Методическое пособие Математика для учащихся старших классов

ФГАОУ ВО «КРЫМСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В.И. Вернадского» ГУМАНИТАРНО-ПЕДАГОГИЧЕСКАЯ АКАДЕМИЯ (ФИЛИАЛ) В Г. ЯЛТЕ

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ


Бубнова А.А.







МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ

МАТЕМАТИКА

для студентов-бакалавров

























Ялта, 2016
УДК 51(07)
ББК 22.1я73
Б 90



Рекомендовано ученым совета Гуманитарно-педагогической академии (филиал) «Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского» от «8» декабря 2015 года (протокол № 11)




Бубнова А.А.
Б 90 Математика. / Бубнова А.А.:
Методическое пособие. – Ялта: РИО ГПА, 2016. – 56с.






Данное пособие предназначено для студентов математических и экономических специальностей, для учащихся старших классов, учителей школ и преподавателей вузов. Пособие содержит программный материал по математике. Может быть использовано для подготовки к экзамену по математике и единому государственному экзамену.





Рецензенты:
Орлов В.Н., доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики, теории и методики обучения математике Гуманитарно-педагогической академии (филиал) в г. Ялте «Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского».
Овчинникова М.В., кандидат педагогических наук, доцент кафедры математики, теории и методики обучения математике Гуманитарно-педагогической академии (филиал) в г. Ялте «Крымского федерального университета им. В.И. Вернадского».







ББК 22.151.54




©Бубнова А.А., 2016 г.
©Гуманитарно-педагогическая академия (г. Ялта), 2016 г.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 4
1. ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ 5
- Различные числовые множества. Метод математической индукции 5
- Действия над действительными числами 12
- Модуль числа. Числовая прямая 16
- Отношения. Пропорция. Проценты 18
2. ФУНКЦИИ 20
- Определение, виды и свойства функций 20
- Построение графиков элементарных функций 20
- Тригонометрия 27
3. ПРОИЗВОДНАЯ И ИНТЕГРАЛ 27
- Производная, таблица производных 27
- Первообразная. Таблица интегралов 32
- Определённый интеграл. Формула Ньютона-Лейбница 32
4. КОМБИНАТОРИКА 34
- Перестановки, размещения и сочетания без повторений 34
- Перестановки, размещения и сочетания с повторениями 35
- Бином Ньютона 36
5. СТАТИСТИКА 37
- Сбор информации для статистики 37
- Вариационный ряд. Распределение ряда 37
- Математические параметры статистического распределения 38
6.СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ 41
7.ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ 42
8. ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ. ВАРИАНТ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ 53
ЛИТЕРАТУРА 55
ЭЛЕКТРОННОЕ ПРИЛОЖЕНИЕ



ВВЕДЕНИЕ
Дисциплина «Математика» является одной из базовых дисциплин в программе Высшей школы. Целями этой учебной дисциплины являются:
- формирование у студентов представления об общих математических понятиях;
- приобретение студентами теоретических знаний, практических умений и навыков, необходимых для осуществления в будущем педагогической деятельности на высоком профессиональном уровне.
Данное пособие написано в соответствии с программой курса «Математика» и состоит из восьми разделов: «Числовые системы», «Функции», «Производная и интеграл», «Комбинаторика», «Статистика», «Справочный материал», «Задания для самостоятельной работы», «Вопросы к экзамену и вариант контрольной работы».
Раздел «Числовые системы» освещает вопросы: понятия различных числовых множеств, арифметические действия над действительными числами и их свойств; понятия процента и решения задач на проценты.
Раздел «Функции» рассматривает: различные виды функций их свойств и построение их графиков.
Раздел «Производная. Интеграл» содержит вопросы: определение предела функции, производной функции, первообразную и интеграл.
В раздел «Комбинаторика», «Статистика» рассматриваются определения и формул различных комбинаций, формула бинома Ньютона, методы статистических.
В пособии предложены задания для самостоятельной работы, а также темы для подготовки к экзамену по дисциплине «Математика».
В пособии имеются индивидуальные задания, позволяющие студентам привести свои знания по теме в систему и приобрести практические умения в ходе решения поставленных перед ними конкретных методических задач.
Пособие снабжено электронным приложением, в котором есть 30 видеоуроков, 50 презентаций по разделам математики. Читатели свои знания могут проверить с помощью 44 тестов. В приложении есть наглядный справочный материал в таблицах и графиках.
Пособием могут пользоваться студенты как заочного, так и дневного обучения. Преподаватель может использовать материал пособия для составления дидактического материала. Ученики старших классов могут по этому пособию готовиться к олимпиадам, а так же к единому государственному экзамену.



1. ЧИСЛОВЫЕ СИСТЕМЫ
Различные числовые множества
Основные понятия
Понятие [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] является одним из основных неопределяемых понятий математики. Под множеством понимают совокупность (собрание, класс, семейство...) некоторых объектов, объединенных по какому-либо признаку. Так можно говорить о множестве студентов института, о множестве рыб в Черном море, о множестве корней уравнения х2+2х+2=0, о [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] всех натуральных чисел и т. д.
Объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Множества принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В,..., X, Y,..., а их элементы малыми буквами a, b,... ...,х,у,...
Если элемент х принадлежит множеству X, то записывают х ОX; запись хПХ или х ОX означает, что элемент х не принадлежит множеству X.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], не содержащее ни одного элемента, называется пустым, обозначается символом Ш.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] записывают в фигурных скобках, внутри которых они перечислены (если это возможно), либо указано общее свойство, которым обладают все элементы данного [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Например, запись А={1,3,15} означает, что множество А состоит из трех чисел 1, 3 и 15; запись А={х:0
·х
·2} означает, что множество А состоит из всех действительных (если не оговорено иное) чисел, удовлетворяющих неравенству 0
· х
· 2.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А является элементом множества В. Символически это обозначают так АМВ («А включено в В») или ВЙА («множество В включает в себя множество А»).
Говорят, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] A и В равны или совпадают, и пишут А=В, если АМВ и ВМА. Другими словами, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], состоящие из одних и тех же элементов, называются равными.
Объединением (или суммой) множеств A и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит хотя бы одному из этих множеств. Объединение (сумму) множеств обозначают AUВ (или А+В). Кратко можно записать АUВ={х:хєА или хєВ}.
Пересечением (или произведением) множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, каждый из которых принадлежит множеству А и множеству В. Пересечение (произведение) множеств обозначают А
·В (или А*В). Кратко можно записать А
·В={х:хєА и хєВ}
В дальнейшем для сокращения записей будем использовать некоторые простейшие логические символы:

·Ю   Я  означает «из предложения
· следует предложение Я»;

·Ы  Я «предложения
· и Я равносильны», т. е. из
· следует Я и из Я следует
·;
"  означает «для любого», «для всякого»;
$  «существует», «найдется»;
: «имеет место», «такое что»;
«соответствие».
Например: 1) запись " xО А:
· означает: «для всякого элемента хО А имеет место предложение
·»;2) (х єA U В) <==> (х є А или х є В); эта запись определяет объединение множеств А и В.
Числовые множества
Числа вида N = {1, 2, 3, ....} называются натуральными. Натуральные числа появились в связи с необходимостью подсчета предметов
Если m, n, k - натуральные числа, то при m - n = k говорят, что m - уменьшаемое, n - вычитаемое, k - разность; при m : n = k говорят, что m - делимое, n - делитель, k - частное, число m называют также кратным числаn, а число n - делителем числа m, Если число m - кратное числа n, то существует натуральное число k, такое, что m = kn.
Из чисел с помощью знаков арифметических действий и скобок составляются числовые выражения. Если в числовом выражении выполнить указанные действия, соблюдая принятый порядок, то получиться число, которое называется значением выражения.
Порядок арифметических действий: сначала выполняются действия в скобках; внутри любых скобок сначала выполняют умножение и деление, а потом сложение и вычитание.
Если натуральное число m не делится на натуральное число n, т.е. не существует такого натурального числа k, что m = kn, то рассматривают деление с остатком: m = np + r, где m - делимое, n - делитель (m>n), p - частное, r - остаток.
Если число имеет только два делителя (само число и единица), то оно называется простым: если число имеет более двух делителей, то оно называется составным.
Любое составное натуральное число можно разложить на простые множители, и только одним способом. При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости.
Для любых заданных натуральных чисел a и b можно найти наибольший общий делитель. Он обозначается D(a,b). Если числа a и b таковы, что D(a,b) = 1, то числа a и b называются взаимно простыми.
Для любых заданных натуральных чисел a и b можно найти наименьшее общее кратное. Оно обозначается K(a,b). Любое общее кратное чисел a и b делится на K(a,b).
Если числа a и b взаимно простые, т.е. D(a,b) = 1, то K(a,b) = ab .
Числа вида: Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ....} называются целыми числами, т.е. целые числа - это натуральные числа, числа, противоположные натуральным, и число 0.
Натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5.... называют также положительными целыми числами. Числа -1, -2, -3, -4, -5, ...,противоположные натуральным, называются отрицательными целыми числами.
Целые и дробные числа составляют множество рациональных чисел: Q = Z [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] {n/m}, где m - целое число, а n - натуральное число.
Среди дробей, обозначающих данное рациональное число, имеется одна и только одна несократимая дробь. Для целых чисел - это дробь со знаменателем 1.
Каждое рациональное число представимо в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби.
Дробь n/m называется правильной, если ее числитель меньше знаменателя, и неправильной, если ее числитель больше знаменателя или раен ему.
Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы натурального числа и правильной дроби.
Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же натуральное число, то получится дробь, равная данной.
Если числитель и знаменатель дроби взаимно простые числа, то дробь называется несократимой.
В виде десятичной дроби можно записать правильную дробь, знаменатель которой равен степени с основанием 10. Если к десятичной дроби приписать справа нуль или несколько нулей, то получится равная ей дробь. Если десятичная дробь оканчивается одним или несколькими нулями, то эти нули можно отбросить - получиться равная ей дробь. Значимыми цифрами числа называются все его цифры, кроме нулей, стоящих в начале.
Последовательно повторяющаяся группа цифр после запятой в десятичной записи числа называется периодом, а бесконечная десятичная дробь, имеющая такой период в своей записи, называется периодической. Если период начинается сразу после запятой, то дробь называется чистой периодической; если же между запятой м периодом есть другие десятичные знаки, то дробь называется смешанной периодической.
Числа не являющиеся целыми или дробными называются иррациональными.
Каждое иррациональное число представляется в виде непериодической бесконечной десятичной дробью
Множество всех конечных и бесконечных десятичных дробей называется множеством действительных чисел: рациональных и иррациональных

Действительные числа
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Замечание. Любое рациональное число - бесконечная периодическая десятичная дробь
Иррациональные числа. Числа, которые нельзя представить в виде nmm[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Z[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]n[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]N, называют иррациональными. I = {[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] } - иррациональные числа
Замечание. Любое иррациональное число - бесконечная непериодическая десятичная дробь.
Действительные числа. объединение рациональных и иррациональных чисел называют действительными числами. Множество действительных чисел обозначают символом R.R[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Q[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Z[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]N
Замечание. Любое действительное число - бесконечная десятичная дробь.
     Множества 
     Натуральных чисел: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
     Целых чисел: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
     Рациональных чисел: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
     Действительных(вещественных) чисел: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
     Числовые промежутки 
     Отрезок (замкнутый промежуток, сегмент):
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
  Интервал (открытый промежуток):
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
     Полуинтервалы:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
     Бесконечные числовые промежутки (лучи, полупрямые):
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
     Числовая прямая: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
     Замечание. Наряду с приведенными используются и обозначения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - для интервала; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- для полуинтервалов; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - для лучей; [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] - для числовой прямой.

Метод математической индукции
Метод математической индукции является важным способом доказательства предложений (утверждений), зависящих от натурального аргумента.
Метод математической индукции состоит в следующем:
Предложение (утверждение) P(n), зависящее от натурального числа n, справедливо для любого натурального n если:
P(1) является истинным предложением (утверждением);
P(n) остается истинным предложением (утверждением), если n увеличить на единицу, то есть P(n + 1) - истинное предложение (утверждение).
Таким образом метод математической индукции предполагает два этапа:
Этап проверки: проверяется, истинно ли предложение (утверждение) P(1).
Этап доказательства: предполагается, что предложение P(n) истинно, и доказывается истинность предложения P(n + 1) (n увеличено на единицу).
Замечание 1. В некоторых случаях метод математической индукции используется в следующей форме:
Пусть m - натуральное число, m > 1 и P(n) - предложение, зависящее от n, n 
· m.
Если
P(m) справедливо;
P(n) будучи истинным предложением, влечет истинность предложения P(n + 1) для любого натурального n, n 
· m, тогда P(n) - истинное предложение для любого натурального n, n 
· m.
В дальнейшем рассмотрим примеры применения метода математической индукции.
Пример 1. Доказать следующие равенства
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Решение. a) При n = 1 равенство примет вид [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 1=1, следовательно, P(1) истинно. Предположим, что данное равенство справедливо, то есть, имеет место
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Следует проверить (доказать), что P(n + 1), то есть
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
истинно. Поскольку (используется предположение индукции)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
получим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
то есть, P(n + 1) - истинное утверждение.
Таким образом, согласно методу математической индукции, исходное равенство справедливо для любого натурального n.
c) При n = 1 равенство истинно: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 1=1. Допустим, что истинно равенство
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и покажем, что
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
то есть истинность P(n) влечет истинность P(n + 1). Действительно,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
и, так как 2n2 + 7n + 6 = (2n + 3)(n + 2), получим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
и, следовательно, исходное равенство справедливо для любого натурального n.
d) При n = 1 равенство справедливо: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 1=1. Допустим, что имеет место
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
и докажем, что
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Действительно,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
e) Утверждение P(1) справедливо: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 2=2. Допустим, что равенство
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
справедливо, и докажем, что оно влечет равенство
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Действительно,
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Следовательно, исходное равенство имеет место для любого натурального n.
f) P(1) справедливо: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 1/3 = 1/3. Пусть имеет место равенство P(n):
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Покажем, что последнее равенство влечет следующее:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Действительно, учитывая, что P(n) имеет место, получим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Таким образом, равенство доказано.
Действия над действительными числами
Свойства сложения:
a + b = b + a - переместительное свойство
(a + b) +c = a + (b + c) - сочетательное свойство
a + 0 = a - свойство нуля
a + (-a) = 0 - сумма противоположных чисел
Свойства вычитания:
a - (b + c) = a - b - c вычитание суммы чисел от числа
(a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c) - вычитание числа от суммы
a - 0 = a - свойство нуля
0 - a = -a - свойство нуля
Свойства умножения:
a· b = b· a - переместительное свойство
(a · b)· c = a· (b · c) -сочетательное свойство
(a - b)· c = a · c - b · c - распределительное свойство
(a + b)· c = a · c + b · c - распределительное свойство
a · 1 = a - свойство единицы
a · 0 = 0 - свойство нуля
a[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]a1=1[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]a[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=0 - свойство обратных чисел
Свойства деления:
(a · b) : c = a · (b : c) = (a : c) · b - деления произведения на число
(a + b) : c = a : c + b : c - деление суммы на число
(a - b) : c = a : c - b : c - деление разности на число
a : (b ·c) = (a: b) :c = (a : c) : b - деление числа на произведение
a : 1 = a; 0 : a = 0 ; a : a = 1, a[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=0- свойство единицы и нуля
Определение: Выражение вида b/a или a : b, где а и b целые числа, b13 EMBED Equation.3 14150 , называется дробью
Число a называется числителем дроби. Число b называется знаменателем дроби
Если a < b, то выражение ba правильная дробь
Если a > b , то выражение ba неправильная дробь. Из любой неправильной дроби можно выделить целую часть и дробную часть. Примеры: 67=161, 518=353
Основное свойство дроби: Две дроби ba и cd называются равными если a[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]d=b[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]c .
Действия над дробями (ba и cd):
ba=b[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]ka[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]k - Дробь не изменится, если числитель и знаменатель дроби умножить на одно и то же число
Если b = d, то ba[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]cd=ba[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]c
Если b[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]=d  , то дроби нужно привести к общему знаменателю: ba[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]cd=bdad[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]cb. Общим знаменателем будет НОК (b, d)
Если k целое число, то k[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]ba=bk[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]a или ba:k=ab[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]k
Две дроби можно умножать ba[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]cd=a[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]cb[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]d или делить ba:cd=b[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]ca[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]d
Сложение и вычитание десятичных дробей. Эти операции выполняются так же, как и сложение и вычитание целых чисел. Необходимо только записать соответствующие десятичные знаки один под другим.
П р и м е р .                      [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Умножение десятичных дробей. На первом этапе перемножаем десятичные дроби как целые числа, не принимая во внимание десятичную точку. Затем применяется следующее правило: количество десятичных знаков в произведении равно сумме десятичных знаков во всех сомножителях.
Замечание: до простановки десятичной точки в произведении нельзя отбрасывать нули в конце!
П р и м е р .                     [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Сумма чисел десятичных знаков в сомножителях равна: 3 + 4 = 7. Сумма цифр в произведении равна 6. Поэтому необходимо добавить один ноль слева: 0197056 и проставить перед ним десятичную точку: 0.0197056.

Деление десятичных дробей
Если делимое меньше делителя, записываем ноль в целой части частного и ставим после него десятичную точку. Затем, не принимая во внимание десятичную точку делимого, присоединяем к его целой части следующую цифру дробной части и опять сравниваем полученную целую часть делимого с делителем. Если новое число опять меньше делителя, ставим ещё один ноль после десятичной точки в частном и присоединяем к целой части делимого следующую цифру его дробной части. Этот процесс повторяем до тех пор, пока полученное делимое не станет больше делителя. После этого деление выполняется, как для целых чисел. Если делимое больше делителя или равно ему, сначала делим его целую часть, записываем результат деления в частном и ставим десятичную точку. После этого деление продолжается, как в случае целых чисел.
П р и м е р .  Разделить 1.328 на 64.
Р е ш е н и е :   [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
I.  Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
Примеры.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
II.  Если нужно сложить дроби с разными знаменателями, то сначала дроби приводят к наименьшему общему знаменателю, а затем складывают дроби с одинаковыми знаменателями.
Примеры.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
III.  Чтобы выполнить вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, из числителя первой дроби вычитают числитель второй дроби, а знаменатель оставляют тот же.
Примеры.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
IV.  Если нужно выполнить вычитание дробей с разными знаменателями, то их сначала приводят к общему знаменателю, а затем выполняют вычитание дробей с одинаковыми знаменателями.
Примеры.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
V.  При выполнении действий сложения или вычитания смешанных чисел эти действия выполняют отдельно для целых частей и для дробных частей, а затем результат записывают в виде смешанного числа.
Примеры.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]Да, складывать нужно отдельно целые части и отдельно дробные части смешанного числа.
Нет, не нужно расписывать целые и дробные части смешанных чисел по отдельности.
Важно: не начинайте выполнять сложение, пока не приведете дробные части данных смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]Помним, что единицу можно представить в виде обыкновенной дроби, числитель и знаменатель которой, являются любыми равными друг другу числами.
Важно: не начинайте выполнять вычитание, пока не приведете  дробные части данных смешанных чисел к наименьшему общему знаменателю (НОЗ) и не убедитесь, что из числителя первой дроби можно вычесть числитель второй дроби. А если нельзя вычесть?
Тогда «занимаете» у целой части уменьшаемого одну целую единицу, представляете ее в виде неправильной дроби с таким же знаменателем (НОЗ),  и добавляете эту неправильную дробь (раздробленную единицу) к дробной части уменьшаемого.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
 
Модуль числа и числовая прямая
Модуль действительного числа  это абсолютная величина этого числа.
Попросту говоря, при взятии модуля нужно отбросить от числа его знак.
Модуль числа a обозначается |a|. Обратите внимание: модуль числа всегда неотрицателен: |a|
· 0.
|6| = 6, |-3| = 3, |-10,45| = 10,45
Определение модуля
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Свойства модуля
1. Модули противоположных чисел равны
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

2. Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

3. Квадратный корень из квадрата числа есть модуль этого числа
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

4. Модуль числа есть число неотрицательное
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

5. Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

6. Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], то
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

7. Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

8.


Геометрический смысл модуля
Модуль числа это расстояние от нуля до данного числа.
Например, |-5| = 5. То есть расстояние от точки -5 до нуля равно 5.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Рассмотрим простейшее уравнение |x| = 3. Мы видим, что на числовой прямой есть две точки, расстояние от которых до нуля равно трём. Это точки 3 и -3. Значит, у уравнения |x| = 3 есть два решения: x = 3 и x = -3.
Пример 1.
|x 3| = 4.
Это уравнение можно прочитать так: расстояние от точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] до точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] равно [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. С помощью графического метода можно определить, что уравнение имеет два решения: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 2.
Решим неравенство: |x + 7| < 4.
Можно прочитать как: расстояние от точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] до точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] меньше четырёх. Ответ: (-11; -3).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример 3.
Решим неравенство: |10 x|
· 7.
Расстояние от точки 10 до точки [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] больше или равно семи. Ответ: (-
·; 3]
· [17, +
·)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Отношения. Пропорция. Процент
Отношение – это частное от деления одного числа на другое.
Пропорция – это равенство двух отношений. Например,
12 : 20 = 3 : 5;      a : b = c : d .
 Крайние члены пропорции: 12 и 5 в первой пропорции;  a и  d – во второй.
Средние члены пропорции: 20 и 3 в первой пропорции;  b и  с – во второй.
Основное свойство пропорции: Произведение крайних членов пропорции равно произведению её средних членов.  
Две взаимно зависимых величины называются пропорциональными, если отношение их величин сохраняется неизменным.
Это постоянное отношение пропорциональных величин называется коэффициентом пропорциональности.  
 П р и м е р .
Масса любого вещества пропорциональна его объёму. Например, 2 литра ртути весят 27.2 кг, 5 литров весят 68 кг, 7 литров весят 95.2 кг. Отношение массы ртути к её объёму ( коэффициент пропорциональности )будет равно:
                                  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Таким образом, коэффициентом пропорциональности в данном примере является плотность.




Процент
Процентом называется сотая часть от числа, т.е. 1%А = 0,01А
1% = 0,01, 2% = 0,02, 45% = 0,45, 350% = 3,5. Часто встречающиеся проценты: 5% = 0,05 = 120, 10% = 0,1 = 110, 20% = 0,2 = 51, 25% = 0,25 = 41, 50% = 0,5 = 21, 75% = 0,75 =43
Основные типы задач.
Сколько процентов составляет число А от числа В? 
Решение: x=ВА[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]100%
Число А увеличилось на 20%, а затем полученное число уменьшилось на 25%. Как, в итоге, изменилось исходное число?
 Решение: 1) А1= (100% + 20%)А = 120%А = 1,2А 2) А2= (100% - 25%)А1 = 75%А1 = 0,75А1 = 0,75 1,2А = 0,9А = 90%А 3) А2 - А = 90%А - 100%А = -10%. Ответ: число уменьшилось на 10%.
Как изменится время, если скорость движения увеличится на 25%?
 Решение: 1)t=
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Ответ: уменьшится на 20%.
13 EMBED Equation.3 1415Основные задачи на проценты
Замечание. Для того чтобы записать проценты десятичной дробью или натуральным числом, нужно число, которое стоит перед знаком %, разделить на 100.
Например: 1) 24% = 24 : 100 = 0,24 ; 2) 700% = 700 : 100 = 7

Основные типы задач на проценты.
Задача 1. Нахождение процента p% от числа b
Если число a составляет p% от числа b, то эти числа связаны равенством 100%[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]a=p%[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]b   или  b100=pa  или a=b[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]p100
Задача 2. Нахождение числа a по данному проценту p%
Если p% какого нубудь числа a равно b, то эти числа связаны равенством a=b:p100=p100b 
Задача 3. Нахождение прцентного отношения чисел a и b
Число a составляет ba[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]100%  от числа b
Задача 4. Увеличения на p%
Если число a увеличено на  p%, то оно увеличено в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1+p100[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]   раз, то получится число a[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1+p100[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] .
Задача 5. Уменьшение на q%
Если уменьшено на q%, 0[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]q[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]100  , то оно уменьшено в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1
·p100[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]   раз, то получаются число a[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1
·p100[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 
Задача 6. Начисление простых процентов
При многократном начислении простых процентов начисление делается по отношению к исходной сумме и представляет собой каждый раз одну и ту же величину: S=a[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]1+n[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]p100[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] , где a - исходная сумма, S - наращенная сумма, p% - процентная ставка, n - число периодов начисления.
.Задача 7. Начисление сложных процентов
При многократном начислении сложных процентов начисление каждый раз делается по отношению к сумме с уже начисленными ранее процентами: S=a[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] называется осью абсцисс, а ось [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – осью ординат. Чертить их всегда стараемся аккуратно и не криво. Стрелочки тоже не должны напоминать бороду Папы Карло.
2) Подписываем оси большими буквами «икс» и «игрек». Не забываем подписывать оси.
3) Задаем размерность по осям: рисуем ноль и две единички. При выполнении чертежа самая удобная и часто встречающаяся размерность: 1 единица = 2 клеточки (чертеж слева). Я рекомендую Вам по возможности всегда придерживаться именно такой размерности. Но, время от времени случается так, что чертеж не вмещается на тетрадный лист – тогда размерность уменьшаем: 1 единица = 1 клеточка (чертеж справа).Редко-редко, но бывает, что размерность чертежа приходиться уменьшать (или увеличивать) еще больше.
НЕ НУЖНО по осям проставлять все значения: -5, -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, . Ибо координатная плоскость – не памятник Лобачевскому, а студент – не голубь. Ставим ноль и две единицы по осям. Как говорят математики, это необходимо и достаточно.  Размерность можно задать и произвольно, например, поставить 0 и – 1, –1 – по осям, но существуют некоторые стандарты, которых целесообразно придерживаться.
График линейной функции
Линейная функция задается уравнением [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. График линейной функций представляет собой прямую. Для того, чтобы построить прямую достаточно знать две точки.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
1) Линейная функция вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]) называется прямой пропорциональностью. Например, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. График прямой пропорциональности всегда проходит через начало координат. Таким образом, построение прямой упрощается – достаточно найти всего одну точку.
2) Уравнение вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] задает прямую, параллельную оси [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], в частности, сама ось [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] задается уравнением [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. График функции строится сразу, без нахождения всяких точек. То есть, запись [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] следует понимать так: «игрек всегда равен –4, при любом значении икс».
3) Уравнение вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] задает прямую, параллельную оси [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], в частности, сама ось [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] задается уравнением [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. График функции также строится сразу. Запись [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] следует понимать так: «икс всегда, при любом значении игрек, равен 1».
Некоторые спросят, ну зачем вспоминать 6 класс?! Так-то оно, может и так, только за годы практики я встретил добрый десяток студентов, которых ставила в тупик задача построения графика вроде [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Построение прямой – самое распространенное действие при выполнении чертежей.
Прямая линия детально рассматривается в курсе аналитической геометрии, и желающие могут обратиться к статье [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
График квадратичной, кубической функции, график многочлена
Парабола. График квадратичной функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]) представляет собой параболу. Рассмотрим знаменитый случай: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

кубическая парабола
Кубическая парабола задается функцией [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Вот знакомый со школы чертеж:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] График функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Он представляет собой одну из ветвей [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Выполним чертеж:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] График гиперболы
Опять же вспоминаем тривиальную «школьную» гиперболу [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
График показательной функции
В данном параграфе я сразу рассмотрю экспоненциальную функцию [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], поскольку в задачах высшей математики в 95% случаев встречается именно экспонента.
Напоминаю, что [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] – это иррациональное число: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], это потребуется при построении графика, который, собственно, я без церемоний и построю. Трёх точек, пожалуй, хватит:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
График логарифмической функции
Рассмотрим функцию с натуральным логарифмом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].Выполним поточечный чертеж:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Графики тригонометрических функций
Построим график функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
График косинуса
Построим график функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Графики тангенса
Построим график функции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
График показательной функции при 13 EMBED Equation.3 1415

График показательной функции при 13 EMBED Equation.3 1415

График логарифмической функции при 13 EMBED Equation.3 1415

График логарифмической функции при 13 EMBED Equation.3 1415


Тригонометрия
Основные тригонометрические формулы
№
Формула
Допустимые значения аргумента

1.1
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

1.2
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

1.3
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

1.4
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Решение простых тригонометрических уравнений[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]  вещественных решений нет.
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]  решением является число вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]  вещественных решений нет.
Если [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]  решением является число вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решением является число вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решением является число вида [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(Смотри видеоуроки 3, 4, 7, 10, 12, 14, 16, 17).
3. ПРОИЗВОДНАЯ И ИНТЕГРАЛ
Предел функции
Число А называется пределом функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415, если для любого 13 EMBED Equation.3 1415 существует 13 EMBED Equation.3 1415 такое, что для всех 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющих неравенству 13 EMBED Equation.3 1415, выполняется неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
Записывают 13 EMBED Equation.3 1415
Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется непрерывной в точке 13 EMBED Equation.3 1415, если предел функции и ее значение в этой точке равны, 13 EMBED Equation.3 1415
Первый замечательный предел 13 EMBED Equation.3 1415.
Второй замечательный предел 13 EMBED Equation.3 1415
Правило Лопиталя: если 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1. Найти 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Заменяя каждый из многочленов своим старшим членом, имеем: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. Найти 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Имеем неопределенность вида 13 EMBED Equation.3 1415 Применяя правило Лопиталя, получаем
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. .Вычислить предел 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
Пример 5. Найти асимптоты функции 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415-вертикальные асимптоты.
13 EMBED Equation.3 1415,
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415-асимптоты.
Дифференцирование функции одной переменной
Определение. Производной функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точке 13 EMBED Equation.3 1415 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю.
Обозначают 13 EMBED Equation.3 1415
Правила вычисления производных
1. 13 EMBED Equation.3 1415, 2. 13 EMBED Equation.3 1415, 3. 13 EMBED Equation.3 1415
Таблица производных
1.13 EMBED Equation.3 1415
2.13 EMBED Equation.3 1415
3.13 EMBED Equation.3 1415
4.13 EMBED Equation.3 1415
5.13 EMBED Equation.3 1415
6.13 EMBED Equation.3 1415
7.13 EMBED Equation.3 1415
8.13 EMBED Equation.3 1415
9.13 EMBED Equation.3 1415
10.13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1. Используя правила и формулы дифференцирования найти производные функций: 1)13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Определить глобальные экстремумы 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. Исследовать на монотонность, найти локальные экстремумы и построить эскиз графика функции 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415точки экстремума,
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415-экстремумы функции,
13 EMBED Equation.3 1415- промежутки возрастания,
13 EMBED Equation.3 1415 - промежутки убывания.
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 4. Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415 - точка перегиба.
13 EMBED Equation.3 1415 - выпуклость направленная вверх.
13 EMBED Equation.3 1415 - выпуклость направленная вниз.
Пример 5. Провести полное исследование свойств и построить эскиз графика функции
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415 - вертикальная асимптота.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - горизонтальная асимптота
13 EMBED Equation.3 1415 - функция нечетная
Точки пересечения с осями:
с ох, у=0 – нет точек, с оу, х=0 – нет точек.
Точки экстремума:
13 EMBED Equation.3 1415 - точки экстремума,
13 EMBED Equation.3 1415 -экстремумы функции.
Точки перегиба:
13 EMBED Equation.3 1415 - точка перегиба.
13 EMBED Equation.3 1415
(Смотри видеоуроки 29, 30).
Интеграл
Определение. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется первообразной функции 13 EMBED Equation.3 1415
, если ее производная равна 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение. Если 13 EMBED Equation.3 1415 - некая первообразная для функции 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, где С – некая постоянная, дает нам совокупность всех первообразных функции 13 EMBED Equation.3 1415 и называется неопределенным интегралом функции 13 EMBED Equation.3 1415
Обозначение его 13 EMBED Equation.3 1415
Основные свойства неопределенного интеграла:
1.13 EMBED Equation.3 1415
2.13 EMBED Equation.3 1415
3.13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5.13 EMBED Equation.3 1415
Таблица основных интегралов:
1.13 EMBED Equation.3 1415 7.13 EMBED Equation.3 1415
2.13 EMBED Equation.3 1415 8.13 EMBED Equation.3 1415
3.13 EMBED Equation.3 1415 9.13 EMBED Equation.3 1415
4.13 EMBED Equation.3 1415 10.13 EMBED Equation.3 1415
5.13 EMBED Equation.3 1415 11.13 EMBED Equation.3 1415
6.13 EMBED Equation.3 1415 12. 13 EMBED Equation.3 1415
Формула интегрирования по частям 13 EMBED Equation.3 1415
Определение. Пусть на замкнутом промежутке 13 EMBED Equation.3 1415 задана непрерывная функция 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - произвольное разбиение отрезка 13 EMBED Equation.3 1415.
Сумма вида 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 - некоторое число из отрезка 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415 - длина этого отрезка, называется интегральной суммой функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415.
Определенным интегралом от функции 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 называется предел последовательности интегральных сумм при бесконечном дроблении отрезка 13 EMBED Equation.3 1415, обозначают 13 EMBED Equation.3 1415
Формула Ньютона-Лейбница: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1. Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Найти неопределенный интеграл
1)13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
2)13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
3)13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. Вычислить 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. Определить объем тела вращения вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной кривыми 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
(Смотри видеуроки 13, 14).
4. КОМБИНАТОРИКА
Основные понятия и формулы
Какое-либо упорядоченное множество, которое состоит из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов, называется перестановкой из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов, и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415
Формула перестановки 13 EMBED Equation.3 1415
Размещением из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов по 13 EMBED Equation.3 1415, называется некоторое упорядоченное подмножество из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов множества из 13 EMBED Equation.3 1415элементов.
Формула размещений 13 EMBED Equation.3 1415
Сочетанием из 13 EMBED Equation.3 1415 по 13 EMBED Equation.3 1415 называется некое подмножество из 13 EMBED Equation.3 1415 элементов некоторого множества из 13 EMBED Equation.3 1415.
Формула сочетаний 13 EMBED Equation.3 1415

Свойства сочетаний:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
Перестановки с повторением, если среди n элементов есть одинаковые, и если среди них 13 EMBED Equation.3 1415 - первого типа, 13 EMBED Equation.3 1415 - другого типа и т. д., то получаем формулу для перестановок с повторением.
Формула перестановки с повторением 13 EMBED Equation.3 1415
Размещение с повторением – это упорядоченное подмножество, дге элементы не обязательно должны быть разными.
Формула размещение с повторением: 13 EMBED Equation.3 1415.
Сочетания с повторением – это подмножество, элементы которого не обязательно должны быть разными.
Формула сочетания с повторением: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1. Сколько трехзначных чисел можно записать цифрами 0,1,2,3,4?
Решение.
Первая цифра в трехзначном числе может быть выбрана 4 способами (0 не выбирается), другая цифра 5 способами, третья тоже 5 способами. По правилу произведения все три цифры можно выбрать 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. Сколькими способами 7 человек могут встать в очередь в кассу?
Решение.
Число 13 EMBED Equation.3 1415 равно числу перестановок из 7 элементов. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3. Сколькими способами можно из 7 человек выбрать комиссию из 3 человек?
Решение.
Поскольку порядок среди выбранных в комиссию человек не важен, то число способов равно сочетанию из 7 по 3. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 4. Сколько разных слов можно образовать перестановками букв в слове «математика»?
Решение.
В слове «математика» - 10 букв, из них буква «м» повторяется 2 раза, «а» - 3 раза, «т» - 2 раза. Тогда используя формулу перестановок с повторением получим ответ:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 5. Автомобильный номер состоит из двух букв и 4 цифр. Какое число номеров можно составить, если буквы выбирают из 33 букв украинского алфавита?
Решение.
Найдем отдельно комбинации для букв и отдельно для чисел.
Для букв используем размещения с повторением: 13 EMBED Equation.3 1415
Для цифр: 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 6. Сколькими способами можно выбрать 6 одинаковых или разных пирожных в кондитерской, где есть 11 разных сортов пирожных?
Решение.
Используем сочетания с повторениями:
13 EMBED Equation.3 1415
1.2.Бином Ньютона
Бином (двучлен) – выражение вида 13 EMBED Equation.3 1415.
Формула бинома Ньютона:
13 EMBED Equation.3 1415.
Правая часть этой формулы называется разложением бинома.
Свойства разложения бинома:
1.Количество членов разложения бинома на единицу больше показателя степени;
2.Все члены разложения имеют одну и ту же степень равную n;
3.Сумма биноминальных коэффициентов равна 13 EMBED Equation.3 1415;
4.Формула 13 EMBED Equation.3 1415члена разложения имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1. В разложении 13 EMBED Equation.3 1415 четвертый член равен 0,96. Найти значение 13 EMBED Equation.3 1415 если сумма биноминальных коэффициентов равна 1024.
Решение.
Так как сумма биноминальных коэффициентов равна 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415 Теперь используем формулу члена разложения:
13 EMBED Equation.3 1415 По условию 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2. При каких значениях 13 EMBED Equation.3 1415 возможно равенство:
13 EMBED Equation.3 1415?
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415 Из второг уравнения имеем 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 Из второго находим 13 EMBED Equation.3 1415.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415. Второй корень не подходит, тогда 13 EMBED Equation.3 1415
(Смотри видеуроки 22, 24, 25).
5. СТАТИСТИКА
Основные характеристики выборки
Статистика – это наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о разнообразнейших массовых явлений в жизни.
Экономическая статистика изучает изменение цен, спроса и предложения товаров, прогнозирует рост и падение производства и потребления.
Математическая статистика – это раздел математики, изучающий математические методы обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов.
Генеральная совокупность – это вся совокупность однородных объектов, которую изучают относительно некоторого признака, который характеризует эти объекты.
Выборкой называют совокупность случайно выбранных объектов из генеральной выборки.
Статистическим распределением называют перечисление вариант и соответствующих им частот.
Эмпирической функцией распределения называют функцию 13 EMBED Equation.3 1415, которая определяет для каждого х относительную частоту 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 - число вариант меньших х, 13 EMBED Equation.3 1415 - объем выборки.
Основные числовые характеристики выборки:
Медиана – это так называемое среднее значение упорядоченного ряда значений случайной величины: 13 EMBED Equation.3 1415
Мода – это вариант, который имеет большую частоту, встречается чаще других.
Размах выборки – это разность между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины выборки.
Среднее выборочное - 13 EMBED Equation.3 1415
Дисперсия - 13 EMBED Equation.3 1415
Среднее квадратичное отклонение - 13 EMBED Equation.3 1415
Коэффициент вариации - 13 EMBED Equation.3 1415
Подобно тому, как графики всех парабол можно получить с помощью геометрических преобразований одной параболы 13 EMBED Equation.3 1415, так и все кривые нормальных распределений можно получить с помощью геометрических преобразований одной кривой. Эту кривую называют кривой нормального распределения, или гауссовой кривой: 13 EMBED Equation.3 1415.

Правило трех сигм:
68% (или приблизительно 13 EMBED Equation.3 1415) всех значений нормального распределения случайной величины Х имеют отклонение от среднего значения, по абсолютной величине не превышающее среднее квадратичное отклонение 13 EMBED Equation.3 1415, а 96% всех значений – не превышающее 13 EMBED Equation.3 1415. Почти все значения (точнее, 99,7 всех значений) имеют отклонение от среднего, не превышающего по абсолютной величине утроенное среднее квадратичное отклонение 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример 1. Найдите размах, моду, медиану и среднее значение ряда данных некоторой случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415 1, 1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5. Постройте полигон частот значений случайной величины 13 EMBED Equation.3 1415. Укажите на рисунке размах, моду, медиану заданного ряда данных.
Решение.
Размах выборки: 13 EMBED Equation.3 1415.
Среднее значение: 13 EMBED Equation.3 1415.
Мода выборки: 13 EMBED Equation.3 1415, так как число 2 повторяется чаще всего.
Медиана: 13 EMBED Equation.3 1415, так как именно это число стоит в центре ряда.
Постоим полигон частот.

Пример 2. Выигрыши (в грн.), которые приходятся на один билет в каждой их двух лотерей, имеют следующие законы распределения:
1)
Х
0
1
5
10

Р
0,9
0,06
0,03
0,01

2)
Х
0
1
5
10

Р
0,85
0,12
0,02
0,01

Какой из этих лотерей вы отдадите предпочтение?
Решение.
Найдем математическое ожидание каждого распределения.
1)13 EMBED Equation.3 1415.
2)13 EMBED Equation.3 1415.
Сравним два числа и получим, что вторая выгодней.
Пример 3. Задана генеральная совокупность из 20 элементов. Выполнить задания:
1) построить статистическое распределение и ее эмпирическую функцию распределения;
2) вычислить ее числовые характеристики выборки: среднее, дисперсию и среднее квадратичное отклонению
Решение.
Дана генеральная выборка:
15,19,13,12,9,14,15,19,12,17,13,9,15,12,15,14,18,16,15,12.
1) Статистическое распределение выборки имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
9
12
13
14
15
16
17
18
19

13 EMBED Equation.3 1415
2
4
2
2
5
1
1
1
2

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415Эмпирическая функция распределения имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 - число вариантов, меньших чем х; 13 EMBED Equation.3 1415 - объем выборки; 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда имеем:
13 EMBED Equation.3 1415или 13 EMBED Equation.3 1415
2) Числовые характеристики выборки:
Среднее 13 EMBED Equation.3 1415
Выборочная дисперсия 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Среднее квадратичное отклонение 13 EMBED Equation.3 1415
(Смотри видеурок 19).

6.СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ

Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия



Свойства логарифмов
Если
·
·,
·
·,
·
·
· положительные числа, причем
·
·
·1, то справедливы равенства:


13 QUOTE 1415, для любого 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415, для любого 13 QUOTE 1415

13 QUOTE 1415– формула перехода к новому основанию логарифма



7.ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ
(Смотри видеоуроки 6, 8, 11, 26, 27, 28).
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ
1.Сократиь дробь а)13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.Упростить выражение а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.Найти значение выражения а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
5.Вычислить а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
7.Упростить выражение а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
8.Сократить дробь а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
9.Упростить выражение а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
10.Освободиться от иррациональности в знаменателе
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415
11.Упростить выражение а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
12.Упростить выражение а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
13.Разложить на множители а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
14.Упростить а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
15.Разложить на множители а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
16.Сократить дробь а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
17.Выразить переменную в из формулы а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
18.Упростить а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
19.Упростить а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
УРАВНЕНИЯ

1.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
4.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
5.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
6.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
7. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
8. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
9. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
10. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
11. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
12. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
13. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
14.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
15. а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
16. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
17. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ
1.Решите систему уравнений
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
4. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
5. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
6. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
7. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
8. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
9. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
10. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
11. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
12. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
13. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
14. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
15. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
16. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

1. а) Моторная лодка прошла 21 км против течения реки и 8 км по течению, затратив на весь путь 2 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.
б) Моторная лодка прошла 24 км против течения реки и 16 км по течению, затратив на весь путь 3 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки составляет 2 км/ч.
2. а) Сколько граммов 3-процентного и сколько граммов 8-процентного раствора соли нужно взять, чтобы получить 260 г 5-процентного раствора?
б) Сколько килограммов 25-процентного и сколько граммов 50-процентного сплавов меди нужно взять, чтобы получить 20 кг 40-процентного сплава?
3. а) Двое рабочих, работая вместе, выполнили задание за 12 часов. За сколько часов может выполнить это задание каждый рабочий самостоятельно, если один из них может это сделать на 7 ч быстрее другого?
б) Две бригады, работая вместе, вспахали поле за 8 ч. За сколько часов может вспахать поле каждая бригада, работая самостоятельно, если второй бригаде на это нужно на 12 ч больше, чем первой?
4. а) Тракторист должен был за определенное время вспахать поле площадью 180 га. Ежедневно он вспахивал на 2 га больше, чем планировал, и закончил работу на 1 день раньше срока. За сколько дней тракторист вспахал поле?
б) Рабочий должен был за определенное время изготовить 160 деталей. Ежедневно он изготовлял на 4 детали больше, чем планировал, и закончил работу на 2 день раньше срока. За сколько дней он выполнил работу?
5. а) Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 300 км, выехали одновременно две машины. Одна из них двигалась со скоростью на 10 км/ч больше, чем вторая, а потому прибыла в пункт назначения на 1 ч раньше второй. Найдите скорость каждой машины.
б) Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно автобус и автомобиль. Автобус двигался со скоростью на 20 км/ч меньше, чем автомобиль, а потому прибыл в пункт назначения на 1 ч позже. Найдите скорость каждой машины.
6. а) Вкладчик положил в банк 1200 гривен на два различных счета. По первому из них банк выплачивает 6% годовых, а по второму – 8% годовых. Через год вкладчик получил 80 гривен процентных денег. Сколько гривен он положил на каждый счет?
б) Вкладчик положил в банк 1500 гривен на два различных счета. По первому из них банк выплачивает 7% годовых, а по второму – 10% годовых. Через год вкладчик получил 120 гривен процентных денег. Сколько гривен он положил на каждый счет?
7. а) Из города А в город В выехал велосипедист. Через 3 ч из города А выехал мотоциклист, который прибыл в город В одновременно с велосипедистом. Найдите скорость мотоциклиста, если она на 45 км/ч больше скорости велосипедиста, а расстояние между городами 60 км.
б) Из города А в город В вышел товарный поезд. Через 2 ч из города А вышел пассажирский поезд, который прибыл в город В одновременно с товарным. Найдите скорость товарного поезда, если она на 20 км/ч меньше скорости пассажирского, а расстояние между городами 350 км.

НЕРАВЕНСТВА

1.Решить неравенство
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
4. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
5.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
6. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
7. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
8. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
9. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
10. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
11. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
12. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
13. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
14. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
15. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
16. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
17. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
18. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
19. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

СИСТЕМЫ НЕРАВЕНСТВ

1.Решить систему неравенств
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
4. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
5. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
6. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
7.13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
8. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
9. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
10. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
11. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
12. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
13. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
14. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
15. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
ФУНКЦИЯ
1.Построить график функции.
Используя график, найти:
1) область значения;
2) при каких значениях х функция принимает положительные значения.
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
4. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
5. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
6.Построить график функции
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
7. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
8. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
9. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
10. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
11.Найти область определения функции
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
12. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
13. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
14. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
15. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА

Решить уравнение
1.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
6) а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
7) а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
8) а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
9) а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

Решить неравенство
1) а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2) а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3) а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
4) а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
5) а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
6) а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
7) а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
8) а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
9) а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
10) 13 EMBED Equation.3 1415 11) 13 EMBED Equation.3 1415 12) 13 EMBED Equation.3 1415 13) 13 EMBED Equation.3 1415
14) 13 EMBED Equation.3 1415 15) 13 EMBED Equation.3 1415 16) 13 EMBED Equation.3 1415
17) 13 EMBED Equation.3 1415 18) 13 EMBED Equation.3 1415
19) 13 EMBED Equation.3 1415 20) 13 EMBED Equation.3 1415




ЛОГАРИФМЫ
1.Найти значение выражения
1.1. 13 EMBED Equation.3 1415 1.2. 13 EMBED Equation.3 1415 1.3. 13 EMBED Equation.3 1415 1.4. 13 EMBED Equation.3 1415
1.5. 13 EMBED Equation.3 1415 1.6. 13 EMBED Equation.3 1415 1.7. 13 EMBED Equation.3 1415 1.8. 13 EMBED Equation.3 1415
1.9. 13 EMBED Equation.3 1415 1.10. 13 EMBED Equation.3 1415 1.11. 13 EMBED Equation.3 1415
1.12. 13 EMBED Equation.3 1415 1.13. 13 EMBED Equation.3 1415 1.14. 13 EMBED Equation.3 1415
2. Решить уравнение
2.1. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.2. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.3. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.4. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.5. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.6. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.7. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.8. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.9. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.Решить неравенства
3.1. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.2. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.3. а) 13 EMBED Equation.3 1415б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.4.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.5. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.6. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.7. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.8. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.9. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
ТРИГОНОМЕТРИЯ
1.Упростить выражение
1.1.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
1.2.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
1.3.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
1.4. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
1.5. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
1.6. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
1.7. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
1.8. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
1.9. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
1.10. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

2.Найти численное значение выражения
2.1. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.2. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.3. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.4. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.5. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.6. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

3.Вычислить значение выражение при данном значении переменной
3.1. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.1. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.3. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.4. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.5. а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
Уравнения, которые сводятся к квадратным
1.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Однородные уравнения
1.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнения, которые решаются разложением на множители
1.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
4.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
5.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
6.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

Уравнения, которые решаются введением дополнительного угла
1.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

Уравнения, которые решаются при помощи формул понижения степени
1.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Дробно-рациональные уравнения относительно тригонометрических функций
1.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
2.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
3.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
4.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
5.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
6.а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415

ПРОГРЕССИИ
(Смотри видеуроки 18, 20, 21, 23).
1. а) Первый член арифметической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415, а второй 13 EMBED Equation.3 1415. Найти седьмой член прогрессии.
б) Первый член арифметической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415, а второй 13 EMBED Equation.3 1415. Найти пятый член прогрессии.
2. а) Первый член арифметической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415, разность прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415. Найти сумму десяти первых членов прогрессии.
б) Первый член арифметической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415, разность прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415. Найти сумму двенадцати первых членов прогрессии.
3. а) 13 EMBED Equation.3 1415Сколько положительных членов содержит арифметическая прогрессия 40; 37; 34; ?
б) 13 EMBED Equation.3 1415Сколько положительных членов содержит арифметическая прогрессия 42; 38; 34; ?
4. а) Найти сумму десяти первых членов арифметической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415 если 13 EMBED Equation.3 1415
б) Найти сумму десяти первых членов арифметической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415 если 13 EMBED Equation.3 1415
5. а) Первый член арифметической прогрессии равен -5, а разность равна 6. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равна 1040?
б) Первый член арифметической прогрессии равен 12, а разность равна -2. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равнялась -264?
6. а) Первый член геометрической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415, а знаменатель прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415 Найти четвертый член прогрессии.
б) Первый член геометрической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415, а знаменатель прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415 Найти четвертый член прогрессии.
7. а) Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
б) Найти первый член и знаменатель геометрической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
8. а) Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 40; 20; 10;
б) Найти сумму бесконечной геометрической прогрессии 81; 27; 9;
9. а) Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
б) Найти сумму шести первых членов геометрической прогрессии 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
10. а) Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвертого и второго – 90. Найти пятый член .
б) Разность четвертого и второго членов геометрической прогрессии равна 30, а разность четвертого и третьего – 24. Найти пятый член .
8.ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
1. Натуральные числа. Действия с натуральными числами. Метод математической индукции
2. Целые числа, правила сложения, умножения и деления с целыми числами
3. Дробные числа. Обыкновенные и десятичные дроби. Действия над ними
4. Квадратные корни. Свойства квадратного корня
5. Действительные числа. Десятичная запись действительного числа. Действия на множестве действительных чисел
6. Числовая прямая. Модуль числа
7. Проценты. Задачи на проценты
8. Пропорция, основное свойство пропорции
9. Функция, определение и способы задания
10. Свойства элементарных функций
11. Графики элементарных функций
12. Предел функции
13. Производная функции, таблица производных
14. Первообразная для функции
15. Определённый интеграл
16. Таблица интегралов. Формула Ньютона-Лейбница
17. Комбинаторика. Перестановки, сочетания и размещения
18. Бином Ньютона
19. Вариационный ряд. Размах, мода и медиана ряда
20. Статистическое распределение. Полигон
21. Среднее ряда
22. Дисперсия и среднее квадратичное отклонение







Примерный вариант контрольной работы

1. Найти значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415
2. Вкладчик положил в банк 40 000 грн. под 8% простых годовых. Сколько денег будет на его счёте через 3 года?
3. Построить график 13 EMBED Equation.3 1415
4. Используя правила и формулы дифференцирования найти производные функций: 1)13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415 4) 13 EMBED Equation.3 1415
5. Вычислить интеграл 13 EMBED Equation.3 1415
6. Найти разложение: 13 EMBED Equation.3 1415
7. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4, если цифры не повторяются?
8. Группа студентов из 12 человек сдают экзамен по математике. Знания оценивались по пятибалльной системе. Оценки, полученные студентами соответствующие списку, такие: 5,4,4,3,4,2,2,5,5,3,3,4. Найти медиану этого распределения.



























ЛИТЕРАТУРА
1. Азаров А.И. Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач / Азаров А.И., Барвенов С.А.--- Мн.: Аверсэв, 2004. – 222 с.
2. Бардушкин В. Тригонометрические уравнения. Отбор корней / В. Бардушкин, А. Прокофьев.// Математика, №12, 2005. - 23-27 С.
3. Бородин П. Тригонометрия. Материалы вступительных экзаменов в МГУ[текст] / П. Бородин, В. Галкин, В.Панфёров, И. Сергеев, В. Тарасов//Математика №1, 2005. 3648 С.
4. Василевский А.Б., Задания для внеклассной работы по математике / А.Б. Василевский --- Мн.: Народная асвета. 1988. -- 176 с.
5. Выгодский Я.Я., Справочник по элементарной математике. / Выгодский Я.Я. --- М.: Наука, 1970. -231 с.
6. Гальперіна А.Р. Математика. ЗНО 2009 / С.М. Будна, О.С. Будна, А.Р. Гальперіна, М.Я. Забєлишенська, О.Я. Михеєва – К: Літера, 2009. -320 с.
7. Гальперіна А.Р. Математика. ЗНО 2011 / А.Р. Гальперіна, О.Я. Михеєва – К: Літера ЛТД, 2011, - 120 с. + Додат.(16 с.).
8. Игудисман О. Математика на устном экзамене/ Игудисман О. --- М.: Айрис пресс, Рольф, 2001. -215 с.
9. Сапунов П.И. Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений / Сапунов П. И. // Математическое просвещение, выпуск №3, 1935. -320 с.
10. Семенець В.В. Математика для вступників до ВУЗів / М.Ф. Бондаренко, В.А. Дікарєв, О.Ф. Мельников, Семенець В.В., Шкляров Л.Й. // Навчальний посібник, Харків, Компанія СМІТ, 2002. -225 с.
11. Сканави М.И. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы / В.К. Егерев, В.В. Зайцев, Б.А. Кордемский и др.; Под ред М.И. Сканави – М: ОНИКС, Мир и Образование, 2006. -523 с.
12. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: решение задач / Шарыгин И.Ф., Голубев В.И. --- М.: Просвещение, 1991. -1-3 с.
13. Шевкин А.В. ЕГЭ. Математика. Задания С6 / А.В.Шевкин, Ю.О. Пукас. – М.: Экзамен, 2012.
14. Шевкин А.В. Текстовые задачи по математике. 7-11 кл. – М.: Илекса. 2012.














13PAGE 15


13PAGE 145515




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeКубическая параболаГрафик экспоненциальной функции (экспоненты)График синуса (синусоида)График косинусаEquation NativeГрафик тангенсаEquation NativeEquation NativeРисунок 66Equation NativeРисунок 67Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native \alpha \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb Z \operatorname{ctg}^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\sin^2 \alpha} = \operatorname{cosec}^2 \alpha \alpha \neq \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb Z \sin x = a. \cos x = a.x=\operatorname{arcctg}\, a + \pi n;\ n \in \mathbb Z.Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativenEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 73Рисунок 74Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native2Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native