Статья по научно-исследовательской работе по предмету математика на тему Математические и модельные оценки загрязнения атмосферного воздуха


УДК.551.509.329
Математические и модельные оценки загрязнения атмосферного воздуха
А.Ж Омарова– магистр естественных наук,
М.О Сарымамед-оглы, Я.В Гукова - студенты
Профессионально гуманитарно-технический колледж «Білім»
Система обеспечения безопасности потенциально-опасных объектов городского хозяйства /1с.281-283/, создаваемая в рамках единой информационной системы города, включает две подсистемы: подсистему мониторинга состояния окружающей среды и подсистему прогнозирования, основным назначением которой является предупреждение чрезвычайных ситуаций. Опыт показывает, что наиболее часто возникающие чрезвычайные ситуации связаны с выбросом загрязняющих веществ (ЗВ) в окружающую среду - в атмосферу, воду и почву. Предупреждение чрезвычайных ситуаций основано на информации о текущем состоянии окружающей среды и на прогнозе этого состояния в перспективе. Источником информации о текущем состоянии окружающей среды является подсистема мониторинга, которая периодически определяет количественные значения концентраций загрязняющих веществ в строго определенных точках пространства. Эта же информация должна служить основой для прогноза распределения загрязняющих веществ в указанных средах. Это в свою очередь требует построения математических моделей процесса распространения загрязняющих веществ. В отечественной и зарубежной литературе  обсуждаются разнообразные подходы к моделированию этого процесса в атмосфере, воде и почве, предлагаются различные модели, полученные теоретическим (аналитическим)  путем. С точки зрения проектирования и разработки подсистемы прогнозирования использование этих моделей напрямую, т.е. так, как они сформулированы, не целесообразно в силу следующих причин.
Все авторы рассматривают только одну из указанных сред. По этой причине различаются как методики построения моделей, так и необходимые для этого данные. При проектировании и использовании подсистемы прогнозирования было бы желательно иметь одну обобщенную модель, так, чтобы отдельные модели входили бы как частный случай и их легко можно было бы получить из обобщенной модели путем задания некоторых параметров. Такая возможность существует, поскольку математические модели, описывающие динамику концентрации загрязняющих веществ в воздухе, воде и почве, основаны на законах сохранения массы и характеризуются дифференциальными уравнениями в частных производных /2,с.31-37/. Одним из таких уравнений является уравнение диффузии вещества в однородной среде (уравнение Фика):
, (1)
где kx, ky, kz - коэффициенты диффузии;
Vx, Vy, Vz - скорость движения потока в соответствующих направлениях (для случая, когда поле распространяется в потоке);
q(t) - интенсивность выбросов ЗВ (функция источника загрязнения);
c - концентрация примеси ЗВ;
x, y, z - прямоугольные координаты.
Аналитическое решение уравнения диффузии для точечного источника выбросов является достаточно сложным, что затрудняет его практическое применение. Но даже после упрощения, за счет введения определенных допущений, остается нерешенной проблема определения коэффициентов турбулентной диффузии, которые являются основополагающей составной частью уравнения диффузии. Кроме того, предположение об однородности среды, в которой происходит распространение загрязняющих веществ, выполняется очень редко и даже если оно выполняется, нахождение численного значения данных коэффициентов является отдельной трудно решаемой задачей.
В силу изложенных причин целесообразным представляется применение динамических моделей с распределенными параметрами. Это позволяет перейти от   непрерывной задачи к ее дискретному виду и в полной мере использовать для получения функциональной зависимости, описывающей процесс распространения  загрязняющих веществ в окружающей среде, информацию, накапливаемую в рамках системы мониторинга. В системе мониторинга окружающей среды города наблюдение концентрации загрязняющих веществ осуществляется во многих точках пространства, так как датчики (газоанализаторы и т.п.) территориально рассредоточены. Не вызывает сомнений тот факт, что поле концентрации загрязняющих веществ динамически меняется,  и текущее   состояние системы определяется факторами ее предыдущего состояния, поэтому возникает необходимость учитывать предысторию процесса. Таким образом, и это является самым важным моментом, использование подобных моделей позволяет осуществить привязку прогнозируемой величины (концентрации загрязняющих веществ) как  в пространстве координат, так и в пространстве состояний системы.
Подобный подход можно определить как синтез широко распространенных статистического  и аналитического подходов, поэтому можно ожидать, что он окажется наиболее перспективным. В нем для построения модели, структура которой соответствует физическим представлениям о моделируемом процессе, используется статистическая информация. В процессе моделирования структура модели может быть скорректирована для наилучшего отражения статистических данных, что обеспечивает достаточную свободу выбора.
Одним из вариантов построения математической модели поля загрязнения атмосферы города с использованием принципа адаптации является метод группового учета аргументов (МГУА).  Пример использования  МГУА для решения задачи моделирования загрязнения воздушного бассейна рассмотрен в /3,с.41-45/, однако возможность прогнозирования изменения концентрации ЗВ во времени здесь не рассматривалась.
В данной работе основное внимание уделяется именно вопросам прогнозирования изменения состояния окружающей среды на определенном временном интервале, с учетом того, что поле концентрации ЗВ является нестационарным и неоднородным и зависит как от внешних факторов, так и от предыстории развития процесса.
Разработанная для этих целей методика построения модели включает несколько шагов. Сначала строится алгебраическая интерполяционная модель. При этом  не накладывается никаких ограничений на количественный и качественный состав предикторов, учитываемых пользователем в модели, т.е. он может самостоятельно решать, какие метеопараметры или предикторы иного вида будут использоваться в модели. Более того, пользователю предоставляется возможность формировать новые предикторы на основе имеющихся.  Пользователь также может выбрать вид модели на первом этапе. Этот вид модели может быть: линейным, степенным или показательным.
Пусть значение концентрации загрязняющих веществ q определяется некоторой функцией , зависящей от - вектора пространственных координат и - вектора метеопараметров, тогда модель линейного вида определяется как:
(2)где, m - количество учитываемых метеопараметров;
аi и аj - коэффициенты модели;
а0 - свободный член.
Степенная модель: , (3)
показательная модель: . (4)
Таким образом, строится алгебраическая интерполяционная модель, которая служит основой для построения конечно-разностной модели на втором этапе.
При этом район прогнозирования покрывается равномерной прямоугольной сеткой, число узлов которой или шаг по соответствующим координатным осям задаются пользователем.
При построении так называемой «точной» конечно-разностной модели применяется шаблон, определяемый следующим образом:

где q(ti, xj, yk) – значения концентраций примеси в точке с координатами xj, yk, определяемыми следующим образом:, , (j,k = -1, 0, +1), (i = -2,-1,0,+1).
Следующим этапом является обработка статистической информации. В качестве внешних критериев селекции   могут применяться по выбору пользователя следующие:
критерий регулярности на экзамене:,(5)
критерий несмещенности:,(6)
критерий устойчивости прогноза: ,(7)
и два комбинированных критерия: .(8)
1. несмещенность + регулярность:         (9)
2. несмещенность + устойчивость: (10)
Здесь используются следующие обозначения:
NС - число точек в подмножестве экзаменационных точек С; 
NВ - число точек в подмножестве проверочных точек В;  
NA - число точек в подмножестве обучающих точек A; при этом выполняется равенство N = NA+ NВ+ NС, N - число точек исходного множества наблюдений F, F=ABC; объединение подмножеств АВ составляет выборку (W) объемом NW = NA+ NВ;
qwi - значение концентрации ЗВ, полученное в результате наблюдения, qwiW, i=1..NW; qаi - значение концентрации ЗВ полученное в результате наблюдения, qаiА, i =1..NА;
qbi - значение концентрации ЗВ, полученное в результате наблюдения, qbiB, i=1..NB;
qci - значение концентрации ЗВ, полученное в результате наблюдения;
qаiC, i=1..NC- значение концентрации ЗВ рассчитанное для точек выборки W по модели, коэффициенты которой определялись по точкам выборки А;
- значение концентрации ЗВ, рассчитанное для точек выборки W по модели, коэффициенты которой определялись по точкам выборки В;
- значение концентрации ЗВ, рассчитанное для точек выборки С по модели, коэффициенты которой определялись по точкам выборки W.
Изложенная методика реализована в виде прикладной программы, позволяющей произвести построение прогностической модели поля загрязнения атмосферы. В ней пользователю предоставляется возможность использовать произвольный набор предикторов, а также формировать новые предикторы из уже имеющихся. Это, в сочетании с возможностью применения нескольких видов алгебраической модели для интерполяции (линейная, степенная, показательная), позволяет лицу, моделирующему процесс распространения примеси ЗВ, заложить в модель собственные представления об этом процессе и учитывать только те метеопараметры, которые находятся в его распоряжении.В результате работы программы была построена алгебраическая интерполяционная модель следующего вида:
(11)
на основе которой были получены две оптимальные по симметричному критерию стабильности конечно-разностные модели:
1) значение критерия: 0,006477
значение СКО: 0,0512

2) значение критерия: 0,006708
значение СКО: 0,0526

Список использованных литератур:
1. Абдула Ж. «Определение экологического ущерба от нарушения экологического равновесия с помощью математического моделирования». Труды Международной научно-технической конференции. Том 1, Астана, 2007, с.281-283.
2. Берлянд М.Е. «К теории турбулентной диффузии». Труды Международной научной конференции№ 1970, М.с. 31-37
3. Асташкин И.В. «Вероятностный метод оптимизации». Свердловск. Известия высших учебных заведений. 1981, с. 41-45.