«Скалярное произведение векторов»

Урок-лекция по решению ключевых задач по теме «Скалярное произведение векторов» в 9 классе.
Тема урока: Скалярное произведение векторов.
Тип урока: Урок-лекция по решению ключевых задач.
Метод проблемного изложения.
Учебная задача: Выделить совместно с учениками три вида ключевых задач:
На нахождение длины отрезка;
На нахождение величины угла;
На доказательство перпендикулярности прямых и отрезков,
выделить обобщенные методы решения задач.
Диагностируемые цели:
По окончанию урока ученик знает:
как выражать длину вектора через его скалярный квадрат;
как выразить величину угла между ненулевыми векторами через их скалярное произведение;
ученик знает о существовании трёх видов метрических задач(на нахождение длины отрезка; на нахождение величины угла; на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков) и обобщенные методы их решения.
Ученик умеет:
переводить геометрические термины на язык векторов и наоборот (осуществлять переход от соотношений между фигурами к соотношениям между векторами и наоборот);

выполнять операции над векторами (сложение, вычитание, умножение на число, скалярное произведение);
представить векторы в виде суммы или разности векторов.
Средство обучения: таблица – канва.

Урок – лекция.
Мотивационно – ориентировочная часть.
В начале урока ученикам раздаётся таблица – канва (таблица 1).
- Найдите угол между векторами a и b.
- Отметим произвольную точку на плоскости и откладываем от неё лучи, параллельные двум векторам.
- Чему равен угол между векторами a и b?
- Угол между ними равен нулю.
- Чему равен угол между векторами a и c?
- Угол между ними равен 180 градусам.
- В каком случае угол между векторами равен 90 градусам?
- Угол между векторами равен 90 градусам, если векторы перпендикулярны.
- Что называется скалярным произведением векторов?
- Скалярным произведение двух ненулевых векторов, называется произведение их длин на косинус угла между ними, если хотя бы один из векторов нулевой, то скалярное произведение векторов равно нулю.
- Запишите определение в символьной форме.
1) a · b =| a | ·| b | · cos( a ^ b )
2) a =0 или b=0, то a · b.
- Если векторы перпендикулярны, то чему равно их скалярное произведение?
- Скалярное произведение равно нулю.
- Чему равно скалярное произведение векторов, если угол между ними равен нулю?
- Скалярное произведение равно произведению их длин, т.е.
а ·b = | a | ·| b |, a ^ b = 0.
- Чему равен скалярный квадрат вектора а ?
- Скалярный квадрат вектора а равен квадрату его длины.
- Известны координаты векторов. Сформулируйте теорему о скалярном произведении в координатах.
- Скалярное произведение векторов а{x1;y1} и b{x2;y2} выражается формулой a ·b=x1 ·x2+y1 ·y2.
- Если векторы перпендикулярны, то чему равно их скалярное произведение в координатах?
- Ненулевые векторы а{x1;y1} и b{x2;y2} перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1 ·x2+y1 ·y2=0.
- Как найти косинус угла между ненулевыми векторами?
- cos(a^b)= (x1 ·x2+y1 ·y2)/
·x1І+y1І·
·x2І+y2І .
- Давайте вспомним свойства скалярного произведения.
- 1. aІ
· 0, причем аІ > 0 при а
· 0.
2. a · b=b · a (переместительный закон).
3. (a+b) ·c=a·c+b·c (распределительный закон).
4. (k·a) ·b=k·(a·b) (сочетательный закон).
Тем самым заполнили таблицу-канву (таблица 2).
- После изучения новой темы мы решали задачи по данной теме. На прошлом уроке мы решали задачи на усвоение определений и формул. На сегодняшнем уроке мы рассмотрим ключевые задачи по данной теме. Какими задачами мы закончили изучение темы «Векторы» в 8 классе?
- Аффинные задачи.
- Какие виды аффинных задач вы знаете?
- 1.Доказательство параллельности прямых и отрезков;
2.Доказательство деления отрезка в данном отношении;
3.Доказательство принадлежности трех точек одной прямой.
- С помощью каких действий над векторами, мы решаем аффинные задачи?
- Сложение, вычитание и умножение на число.
- Выделяют ещё одну группу задач, решаемых векторным методом - это метрические задачи. Какое новое действие вы изучили над векторами?
- Скалярное произведение векторов.
- Давайте вернемся к таблице - канва и посмотрим, какие виды метрических задач мы можем с вами выделить.
Ученики могут сказать, что можно найти длину вектора, величину угла и доказать перпендикулярность векторов.
Классификация задач, решаемых векторным методом.

Аффинные:
- доказательство параллельности прямых и отрезков;
- доказательство деления отрезка в данном отношении;
- доказательство принадлежности трёх точек одной прямой.
Метрические:
- нахождение длины отрезка;
- вычисление величины угла;
- доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.

- По-видимому, существуют три типа метрических задач. Целью нашего урока является выделить три ключевые задачи:
нахождение длины угла;
вычисление величины угла;
доказательство перпендикулярности прямых и отрезков,
и выделение обобщенных методов решения задач.
Содержательная часть.
- Рассмотрим первый тип метрических задач на нахождение длины отрезка.
Ученики читают формулировку задачи, которая выписана на доске: Вычислить длину медианы CD треугольника ABC, если AC=1, BC=2, угол C равен 120 градусам.
- Выделим условия задачи и сделаем рисунок.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
- Давайте введем в рассмотрение основные векторы. Какие векторы нам лучше всего рассмотреть при решении данной задачи?
- Выбираем векторы CA и CB.
- Почему?
- Так как известны их длины и угол между ними.
- Какими являются векторы CA и CB?
- Сонаправленными и неколлинеарными.
- Почему берём неколлинеарные векторы?
- Так как можно через них выразить другие векторы.
- Длину какого вектора нам надо найти?
- Длину CD.
- Как можно его выразить через другие векторы?
- Основываясь на известный факт, что если точка D является серединой отрезка AB, а точка C – произвольной точкой плоскости, значит вектор CD=1/2(CA+CB).
- Как можно найти длину вектора CD?
- Мы знаем, что скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины. Надо найти скалярный квадрат CD.
СDІ =1/4(CA+CB)І =1/4(CAІ+2CA·CB+CBІ)
- Подставим в это равенство числовые данные и заметим, что CA·CB – это скалярное произведение векторов.
|CD|І=1/4(1І+2·1·2·cos120+2І)=1/4(1+4·cos(90+30)+4)=1/4-sin30+1=1/4-1/2+1=3/4
-Для нахождения
·длины, вычислим квадратный корень из скалярного квадрата.
|CD|=
·|CD|І=
·3/4=
·3/2
Запись на доске:
1 СA, CB – неколлинеарные векторы, СA
·0, CB
·0
2 CD=1/2(CA+CB)
3 СDІ =1/4(CA+CB)І =1/4(CAІ+2CA·CB+CBІ)
|D|І=1/4(1І+2·1·2·cos120+2І)=1/4(1+4·cos(90+30)+4)=1/4-sin30+1=1/4-1/2+1=3/4
4 |CD|=
·|CD|І=
·3/4=
·3/2
- Давайте выделим этапы решения задачи.
Учитель совместно с учениками выделяет этапы решения данной задачи ( слева на доске напротив каждого действия появляются цифры)
- Давайте выделим общие этапы решения задач на нахождение длины отрезка.
Выбрать два неколлинеарных вектора, у которых известны длины и величина угла между ними;
Разложить по ним вектор, длина которого вычисляется;
Найти скалярный квадрат этого вектора, используя формулу а =|а|
Вычислить квадратный корень из скалярного квадрата.
- Итак, мы выделили обобщенный прием, который применяется к решению задач на нахождение длины отрезка. Теперь рассмотрим второй тип метрических задач на вычисление величины угла.
Формулировка задачи выписана на доске:
Найдите угол, лежащий против основания равнобедренного треугольника, если медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны.
Формулировку читает ученик.
- Выделим условия задачи и сделаем рисунок.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
- Рассмотрим треугольник ABC, он равнобедренный, AA1 и BB1 медианы, проведенные к боковым сторонам. Для решения данной задачи введем векторы. Пусть вектор CA1 равен вектору a, а вектор CB равен b.
- Что следует из того, что AA1 и CB1 медианы?
- CA1=CB1=a
- Выразим векторы, содержащие медианы через известные неколлинеарные векторы.
- AA1=CA1-CA
- Чему равно CA1?
- СA1=a
- Чему равно CA?
- Так как BB1 медиана, то СA=2b.
- Следовательно, чему равно AA1?
- AA1=a-2b.
- Аналогично выразите вектор BB1.
Дети смогут это сделать сами. BB1=CB1-CB=b-2a.
- Найдите произведение векторов AA1 и BB1.
- AA1·BB1=(a-2b)·(b-2a)=5a·b-2a·a-2b·b. (1)
- Что известно из условия задачи о AA1 и BB1?
- AA1 перпендикулярно BB1, а значит AA1 перпендикулярно BB1.
- Чему равно скалярное произведение таких векторов?
- AA1·BB1=0
- Вернёмся к равенству (1). В этом равенстве мы видим, что a·b – это скалярное произведение. Вычислим его.
- a·b=|a|·|b|·cosC, а т.к. |a|=|b|=a, тогда a·b=aІ·cosC.
- Теперь рассмотрим скалярное произведение a·a и b·b.
- a·a=aІ, b·b=aІ.
- Какой тогда вид примет равенство (1)?
- С одной стороны произведение векторов AA1·BB1=0, а с другой – 5aІ·cosC-4aІ.Приравняем их: 5aІ·cosC-4aІ=0.
- Что требуется найти в задаче?
- Угол, лежащий против основания, т.е. угол С.
- Найдите его?
- 5aІ·cosC=4aІ
cosC=4aІ/5aІ=4/5 C=36 52
Запись на доске:
1 CA1, CB1 – неколлинеарные векторы, CA1
·0,CB1
·0.
СA1=a, CB1=b
AA1,BB1 – неколлинеарные векторы.
2 AA1=CA1-CA=a-2b
BB1=CB1-CB=b-2a
AA1·BB1=5a·b-2a·a-2b·b
AA1·BB1=0; a·b=|a|·|b|cosC, |a|=|b|=a
a·b=aІ·cosC
a·a=aІ
b·b=aІ
3 5aІ·cosC-4aІ=0
5aІ·cosC=4aІ
cosC=4aІ/5aІ=4/5
C=36 52
- Давайте выделим этапы решения задачи.
Учитель совместно с учениками выделяет этапы решения данной задачи ( слева на доске напротив каждого действия появляются цифры)
- Как и в предыдущей задаче выделим общие этапы решения задач.
Выбрать векторы, задающие искомый угол, разложить их по базисным векторам;
Выбрать два неколлинеарных вектора, у которых известны отношение длин и величина угла между ними;
Вычислить угол, используя определение скалярного произведения.
cos( a^b )=a·b/(|a|·|b|)
- Мы выделили обобщенный прием, который применяется при решении задач на нахождение величины угла. Теперь рассмотрим последний тип метрических задач на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.
Формулировка задачи выписана на доске:
Докажите, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Формулировку читает ученик.

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
- По аналогии с предыдущими задачами введём векторы.
- AC, BD, BA, BC.
- Из какого условия следует перпендикулярность векторов?
- Из то, что скалярное произведение равно нулю.
- С чего мы начинаем доказательство?
- Нам необходимо выразить данные векторы через известные неколлинеарные векторы.
BD=BA+BC
AC=BC-BA
- Найдем скалярное произведение данных векторов.
- BD·AC=(BA+BC)·(BC-BA)=BCІ-BAІ
Так как |BC|=|BA|, то получим BD·AC=0.
- Мы доказали, что скалярное произведение векторов равно нулю. Какой вывод отсюда можно сделать?
- Векторы BD и AC перпендикулярны.
Записи на доске:
1 BA, BC – неколлинеарные векторы, BA
·0,BC
·0.
2 BD=BA+BC
AC=BC-BA
3 BD·AC=BCІ-BAІ
|BD|=|BA| BD·AC=0 BD
·AC BD
·AC.
- Давайте выделим этапы решения задачи.
Учитель совместно с учениками выделяет этапы решения данной задачи ( слева на доске напротив каждого действия появляются цифры)
- Выделим общий метод решения задач на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.
Выбрать два неколлинеарных вектора, у которых известны отношение длины;
Разложить по ним векторы, длина которых вычисляется;
Найти скалярное произведение векторов и убедиться, что оно равно нулю.
- Этот метод является общим методом решения задач на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.
Рефлексивно – оценочная часть.
- Итак, на сегодняшнем уроке мы рассмотрели метрические задачи. В них можно выделить три типа задач:
на нахождение длины отрезка;
на нахождение величины угла;
на доказательство перпендикулярности прямых и отрезков.
- Данные задачи являются ключевыми. Мы выдели обобщенные способы решения данных задач, которые будут использоваться при решении других задач.
- Запишите домашнее задание:
Докажите, что параллелограмм является ромбом, если его диагонали взаимно перпендикулярны.
Вычислите длину медианы треугольника ABC, проведенной из вершины С, если BC=a, CA=b и угол С равен
·.