Урок Куб суммы и куб разности
Тема урока: «Куб суммы и куб разности»
Основные цели:
«Открыть» формулы куба суммы и куба разности двух выражений, отрабатывать умение применять их на практике; совершенствовать устные и письменные вычисления.
2.Развивать математическую речь учащихся, настойчивость, логическое мышление.
3. Формирование умения высказывать свою точку зрения, аргументировать её.
Планируемый результат:
развитие коммуникативной компетентности учащихся в общении и сотрудничестве со сверстниками и с учителем в процессе изучения нового.
Познавательные: на основе анализа делать выводы, обобщать; самостоятельно определять цели своего обучения, ставить и формулировать для себя новые задачи, развитие мотивов и интересов своей познавательной деятельности.
Регулятивные: развитие умения высказывать свое предположение на основе личного опыта и дополнительных источников информации; прогнозирование планируемого результата урока.
Коммуникативные: развитие умения слушать и понимать других, строить речевое высказывание в соответствии с поставленными задачами, оформлять свои мысли в устной форме.
Тип урока: изучение нового
Методы:словесный, объяснительно-иллюстративный, проблемное изучение.
Формы организации познавательной деятельности учащихся:
индивидуальная, парная, фронтальная.
Технология реализации:личностно-ориентированное обучение.
Оборудование:проектор мультимедиа, экран, раздаточный материал, учебник.
План урока.
Орг.момент.
- Доброе утро! Давайте познакомимся, меня зовут Ольга Анатольевна и я сегодня у вас буду вести урок математики. Я надеюсь на плодотворное сотрудничество, активность и взаимопонимание. Итак, приготовили в порядок все принадлежности, начинаем.
Учитель:Напомните мне, пожалуйста, что вы изучали на прошлых уроках?
Ученики:называют формулы сокращенного умножения.
Учитель:Хорошо.
-Давайте обратим внимание на следующий слайд a2-b2=a-b∙a+ba+b2=a2+2ab+b2a-b2=a2-2ab+b2a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3-Прочитайте данные выражения.
-О каких выражениях мы еще не упоминали?
Ученик: (a+b)3, и (a-b)3Учитель: Как называются эти формулы?
Ученик: Куб суммы и куб разности.
Учитель:Это и будет темой нашего урока. Куб суммы и куб разности. Давайте откроем тетради, запишем дату – 16.03.2015, классная работа и тему урока: «Куб суммы и куб разности»
Учитель: Итак, перед вами «дерево предположений». Я предлагаю вам высказать предположения по этой теме, что вы сегодня ожидаете от нашего урока (это и будут наши цели), где можно будет использовать эти формулы.
( Можно развернуться лицом друг к другу и обсудить и предложить свои идеи, поработав мини-группе).
А) Ваши аргументы, обоснованные предположения каждой группы – это и есть листья дерева.
В) как и любое дерево имеет корни, так и мы имеем багаж знаний, опираясь на который, познаем, изучаем новое. Как вы думаете, на что мы будем опираться?
2. Актуализация опорных знаний.
И сейчас мы повторим теорию с помощью ромашки Блума.(слайд)
Вопросы: 1) Квадрат суммы
2) Квадрат разности
3) Разность квадратов
4) Как не путать термины
5) Зачем нужны ФСУ?
6) Это интересно!
На формулах сокращенного умножения основаны некоторые математические фокусы и загадки, позволяющие производить вычисления в уме.
«Отгадывание задуманного числа»
Задумайте число (до 10);
Умножьте его на себя;
Прибавьте к результату задуманное число;
К полученной сумме прибавьте 1;
К полученному числу прибавьте задуманное число.
Скажите мне число, которое у вас получилось и я отгадаю, какое число вы задумали.
Решение: x² + x + 1 + x = x² + 2x + 1 = (x + 1)²
Например, 5·5 + 5 + 1 + 5 = 36, тогда x = 6– 1 = 5.
Устная работа.
Представить в виде квадрата одночлена:
4а2 = (2a)29x2 = (3x)20,04x4= (0,2x2)2
19a2b2= ( 13ab)2
0,25х2y6 = (0,5xy3)2
1 916m4n6 =54m2n32Представить в виде куба:
8х3= (2х)3
64с6= (4с2)3
127x3= x33
8n6y15= (2n2y5)3
Доверяй, но проверяй!
Найдите ошибки:
(в-у)2 =в-2ву+у2(7+с)2=49-14с+с2(р-10)2=р2-20р+10
(2а+1)2=4а2+2а+1
Ребята, что мы сейчас повторяли? Зачем? Как выдумаете?
3. «Открытие» нового знания
Учитель: Давайте возведем в куб используя определение степени:
a3=a∙ a∙ a или a3=a2∙ aт.е (a + 2)3 = (a + 2) ∙ (a + 2) ∙ (a + 2) = (a + 2)2 ∙ (a + 2) = (a2 +4a + 4) · (a + 2) =
Учитель: Как умножить многочлен на многочлен?
Ученик: При умножении многочлена на многочлен каждый член одного многочлена умножают на каждый член другого.
=a3 +2a2+ 4a2 +8a +4a +8 = a3 + 6a2 + 12a + 8
Учитель: Зная формулы квадрата суммы и квадрата разности, нетрудно вывести формулы куба суммы и куба разности. Я вам предлагаю сейчас побыть в роли ученых-математиков и сделать небольшое открытие, т.е., открыть новые формулы. Работать будем по вариантам: 1 вариант – куб суммы a+b3 , 2 вариант – куб разности a-b3 .Ребята, кто испытывает затруднения, можно воспользоваться подсказкой(приложение 1):
(х + у)3 =х3 + 3х2у +3ху2 + у3
Составим алгоритм:
1.возводим первое выражение в третью степень;
+
2.возводим первое выражение во вторую степень, умножаем на второе выражение и умножаем на 3;
+
3.возводим второе выражение во вторую степень, умножаем на первое выражение и умножаем на 3;
+
4.возводим второе выражение в третью степень.
Пожалуйста, по одному человеку от варианта, показать на доске открытие новой формулы.
(a + b)3 =a3 + 3a2b +3ab2 + b3
Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
Аналогично можно получить, что a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3Заметим, что тождество a-b3=a3-3a2b+3ab2-b3 можно получить из тождества a+b3=a3+3a2b+3ab2+b3, если представить разность a-b в виде суммы a+-b.
a-b3=a+-b3=a3+3a2-b+3a-b2+-b3=a3-3a2b+3ab2-b3Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
Учитель: Давайте подведем итог нашей работе, кто скажет, чем мы сейчас занимались?
Ученики: отвечают (выводили формулы …)
Устали? Немного отдохнем. Встаньте, пожалуйста, из-за парт и повторяйте вместе со мной.
ФизминуткаМы все вместе улыбнемся,
Подмигнем слегка друг другу,
Вправо, влево повернемся
И кивнем затем по кругу.
Все идеи победили,
Вверх взметнулись наши руки.
Груз забот с себя смахнули
И продолжим путь науки.
Учитель: Спасибо, присаживайтесь.
Ребята, подумайте и скажите, какой следующий шаг в нашей работе?
Ученики: учиться применять «открытые» нами формулы.
4. Закрепление изученногоПроверим знания на практике
Давайте откроем учебники на стр.174 и вместе выполним №859(в,г,д)
Желающие могут пойти к доске.
в) (х -1)3 = х3 - 3·х2·1 + 3·х·12 – 13 = х3 - 3х2+ 3х – 1
г) (2 + k)3 = 8 + 12k +6k2 +k3
д) (p +3)3 = p3 +9p2 +27p + 27
Рассмотрим вместе следующий пример:
2) (5y3-2z)3= 5y33-3∙5y32∙2z+3∙5y3∙2z2-2z3=
= 125y9-150y6z+60y3z2-8z3Учитель:А сейчас поработаем в парах.
Работа в парах (приложение 2)
№1. Представить выражение в виде многочлена:
a) x+23=x3+6x2+12x+8б) 3-x3=27-27x+9x2-x3=
в) 2a-b3=8a3-12a2b+6ab2-b3г) 3a+2b3=27a3+54a2b+36ab2+8b327
№2. Разложите многочлен на множители:
а) 125+75a+15a2+a3=5+a3б) x6-3x4y+3x2y2-y3=x2-y3в) c6+3c4d2+3c2d4+d6=c2+d23Самопроверка
Далее проверим свои знания, работая индивидуально
Тест (приложение 3)
Фамилия, имя_________________________________
Используя формулу куба суммы или куба разности, преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида и выберите правильный ответ. 1. (a−c)3= 1) =a3−3a2c+3ac2−c3 2) =a3−3a2c+3ac2+c3 3) =a3−3ac2+3ac2−c3
2. (3m−2)3= 1) =27m3−54m2+36m−8 ; 2) =27m3−54m2+54m−8 ; 3) =27m3−36m2+36m−8 . II.Найдите одночлены, которые должны заменить Xn , чтобы получились тождества. a) (a3+ X1 )3 = a9+3a7b+3a5b2+a3b3 ; X1 =
б) (3a2+ X2 )3 = 27a6+54a5+36a4+8a3 ; X2 =
в) (2a3+ X3 )3 = 8a9+24a6b+24a3b2+8b3 ; X3 =
III. Найдите одночлены, которые должны заменить Xn и Yn , чтобы получились тождества. a) (a2+ X1 )3 = a6+9a5+27a4+ Y1 ; X1 = ; Y1 = ;
^ б) (2a3+ X2 )3 = 8a9+24a8+24a7+ Y2 ; X2 = ; Y2 = ;
Оцените свою работу сами:
1) если верно выполнено полностью I задание, то поставьте «3»
2) если верно выполнено полностью I и II задание–«4»
3) если верно выполнена вся работа – «5»
Применение формул сокращенного умножения широко. Например. При сокращении дробей и решении уравнений
Сократите дробь a2+4ab+4b2a3+6a2b+12ab2-8b3.
a2+4ab+4b2a3+6a2b+12ab2+8b3=a+2b2a+2b3= 1a+2b.Решите уравнение x3- 3x2+3x-1=0
x3- 3x2+3x-1=0
x-13=0
x-1=0
x=1
Ответ.х=1
А вообще, ребята, многочлен (a+b) можно возвести не только во 2 и 3 степень, но оказывается и в большую степень.Удивительное свойство и закономерность коэффициентов многочленов высших степеней рассмотрел великий французский ученый Блез Паскаль в своем трактате «Об арифметическом треугольнике». Устройство треугольника Паскаль объясняет просто: каждое число равно сумме двух расположенных над ним чисел.Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок.
(a+b)0=1a+b1=1a+1b(a+b)2= 1a2 + 2ab +1b2
a+b3=1a3+3a2b+3ab2+1b3a+b4=1a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b4a+b51 5 10 10 5 1
……
Кто заинтересовался данной информацией о треугольнике Паскаля, может изучит дополнительные источники в Интернете.
5. Этап информации учащихся о домашнем задании и инструктаж к его выполнению.
Вот закончился урок,
Подведём сейчас итог,
Мы много вспомнили, друзья,
Без этого никак нельзя.
Правила мы новые открыли
На практике их применили
Закрепляли знания.
А теперь, внимание,
Домашнее задание:
1) Повторите теорию, изученную на уроке (п.30).
2) На «3» - №859(д-з), №860(а,б), №861(в-е)
На «4» - №864(б-г), №864(в,г), №865(в,г), №867(а)
На «5» - №863(б,г), №866(б-г), №867(б), №868(а,б), №870(а)
3) По желанию. Разложить на множители : а) 27a6+54a5+36a4+8a3б) a9+3a7b+3a5b2+a3b36. Рефлексия.
А сейчас давайте вернемся к «дереву предположений».
Проверим, верны ли были предположения и аргументы. Может, нужно что-то добавить или убрать?
Приложение 1
(х + у)3 =х3 + 3х2у +3ху2 + у3
Составим алгоритм:
1.возводим первое выражение в третью степень;
+
2.возводим первое выражение во вторую степень, умножаем на второе выражение и умножаем на 3;
+
3.возводим второе выражение во вторую степень, умножаем на первое выражение и умножаем на 3;
+
4.возводим второе выражение в третью степень.
Приложение 2
Работа в парах
№1. Представить выражение в виде многочлена:
a) x+23=б) 3-x3=в) 2a-b3=г) 3a+2b3=№2. Разложите многочлен на множители:
а) 125+75a+15a2+a3=
б) x6-3x4y+3x2y2-y3=в) c6+3c4d2+3c2d4+d6=Приложение 3
Тест
Фамилия, имя_________________________________
Используя формулу куба суммы или куба разности, преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида и выберите правильный ответ. 1. (a−c)3= 1) =a3−3a2c+3ac2−c3 2) =a3−3a2c+3ac2+c3 3) =a3−3ac2+3ac2−c3
2. (3m−2)3= 1) =27m3−54m2+36m−8 ; 2) =27m3−54m2+54m−8 ; 3) =27m3−36m2+36m−8 . II.Найдите одночлены, которые должны заменить Xn , чтобы получились тождества. a) (a3+ X1 )3 = a9+3a7b+3a5b2+a3b3 ; X1 =
б) (3a2+ X2 )3 = 27a6+54a5+36a4+8a3 ; X2 =
в) (2a3+ X3 )3 = 8a9+24a6b+24a3b2+8b3 ; X3 =
III. Найдите одночлены, которые должны заменить Xn и Yn , чтобы получились тождества. a) (a2+ X1 )3 = a6+9a5+27a4+ Y1 ; X1 = ; Y1 = ;
^ б) (2a3+ X2 )3 = 8a9+24a8+24a7+ Y2 ; X2 = ; Y2 = ;
Оцените свою работу сами:
1) если верно выполнено полностью I задание, то поставьте «3»
2) если верно выполнено полностью I и II задание–«4»
3) если верно выполнена вся работа – «5»