Отбор корней в тригонометрических уравнениях с помощью числовой окружности.
Пискарева Раиса Ивановна Piskaryova Raisa Ivanovnaмуниципальное общеобразовательное учреждение «Гимназия №1»
Россия, Курская область, г. Железногорск
"Gymnasium №1" Russia,Kursk Region, Zheleznogorskevp700@mail.ruучитель математики
Отбор корней в тригонометрических уравнениях с помощью числовой окружности.
The selection of the roots in trigonometric equations using numerical circle.Тригонометрические уравнения; отбор корней; числовая окружность.
Trigonometric equations; selection; roots; numeric circumference.
Аннотация
Пискарева Раиса Ивановна. Отбор корней тригонометрических уравнений с помощью числовой окружности.
Данная статья будет интересна учителям математики и учащимся 10 – 11 классов при подготовки к ЕГЭ по математике. В статье рассматривается, когда удобно отбирать корни тригонометрического уравнения с помощью числовой окружности. Приводится схема отбора корней, рассматриваются примеры, делается вывод об эффективности применения этого метода. Автор предлагает задания для самостоятельной работы с ответами.
AbstractPiskareva Raisa Ivanovna. The selection of the roots of trigonometric equations using numerical circle.This article will be of interest to mathematics teachers and students 10 – 11 classes to prepare for the exam in mathematics. The article presents the scheme of selection of roots, examples of a conclusion about the effectiveness of this method and the easiest way to select the roots of trigonometric equations using numerical circle. The author gives tasks for independent operation with answers.
ЕГЭ по математике направлен на контроль сформированности математических компетенций, предусмотренных требованиями
Федерального компонента государственного образовательного стандарта среднего (полного) общего образования по математике (2004 г.)
Варианты КИМ для проведения ЕГЭ по математике составлены на основе кодификаторов элементов содержания и требований к уровню подготовки выпускников общеобразовательных учреждений. Некоторые задания №13 ЕГЭ по математике (профильный уровень) представляют собой тригонометрическое уравнение. В последние годы составители заданий ЕГЭ по математике в качестве задания №13 предлагают несложные тригонометрические уравнения, в демоверсии по математики 2017 года (профильный уровень), задание №13 имеет следующее содержание:
а) Решите уравнение cos2х= 1 - cos ( π2 –х )
б) Найти все корни этого уравнения принадлежащие промежутку -5π2 ; - π)Задания имеют некоторые особенности. Особенности этого задания в том, что требуется во-первых, решить (то есть, найти все решения) во вторых, осуществит отбор решений по тому или иному ограничению.
При отборе можно проверить знания основных разделов школьной математики, уровень логического мышления, навыки исследовательской деятельности.
Выполнение второй части задания №13 - это отбор корней принадлежащих заданному промежутку.
Существуют разные способы отбора корней в тригонометрических уравнениях:
Арифметический способ.
Перебор значений целочисленного параметра и вычисление корней.
Отбор корней с помощью неравенств.
Функционально - графический способ.
Отбор корней тригонометрического уравнения, на числовой прямой.
Отбор корней тригонометрического уравнения с помощью числовой окружности.
В процессе обучения решению задач, в которых требуется отобрать корни тригонометрического уравнения, следует обсудить разные способы выполнения этого задания. Во-первых, в этом случае выпускники начинают применять знания в нестандартной ситуации, развивается логическое мышление, формируются навыки исследовательской работы.
Во – вторых, ученик научится выяснять случаи, когда тот или иной способ может оказаться наиболее удобным или наоборот непригодным.
Рассмотрим отбор корней тригонометрического уравнения с помощью числовой окружности.
Когда удобно применять этот метод.
Этот метод удобно применять, если уравнение имеет несколько корней, объединить которые в один корень невозможно.
Когда корни тригонометрического уравнения, содержат обратные тригонометрические функции.
Что надо уметь и знать, чтобы отобрать корни по числовой окружности.
Движение начинается от нуля, если корень положительный , то против часовой стрелки, если отрицательный , то по часовой стрелки.
Числовая окружность по положительному направлению 2π6,28; 4π; 6π и т. д.По отрицательному направлению -2π-6,28; - 4π; - 6π и т. д,Поэтому, если дают числовой промежуток 5π2; 11π2 , его надо записать в другом виде 2π+π2; 4π+3π2 или если предлагают промежуток -7π2;-3π, значит надо записать в виде-(2π+3π2); -(2π+π)Знать главные точки числовой окружности по положительному направлению: 0; π2 ; π; 3π2 ;2π ,
по отрицательному 0; -π2; -π; - 3π2; -2πЗнать точки первой четверти, обозначим их буквой t , это табличные значения: π6; π4; π3 , если это не табличные значения , arcsin a; arccos a; arctg a; arcctg a , где а>0Уметь через точку первой четверти вычислить симметричные точки в остальных четвертях.
ytx-t
+t
2-t
Покажем это на круге по положительному направлению
Обратим внимание на то, что точки симметричные точке первой четверти расположенные на окружности являются вершинами прямоугольника, стороны которого параллельны осям координат, что позволяет вычислить точку любой четверти, через точку первой четверти.
По отрицательному направлению.
-(+t)
-(-t)
-(2-t)
-t
xy
Ели точка будет больше чем 2π, 4π и т. д, то надо к этим значениям прибавить: t, π-t, π+t или 2π-t, также по отрицательному направлению.
Как отбирают корни уравнения с помощью числовой окружности.
Изобразить числовую окружность и на ней чёрными точками отметить все корни тригонометрического уравнения.
Изобразить числовую прямую, на ней отметить промежуток, которому должны принадлежать корни уравнения (его обязательно заштриховать), обратить внимание на изображение концов промежутка.
Отметить ноль, его расположение зависит от отмеченного промежутка (он может располагаться справа от промежутка, слева и находится внутри промежутка)
От нуля отмети 2π, 4π, 6π и т, д. или -2π, -4π, -6π и т , д. до конца промежутка.
Начинаем одновременно двигаться от нуля по числовой прямой и по окружности, если на числовой прямой участок по которому движемся не заштрихован, то точки (корни уравнения не принадлежат промежутку), если корень попадает в заштрихованный промежуток, то его записываем рядом с точкой изображающей корень уравнения на окружности.
Если корень принадлежит промежутку меньше 2π то, вычисляем этот корень через точку первой четверти.
Если корень больше 2π или 4π и т. д. то, надо к этим значениям прибавить: t; π-t; π+t или 2π –t, в зависимости от того в какой четверти находится точка, соответствующая корню уравнения, аналогично по отрицательному направлению.
Приведем примеры выполнения заданий №13 (профильный уровень) в которых:
а) Решить тригонометрическое уравнение.
б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие заданному промежутку
Пример 1
а) Решите уравнение
2cos2x=-3 sinx-152 б) Укажите корни, принадлежащие промежутку -112;-72Решение:
2cos2x=-3-sin152-x, ОДЗ: x∈R2cos2x=3sin6+32-x2cos2x=3sin32-x2cos2x=-3cosx2cos2x+3cosx=0cosx(2cosx+3) = 0
yxcosx=02cosx+3=02cosx=-3cosx=-32x=5π6+2πk,k∈Zx=π2+πn, n∈Zx=-5π6+2πk,k∈Zб) Так как корни принадлежат промежутку -(4π+3π2);-(2π+3π2-9π2yx-29π6-31π6-11π2
-(4π+3π2) -4π -(2π+3π2) -2π 0
x=-4π+π2=-9π2; x=-4π+5π6=-29π6 x=-4π+7π6=-31π6; x=-4π+3π2=-11π2Ответ: а) π2+πn, n∈Z; ±5π6+2πk, k∈Zб) -9π2;-29π6;-31π6;-11π2Пример 2
а) Решите уравнение logctg xsin2x+0,5ctg x∙sinx+1=0б) Укажите корни, принадлежащие промежутку -7;11Решение
logctg xsin2x+0,5ctg x∙sinx+1=0; -7;11Уравнение равносильно системе
yxsinx≠0,ctg x>0,ctg x≠1,sin2x+0,5ctg x∙sinx+1=1;
ОДЗ: sinx≠0ctg x>0x≠π4+πn, n∈Z
2sin x cos x+0,5cosxsinxsinx+1=12sinxcosx+0,5cosx=0cosx2sinx+0,5=0cosx=0 или 2sinx=-0,5 sinx=-14 -14>-22yx Учитывая ОДЗ:
cosx=0 x=-π-arcsin14+2πn, n∈Zне удовлетворяет ОДЗ x=arcsin14-π+2πn, n∈Zб) Учитывая x∈-7;11xy x∈-(6,28+0,72);6,28+4,72
- (6,28+0,72) -6,28 0 6,28 6,28+4,72
x= π+arcsin14 ; x=2π+π+arcsin14=3π+arcsin14; x=-π-arcsin14=arcsin14-π.Ответ: а) arcsin14-π+2πn,n∈Zб) π+arcsin14; 3π+arcsin14; arcsin14-π.Пример 3
а) Решите уравнение cos4x-cos2x=0б) Укажите корни, принадлежащие промежутку 3π2;3πxyРешение
способ.
cos4x-cos2x=03π2≤x≤3π - 2sinх sin3х= 0 x=πn,n∈Z x=π3k,k∈Z,
Объединив ответы: получим х= π3m,m∈Z;
5π32π7π38π33πyx
0 3π2 2π 2π+π
x=5π3; x=2π; x=2π+π3=7π3; x=2π+2π3=8π3; x=3π.Ответ: а) π3m,m∈Z; б) 5π3; 2π; 7π3; 8π3; 3π.
способ.
cos4x-cos2x=03π2≤x≤3πПусть 2x=t3π≤2x≤6πcos2t-cost=03π≤t≤6π2cos2t-1-cost=02cos2t-cost-1=0cost=1 cost=-12t y
cost=1 cost=-12 t=2πn, n∈Z t=±2π3+2πk,k∈Z 3π≤t≤6πy 2π+π≤t≤6π
t
0 2π 2π+π 4π 6π t
t=2π+4π3=10π3; t=4π; t=4π+2π3=14π3; t=4π+4π3=16π3; t=6π.Так как t = 2x, то
а)t=2πn, n∈Z t=±2π3+2πk,k∈Z x=πn,n∈Z x=±π3+πk,k∈Zб) t=10π3 t=4π t=14π3 t=16π3 t=6π x=5π3 x=2π x=7π3 x=8π3 x=3πОтвет: а) πn,n∈Z; ±π3+πk,k∈Z б) 5π3; 2π; 7π3; 8π3; 3π4.Что позволяет изображение прямой, рядом с числовой окружностью?Во-первых, понять в каком направлении двигаться по окружности.
Во-вторых, увидеть, какие корни уравнения не принадлежат заданному промежутку.
В-третьих, правильно вычислить корни уравнения, принадлежащие заданному промежутку.
Задания для самостоятельного выполнения с ответами
а) Решите уравнение б) Найти все корни Ответ
7sin²x +4sinxcosx - 3cos²x = 0 3π2 ;5π2 -π4+πn, artg37 + πk, n,k∈z
б) 7π4; 2π+artg37tg²x + 5 tg x +6 =0 -2π; -π2a)-arctg2+ πn ,n∈z-arctg3+ πm, m∈zб)-π –artg2,-π -artg3 6sin²x +7cosx-7=0 -3π ;- πa)2πn ; n ∈z ±arcos16 +2πm; m ∈zб)-2π+arcos16; -2π ; -2π-arcos16Список литературы:
Единственный государственный экзамен. Математика. Профильный уровень. Типовые тестовые задания. 30 вариантов. Под редакцией И.В. Ященко – М.: Экзамен, 2017