Методические рекомендации к практическим занятиям по математики для студентов 1 курса

БОУ Чувашской Республики СПО «ЧТСГХ» Минобразования Чувашии

СМК – 02/01 – 20/09




К ОПОП специальности
030912



МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

по дисциплине
Математика



для студентов
1
курса



специальности
030912 Право и организация социального обеспечения






РАССМОТРЕНО

СОСТАВИЛА
Скворцова Е.В.

на заседании цикловой комиссии

Физико-математических дисциплин и ИТ














Протокол
№






от «

»

2013 года



Председатель



Михопарова О.В.




















2013 г.Оглавление

Введение
4

Практическое занятие №1,2. Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений. Практические приемы приближенных вычислений. Проверка остаточных знаний.
5

Практическое занятие №3 Определение комплексного числа, понятие равенства и действия сложения и умножения комплексных чисел, модуль и аргумент комплексного числа.
9

Практическое занятие №4. Решение задач на тему: «Арифметический корень натуральной степени. Степень с рациональным и действительным показателями».

12

Практическое занятие №5. Вычисление логарифмов.

13

Практическое занятие №6. Нахождение значения тригонометрических выражений. Определение знаков чисел 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
15

Практическое занятие №7. Преобразования простейших тригонометрических выражений. Вычисления с помощью формулы сложения.
17

Практическое занятие №8. Использование формул двойного угла, формул половинного угла, Использование формул приведения. Сумма и разность синусов и косинусов.
20

Практическое занятие №9 Уравнения вида 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
22

Практическое занятие №10 Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функции. Обратные функции.
24

Практическое занятие №11 Построение степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций.
27

Практическое занятие №12 Нахождение производных элементарных функций.

29

Практическое занятие №13Проверочная работа.

29

Практическое занятие №14 Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции.

31

Практическое занятие №15 Применение производной к построению графиков функций.
34

Практическое занятие №16. Применение второй производной к построению графиков функций.
34

Практическое занятие №17. Вычисление определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
36

Практическое занятие №18. Решение уравнений и неравенств.

37

Практическое занятие №19. Вычисления определителей второго и третьего порядков.

39

Практическое занятие №20. Решение систем уравнений с помощью формулы Крамера.

40

Практическое занятие №21. Решение показательных и тригонометрических уравнений и неравенств.
42

Практическое занятие №22. Проверочная работа.

42

Практическое занятие №23.Решение задач на нахождение углов и расстояний в пространстве.
44

Практическое занятие №24. Решение задач на построение проекций фигур и на нахождение двугранных углов.
47

Практическое занятие №25. Выполнение действий над векторами.

49

Практическое занятие №26. Сложение и вычитание векторов. Скалярное произведение векторов.
50

Практическое занятие №27. Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.
51

Практическое занятие №28. Определения цилиндра, конуса и их элементов. Свойства цилиндра и конуса. Сечения цилиндра и конуса плоскостями. Определения шара, сферы и их элементов. Вписанная и описанная сферы. Сечения шара и сферы. Касательная плоскость к сфере.
53

Практическое занятие №29. Проверочная работа.

55

Список литературы

56


Введение
Курс предназначен для ознакомления студентов с основными понятиями разделов математики (Развитие понятия о числе; Корни, степени и логарифмы; Основы тригонометрии; Функции, их свойства и графики; Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции; Начало математического анализа; Уравнения и неравенства; Прямые и плоскости в пространстве; Координаты и векторы; Многогранники; Элементы теории вероятности и математической статистики), которые обычно изучаются студентами на первом курсе.
Математические знания, которые студент должен приобрести в результате изучения настоящего курса, призваны сыграть важную роль в процессе его дальнейшего обучения. Они понадобятся ему для успешного изучения общетеоретических и специальных предметов специализации.
В настоящее время математические методы широко используются для решения самых разнообразных технических и технологических задач. Поэтому студент должен предвидеть, что и после окончания учебного заведения он не раз столкнется с необходимостью применить свои математические знания в практической деятельности.
Курс математики призван создать у студента прочные навыки логического мышления, столь необходимые каждому специалисту.
Практическое занятие - это такой метод обучения, при котором обучающиеся под руководством преподавателя и по заранее намеченному плану выполняют определенные практические задания и в процессе их воспринимают и осмысливают новый учебный материал.
Проведение практических занятий с целью осмысления нового учебного материала включает в себя следующие методические приемы:
- постановку темы занятий и определение задач практических занятий;
- определение порядка практического занятия или отдельных ее этапов;
- непосредственное выполнение практических занятий учащимися и контроль преподавателя за ходом занятий и соблюдением техники безопасности;
- подведение итогов практических занятий и формулирование основных выводов.

Практическое занятие №1,№2
Нахождение приближенных значений величин и погрешностей вычислений.

Цели занятия:
Образовательная: Закрепить умения, знания, навыки
Воспитательная: Воспитание нравственных качеств
Развивающая: Развитие творческого и технического мышления

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание №1.Известно, что -0,333 является приближенным значением для 13 EMBED Equation.3 1415 Найти погрешность и абсолютную погрешность этого приближения.
Здесь 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415Тогда, согласно определению погрешности приближения, 13 EMBED Equation.3 1415Следовательно, погрешность приближения равна 13 EMBED Equation.3 1415а абсолютная погрешность приближения равна 13 EMBED Equation.3 1415
Задание №2. Известно, что 13 EMBED Equation.3 1415 Найти точность приближенного равенства 13 EMBED Equation.3 1415
Мы не знаем всех десятичных знаков в разложении числа 13 EMBED Equation.3 1415 и в этом смысле мы не знаем истинного значения 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, мы не можем найти погрешность и абсолютную погрешность данного приближения. Однако мы можем указать границу абсолютной погрешности. Действительно, так как
13 EMBED Equation.3 1415
то 13 EMBED Equation.3 1415 и поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 0,01, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Задание №3.Известно, что 0,111 является приближенным значением для 13 EMBED Equation.3 1415Найти абсолютную и относительную погрешности этого приближения.
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415Тогда 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, абсолютная погрешность приближения равна 13 EMBED Equation.3 1415а относительная погрешность равна 13 EMBED Equation.3 1415
Задание № 4. Известно, что 13 EMBED Equation.3 1415Найти относительную точность приближенного равенства 13 EMBED Equation.3 1415
Здесь 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415Очевидно, что 13 EMBED Equation.3 1415
и 13 EMBED Equation.3 1415 и поэтому граница абсолютной погрешности равна 0,01, а граница относительной погрешности равна 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 с относительной точностью до 0,008. В этом случае говорят, что 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 0,8%.
Задание № 5.Известно, что 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 10%. Найти границу абсолютной погрешности.
По условию, граница относительной погрешности равна 0,1. Следовательно,
Граница абсолютной погрешности равна 0,113 EMBED Equation.3 14152,56=0,256.

Упражнения
1. Найдите погрешность и абсолютную погрешность приближенного значения 13 EMBED Equation.3 1415величины 13 EMBED Equation.3 1415, если
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2. Определить точность приближенного равенства 13 EMBED Equation.3 1415 если
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3. Граница абсолютной погрешности приближенного значения 13 EMBED Equation.3 1415 числа 13 EMBED Equation.3 1415 равна 13 EMBED Equation.3 1415 Найдите границы, в которых заключено число 13 EMBED Equation.3 1415, если
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
4. Известно, что 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 13 EMBED Equation.3 1415процентов. Найдите границу абсолютной погрешности, если
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Практические приемы приближенных вычислений.

Задание № 1. Найти сумму 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 По правилу подсчета точности суммы получаем
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 0,1, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415
Задание № 2.Найти периметр треугольника ABC, если 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Если через P обозначить периметр данного треугольника:
13 EMBED Equation.3 1415
то, 13 EMBED Equation.3 1415с точностью до 13 EMBED Equation.3 1415 т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Задание № 3.Найти разность 13 EMBED Equation.3 1415,если 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Здесь 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 По правилу подсчета точности разности получаем
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 0,07, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Задание № 4. Найти разность 13 EMBED Equation.3 1415,если 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 1%, 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 2%.
Сначала найдем границы абсолютных погрешностей 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 для 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда граница абсолютной погрешности суммы вычисляется по формуле 13 EMBED Equation.3 1415
Округлив 0,089 с избытком до сотых, получим 13 EMBED Equation.3 1415
По 13 EMBED Equation.3 1415 и приближенному значению 6,5 находим границу относительной погрешности: 13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 с относительной точностью до 0,014. Если относительную точность выразить в процентах, то получим 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 1,4%.
Задание № 5. Найти площадь прямоугольника ширины 13 EMBED Equation.3 1415 и длины 13 EMBED Equation.3 1415 если 13 EMBED Equation.3 1415м и 13 EMBED Equation.3 1415м с точностью до 1%.
Если 13 EMBED Equation.3 1415- площадь данного прямоугольника, то, как известно, 13 EMBED Equation.3 1415 и поэтому 13 EMBED Equation.3 1415приближенно равна 4 м
· 5,4 м = 21,6 м2 .
Тогда по правилу подсчета точности произведения получаем 13 EMBED Equation.3 1415 м2 с точностью до 2%, т.е. с относительной точностью до 0,02.
Найдем границу абсолютной погрешности произведения: 13 EMBED Equation.3 1415 м2 =0,432 м2.
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 м2 с точностью до 0,432 м2.
Задание № 6. Найти площадь прямоугольника ширины 13 EMBED Equation.3 1415 и длины, 13 EMBED Equation.3 1415 если 13 EMBED Equation.3 1415м и 13 EMBED Equation.3 1415м.
Из данных задачи следует, что приближенное значение площади 13 EMBED Equation.3 1415 равно
4,0 м
· 5,4 м = 21,6 м2 .
Так как граница абсолютной погрешности измерения ширины и длины равна 0,05 м, то границы относительных погрешностей равны
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Тогда граница относительной погрешности для произведения равна сумме этих границ:
13 EMBED Equation.3 1415
а граница абсолютной погрешности равна
13 EMBED Equation.3 1415 м2 = 0,47 м2.
Следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415 м2.
Задание № 7.Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 1%.
По правилу подсчета точности частного получаем 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 2%,
т.е. с относительной точностью до 0,02. Найдем границу абсолютной погрешности частного:
13 EMBED Equation.3 1415
Взяв значение 13 EMBED Equation.3 1415 с избытком с точностью до 13 EMBED Equation.3 1415 получим 13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
Округлив 0,523 до сотых, получим 13 EMBED Equation.3 1415 Наконец, округлив точность до 13 EMBED Equation.3 1415 с избытком, получим 13 EMBED Equation.3 1415
Задание № 8.Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415если 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Для вычисления точности 13 EMBED Equation.3 1415приближенного значения 13 EMBED Equation.3 1415
Частного 13 EMBED Equation.3 1415 можно сначала найти относительные точности 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 делимого и делителя:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415затем найти границу 13 EMBED Equation.3 1415 относительной погрешности частного: 13 EMBED Equation.3 1415
и, наконец, найти 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415 Мы не будем проводить эти вычисления до конца. Вычислим частное 13 EMBED Equation.3 1415 по способу границ. По условию, 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415Так как 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
то отсюда получаем границы для частного: 13 EMBED Equation.3 1415
За приближенное значение частного 13 EMBED Equation.3 1415 возьмем среднее арифметическое этих границ:
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда точность 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415После соответствующих округлений получаем
13 EMBED Equation.3 1415
Задание №9.С какой относительной точностью надо измерить сторону квадрата, чтобы при вычислении его площади относительная погрешность не превышала 1%.
Если сторона квадрата равна 13 EMBED Equation.3 1415, то, как известно, его площадь 13 EMBED Equation.3 1415 вычисляется по формуле
13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, сторону квадрата нужно измерить с точностью до 0,5%. Тогда площадь квадрата будет вычислена с точностью до 1%.

Упражнения
1. Найдите сумму 13 EMBED Equation.3 1415 найдите разность 13 EMBED Equation.3 1415 если
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите произведение 13 EMBED Equation.3 1415 найдите частное 13 EMBED Equation.3 1415, если
1) 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 0,5%, 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 1%;
2) 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 1%, 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 0,5%;
3) 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 0,1%, 13 EMBED Equation.3 1415 с точностью до 1%.
3. Известно, что длина ребра куба измерена с точностью 0,5%. С какой точностью будет вычислен объем куба?
4. Известно, что длина ребра куба более 5 см, но не менее 6 см. С какой точностью надо измерить ребро куба, чтобы погрешность объема не превышала 2 см3.
Задание на дом: Н.В. Богомолов §1,2,3 №8,28,29

Контрольные вопросы
1.Абсолютная погрешность приближенного значения числа.
2. Граница абсолютной погрешности.
3.Верные цифры числа.
4. Запись приближенного значения числа.
5. Округление приближенных чисел.
6. Относительная погрешность приближенного значения числа.
7. Сложение приближенных значений чисел.
8. Вычитание приближенных значений чисел.
9. Умножение приближенных значений чисел.
10. Деление приближенных значений чисел.

Практическое занятие №3
Определение комплексного числа, понятие равенства и действия сложения и умножения комплексных чисел, модуль и аргумент комплексного числа

Цели занятия:
Образовательная: научить преобразовывать координаты при переходе к новому базису.
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия: доска, ручка, бумага, учебник.
Действия с комплексными числами.
1)
2)
3) или

Тригонометрическая форма числа.

или
Упражнения
1.Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415
2.Вычислить: (2+3i)(3-2i).
3.Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415.
4.Вычислить: 13 EMBED Equation.3 1415.
5.Вычислить13 EMBED Equation.3 1415.
6.Представить в тригонометрической форме комплексное число:(1)
7.Представить в тригонометрической форме комплексное число:(-1)
8.Представить в тригонометрической форме комплексное число:(-i)
9.Представить в тригонометрической форме комплексное число:(2+2 i)
10.Представить в тригонометрической форме комплексное число:(3+3i)
11.Представить в алгебраической форме комплексное числа:
а) 13 EMBED Equation.3 1415(cos13 EMBED Equation.3 1415+isin13 EMBED Equation.3 1415) б)2(cos13 EMBED Equation.3 1415+isin13 EMBED Equation.3 1415)
в)2 (cos13 EMBED Equation.3 1415+isin13 EMBED Equation.3 1415) г) (cos13 EMBED Equation.3 1415+isin13 EMBED Equation.3 1415)
Задание на дом: Н.В. Богомолов: §2, №23-26, стр. 234.
Контрольные вопросы
Определение комплексного числа.
Действия над комплексными числами.
Тригонометрическая форма комплексного числа.


Практическое занятие № 4
Решение задач на тему: Арифметический корень натуральной степени.
Решение задач на тему: Степень с действительным и рациональным показателем.
Цели занятия:
Образовательная: Закрепить умения, знания, навыки
Воспитательная: Формирование нравственных качеств, ответственности
Развивающая: Развитие творческого и технического мышления

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание №1.Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415=81.
Запишем уравнение в виде 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, уравнение 13 EMBED Equation.3 1415=81 имеет два действительных корня 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Их называют корнями четвертой степени из числа 81, а положительный корень (число 3) называют арифметическим корнем четвертой степени из числа 81 и обозначают 13 EMBED Equation.3 1415. Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415=3.
Задание№2.Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415.
Запишем в виде 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то x-2=0,откуда x=2. Итак, уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет один действительный корень x=2. Так как 2>0, то это число – арифметический корень из 8, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№3.Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415.
Запишем в виде 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то x+2=0,откуда x=-2. Итак, уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет один действительный корень x=-2. Так как -2<0, то это число – арифметический корень из -8, но оно не является арифметическим корнем. Число -2 называют корнем кубическим из числа -8 и обозначают 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№4.Упростить выражение13 EMBED Equation.3 1415,где a>0,b>0.
Используя свойства арифметического корня, получаем
13 EMBED Equation.3 1415
Задание №5. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание №6. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задание №7. Упростить выражение 13 EMBED Equation.3 1415
Применяя свойства степени с действительным показателем, получаем 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание №8. Сравнить числа 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Сравним показатели 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 12<18, то
13 EMBED Equation.3 1415 < 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому по теореме 13 EMBED Equation.3 1415 < 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№9. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
По свойствам степени 13 EMBED Equation.3 1415=213 EMBED Equation.3 1415. Поэтому уравнение можно записать так: 13 EMBED Equation.3 1415.Применяя следствие 2, получаем 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.

Упражнения
Вычислить:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415;

5) 13 EMBED Equation.3 1415; 6) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Представить в виде степени с рациональным показателем:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Сократить дробь:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
4.Вычислить:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Выяснить какое из чисел больше:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Решить уравнения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415;

7. Вычислите:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415; 3)13 EMBED Equation.3 1415; 4)13 EMBED Equation.3 1415.

8. Вычислить:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415
9. Вычислить:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415
10. Решить уравнения:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3)13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
11. Вычислить:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415
12. Вычислить:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415
13. Упростить выражение:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415
14. Сравнить значения выражения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415

15.Вычислить:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415; 3)13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание на дом: Ш.А. Алимов: §4 №48-51, стр. 17-23,§5, №87-89, стр. 24-38.

Контрольные вопросы
1.Арифметическим корнем натуральной степени называется
2.Свойства арифметического корня
3.Степень с рациональным показателем.
4.Свойства степеней с рациональными показателями.
5.Степень с действительным показателем.
6.Свойства степеней с действительными показателями




Практическое занятие №5.
Вычисление логарифмов.

Цели занятия:
Образовательная: Закрепить умения, знания, навыки
Воспитательная: Воспитание организованности, дисциплинированности
Развивающая: Развитие наблюдательности, внимания, памяти

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание №1. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415.
Обозначим 13 EMBED Equation.3 1415 По определению логарифма 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание №2. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415.
Используя свойства степени и основное логарифмическое тождество, находим 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№3. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
По определению логарифма 13 EMBED Equation.3 1415, откуда x= -8.
Задание№4. При каких значениях x существует 13 EMBED Equation.3 1415?
Так как основание логарифма 5>0, и 13 EMBED Equation.3 1415, то данный логарифм существует только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415. Решая это неравенство, находим 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание №5. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Задание №6.Вычислить:13 EMBED Equation.3 1415
Преобразуем данное выражение, используя свойство суммы логарифмов и определение натурального логарифма: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание №7.

Задание №8.Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
Внесем тройку в числителе под знак логарифма и воспользуемся свойствами суммы и разности логарифмов 13 EMBED Equation.3 1415.
Упражнения
Вычислить:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
2. Вычислить:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
3.Решить уравнение:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Выяснить, при каких значениях x существует логарифм:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
5.Вычислить:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415;
6. Вычислить:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
7. Доказать, что если 13 EMBED Equation.3 1415то 13 EMBED Equation.3 1415. Используя эту формулу, вычислить: 1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
8.Выразить данный логарифм через десятичный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
9.Выразить данный логарифм через натуральный и вычислить на микрокалькуляторе с точностью до 0,01:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
10.Вычислить:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание на дом: Ш.А. Алимов: §15, 16, 17, №298, 300,313, 314, стр. 88-98.
Контрольные вопросы
1.Определение логарифма.
2.Свойства логарифмов.
3. Определение десятичного логарифма.
4.Определение натурального логарифма

Практическое занятие №6.
Нахождение значения тригонометрических выражений. Определение знаков чисел 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Цели занятия:
Образовательная: Выработать навыки преобразования тригонометрических выражений Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание №1. Вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Используя таблицу, получаем 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Задание№2. Выяснить знаки синуса и косинуса угла 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Так как угол 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то при повороте точки (1;0) на угол 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415получается точка третьей четверти. Поэтому 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Упражнения
1.Вычислить:
1) 13 EMBED Microsoft
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
2. Найти значение выражения:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
3. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
4. Определить знак числа 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
5) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 6) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415

5. Определить знак числа 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
5) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 6) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
6. Определить знак числа 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
5) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 6) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
7. Определить знак числа 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
8. Сравнить значения выражений:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
9. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 4)13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
10. Для каких значений аргумента 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, заключенных в промежутке от 0 до 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, знаки синуса и косинуса совпадают (различны)?
Задание на дом: Ш.А. Алимов: §23, 24, №437, 438, 446, 447, стр. 124-133.
Контрольные вопросы
1.Определение синуса угла;
2. Определение косинуса угла;
3. Определение тангенса (котангенса) угла;
4. Таблица значений тригонометрических функций;
5. Знаки синуса и косинуса, тангенса.

Практическое занятие№7.
Преобразования простейших тригонометрических выражений. Вычисления с помощью формулы сложения.

Цели занятия:
Образовательная: Выработать навыки преобразования тригонометрических выражений. Выработать навыки вычисления функции с помощью формул сложения
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание №1. Вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Воспользуемся формулой 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, т.е. в формуле 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 перед корнем нужно поставить знак минус: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Задание№2. Вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
По формуле 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415получаем 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Тангенс во второй четверти отрицателен, поэтому 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Задание №3. Доказать тождество13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Чтобы доказать это тождество, покажем, что разность между его левой и правой частями равна нулю:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Задание№4. Вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
По формуле 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 находим 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Задание№5. Вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415

Упражнения
1.Вычислить значение каждой из тригонометрических функций, если:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
2. Какие значения может принимать:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
3. Известно, что 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Найти значение выражения:
1)13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
4. Доказать тождество:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
5. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
6. Вычислить:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
7. Упростить выражение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
8.С помощью формул сложения вычислить:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
9. Вычислить:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
10. Упростить выражение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
11. Доказать тождество:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
12. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.


Задание на дом: Ш.А. Алимов: §25, 26, 27, №470, 479, стр. 133-141; §28, №492-495, стр. 142-146
Контрольные вопросы
1. Основное тригонометрическое тождество.
2. Зависимость между синусом и косинусом.
3. Зависимость между тангенсом и котангенсом.
4. Способы доказательства тождества.
5. Синус, косинус и тангенс углов 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и -13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
6. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=
7. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=
8. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 =
9. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 =
10. 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 =


Практическое занятие №8.
Использование формул двойного угла. Использование формул половинного угла. Использование формул приведения. Сумма и разность синусов и косинусов.

Цели занятия:
Образовательная: Выработать знания, умения, навыки
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание№1. Вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
По формуле 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 находим 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=
=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Так как 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Следовательно, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Задание№2.Вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Используя формулу 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и основное тригонометрическое тождество, получаем
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Задание №3. Вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Полагая в формуле 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, получаем 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Если 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то по формуле 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415находим 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Задание№4. Вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Используя формулу 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, получаем
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Задание№5. Вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
=13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.

Упражнения
1.Выразить синус, косинус или тангенс, используя формулы двойного угла:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
2.Вычислить, не используя, калькулятор:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 .
3. Вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
4. Вычислить 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, если:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
5.Упростить выражение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
6.Доказать тождество:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
7. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
8.Найти острый угол, при котором выполняется равенство:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
9.Используя формулы приведения, вычислить:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
10. Упростить выражение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
11. Найти значение выражения:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
3) 313 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
12. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
13. Упростить выражение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
14. Вычислить:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
15. Преобразовать в произведение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
16. Доказать тождество:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
17. Разложить на множители:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.

Задание на дом: Ш.А. Алимов: §29-32 №508-512, 519-523, 529-535, 557-567 стр. 147-164.

Контрольные вопросы
1.Вывод формулы 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
2. Вывод формулы 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
3. Вывод формулы 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
4. Формулы приведения для синуса;
5. Формулы приведения для косинуса;
6. Формулы приведения для тангенса;
7. Сумма и разность синусов;
8. Сумма и разность косинусов.






Практическое занятие №9.

Решение уравнений вида 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Цели занятия:
Образовательная: Совершенствовать навыки решения задач
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание№1. Решить уравнение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Вспомним, что cos x – это абсцисса точки окружности с радиусом, равным 1, полученной в результате поворота точки Р (1; 0) на угол х вокруг начала координат.
Абсцисса 1/2 есть у двух точек окружности 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Так как 1/2 = cos 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то точку13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 мы можем получить из точки Р (1; 0) путем поворота на угол13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=
·/3, а также на углы
х = 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+ 2
·k, где k = +/-1, +/-2,
Точка 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 = -13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, а также на углы
-13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+ 2
·k, где k = +/-1, +/-2,
Итак, все корни уравнения cos x = 1/2 можно найти по формулам х = 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+ 2
·k
х = -13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+ 2
·k, где k Z.
Две представленные формулы можно объединить в одну:
х = 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+ 2
·k, k Z.
Задание№2. Решить уравнение sin x = -1/2.

Ординату -1/2 имеют две точки единичной окружности 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, где 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 =13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 = -13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Следовательно, все корни уравнения sin x = -1/2 можно найти по формулам
х = 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+ 2
·k, х = -5
·/6 + 2
·k, k Z.
Эти формулы мы можем объединить в одну: х = 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+
·n, n Z .

Действительно, если n = 2k, то по формуле х = 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+
·n, n Z , получаем х = 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+ 2
·k, а если n = 2k – 1, то по формуле х = 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 141513 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+
·n, n Z находим х = -13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+ 2
·k.
Задание №3. Решить уравнение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415,13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Упражнения
1.Вычислить:
1) arccos0; 2) arccos1; 3) arccos13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 4)arccos13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
2. Сравнить числа:
1) arccos13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и arccos13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) arccos13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и arcos13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
3. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 5) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 6) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
4. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
5. Вычислить:
1) arcsin0; 2) arcsin1; 3) arcsin13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 4) arcsin13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
6. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 5) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 6) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
7. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
8. Вычислить:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
9. Вычислить:
1) arctg 0; 2) arctg(-1); 3) arctg13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 4)arctg13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
10. Вычислить:

1) 6arctg13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415-4 arcsin13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 2arctg1+3 arcsin13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
11. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 5) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 6) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
12. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.

Задание на дом: Ш.А. Алимов: §33-37 №580-585, 600-606, 616-619

Контрольные вопросы
1. Решение уравнений вида 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
2. Решение уравнений вида 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
3. Решение уравнений вида 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.


Практическое занятие №10.
Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами. Свойства функции. Обратные функции.

Цель занятия:
дидактическая: довести до сведения студентов возможные преобразования графиков функций с помощью параллельного переноса и растяжения вдоль координатных осей; отработка алгоритма построения графика функции с помощью геометрических преобразований;
развивающая: формирование практических умений и навыков построения и чтения графиков функций;
воспитательная: развитие интереса к предмету, формирование коммуникативных навыков при организации групповой работы студентов.

Обеспечение занятия: доска, ручка, тетрадь, линейка, карандаши.
Задание№1. Найти область определения функции 13 EMBED Equation.3 1415
По определению области определения функции, получаем 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда областью определения функции 13 EMBED Equation.3 1415 является множество всех действительных чисел R, кроме чисел 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415
Задание№2.Найти множество значений функции 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415. Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 для всех x, то 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда множеством значений функции 13 EMBED Equation.3 1415 будет 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№3. Среди перечисленных функций выбрать четную функцию
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
По определению четной функции, получаем
13 EMBED Equation.3 1415. Значит функция 13 EMBED Equation.3 1415 является четной.
Задание №4. Найти наименьший положительный период функции 13 EMBED Equation.3 1415
Наименьший положительный период для функции 13 EMBED Equation.3 1415равен 13 EMBED Equation.3 1415. Поэтому наименьший положительный период функции 13 EMBED Equation.3 1415 будет равен 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№5.Построить графики функций: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Возьмём рога молодого оленя 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и вытянем их вверх вдоль оси Oy в два раза: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Затем сожмём 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415вдоль оси ординат в 2 раза: 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.

Упражнения
1.Построить графики функций:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
5) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 6) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
2.Найти область определения функции:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3.Найти множество значений функции:
1)13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
4.Среди перечисленных функций выбрать четную функцию:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
5.Найти основные периоды функции:
1)13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415

Задание на дом: Н.В. Богомолов: §1 №10-14, стр. 58-60.
Контрольные вопросы
Числовая функция это
Область определения функции это
Область значения функции это
Аргумент функции это
График функции это
Геометрические преобразования это


Практическое занятие №11.
Построение степенных функций. Построение показательных функций. Построение логарифмических функций. Построение тригонометрических функций.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415


Цели занятия:
Образовательная: Совершенствовать навыки построения графиков
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник


Задание№1. Построить график функции:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415

2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415

3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415


Упражнения
1.Изобразить схематически график функции и указать ее область определения и множество значений:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
2. Построить график функции:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.

Построение показательных функций.

13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415).

Упражнения
1.Построить график функции:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415; 6) 13 EMBED Equation.3 1415; 7) 13 EMBED Equation.3 1415; 8) 13 EMBED Equation.3 1415;
9) 13 EMBED Equation.3 1415; 10) 13 EMBED Equation.3 1415; 11) 13 EMBED Equation.3 1415; 12) 13 EMBED Equation.3 1415.
Построение логарифмических функций.

Логарифмическая функция 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415). Эта функция является обратной для показательной функции 13 EMBED Equation.3 1415. Графики логарифмических функций, соответствующие основаниям 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.

Упражнение
1.Построить график функции, найти ее область определения и множество значений:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415; 513 EMBED Equation.3 1415; 6) 13 EMBED Equation.3 1415;
7) 13 EMBED Equation.3 1415; 8) 13 EMBED Equation.3 1415; 9) 13 EMBED Equation.3 1415.

Построение тригонометрических функций.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415




Упражнения
1.Построить графики функции13 EMBED Equation.3 1415 и выяснить ее свойства:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415; 6) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Построить графики функции13 EMBED Equation.3 1415 и выяснить ее свойства:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415; 6) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Построить графики функции13 EMBED Equation.3 1415 и выяснить ее свойства:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415; 6) 13 EMBED Equation.3 1415.

Задание на дом: Ш.А. Алимов: 11,№201-207 , §18 №329-335, §38-42 стр. 197-218

Контрольные вопросы
1.Перечислить основные степенные функции.
2.Свойства степенной функции.
3. Показатель p=2n – четное натуральное число.
4. Показатель p=2n-1 – нечетное натуральное число.
5. Показатель p=-2n – натуральное число.
6. Показатель p=-(2n-1) –натуральное число.
7. Показатель p – положительное действительное нецелое число.
8. Показатель p – отрицательное действительное нецелое число.
9.Определение показательной функции.
10.Свойства показательной функции.
11.Множество значений показательной функции -
12. Область определения показательной функции -
13. Если а>1, то функция
14. Если 015.Определение логарифмической функции.
16..Свойства логарифмической функции.
17.Свойства функции 13 EMBED Equation.3 1415и ее график.
18. Свойства функции 13 EMBED Equation.3 1415и ее график.
19. Свойства функции 13 EMBED Equation.3 1415и ее график.


Практическое занятие №12.
Производные некоторых элементарных функций.
Цели занятия:
Образовательная: Выработать умение техники дифференцирования. Отработка техники дифференцирования
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание№1. Пользуясь основными правилами дифференцирования, найти 13 EMBED Equation.3 1415, если: 13 EMBED Equation.3 1415
Преобразуем функцию к виду 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда, используя таблицу производных, получим 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задание№2. Применяя правило дифференцирования сложной функции, найти производную функцию 13 EMBED Equation.3 1415
Данная функция является композицией двух имеющих производных функций 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415, то с учетом правила дифференцирования сложной функции получим: 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№3. Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные функции 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№4. Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные функции 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№5. Найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№6.Найти производную функции13 EMBED Equation.3 1415.
Сначала преобразуем данную функцию: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задание№7. Найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения
Исходя из определения производной, найти производную функции:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Пользуясь основными правилами дифференцирования, вычислить производную функции:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти производную сложной функции:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти производную функции
1)13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415.
5.Найти производные функции f(x) в точке 13 EMBED Equation.3 1415:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Найти производную функцию:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415 5) 13 EMBED Equation.3 1415; 6) 13 EMBED Equation.3 1415; 7) 13 EMBED Equation.3 1415.

Задание на дом: Ш.А. Алимов: §44-48 №849-856, 864-868 стр.225-256.
Контрольные вопросы
1.Производные некоторых элементарных функций.
2.Правила дифференцирования.
Практическое занятие №13.
Проверочная работа
Цели занятия:
Образовательная: Закрепить умения, знания, навыки
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Исходя из определения производной, найти производную функции: 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.
·3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
Пользуясь основными правилами дифференцирования, вычислить производную функции: 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
Найти производную сложной функции: 13 EMBED Equation.3 1415
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
Найти производную функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415
1) -1 2) 96 3) 1 4)13 EMBED Equation.3 1415
Практическое занятие №14.
Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции.
Цели занятия:
Образовательная: Закрепить умения, знания, навыки
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание №1.Найти интервалы возрастания и убывания 13 EMBED Equation.3 1415.
Находим 13 EMBED Equation.3 1415. Т.к. производная положительна в промежутке 13 EMBED Equation.3 1415, то функция возрастает во всей области определения.
Задание №2.Найти интервалы возрастания и убывания функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Функция определена на всей числовой оси, а ее производная равна 13 EMBED Equation.3 1415 Функция 13 EMBED Equation.3 1415 возрастает тогда и толкло тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично, данная функция убывает в точности когда 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415. Т.О. функция 13 EMBED Equation.3 1415возрастает на интервалах 13 EMBED Equation.3 1415, а убывает на интервале 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№3.Исследовать на экстремум функцию 13 EMBED Equation.3 1415.
Найдем производную 13 EMBED Equation.3 1415Найдем стационарные точки: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Методом интервалов устанавливаем, что производная 13 EMBED Equation.3 1415положительна при 13 EMBED Equation.3 1415отрицательна при13 EMBED Equation.3 1415 и при 13 EMBED Equation.3 1415. Так как при переходе через точку 13 EMBED Equation.3 1415 знак производной не меняется, то эта точка не является точкой экстремум.
При переходе через точку 13 EMBED Equation.3 1415 производная меняет знак с «-» на «+». Поэтому 13 EMBED Equation.3 1415 - точка минимума.

Упражнения
1.Найти интервалы возрастания и убывания функции:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415; 6) 13 EMBED Equation.3 1415; 7)13 EMBED Equation.3 1415; 8) 13 EMBED Equation.3 1415.
2.При каких значениях а функция13 EMBED Equation.3 1415 возрастает на всей числовой прямой?
3.Найти стационарные точки:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
4.Найти точки экстремумы и значения функции в этих точках:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Найти критические точки:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.

Задание на дом: Ш.А. Алимов: §49-52 №907-909, 918-922, 929-935 стр. 257-272.


Контрольные вопросы
1.Функция возрастает, если
2.Функция убывает, если
3.Если функция дифференцируема, то
4.Точкой максимума функции называется
5.Точкой минимума функции называется
6. Критическими точками функции называются
7.Стационарными точками функции называется
8.Правила нахождения экстремума функции.

Практическое занятие №15.
Применение производной к построению графиков функций.
Цели занятия:
Образовательная: Выработать умение применять производную к построению графиков
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание№1. Провести полное исследование функцию f (x) 13 EMBED Equation.3 1415 и построить её график.
1) Заметим, что знаменатель имеет корни 1 и 2, так что функцию можно представить в виде f (x) 13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь легко видеть, что области определения функции не принадлежат только точки 1 и 2:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](f )= [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]{1;2} = (- [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];1) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](1;2) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](2; + [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]).
Область значений [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](f ) найти без всяких вычислений мы не можем; отложим этот вопрос до нахождения локальных экстремумов.
2). Поскольку область определения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](f ) не симметрична относительно точки 0, функция не может быть ни чётной, ни нечётной. Очевидно также, что она не периодична (хотя бы потому, что её область определения не имеет периодической структуры).
3). Область определения этой элементарной функции имеет две граничных точки: 1 и 2.
При x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1 значение числителя стремится к 12 + 1 = 2, а знаменателя к 0, поэтому f (x)[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1. Значит, вертикальная прямая x = 1 это вертикальная асимптота графика y = f (x).
При x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1 (то есть в достаточно малой левой окрестности точки 1) числитель положителен, а знаменатель состоит из двух отрицательных сомножителей, откуда следует, что f (x)[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] + [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1.
При x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1 числитель снова положителен, а в знаменателе множитель x-1 положителен, а x-2 отрицателен. Получаем, что f (x)[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1.
При x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2 предел числителя равен 22 + 2 = 6, а знаменателя нулю, поэтому f (x)[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2. Тем самым, вертикальная прямая x = 2 служит второй вертикальной асимптотой графика y = f (x).
При x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2 числитель положителен, а знаменатель отрицателен, поскольку x-1 > 0, а x-2 < 0. Отсюда следует, что f (x)[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2.
При x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2 числитель снова положителен, а в знаменателе оба множителя положительны. Получаем, что f (x)[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] + [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] при x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2.
4). Поскольку числитель и знаменатель многочлены одной и той же (второй) степени, то легко видеть, что f (x) имеет предел при x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]±[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= 1.

Следовательно, горизонтальная прямая y = 1 служит горизонтальной асимптотой графика как при x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], так и при x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] + [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. (Искать наклонную асимптоту в виде y = kx + b и находить k и b по общим формулам нам теперь нет никакой необходимости.)
5). Найдём точки пересечения графика с осями координат. Поскольку f (0) = 0, то график пересекает ось Oy (и, одновременно, ось Ox) в начале координат.
Приравнивая числитель к нулю, получаем уравнение x2 + x = 0, которое имеет два корня: x = 0 и x = - 1. Значит, график пересекает ось Ox в этих двух точках (одну из них мы уже отметили ранее).
Пользуясь методом интервалов (известным из школьной программы), определим знак функции на интервалах между корнями и точками разрыва. Таких интервалов получается пять:
x
(- [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; - 1)
(- 1;0)
(0;1)
(1;2)
(2; + [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ])

y
>0
<0
>0
<0
>0

6). Найдём производную: f'(x) = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Найдем точки, подозрительные на экстремум.
а) точки, в которых f'(x)=0, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415,
б) точки, в которых производная обращается в бесконечность, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
<0

>0

>0

<0

<0

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
min
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
max
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

В точке x1 убывание функции сменяется возрастанием. При этом f (x) непрерывна в точке x1, как любая элементарная функция в любой точке своей области определения. Значит, x1 точка локального минимума. Значение функции в этой точке минимума равно
fmin = f (x1) = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= 4[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - 7 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - 0,2.
В точке x2 возрастание функции сменяется убыванием. При этом функция f (x) непрерывна в точке x2 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](f ). Значит, x2 точка локального максимума. Значение функции в точке максимума равно
fmax = f (x2) = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= - 4[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - 7 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - 13,8.
Теперь мы можем записать область значений функции: это
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](f )= (- [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];fmax] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][fmin; + [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](- [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; - 13.8] [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][- 0.2; + [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]).
С учётом предыдущих пунктов строим график функции y = f (x).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Глядя на график, замечаем, что для полноты картины хорошо бы ещё найти ту точку, где график пересекается с горизонтальной асимптотой y = 1. Для этого решим
уравнение f (x) = 1, то есть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= 1.
Его решением служит число x = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Отметим эту точку на оси Ox.
Упражнения
1.Исследуя, построить график функции:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
2.Исследовать график функции:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
3.На рисунке изображен график функции 13 EMBED Equation.3 1415, являющейся производной функции 13 EMBED Equation.3 1415. Используя график, найти точки экстремума функции13 EMBED Equation.3 1415.
4. Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415.

Задание на дом: Ш.А. Алимов: §49-52 №907-909, 918-922, 929-935 стр. 257-272.

Контрольные вопросы
1.Схема исследования функции.
2. Для построения графика четной функции достаточно исследовать
3. Для построения графика нечетной функции достаточно исследовать


Практическое занятие №16.
Исследование функции на экстремум с помощью второй производной.
Цели занятия:
Образовательная: Выработать умение в исследовании функции на экстремум с помощью второй производной
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание№1. Исследуем на экстремум функцию 13 EMBED Equation.3 1415.
Находим первую производную: 13 EMBED Equation.3 1415
И приравниваем ее к нулю: 13 EMBED Equation.3 1415

Получаем, что x = 0 – Точка, подозрительная на экстремум.
13 EMBED Equation.3 1415;13 EMBED Equation.3 1415.
Следовательно, в этой точке функция имеет максимум: 13 EMBED Equation.3 1415.
Упражнения
1.Исследуем на экстремум функцию с помощью второй производной:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415;
5) 13 EMBED Equation.3 1415; 6) 13 EMBED Equation.3 1415; 7) 13 EMBED Equation.3 1415; 8) 13 EMBED Equation.3 1415.

Задание на дом: Богомолов: §3-8, №33, 44-51, 55, 6071-75, стр. 110-118

Контрольные вопросы
Второе достаточное условие существования экстремума.
Первое правило исследования функции на экстремум с помощью второй производной.
Второе правило исследования функции на экстремум с помощью второй производной.


Практическое занятие №17.
Вычисление определенных интегралов с помощью формулы Ньютона-Лейбница.
Цели занятия:
Образовательная: Выработать навыки для вычисления первообразных и интегралов
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание№1.Используя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить интеграл: 13 EMBED Equation.3 1415
Подынтегральная функция 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 имеет первообразную 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда по формуле 13 EMBED Equation.3 1415, имеем 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№2.Оценить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415.
Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, то при 13 EMBED Equation.3 1415 получим неравенство 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Задание№3. Вычислить интеграл: 13 EMBED Equation.3 1415.
Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим 13 EMBED Equation.3 1415 откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда получим 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№4.Вычислить определенный интеграл методом замены переменной: 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№6. Найти значение интеграла 13 EMBED Equation.3 1415.
Для нахождения первообразной (и использования формулы Ньютона - Лейбница) применим формулу понижения степени
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Упражнения
Используя формулу Ньютона – Лейбница, вычислить интеграл:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Оценить интеграл:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычислить интеграл:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить определенный интеграл методом замены переменной:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2)13 EMBED Equation.3 1415.
Найти значение интеграла13 EMBED Equation.3 1415.
Задание на дом: Ш.А. Алимов: §54-58 №993-998, 1002,1003, 1008-1012, 1023 стр. 287-305.


Контрольные вопросы
1.Формула Ньютона – Лейбница.
2. Понятие определенного интеграла.
3. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.


Практическое занятие №18.
Решение уравнений и неравенств.
Цели занятия:
Образовательная: Совершенствовать знания, умения навыки для решения задач
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание№1.Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех трех дробей, т.е. на 13 EMBED Equation.3 1415, получаем 13 EMBED Equation.3 1415,откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Проверка.
1) При x=2 знаменатели двух дробей уравнения равны нулю. Поэтому x=2 не является корнем данного уравнения.
2) При x=-1 левая часть уравнения равна 13 EMBED Equation.3 1415, правая часть равна 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№2.Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415 при всех действительных значениях x, то, умножив неравенство на 13 EMBED Equation.3 1415, получаем неравенство 13 EMBED Equation.3 1415, равносильное данному. Решая это неравенство, поучаем 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415.
Упражнения
1.Решите уравнения
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
2.При каких значениях а данное уравнение имеет единственное решение; не имеет решений; имеет бесконечное множество решений?
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415.
3. Равносильны ли следующие уравнения:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
4.Найти корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
5.Решите неравенство:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
6.Решите неравенства:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
7. Решите неравенство (относительно x): 13 EMBED Equation.3 1415если 13 EMBED Equation.3 1415.

Задание на дом: Ш.А. Алимов: §8 №145-148, 149 стр. 52-57.

Контрольные вопросы
1.Алгоритм решения уравнения.
2.Основные эквивалентности для решения уравнения.
3. Основные методы решения неравенства.


Практическое занятие №19.
Вычисление определителей второго и третьего порядка.
Цели занятия:
Образовательная: Совершенствовать знания, умения навыки для решения задач
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник
Задача №1.Вычислить определитель 13 EMBED Equation.3 1415.
По формуле имеем:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Задание№2. Найти x из условия 13 EMBED Equation.3 1415
Из формулы получаем 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№3.Вычислить определитель 13 EMBED Equation.3 1415.
По формуле получаем 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Упражнения
1. Укажите соответствие между определителем матрицы и результатом его вычисления
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
A) -8 B) 4 C) -30 D) 8 E) 0
2. Разложение определителя 13 EMBED Equation.3 1415 по второму столбцу имеет вид
3. Если определитель 13 EMBED Equation.3 1415 равен 1,2, то определитель 13 EMBED Equation.3 1415 равен
4. Разложение определителя 13 EMBED Equation.3 1415 по второму столбцу имеет вид
5. Определитель 13 EMBED Equation.3 1415 равен 0 при (=
6. Если определитель 13 EMBED Equation.3 1415 равен 1,9, то определитель 13 EMBED Equation.3 1415 равен
7. Значение определителя 13 EMBED Equation.3 1415 равно
8. Установите соответствие между матрицей и ее определителем.
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415 3. 13 EMBED Equation.3 1415
A) 27 B) 100 C) 0 D) -22 E) 22

Задание на дом: Н.В. Богомолов: §5 №39 стр. 34-37., №51 стр. 37-39.

Контрольные вопросы
Определитель второго порядка.
Определить третьего порядка.


Практическое занятие №20
Решение систем уравнений с помощью формулы Крамера.
Цели занятия:
Образовательная: Совершенствовать знания, умения навыки для решения задач
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание№1.Решить систему уравнений: 13 EMBED Equation.3 1415
Находим: 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
По формулам Крамера получаем:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Упражнения
Решите системы уравнений:
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415 6.13 EMBED Equation.3 1415
7.Определить, при каких значениях a и b система 13 EMBED Equation.3 1415
1)имеет единственное решение;
2) не имеет решения;
3)имеет бесконечно много решений.

Задание на дом: Н.В. Богомолов: §5 №39 стр. 34-37., №51 стр. 37-39.

Контрольные вопросы
1.Определитель второго порядка вычисляется по формуле
2. Определитель третьего порядка вычисляется по формуле
3. Формулы Крамера

Практическое занятие №21.
Решение показательных уравнений и неравенств.
Решение тригонометрических уравнений и неравенств.

Цели занятия:
Образовательная: Совершенствовать знания, умения, навыки по данной теме
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развитие познавательной активности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Задание№1. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Заменой 13 EMBED Equation.3 1415данное уравнение сводится к квадратному уравнению 13 EMBED Equation.3 1415. Решая это уравнение, находим его корни: 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет корень 13 EMBED Equation.3 1415, а уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет корней, так как показательная функция не может принимать отрицательные значения.
Задание№2.Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 5>0, 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, откуда13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Задание№3. Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Заменой 13 EMBED Equation.3 1415,тогда получим квадратное неравенство 13 EMBED Equation.3 1415. Это неравенство выполняется при t <-2, и при t > 1.Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то получим два неравенства 13 EMBED Equation.3 1415Первое неравенство не имеет решений, так как 13 EMBED Equation.3 1415при всех 13 EMBED Equation.3 1415 Второе неравенство можно записать в виде 13 EMBED Equation.3 1415, откуда x > 0.
Задание№4. Решить уравнение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Вспомним, что cos x – это абсцисса точки окружности с радиусом, равным 1, полученной в результате поворота точки Р (1; 0) на угол х вокруг начала координат.
Абсцисса 1/2 есть у двух точек окружности 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 и 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Так как 1/2 = cos 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, то точку13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 мы можем получить из точки Р (1; 0) путем поворота на угол13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=
·/3, а также на углы
х = 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+ 2
·k, где k = +/-1, +/-2,
Точка 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 получается из точки Р (1; 0) поворотом на угол 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 = -13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, а также на углы
-13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+ 2
·k, где k = +/-1, +/-2,
Итак, все корни уравнения cos x = 1/2 можно найти по формулам х = 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+ 2
·k
х = -13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+ 2
·k, где k Z.
Две представленные формулы можно объединить в одну:
х = 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415+ 2
·k, k Z.
Задание№5. Решить уравнение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Это уравнение является квадратным относительно sin x. Обозначим sin x = y, получим уравнение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415Его корни 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 Таким образом, решение исходного уравнения свелось к решению простейших уравнений sin x =1 и sin x= -2.
Уравнение sin x =1 имеет корни 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Уравнение sin x= -2 не имеет корней.

Задание№6. Решить уравнение sin7x+sin3x=3cos2x.
Применяя формулу для суммы синусов, запишем уравнение в виде
2sin5xcos2x=3cos2x,
2sin5xcos2x-3cos2x=0, откуда 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Уравнение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 имеет корни 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415, а уравнение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 не имеет корней.
Упражнения
1.Решить уравнение:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
4. Решить неравенство:
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Решить неравенство:
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 5) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 6) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 7) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 8) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
7. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
8. Решить уравнение:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 4) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
5) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 6) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
7) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 8) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
9) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 10) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
11) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=0; 12) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415=0.
9. Найти все значения а, при которых уравнение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415имеет корни, и решить это уравнение.
10.Решить неравенство:
1) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 2) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415; 3) 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Задание на дом: Ш.А. Алимов: §12-14, 33-36, 37 №222, 223, 233-235,243, 628-635 стр. 79-85, 191-193, 165-190. Н.В. Богомолов: §3-5, 9, 10 №30, 35, 38 137-141, 148-152 стр. 62-66, 140-146.

Контрольные вопросы
1.Алгоритм решения показательных уравнений.
2. Алгоритм решения показательных неравенств.
3.Алгоритм решения тригонометрических уравнений;
4.Алгоритм решения тригонометрических неравенств.

Практическое занятие №22.

Цели занятия:
Образовательная: Закрепить понятия, умения, навыки
Воспитательная: Воспитание организованности, самостоятельности
Развивающая: Развитие инициативности

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

1.Решить неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
2.Решите уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
3.Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
4.Решить неравенство: 13 EMBED Equation.3 1415.
5.Решить уравнение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
6.Решить систему уравнений и неравенств: 13 EMBED Equation.3 1415;
7.Бригада рабочих должна была к определенному сроку изготовить 360 деталей. Перевыполняя дневную норму на 9 деталей, бригада за день до срока перевыполнила плановое задание на 5%. Сколько деталей изготовит бригада к сроку, если будет продолжать работать с той же производительностью труда?
Задание на дом: конспект лекций

Практическое занятие №23.
Решение задач на нахождение углов и расстояний в пространстве.
Цели занятия:
Образовательная: Обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по теме занятия
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развивать пространственное мышление учащихся

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Алгоритм решения задач координатным методом поможет вам успешно справиться с нахождением расстояний и углов в пространстве.
1. Ввести прямоугольную систему координат
– на плоскости основания многогранника;
– в пространстве.
2. Найти координаты точек, о которых идет речь в условии задачи.
3. Найти координаты
– направляющих векторов прямых;
– векторов, перпендикулярных плоскостям
4. Воспользоваться соответствующей формулой для нахождения
– расстояний в пространстве;
– углов в пространстве.

Упражнения
1.Составьте уравнение плоскости по 3 точкам: А(0; -0,5; 0); D(0; 0,5; 1); В (13 EMBED Equation.3 1415; 0; 2).
2. Решите задачу. В кубе АВСDА1В1С1D1, сторона которого равна 3, на диагоналях граней АD1 и D1В1 взяты точки Е и К так, что D1Е: АD1 =1:3, D1K:D1B1 = 2:3. Найдите длину отрезка DK.
3. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до точек Е1, D1.
4. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости DEA1.
5. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми АA1 и ВC1.
6. Найдите расстояние между плоскостями сечений куба (PRS) и (NKM), ребро которого 12, где DN:NC=A1P:PB1=1:2, B1S:SB=D1M:MD1=1:3, B1R:RC1=DK:KA=1:4.
7. На ребре СC1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что CE:EC1=2:1. Найдите угол между прямыми BE и AC1.Как поступают, чтобы найти координаты точек?
8. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 1, боковые ребра равны 2, точка D – середина ребра CC1. Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1. Что необходимо узнать для определения координат данных точек?
9. Длины ребер правильной четырехугольной пирамиды PABCD с вершиной Р равны между собой. Найдите угол между прямой ВМ и плоскостью BDP, если точка М – середина бокового ребра пирамиды АР.
10. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD со стороной 4
·3, а угол BAD равен 60°. Найти расстояние от точки А до прямой C1D1, если боковое ребро параллелепипеда равно 8.

Задание на дом: Конспект лекций.

Контрольные вопросы
Какие основные фигуры стереометрии вы знаете?
Расстояния и углы между какими фигурами можно найти?
Формулу для нахождения косинуса угла между векторами в координатах
Уравнение плоскости.


Практическое занятие №24.
Решение задач на построение проекций фигур.
Цели занятия:
Образовательные: изучение понятия «параллельное проецирование» и его свойств, формирование навыков построения изображений плоских и пространственных фигур на плоскости с помощью аксонометрической проекции, развитие умений сравнивать явления
Развивающие: развитие абстрактного мышления, пространственного воображения и интуиции, развитие познавательного интереса и интереса к поисково-исследовательской деятельности.
Воспитательные: развитие навыков коллективной работы, создание атмосферы доброжелательности на уроке.

Обеспечение занятия : компьютер, доска, ручка, бумага, учебник

Параллельная проекция фигуры








Проекция отрезка














Упражнения
1.Треугольник ABC является параллельной проекцией треугольника A1B1C1. В треугольнике A1B1C1 проведены из вершины A1 биссектриса, медиана и высота. Будут ли проекции этих отрезков соответственно биссектрисой, медианой и высотой?
2. Треугольник ABC – параллельная проекция правильного треугольника. Построить проекцию серединного перпендикуляра к стороне АС. Построить проекцию перпендикуляра, проведенного из вершины С к стороне АС.
3. Начертите параллельную проекцию ромба, имеющего угол в 60°. Постройте изображение высоты этого ромба, проведенной: а) из вершины острого угла; б) из вершины тупого угла.
4. Докажите, что параллельная проекция центрально - симметричной фигуры также является центрально – симметричной. Назвать известные центрально симметричные фигуры.
5. Дана параллельная проекция треугольника. Как построить проекции медиан этого треугольника.
6. Может ли при параллельном проектировании параллелограмма получиться трапеция?

Задание на дом
Построить с помощью параллельной проекции: а) изображение правильного шестиугольника; б) изображение правильного восьмиугольника.
Дан произвольный треугольник. Считая его изображением прямоугольного треугольника, начертить изображение квадратов, построенных на катетах и гипотенузе.

Контрольные вопросы
1.Что называется параллельной проекцией точки, отрезка, треугольника, окружности?
2.Какие величины не изменяются при параллельном проецировании? (длина отрезка, градусная мера углов, отношения длин отрезков).
3.Может ли при параллельном проецировании параллелограмма получиться трапеция и наоборот?

Практическое занятие №25.
Выполнение действий над векторами.
Цель занятия:
Образовательные: повторение теоретических сведений по теме; рассмотрение правил треугольника и параллелограмма сложения векторов в пространстве, законы сложения векторов; изучение правил сложения нескольких векторов в пространстве и его применение при нахождении векторных сумм, не прибегая к рисункам; рассмотрение правил умножения вектора на число и основные свойства этого действия, а так же их применение при решении задач.
Развивающие: развитие памяти, математической речи, наблюдательности, развитие графических навыков у учащихся.
Воспитательные: формирование культуры ученического труда.
Обеспечение занятия: ручка, тетрадь, доска.

Задание№1.Найти (513EMBED Equation.31415 + 313EMBED Equation.31415)(213EMBED Equation.31415 - 13EMBED Equation.31415), если 13EMBED Equation.31415
1013EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415- 513EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415+ 613EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415- 313EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415 = 1013EMBED Equation.31415,
т.к. 13EMBED Equation.31415.

Задание№2. Найти угол между векторами 13EMBED Equation.31415и 13EMBED Equation.31415, если 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415.
Т.е. 13EMBED Equation.31415 = (1, 2, 3), 13EMBED Equation.31415= (6, 4, -2) 13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415= 6 + 8 – 6 = 8:
13EMBED Equation.31415.
cos( = 13EMBED Equation.31415
Задание №3.Найти угол между векторами 13EMBED Equation.31415и 13EMBED Equation.31415, если 13EMBED Equation.31415
13EMBED Equation.31415.
Т.е. 13EMBED Equation.31415 = (3, 4, 5), 13EMBED Equation.31415= (4, 5, -3) 13EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415= 12 + 20 - 15 =17 :
13EMBED Equation.31415.
cos( = 13EMBED Equation.31415

Задание №4. При каком m векторы 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415 перпендикулярны.

13EMBED Equation.31415= (m, 1, 0); 13EMBED Equation.31415= (3, -3, -4) 13EMBED Equation.31415.
Упражнения
1.Найти произведение вектора a = {1; 2} на 3.
2.Найти произведение вектора a = {1; 2; -5} на 2.
3. Какие из векторов a = {1; 2}, b = {4; 8}, c = {5; 9}, коллинеарные?
4. Какие из векторов a = {1; 2; 3}, b = {4; 8; 12}, c = {5; 10; 12}, коллинеарные?
5. Проверить компланарны ли три вектора a = {1; 2; 3}, b = {1; 1; 1}, c = {1; 2; 1}.
6. Найти угол между векторами a = {3; 4; 0} и b = {4; 4; 2}.
7. Разложить вектор b = {8; 1} по базисным векторам p = {1; 2} и q = {3; 1}.
8. На рисунке изображен параллелепипед АВСДА1В1С1Д1. Назовите вектор, начало и конец которого является вершинами параллелепипед, равный сумме векторов:



9.



Задание на дом: А.В. Погорелов: §19 стр. 39-40; И.И. Валуцэ: §4, 10 стр. 52-53, 71-74.
Конспект лекций

Контрольные вопросы
1.Вектор – это для которого началом, а какой .
2. Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если на параллельных или .
3.Два ненулевых вектора называются сонаправленными, если они и направлены .
4.Два ненулевых вектора называются противоположно направленными, если они и направлены .
5.Векторы называются равными, если и их длины .
6. Перечислить все действия над векторами.
7.Что называется произведением ненулевого вектора на число?
8. Что называется произведением нулевого вектора на число?
9.Свойства умножения вектора на число.
10.Справедливо ли утверждение:
а) любые два противоположно направленных вектора коллинеарные;
б) любые два вектора коллинеарных противоположно направленны;
в) любые два равных вектора коллинеарные;
г) любые два сонаправленных вектора равны?

Практическое занятие №26.
Сложение и вычитание векторов. Скалярное произведение векторов
Цели занятия:
Образовательная: Обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по теме занятия
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развивать пространственное мышление учащихся

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Цель занятия:
Образовательные: повторение теоретических сведений по теме; рассмотрение правил треугольника и параллелограмма сложения векторов в пространстве, законы сложения векторов; изучение правил сложения нескольких векторов в пространстве и его применение при нахождении векторных сумм, не прибегая к рисункам; рассмотрение правил умножения вектора на число и основные свойства этого действия, а так же их применение при решении задач.
Развивающие: развитие памяти, математической речи, наблюдательности, развитие графических навыков у учащихся.
Воспитательные: формирование культуры ученического труда.
Обеспечение занятия: ручка, тетрадь, доска.

Задание№1.Даныдва вектора 13EMBED Equation.31415. Найти13EMBED Equation.31415.


Задание№2.Найти скалярное произведение (313EMBED Equation.31415 - 213EMBED Equation.31415)((513EMBED Equation.31415 - 613EMBED Equation.31415),
если 13EMBED Equation.31415
1513EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415- 1813EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415- 1013EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415+ 1213EMBED Equation.31415(13EMBED Equation.31415 = 1513EMBED Equation.31415
+ 12(36 = 240 – 336 + 432 = 672 – 336 = 336.
Задание№3. Найти скалярное произведение векторов 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415, если 13EMBED Equation.31415
(13EMBED Equation.31415)(13EMBED Equation.31415) = 13EMBED Equation.31415

13EMBED Equation.3141513EMBED Equation.31415= 10 +

+ 27 + 51 + 135 + 72 + 252 = 547.
Упражнения
1. 13EMBED Equation.31415Найти 13EMBED Equation.31415.
2. 13EMBED Equation.31415. Найти 13EMBED Equation.31415.
3. Найти разность векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.
4. Найти сумму векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.
5. Найти сумму векторов a = {1; 2; 5} и b = {4; 8; 1}.
6. Найти разность векторов a = {1; 2; 5} и b = {4; 8; 1}.
7.Доказать что вектора a = {1; 2} и b = {2; -1} ортогональны.
8.Найти значение числа n при котором вектора a = {2; 4} и b = {n; 1} будут ортогональны.
9. Доказать что вектора a = {1; 2; 0} и b = {2; -1; 10} ортогональны.
10. Найти значение числа n при котором вектора a = {2; 4; 1} и b = {n; 1; -8} будут ортогональны.
11. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2} и b = {4; 8}.
12. Найти скалярное произведение векторов a = {1; 2; -5} и b = {4; 8; 1}.
13. Вычислите скалярное произведение двух векторов 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.
14. Вычислите скалярное произведение векторов 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415, если13EMBED Equation.31415, а проекция вектора 13EMBED Equation.31415 на направление вектора13EMBED Equation.31415 имеет координаты 13EMBED Equation.31415.


Задание на дом: А.В. Погорелов: §19 стр. 50-53; И.И. Валуцэ: §5-9 стр. 54-70.

Контрольные вопросы
1.Сложение векторов.
2. Вычитание векторов.
3.Переместительный закон.
4.Сочетательный закон
5.Скалярным произведение двух векторов называется
6. Скалярное произведение ненулевых векторов равно
7.Скалярный квадрат вектора равен
8. Скалярное произведение векторов выражается формулой
9. Свойства скалярного произведения векторов.

Практическое занятие №27.
Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.
Цели занятия:
Образовательная: Обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по теме занятия
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развивать пространственное мышление учащихся

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Упражнения
1.Докажите что сумма квадратов всех сторон диагоналей параллелограмма равна сумма квадратов его диагоналей.
2. .Найти (513EMBED Equation.31415 + 313EMBED Equation.31415)(213EMBED Equation.31415 - 13EMBED Equation.31415), если 13EMBED Equation.31415
3. При каком m векторы 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415 перпендикулярны.
4. Отрезок концы которого А(-11;1) и В(9;11), разделен в отношении 2:3:5 (от А к В). Найти точки деления.
5. Даны вершины треугольника 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.Найти точку пересечения медиан этого треугольника.
6. Найти сумму векторов a = {1; 2; 5} и b = {4; 8; 1}.
7. Найти скалярное произведение (313EMBED Equation.31415 - 213EMBED Equation.31415)((513EMBED Equation.31415 - 613EMBED Equation.31415),
если 13EMBED Equation.31415
8. Найти значение числа n при котором вектора a = {2; 4; 1} и b = {n; 1; -8} будут ортогональны.
9. При каком m векторы 13EMBED Equation.31415 и 13EMBED Equation.31415 перпендикулярны.


Задание на дом: А.В. Погорелов: §19 стр. 50-53; И.И. Валуцэ: §5-9 стр. 54-70.
Контрольные вопросы
1. Дайте определение понятия вектора.
2.Какие векторы называются коллинеарными, компланарными?
3.Основные операции над векторами.
4.Запишите операции сложения и умножения вектора на число в координатной форме.

Практическое занятие №28.
Нахождение основных элементов цилиндра. Нахождение основных элементов конуса
Вычисление объемов шара и площади сферы.

Цели занятия:
Образовательная: сформировать понятия о телах вращения, цилиндре и конусе как теле вращения, об основных элементах цилиндра и конуса, закрепить эти понятия и научиться использовать их при решении задач.
Воспитательная: формировать культуру умственного труда, создавать для каждого ученика ситуацию успеха, развивать коммуникативные умения; формировать положительную мотивацию к учению; развивать умение говорить и слушать других.
Развивающая: формировать умения анализировать свойства тел на основе знаний, формировать коммуникативные умения, проверить уровень самостоятельности мышления ученика по применению знаний в различных ситуациях, анализировать и делать выводы, развивать умения правильно ставить вопросы и находить на них ответы. Совершенствовать умение наблюдать, строить образ объекта, делать выводы, формировать вычислительные, расчётные навыки, развивать мышление учащихся в ходе решения задач.

Обеспечение занятия : доска, ручка, тетрадь, учебник

Упражнения

1.Найдите площадь полной поверхности тела, полученного при вращении прямоугольника со сторонами 6 см и 10 см вокруг его оси симметрии, параллельной большей стороне
2.Радиус основания цилиндра равен 6 см, высота в два раза меньше длины окружности основания. Найдите площадь полной поверхности цилиндра
3.Осевым сечением цилиндра является квадрат, диагональ которого равна 13 EMBED Equation.3 1415см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
4.Площадь осевого сечения цилиндра равна 64 см 2, а его образующая равна диаметру основания.
5. Конусообразная палатка высотой 3,5 м и диаметром основания 4 м покрыта парусиной. Сколько квадратных метров парусины пошло на палатку, если 5% материала ушло на швы и отходы?
6. Радиус шара 8 см. Через конец радиуса, лежащего на сфере, проведена плоскость под углом 45 градусов к радиусу. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью и площадь сферы.
7. Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом 60° и равна 20 см. Найдите высоту, радиус основания цилиндра, длину окружности основания и площадь боковой поверхности цилиндра.
8. Через вершину конуса и хорду АВ основания конуса, равную 16 см, проведено сечение, образующее с плоскостью основания угол 60°. Радиус основания конуса равен 10 см. Найдите высоту конуса, расстояние от центра основания до плоскости сечения и площадь полной поверхности конуса.
9. Треугольник АВС со сторонами АВ = 41 см, АС = 15 см и ВС = 52 см вращается вокруг прямой, содержащей его большую сторону. Найдите высоты конусов, из которых составлено тело вращения, площадь осевого сечения и площадь полной поверхности тела вращения.
10. Около цилиндра, высота которого 15 см, а радиус основания 5 см, описана прямая призма. Основанием ее является ромб со стороной 12 см. Найдите радиус основания, площадь осевого сечения цилиндра, площадь боковой поверхности призмы и цилиндра.
11. В конус, высота которого 20 см, вписана пирамида. Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 18 см и 20 см. Найдите образующую и радиус основания конуса, площади поверхностей конуса и пирамиды.
12.Найти объём сегмента, отсекаемого от шара радиуса R гранью вписанного в шар куба (при её продолжении). Радиус шара равен 4 см. Найти его объем. Иллюстрация...
13.Найти объем шарового сектора радиуса R, у которого угол в осевом сечении равен 120°.
14. Найти объем тела, полученного вращением кругового сектора АОВ, изображенного на рис., вокруг прямой DC.

15.Шар и цилиндр имеют равные объемы, а диаметр шара равен диаметру основания цилиндра. Выразите высоту цилиндра через радиус шара.

Объем шарового сектора вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415,
где R – радиус шара, а H – высота шарового сектора.

Объем шарового сегмента вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415,
где R – радиус шара, а H – высота шарового сегмента.
Площадь поверхности сферы радиуса R вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
Площадь поверхности шарового пояса, а также шарового сегмента равна произведению их высоты на длину большой окружности шара: радиуса R вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
16.В шаре, радиус которого равен 65 см, проведены по одну сторону центра две параллельные плоскости, отстоящие от центра на 19 и 25 см. Вычислите объем части шара, заключенной между ними.
17. Радиус шара равен R, дуга в осевом сечении шарового сектора 13 EMBED Equation.3 1415. Найти объем шарового сектора.
18. Радиус основания шарового сегмента равен 8 см, дуга осевого сечения содержит 6013 EMBED Equation.3 1415. Вычислите объем сегмента.
19. Пусть V – объем шара радиуса R, а S – площадь его поверхности. Найдите:
1) S и V, если R=4 см; 2) R и V, S= 6413 EMBED Equation.3 1415см13 EMBED Equation.3 1415
20.Сколько кубометров земли потребуется для устройства клумбы, имеющий форму шарового сегмента с радиусом основания 5 м и высотой 60 см?
21. Диаметр Луны составляет (приблизительно) четвертую часть диаметра Земли. Сравните объемы Луны и Земли, считая их шарами.


Задание на дом: Изготовить модель: І вариант – цилиндра, ІІ вариант – конуса. А.В. Погорелов: §22 стр. 97-119. Н.В. Богомолов: Глава 25-26 стр. 370-390.

Контрольные вопросы
1.Чему равен угол между плоскостью основания цилиндра и плоскостью, проходящей через образующую цилиндра?
2. На основаниях цилиндра взяты две не параллельные друг другу хорды. Может ли кратчайшее расстояние между точками этих хорд быть: а) равным высоте цилиндра; б) больше высоты цилиндра; в) меньше высоты цилиндра?
3. Равны ли друг другу углы между образующими конуса и: а) плоскостью основания; б) его осью?
4. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину?
5.Шаровой сегмент это
6.Шаровым слоем называется
7.Шаровым сектором называется
8. По какой формуле вычисляется объем шарового сектора
9.Объем шарового сегмента вычисляется по формуле
10.Площадь поверхности сферы радиуса R вычисляется по формуле
11.Площадь поверхности шарового пояса, а также шарового сегмента равна

Практическое занятие №29.
Проверочная работа.
Цели занятия:
Образовательная: Обобщить и систематизировать знания и умения учащихся по темам занятий
Воспитательная: Формирование нравственных качеств
Развивающая: Развивать пространственное мышление учащихся

Обеспечение занятия : доска, ручка, бумага, учебник

Вариант - 1
1. Сколькими способами можно выбрать директора и его заместителя из восьми претендентов?
2. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар белый?
3. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй урне 8 белых и 4 черных шара, в третьей урне 2 белых и 13 черных шаров. Из этих трех урн наугад выбирается одна урна. Какова вероятность того, то шар, взятый из наугад выбранной урны, окажется белым?
4. По данному закону распределения вычислите математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение:
Вариант – 2
1. Если подбросить одновременно три игральные кости, то сколько имеется различных возможных комбинаций выброшенных очков?
2. В урне 10 белых, 15 черных, 20 синих и 25 красных шаров. Вынули один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар черный?
3. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй урне 8 белых и 4 черных шара, в третьей урне 2 белых и 13 черных шаров. Из этих трех урн наугад выбирается одна урна. Шар, взятый из наугад выбранной урны, оказался белым. Какова вероятность того, что из трех урн выбрана первая?
4. По данному закону распределения вычислите математическое ожидание, дисперсию, средне квадратическое отклонение:
Х
1
2
3

Р
0,3
0,2
0,5


Список литературы

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений – М.: Просвещение, 2011.
2. Атанасян Л.С. Геометрия 10-11 классы.учеб. для общеобразоват. Учреждений: базовый и профил. Уровни/ Атанасян Л.С. и др. – 20-е изд.[Текст] – М.: Просвещение, 2011.
3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. Пособие для средних проф. Учеб. Заведений/ Богомолов Н.В. -.10-е изд.[Текст] – М.: Высш.шк., 2008.
4.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2ч. Ч1:Учеб.Пособие для вузов/П.Е.Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова, С.П. Данко.-7-е изд., испр.[Текст] – М.: ООО «Издптельство «Мир и образование», 2009.
5. Дадаян А.А. Математика:Учебник/А.А.Дадаян. – 3-е изд.-М.: Форум:НИЦ ИНФРА-М,2013.
6.Березина Н.А.Математика: Учебное пособие/Н.А.Березина,Е.Л.Максина. – М.:ИЦ РИОР: НИЦ ИНФРА – М,2013.









13PAGE \* MERGEFORMAT14115




Эмблема ЧТСГХРисунок 6Описание: Эмблема ЧТСГХRoot EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native