Урок-практикум Применение координатного и векторного методов для решения задач ЕГЭ повышенного уровня

Урок-практикум«Применение координатного и векторного методов для решения задач ЕГЭ
повышенного уровня»
Цель урока:
1. Повторение формул для вычисления расстояний от точки до плоскости, угла между двумя прямыми, угла между плоскостями;
2.Развитие и обобщение знаний учащихся при решении задач координатным и векторным методом;
3.Подготовка к ЕГЭ.
Задачи:
1.Рассмотреть задачи на составление уравнения плоскости, вычисления расстояния от точки до плоскости координатным методом, вычисления угла между прямыми и плоскостями;
2.Продолжить формирования навыка определения координат точек, векторов в пространстве, составления уравнения плоскости;
3.Продолжить формирование навыков выбора способов решения, развивать потребность в нахождении рациональных способов;
4.Способствовать совершенствованию умения контролировать свои действия, вносить коррективы в ходе решения задач;
5.Способствовать умению работать самостоятельно, обосновывая свою позицию, и в группе, учитывая мнения других учащихся.
План урока:
1.Организационный момент.
2.Коллективная работа класса. Решение задачи№1.
3. Парная работа учащихся класса. Решение задач №2,3.
4.Самостоятельная работа учащихся. Решение №4,5.
5.Итог урока.
6.Домашнее задание (комментарий учителя).
Оборудование на уроке.
Интерактивная доска.
Ход урока: При применении углов и расстояний в пространстве вычислительном методом возникают трудности, связанные с дополнительными построениями и обоснованиями, помнить алгоритмы решения для каждого вида задач. Координатный и векторный методы позволяют избежать такого рода трудностей. От учеников требуются знания нескольких формул и навыки в решении простейших задач, где основная нагрузка приходится на вычислительную часть.
Вопрос: Как найти координаты вектора в пространстве?
Какой вектор называется направляющим?
Запишите общий вид уравнения плоскости.
Что такое расстояние от точки до плоскости?
По какой формуле вычисляется расстояние от точки до плоскости?
Расстояние от точки до плоскости.
Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.
Координатный метод.
Пусть дана точка М(x0;y0;z0) и плоскость α, заданная уравнением ax+by+cz+d=0 в прямоугольной декартовой системе координат.
Расстояние от точки М до плоскости α можно вычислить по формуле
ρ(М; α) = ax0+by0+z0∙c+da2+b2+c2.
Коллективная работа учащихся класса. Комментарий учителя. Ответы учащихся. Решение задачи №1.
-5651513525500 Задача 1.
Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1, со сторонами АВ=2, ВС=4, AA1=6. Найти расстояние от точки D до плоскости ACD1.
Решение.
Введем прямоугольную систему координат с началом в точке D(0;0;0) и плоскость ACD1, заданную уравнением ax+by+cz+d=0.
Расстояние от точки D до плоскости ACD1 вычислим по формуле
S (D; ACD1) = ax0+by0+ z0∙c+da2+b2+c2.
Записав в общем виде уравнение плоскости ax + by + cz + d =0 и подставив в него координаты трех точек А (0;4;0), С(2;0;0), D1(0;0;6), получим:
0·a+4·b+0∙c+d=0, (для точки А)2·a+0·b+0∙c+d=0, (для точки С)0·a+0·b+6∙c+d=0;(для точки D1)4·b+d=0, 2·a+d=0,6∙c+d=0;b =- 14 d, a = -12 d , c = -16 d.
Уравнение плоскости ACD1 имеет вид 6x+3y+2z -12=0.
S (D; ACD1) = 0·6+0·3+0·2-1262+32+22 = 1236+9+4 = 127.
Ответ: 127.
Парная работа учащихся класса. Комментарий учителя. Проверка решения с помощью интерактивной доски. Решение задач №2,3.
Вопрос: какую формулу используют при нахождении угла между прямыми? Между плоскостями?
Угол между двумя прямыми.
При нахождении угла φ между прямыми m и l используют формулу
cosφ = p ·q p·q,
или в прямоугольной декартовой системе координат:
cosφ=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12 · x22+y22+z22 ,
где p = {x1;y1;z1}, q = {x2;y2;z2} – направляющие векторы прямых m и l; в частности, для того, чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы
p ·q = 0 или x1x2+y1y2+z1z2=0.

-43688027432000Задача 2.
Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA1B1C1D1, со сторонами АВ=4, AD=3, AA1=46. Найти косинус угла между прямыми A1C и BK, где точка K- середина ребра DD1.
Решение:
Введем прямоугольную систему координат с началом в точке А.
A1C и BK – направляющие векторы прямых.
A1(0;0;46); С(3;4;0); В(0;4;0); К(3;0; 26).
A1C = {3;4;- 46}, BK = {3;-4;26}.
Отсюда
cosφ = А1С · ВК А1С·ВК = 3·3+4·-4+26·(-4·632+42+(-46)232+(-4)2+(26)2
cosφ=9-16-8·69+16+969+16+24 = 5511·7 = 57cosφ = 57.
Ответ: cosφ = 57.
Угол между плоскостями.
Задачу о нахождении угла между плоскостями α и β, заданными в прямоугольной декартовой системе координат уравнениями p1x+q1y+r1z+d1=0 и p2x+q2y+r2z+d2=0 соответственно, удобнее свести к задаче о нахождении угла между векторами их нормалей nα= {p1;q1;r1} и nβ= {p2;q2;r2}, используя формулу:
sin∠α;β= nα· nβnα·nβ = p1p2+q1q2+r1r2p12+q12+r12 · p22+q22+r22 .
Отметим, что не всегда составляют уравнения плоскостей для определения векторов нормалей к ним. Иногда, исходя из свойств многогранника, легко найти вектор нормали данной плоскости. Затем остается выразить этот вектор через базисные векторы или найти его координаты относительно введенной декартовой системы координат.
Задача 3.
-4387852413000 В правильной четырехугольной призме стороны основания равны 3, боковые ребра равны 4. На ребре отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 1 : 3. Найти угол между плоскостями АВС и ВЕD1.
Решение.
В системе координат (см. рис.) В(0;0;0), E(3;0;1), D1(3;0;1), BE{3;0;1}, BD1{3;3;4}.
Пусть n1 = BB1{0;0;4} – вектор нормали к плоскости ABC, n2{k; l ;m} – вектор нормали к плоскости BED1.
3k+m=0 3k+3l+4m=0.Считая k=1, находим l=3 и m=-3. Итак, n2{1;3;-3}, n2= 1+9+9 = 19.
Найдем косинус искомого угла cosφ= n1·n2n1·n2 = 319 .
Ответ: arccos319 .
Самостоятельная работа учащихся с последующей самопроверкой.

Задача 4.
-5905503175000 В правильной прямоугольной призме АВСA1B1C1 стороны основания равны 2, боковые ребра равны 3, точка D – середина ребра СC1. Найдите расстояние от вершины С до плоскости ADB1.
Дано: правильная прямоугольная призма АВСA1B1C1. АВ=ВС=СА=2, СC1=АA1=ВB1=3, СD=DC1.
Найти: расстояние от вершины С до плоскости ADB1.
Решение: расстояние от точки С до плоскости ADB1 вычисляется по формуле
S (С; ACB1) = ax0+by0+cz0+da2+b2+c2-20745452819401
С
В
A
N
2
3y
x
2
001
С
В
A
N
2
3y
x
2

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке С(0;0;0). Плоскость ADB1 задается уравнением ax+by+cz+d=0.
А(0;2;0); D (0;0;1,5); B1(3; 1;3).
BN⏊y, BN=22-12=3, NA=1, CN=1, т.к. ∆АВС – равносторонний, BN⏊ СА.
0·a+2·b+0∙c+d=0, для точки А 0·a+0·b+1,5∙c+d=0, (для точки D)3·a+1·b+3∙c+d=0;(для точки B1)2b+d=0, 1,5с+d=0, 3a+1b+3c+d=0;b =- 12 d, c = -23 d , 3 a = 32 d, a=323d.
32 dx - 12 dy-23 dz + d = 0, d≠0,
33x-3y-4z+6=0.
S (C; ADB1) = 33· 0+0·-3-4·0+6(33)2+(-3)2+(-4)2 = 627+9+16 = 652S (C; ADB1) = 64·13 = 313 = 31313.
Ответ: 31313.
-23939527876500Задача 5.
На ребре CC1 куба АВСDA1B1C1D1 отмечена точка E так, что СЕ : ЕC1= 1 : 2. Найдите угол между прямыми BE и AC1.
Дано: АВСDA1B1C1D1 – куб, СЕ : ЕC1= 1 : 2.
Найти: угол между прямыми BE и AC1( скрещивающиеся прямые).
Решение: введем прямоугольную систему координат с началом в точке А(0;0;0), C1(1;1;1), В(0;1;0), Е(1;1; 13).
АС1={1;1;1}; BE{1;0; 13}.
cosφ = АС1 · ВЕ АС1·ВЕ.
АС1 · ВЕ = 1 ·1+1·0+1· 13 ǀ = ǀ 113 ǀ = ǀ 43 ǀ = 43АС1 = 12+12+12=3; ВЕ = 12+0+(13)2 = 109 = 103.
cosφ=433·103 = 430 = 4·3030 = 2·3015,
φ = arccos23015.
Ответ: arccos23015.
Подведение итога урока.
Рассмотрели решение задач, применяя координатный и векторный методы. Продолжим развивать умение применять изученный материал, как один из рациональных способов решения. Это весьма полезно при подготовке к ЕГЭ.
Домашнее задание.
Дана правильная шестиугольная призма ABCDEFA1B1C1D1E1F1 , стороны основания которой равны 2, а боковые ребра равны 4. Найти расстояние от точки А до прямой В 1С , используя координатный метод.
В кубе АВСDA1B1C1D1 найти угол между плоскостями AB1C и BC1D.