План конспект по Геометрии 9 класс на тему: «Скалярное произведение векторов».

План конспект по Геометрии 9 класс на тему: «Скалярное произведение векторов».


Цель урока: формирование понятия скалярного произведения векторов; формирование умений применять изученные определения и свойства к решению задач.
Тип урока: комбинированный.
Наглядность и оборудование: таблица «Декартовы координаты и векторы на плоскости»[13].
Требования к уровню подготовки учащихся: формулируют определение скалярного произведения, его свойства; применяют изученные определения и свойства к решению задач.
Ход урока
И. Проверка домашнего задания
1. Проверить наличие выполненных домашних заданий и ответить на вопросы, которые возникли у учеников во время их выполнения.
2. Математический диктант
Даны два вектора:
Вариант 1
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](1; 0), [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](0; -1);
Вариант 2
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](-1; 0), [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](0; 1).
Найдите:
а) координаты вектора 2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
б) координаты вектора -[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
в) длину вектора [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+ [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
г) длину вектора [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
д) координаты вектора 3[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] + 4[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
есть) длину вектора 3[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] + 4[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
 
II. Анализ результатов самостоятельной работы
 
III. Поэтапное восприятие и осознание нового материала
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](обозначения: ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]·[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]), или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], или ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ])) называется произведение длин этих векторов на косинус угла между ними, т.е. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 
Два ненулевые векторы тогда и только тогда взаимно перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю, то есть [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]·[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]·[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](переставной закон);
2) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2 = |[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]|2, или |[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]| = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (распределительный закон);
4) (
·[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]) · [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=
·([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]·[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]) (связующий закон).
Примечание 1. Косинус угла между ненулевыми векторами [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]выражается формулой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], которая следует из определения скалярного произведения.
Примечание 2. Свойство 2 скалярного произведения, а именно формула |[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]| = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= = [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], позволяет вычислять длину вектора в общем случае.
Примечание 3. Распределительный закон выполняется для любого конечного числа слагаемых. Например, правильная формула ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] + [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+ [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Скалярное произведение двух векторов, которые заданы координатами, равно сумме произведений соответствующих координат.
Если заданы векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](a1; a2) и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](b1; b2) на плоскости, то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]·[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= а1b1 + a2b2.
 
Решение задач
1. Сторона равностороннего треугольника ABC равна 13. Найдите скалярное произведение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]·[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] (рис. 212).
 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение
Поскольку |[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]| = |[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]| = 13, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]A = 60°, то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]·[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] = |[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]|·|[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]|cos[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]A = = 13 · 13 cos60° = 169 · [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= 84,5.
Ответ. 84,5.
2. Заданы векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- 4[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= 3[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] + 2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], которые взаимно перпендикулярны. Вектора [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- единичные векторы. Найдите угол между векторами [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](в градусах).
Решение
Поскольку |[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]| = 1 и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]· [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]= 0, то имеем [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]·[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] = ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - 4[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ])(3[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] + 2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]) = 3[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]2 + 2[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- 12[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - 8b2 = 3 · |[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]|2 - 10|[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]||[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]| соs
· - 8|[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]|2 = 3 - 10cos
· - 8 = - 5 - 10cos
·,
тогда - 5 - 10cos
· = 0, соs
· = -[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
· = 120°.
Ответ. 120°.
 
IV. Решение задач
1. Найдите угол между векторами [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](1; 2) и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
2. Даны вершины треугольника ABC: А[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], В[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], С[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите его углы.
3. Докажите, что векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](т; п) и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](-n; m) перпендикулярны или равны нулю.
4. Даны векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](3; 4) и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](m; 2). При каком значении т они перпендикулярны?
5. Даны векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](1; 0) и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](1; 1). Найдите такое число х, чтобы вектор [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+ x[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] был перпендикулярен к вектору [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
6. Докажите, что когда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- единичные неколінеарні векторы, то векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+ [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]отличные от нуля и перпендикулярны.
7. Даны векторы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите абсолютную величину вектора [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]+ [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], если |[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]| = |[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]| = 1, а угол между векторами [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]равен 60°.
 
V. Домашнее задание
1. Изучить теоретический материал.
2. Решить задачу.
Даны вершины треугольника A(1; 1), B(4; 1), С(4; 5). Найдите косинусы углов этого треугольника.
 
VI. Подведение итогов урокаЗадача класса
1. Дайте определение скалярного произведения векторов и сформулируйте свойства скалярного произведения векторов.
2. Сформулируйте свойство и признак перпендикулярных векторов.


Домашнее задание
Учебник Л.С. Атанасян п. 101, 102, 103 № 1041, 1044

15