Подружимся с неравенствами (8-9 класс)

Л.Н. Коршунова Из опыта работы

«Подружимся с неравенствами»


Как часто учащимся 8-х, 9-х и даже старших классов ошибаются, решая неравенства типа 13 EMBED Equation.3 1415и т.п., давая при этом ответы 13 EMBED Equation.3 1415. Скажем откровенно, эти ошибки слишком популярны у ребят.
Понятно, что в 8-9-м классах закладывается в основном база для решения большинства видов уравнений, неравенств и их систем: изучают основные понятия, алгоритмы, различные способы решения.
В соответствии с психологическими закономерностями можно управлять процессами запоминания и воспроизведения алгоритма решения задачи, осознанного отбора способа решения, сворачивания и разворачивания цепочки рассуждений или шагов.
Заучивание определенного алгоритма, прорешивание большого количества задач одного и того же типа приводит, как правило, к негативным последствиям. Например, разложение на множители многочлена, решение иррациональных уравнений и неравенств и др. Ученики начинают решать задания по шаблону, не задумываясь о том, что их решение и полученный ответ не верны, поскольку слепое следование шаблону приводят к неправильному решению слегка измененных по условиям задач, тем более таких задач, которые требуют творческого подхода.
«Неравенства» - одна из базовых тем школьной алгебры. В учебниках, как правило, нет примеров «провокационного» характера, при изучении темы «Квадратные неравенства» практически отрабатывается основной алгоритм, где квадратный трехчлен раскладывается на множители (неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 и др.) или решаются неполные квадратные неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415 и др.). Другие частные случаи квадратных неравенств представлены мало, в частности, те, которые не имеют решения, имеют бесконечное множество решений или их решением являются отдельные числа и др.
Поэтому в 8 и 9-м классах необходимо рассматривать несколько способов решения неравенств вида 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415), а также отрабатывать умение решать простейшие неравенства вида 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415 и др.) и 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 и др.) при условии, что квадратный трехчлен 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415) не имеет действительных корней или имеет один корень (корень кратности 2).
Рассмотрим возможную систему работы учителя с 8-классниками и 9-классниками при изучении и повторении тем «Неравенства. Квадратные неравенства», а также в ходе изучения других тем в 8-11 классах, где применяются неравенства.
В основу системы положено несколько правил:
Системность работы учителя и учащихся;
Цикличность прохождения материала (при изучении и при повторении алгоритма);
Формирование достаточно высокой степени осознанности действий учащихся при решении неравенств.
Предполагаются формы: фронтальная, групповая и индивидуальная работа учащихся.
Возможна следующая схема:
Обычное объяснение согласно программным требованиям (по выбранному учебнику).
Проведение диктантов, самостоятельных и проверочных работ по отработке всех алгоритмов решения неравенств.
Систематическая индивидуальная и фронтальная работа над ошибками.
Цикличное повторение (проведение коротких диктантов, проверочных работ с самопроверкой, с комментированием или обычной проверкой учителя).
Вкрапление элементов повторения темы в устные упражнения и в процесс изучения новой темы, где прямо или косвенно можно рассмотреть неравенства указанных выше типов.

Рассмотрим некоторые примеры.
Наиболее удобные способы решения квадратных неравенств вида 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415 и др.), где 13 EMBED Equation.3 1415
Пример №1
13 EMBED Equation.3 1415
I способ (метод интервалов) Решение уравнения
13 EMBED Equation.3 1415 I сп. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equatio
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·I способ (решение с помощью систем линейных неравенств)
13 EMBED Equation.3 1415 Решение уравнения
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 II сп. 13 EMBED Equation.3 1415
Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то 2 различных корня по формулам Виета
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415
III способ (свойства квадратной функции)
Рассмотрим функцию 13 EMBED Equation.3 1415
График – парабола, ветви направлены вверх (13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415). Рассмотрим схему графика, находим корни трехчлена (любым способом).
13 EMBED Equation.3 1415


13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 верно при 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
·
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415


Пример №2
13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Действительных корней нет
I способ Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415), то 13 EMBED Equation.3 1415 при всех 13 EMBED Equation.3 1415, значит, неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решения.
II способ График квадратной функции 13 EMBED Equation.3 1415- парабола, ветви направлены вверх (13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415), она не пересекает ось OX (13 EMBED Equation.3 1415) , т.е. расположена выше оси OX, значит, 13 EMBED Equation.3 1415 при любом x. Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415 при любом x и неравенство 13 EMBED Equation.3 1415решения не имеет.


III способ
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, действительных корней нет.
Многочлен 13 EMBED Equation.3 1415 корней не имеет, значит сохраняет свой знак при любом x , в том числе при 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 - верно, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415при любом x , значит, неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 не имеет решений.

IV способ
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Данное неравенство не имеет решения, т.к. квадрат не может быть меньше отрицательного числа или равен отрицательному числу.
Ответ: нет решений.


Пример №3
13 EMBED Equation.3 1415
Решение
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Далее по одному из способов, рассмотренных выше.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415)

Рассмотрим примеры работы с учащимися в форме коротких диктантов (устных упражнений или проверочных микро-работ) с немедленной проверкой и комментариями.
Каждый раз предлагаются небольшое количество неравенств, незначительно отличающихся друг от друга. Удобно брать 5 неравенств (5 плюсов – 5 баллов, 4 плюса – 4 балла и т.д., т.е. по 5-ти балльной шкале).
5 заданий предлагаются последовательно или одновременно, этот набор неравенств дает возможность 5-балльного оценивания учителем (или старшим в микрогруппе) или самооценивания каждым учеником своего результата сразу же по завершению работы.
Задания прорешиваются в рабочей тетради или на листочках.
На дом даются задания по этой части урока:
составить (подобрать) аналогичные неравенства и решить их (по одному или два неравенства каждого из рассмотренных видов).
Проводится цикл из 7 работ на каждом уроке или через урок (можно чередовать формы). 8-ая работа проводится как проверочная на несколько вариантов.


I работа
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415; 5) 13 EMBED Equation.3 1415

II работа
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415; 5)13 EMBED Equation.3 1415

III работа
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415; 5) 13 EMBED Equation.3 1415

IV работа
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415; 5) 13 EMBED Equation.3 1415

V работа
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415; 5) 13 EMBED Equation.3 1415

VI работа
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415; 5) 13 EMBED Equation.3 1415

VII работа
1) 13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415; 5) 13 EMBED Equation.3 1415

Этот вид работы с учащимися занимает не очень много времени, но дает эффект.
Чтобы он не был кратковременным, необходимо вернуться к этой или несколько укороченной схеме через некоторое время в течение месяца, а затем еще несколько раз в течение данного учебного года и в будущем.
Примерно та же система может быть предложена для изучения или повторения темы «Системы неравенств».

I работа
1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415; 4) 13 EMBED Equation.3 1415; 5) 13 EMBED Equation.3 1415

При желании аналогично можно отрабатывать алгоритмы решения систем квадратных и линейных неравенств, систем с тремя неравенствами и т.д. Как правило, на это уже не требуется такое же количество уроков, как определялось выше.
Рассмотренные приемы позволяют приучить учащихся к анализу данных в предложенных заданиях и уменьшить количество негативных проявлений шаблонных действий учащихся при решении неравенств.
Интересные приемы можно применять при решении иррациональных неравенств, неравенств с модулем и других.
Еще раз отметим, что для решения большинства видов неравенств необходимо усвоение учащимися базы знаний, заложенной в 8-9 классах.
Так что будем учиться и учить!

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native4Equation NativeEquation Native