания в области производной с помощью решения различных задач с экономическим и практическим содержанием.
Развивающие: Продолжить развивать логическое мышление учащихся. Развивать навыки самостоятельной работы. Развивать навыки самоконтроля.
Воспитательные: Развивать познавательный интерес к предмету. Развивать творческие способности учащихся.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, тесты, таблицы, доска.
Тип урока: комбинированный.
План
Организационный момент 1 мин.
Проверка домашнего задания 3 мин.
Актуализация ранее изученного........ 3 мин.
Экономический смысл производной... 25 мин.
Задачи на экстремум в экономике.. 25 мин.
Эластичность функции 25 мин.
Подведение итогов.. 3 мин.
Домашнее задание, (проектор)...... 2 мин.
Этап рефлексии... 3 мин.
Организационный момент
Цель деятельности педагога: проверить готовность к занятию, настроить на выполнение учебных задач.
Цель деятельности учащегося: настроиться на учебный процесс, проверить свою готовность к занятию.
Вступительное слово преподавателя: На предыдущих уроках мы рассмотрели понятие производной, её геометрический и физический смысл, а сегодня рассмотрим возможность использования наших знаний при решении прикладных задач.
Проверка усвоения учащимися пройденного материала.
Цель деятельности педагога: актуализировать знания, необходимые для изучения темы, развивать позитивный интерес к предмету.
Цель деятельности учащегося: поверить в свои силы, оказавшись в ситуации успеха при решении известных задач.
Проверка домашнего задания через мультимедиа-проектор:
Задача: Найдите наибольшее и наименьшее значение функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
План решения
Реализация плана
Находим производную функции у /
13 EMBED Equation.3 1415
Находим стационарные точки функции из уравнения у /=0
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 – стационарные
точки функции
Выбираем стационарные точки, принадлежащие отрезку 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Находим значения функции в стационарных точках (принадлежащих промежутку) и на концах промежутка
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Из найденных значений выбираем наибольшее и наименьшее и записываем ответ.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Актуализация ранее изученного.
Вопросы для обсуждения:
Определение производной.
Производные элементарных функций.
Правила вычисления производных.
Дифференцирование сложной функции.
Экономический смысл производной
Производительность труда.
Пусть известна функция 13 EMBED Equation.3 1415, выражающая объём произведённой продукции и за время t. Тогда за время 13 EMBED Equation.3 1415 величина произведённой продукции составит
13 EMBED Equation.3 1415
Средняя производительность труда – это отношение количества произведённой продукции к затраченному времени, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
Производительностью труда в момент времени t0 называется предел, к которому стремится zср при 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Предельные затраты.
Пусть q – объём произведённой продукции, С – её себестоимость (или издержки), зависящая от q, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Средние затраты на единицу продукции (средняя себестоимость) определяются по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
Найдём 13 EMBED Equation.3 1415 – приращение затрат на производство, связанное с увеличением объёма произведённой продукции на величину 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Отношение 13 EMBED Equation.3 1415 есть среднее приращение затрат на производство, т.е. приращение затрат на единицу произведённой продукции. Тогда, если существует
13 EMBED Equation.3 1415
То 13 EMBED Equation.3 1415 называют предельными затратами на производство (себестоимостью). В экономических исследованиях предельные издержки называют маржинальными и обозначают через МС, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
Предельный доход.
Пусть функция 13 EMBED Equation.3 1415 отражает зависимость дохода R от объёма продукции q. Рассуждения, аналогичные предыдущим, приведут к формуле
13 EMBED Equation.3 1415
Величина 13 EMBED Equation.3 1415 определяет предельный доход, который называют маржинальным и обозначают через МС, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
Задача: Объём продукции и, выпускаемой рабочим в течение рабочего дня, выражается функцией 13 EMBED Equation.3 1415, где t – время, ч; причём 13 EMBED Equation.3 1415. Необходимо вычислить производительность труда и скорость её изменения через 1 ч после начала и за 1 ч до окончания рабочего дня.
Решение:
Производительность труда 13 EMBED Equation.3 1415 выражается формулой 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда
13 EMBED Equation.3 1415
Производительность труда через 1 ч после начала работы
13 EMBED Equation.3 1415(у.е.)
Производительность труда за 1 ч до окончания работы
13 EMBED Equation.3 1415(у.е.)
Скорость изменения производительности труда 13 EMBED Equation.3 1415
Значит, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Задачи на экстремум в экономике.
Алгоритм решения задачи
на определение наибольшего или наименьшего значений:
Этап построения математической модели (этап формализации).
выявляем оптимизируемую величину (прибыль, расходы на производство и т.п.). и обозначаем её у;
одну из неизвестных величин (цену товара, величину спроса, объём производства и т.п.) считаем независимой переменной и обозначаем х. Устанавливаем реальные границы изменения х в соответствии с условием задачи;
исходя из конкретных условий задачи, выражаем у через х и известные величины.
Этап исследования математической модели.
для полученной функции находим максимум или минимум (в зависимости от требований задачи) на промежутке реального изменения х.
Этап интерпретации результатов.
интерпретируем полученные результаты для данных задачи.
Данный алгоритм подходит и для функции с двумя переменными.
Задача: Затраты на производство продукции объёма х задаются функцией 13 EMBED Equation.3 1415. Производитель реализует продукцию по цене 25 ден.ед. Найдите максимальную прибыль П и соответствующий объём продукции х.
Решение:
План решения
Реализация плана
Записываем исходную формулу для вычисления величины, экстремальное значение которой надо найти
Прибыль равна разности между выручкой U и затратами С.
П= U – С
Находим соответствующую функцию, зависящую от х
Реализовав продукцию объёма х по цене 25 ден.ед., предприниматель имеет выручку, 13 EMBED Equation.3 1415. При этом затраты составят 13 EMBED Equation.3 1415. Значит,
13 EMBED Equation.3 1415
Определяем (по смыслу задачи) область определения функции
По смыслу задачи объём продукции х может принимать любое положительное значение, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
Формулируем математическую задачу
Найти наибольшее значение функции
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
Функцию аргумента х исследуем на экстремум на найденном промежутке
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, следовательно
стационарная точка функции 13 EMBED Equation.3 1415
Производная меняет свой знак при переходе через эту точку с «+» на «–», значит 13 EMBED Equation.3 1415 – точка максимума.
13 EMBED Equation.3 1415
Интерпретируем результаты и записываем ответ
Максимальная прибыль, равная 96 ден.ед., достигается при объёме производства 10 у.е.
Понятие эластичности в микроэкономике.
Для исследования экономических процессов и решения прикладных задач используется понятие эластичности функции.
Эластичностью функции (с точки зрения математики) 13EMBED Unknown1415 называется предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при 13EMBED Unknown1415.
13EMBED Unknown1415
13EMBED Unknown1415
Экономический смысл эластичности функции в том, что она выражает приближённый процентный прирост значения функции при приращении аргумента на 1%.
Свойства эластичности:
Эластичность – безразмерная величина, т.е. её значение не зависит от единиц измерения величин х и у.
Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций.
13EMBED Unknown1415
Эластичность частного двух функций равна разности эластичностей этих функций.
13EMBED Unknown1415
Эластичность спроса q относительно цены p.
Пусть спрос зависит от цены по закону 13 EMBED Equation.3 1415. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 показывает, как изменится спрос на данный товар, если цена изменится на 1%. Так как обычно 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. с увеличением цены спрос падает, то 13 EMBED Equation.3 1415 берут со знаком «–», т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13EMBED Unknown1415 то говорят, что спрос эластичен; если 13EMBED Unknown1415 то не эластичен; если же 13EMBED Unknown1415то спрос нейтрален.
Перекрестная эластичность спроса по цене характеризует относительное изменение величины спроса на один товар или услуги при изменении цены на другие (замещающие или дополняющие) на один процент.
13 EMBED Equation.3 1415
Положительный знак в (10) свидетельствует о замещаемости, а отрицательный – о дополняемости.
Эластичность спроса q относительно дохода r.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – закон зависимости спроса от дохода. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 есть эластичность спроса относительно дохода, она показывает как изменится спрос на данный товар, если доход изменится на 1%.
Аналогично можно определить эластичность предложения s относительно цены р или дохода r:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Ценовая эластичность ресурсов.
13 EMBED Equation.3 1415
Характеризует относительное изменение величины спроса на какой-либо ресурс (например, труд) при изменении цены этого ресурса (зарплаты) на один процент.
Эластичность замещения одного ресурса другим
13 EMBED Equation.3 1415
Характеризует необходимое изменение величины одного ресурса (капитала) при изменении количества другого ресурса (труда) на один процент с тем, чтобы выпуск при этом не сократился.
Пример 1: Функция спроса: 13 EMBED Equation.3 1415 Функция предложения: S = p + 0,5. Здесь р(руб) – цена товара, q(шт.) – количество покупаемого товара; S(шт.) – количество предлагаемого на продажу товара в единицах времени.
Найти: а) равновесную цену: q= S; б) эластичность спроса и предложения для этой цены.
Решение: а) 13 EMBED Equation.3 1415 ( p = 2 руб.
б) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 ( неэластична
13 EMBED Equation.3 1415 ( 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 ( неэластична.
Следовательно изменение цены не приведет к резкому изменению спроса и предложения. При увеличении цены р на 1% спрос уменьшится на 0,3%, а предложение увеличится на 0,8%.
Пример 2: Функция спроса y от цены х продукта имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415. Найти коэффициент эластичности спроса при цене товара 13 EMBED Equation.3 1415 единицы.
Решение. Коэффициент эластичности спроса равен
13 EMBED Equation.3 1415.
При 13 EMBED Equation.3 1415 получаем 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. при повышении цены на 1% спрос на товар уменьшится на 0,25%. Так как 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, то спрос при цене 13 EMBED Equation.3 1415 единицы не эластичен.
VII. Подведение итогов урока. Выставление оценок.
VIII. Домашнее задание, слайд № 15.
Тематические тесты. Раздел 2.5. А3; А6 ; А15; В30; В38; В43.
Записи в тетрадях.
IX. Рефлексия урока.
Цель деятельности педагога: создание условий для саморазвития, самопознания школьника.
Цель деятельности учащегося: воспроизведение полученных в ходе занятия знаний; осознание собственной деятельности.
Слово преподавателя:
Какими навыками, умениями вы овладели на сегодняшнем уроке?
Что было непонятно?
Решение каких задач показалось вам сложным?
Какие задания вам понравились?
Что удивило вас?
13PAGE 15
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14915
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native