Метод рационализации при решении неравенств лекция по алгебре и началам анализа для 11 класса
Метод рационализации при решении неравенств
Содержание
1. Введение 3
2. Метод рационализации при решении неравенств,
содержащих логарифмические функции. 4
3. Метод рационализации при решении неравенств,
содержащих иррациональные выражения. 18
4. .Метод рационализации при решении неравенств,
содержащих модули. 22
5. Метод рационализации при решении неравенств,
содержащих показательные функции. 28
6. Заключение. 34
7.Список литературы. 35
Введение.
Самым легким способом решения неравенств является способ решения рациональных неравенств методом интервалов, но не все неравенства имеют структуру, которая позволяет решать их этим методом. Поэтому цель работы – предложить метод решения сложных неравенств (неравенства, содержащие логарифмические, показательные, иррациональные выражения и выражения с модулями) путем замены множителей. Идея этого метода заключается в том, что неравенства повышенной сложности сводятся к решению рациональных неравенств. Оказывается, достаточно широкий класс неравенств подобную попытку допускает. Решение неравенства – это объединение конечного числа непересекающихся промежутков. Их легко задать одним рациональным неравенством, что во многих ситуациях позволяет быстрее двигаться к ответу, а иногда получать более эффективные схемы решения типовых неравенств.
Метод рационализации при решении неравенств, содержащих логарифмические функции.
Разность логарифмов по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности чисел этих логарифмов на отклонение от единицы. Другими словами выражение вида (logaf – logag) имеет тот же знак (в области существования логарифмов) что и выражение (f-g)(
·-1)
Выделим некоторые выражения и соответствующие рационализирующие выражения, позволяющие исключительно эффективно решать многие логарифмические неравенства, которые можно отнести к разряду повышенной сложности.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Таблица для рационализации в логарифмических неравенствах
Примеры решения логарифмических неравенств методом рационализации.
Пример. Решить неравенство
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Воспользуемся теоремой 1. получим следующую систему неравенств:
13 EMBED Equation.3 1415
Решая первые четыре неравенства, практически находим ОДЗ исходного неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415
Откуда: 13 EMBED Equation.3 1415.
Решим теперь пятое неравенство системы. После элементарных преобразований получим неравенство
13 EMBED Equation.3 1415.
Умножим второй сомножитель на -1 и поменяем знак неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415.
Нетрудно заметить, что корнями второго множителя в этом неравенстве являются числа 1 и -2. Поэтому, раскладывая второй множитель на одночлены первого порядка, получаем:
13 EMBED Equation.3 1415.
Это неравенство легко решить методом интервалов: 13 EMBED Equation.3 1415.
С учетом найденного ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Приведем сравнение решения неравенства традиционным методом и методом рационализации:
№1. Решить неравенство:
(метод рационализации)
Решение:
Ответ:
( традиционный метод)
Решение:
1) ОДЗ: 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415или13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
б)13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ:13 QUOTE 1415
№2. Решить неравенство:13 QUOTE 1415
Решение: 13 QUOTE 1415
213 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415213 QUOTE 1415
№3.Решить неравенство:13 QUOTE 1415
Решение: 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: (13 QUOTE 1415
№4. Решить неравенство 13 QUOTE 1415
Решение:
13 QUOTE 1415 ,13 QUOTE 1415,
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: (-1,5;-1)13 QUOTE 1415(-1;0)13 QUOTE 1415(0;3)
№5. Решить неравенство 13 QUOTE 1415
Решение:13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415,
13 QUOTE 1415,
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: (-0,5;13 QUOTE 1415
№6. Решить неравенство Решение:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: (-1;0)13 QUOTE 1415
№7. Решить неравенство :13 QUOTE 1415.
Решение: 13 QUOTE 1415,13 QUOTE 1415,
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415
№8. Решить неравенство 13 QUOTE 1415
Решение:
13 QUOTE 1415,
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415
№9. Решить неравенство 13 QUOTE 1415
Решение:
а)
0,513 QUOTE 1415, 1,613 QUOTE 1415
Имеем13 QUOTE 1415
следовательно 13 QUOTE 1415;13 QUOTE 1415;13 QUOTE 1415
б) если x-3=1, x=2- не является решением (при x=2 13 QUOTE 1415) .
Ответ:13 QUOTE 1415;13 QUOTE 1415;13 QUOTE 1415
№10. Решить неравенство13 QUOTE 1415
Решение:
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415,
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415
№11. Решить неравенство 13 QUOTE 1415
Решение:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 113 QUOTE 1415
Ответ: 113 QUOTE 1415
№12. Решить неравенство 13 QUOTE 1415
Решение:
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 )13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 ; 013 QUOTE 1415
Ответ:13 QUOTE 1415 ; 013 QUOTE 1415
№13. (Применение метода рационализации при решении неравенств с параметрами)
Решить неравенство.
Рассмотрим два случая.
1)Пусть 13 QUOTE 1415. Тогда получим, что 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 следовательно,
для любых x, что не удовлетворяет условию задачи.
2) Пусть теперь 13 QUOTE 1415 . В этом случае 13 QUOTE 1415 и, для того чтобы неравенство 13 QUOTE 1415 было верно для любых x , необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие 13 QUOTE 1415.
Получим систему:
Ответ: (13 QUOTE 1415)
Метод рационализации при решении неравенств, содержащих иррациональные выражения.
При решении неравенств, содержащих иррациональные выражения, используем следующее правило 13 QUOTE 1415-13 QUOTE 1415(на области определения)
№1.Решите неравенство:
Решение.
-713 QUOTE 1415
Ответ: -713 QUOTE 14151
№2.Решите неравенство
Решение:
Ответ:
№3Решите неравенство
Решение:
Ответ: 013 QUOTE 1415
№4Решить неравенство:
Решение:
Ответ:
№5 Решить неравенство:
Решение:
Ответ:
№6.Решить неравенство:
Решение:
13 QUOTE 1415
Ответ:
Метод рационализации при решении неравенств, содержащих модули.
Опорная информация, позволяющая указать удобные замены, заключается в двух основных свойствах модуля:
·m
·2
·= m2 и
·m
·
·0 для всех m,
а также в монотонном возрастании на множестве неотрицательных чисел функции y=t2.
Приведем типы замен:
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
№1.13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415: 13 QUOTE 1415
(13 QUOTE 1415,
(10x+32)(213 QUOTE 1415(10x+32)2x(x+5)13 QUOTE 1415 ,
-513 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
Ответ: -513 QUOTE 1415
Для решения дробных неравенств, содержащих модули удобно использовать следующее правило:
Решение:
-613 QUOTE 1415
Ответ: -613 QUOTE 1415
№3.Решить неравенство:
Решение:
-913 QUOTE 1415
Ответ: -913 QUOTE 1415
№4.Решить неравенство:
Решение:
x13 QUOTE 1415 , 213 QUOTE 1415 413 QUOTE 1415
Ответ: x13 QUOTE 1415 , 213 QUOTE 1415 413 QUOTE 1415
№5.Решить неравенство:
Решение:
Ответ: x13 QUOTE 1415
№6. Решить неравенство:
Решение:
x13 QUOTE 1415, 313 QUOTE 1415
Ответ: x13 QUOTE 1415, 313 QUOTE 1415
№7. Решить неравенство:
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
-1313 QUOTE 1415
Ответ: -1313 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415Решить неравенство:
Ответ:
Метод рационализации при решении неравенств, содержащих показательные функции
Можно установить, что разность степеней по одному и тому же основанию всегда по знаку совпадает с произведением разности показателей этих степеней на отклонение основания степени от единицы. Другими словами, выражение вида 13 EMBED Equation.3 1415 имеет тот же знак, что и выражение
(f –g)(а – 1) при а> 0 (если а=1, то выражения равны нулю)13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Метод рационализации в показательных неравенствах
№1.Решить неравенство:
Решение:
13 QUOTE 1415;
Ответ: 13 QUOTE 1415
№2.Решить неравенство:
Решение:
Ответ: 13 QUOTE 1415
Пример. Решить неравенство
13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Составим систему неравенств, аналогичную системе (4) из теоремы 2:
13 EMBED Equation.3 1415
Решив два первых неравенства, найдем ОДЗ исходного показательного неравенства:
13 EMBED Equation.3 1415
Откуда ОДЗ: 13 EMBED Equation.3 1415.
Далее рассмотрим основное неравенство 13 EMBED Equation.3 1415, которое упрощается к виду: 13 EMBED Equation.3 1415.
Корни первого множителя этого неравенства мы нашли ранее: 13 EMBED Equation.3 1415. Корни второго множителя равны: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь перед нами встала нетривиальная задача упорядочения корней. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415. Применив метод интервалов, получим следующее решение основного неравенства: 13 EMBED Equation.3 1415.
Учитывая найденную ранее ОДЗ, получаем окончательный ответ:
13 EMBED Equation.3 1415.
№3.Решить неравенство:
13 QUOTE 1415
Решение:
Ответ: 13 QUOTE 1415
№4.Решить неравенство:
13 QUOTE 1415
Решение:
13 QUOTE 1415;
Ответ: 13 QUOTE 1415
№5.Решить неравенство:13 QUOTE 1415
Решение:13 QUOTE 1415. На множестве 13 QUOTE 1415
исходное неравенство равносильно 13 QUOTE 1415
x(2x+1)(3x-7)13 QUOTE 1415
Получим 13 QUOTE 1415
Ответ: 13 QUOTE 1415
№6.Решить неравенство 13 QUOTE 1415
Решение: Область определения неравенства: 13 QUOTE 1415
Применим метод рационализации неравенства:
(x+1)x(x-1)13 QUOTE 1415
Ответ:
№7.Решить неравенство
Решение:
Первый множитель в числителе заменяем на 13 QUOTE 1415, второй на 13 QUOTE 1415 , третий на13 QUOTE 1415, четвертый на
13 QUOTE 1415, пятый на 13 QUOTE 1415.
Первый множитель в знаменателе заменяем на13 QUOTE 1415, а второй на 13 QUOTE 1415.
Получаем в области допустимых значений рациональное неравенство, равносильное исходному:
Область существования всех множителей в исходном неравенстве представляет собой два промежутка: 13 QUOTE 1415. В этой области множители 13 QUOTE 1415 знакопостоянны, и поэтому их знаменяем соотвестственно на (-1) и 1.
Знакопостоянны и трехчлены 13 QUOTE 1415, поэтому их заменяем также, соответственно на (-1) и 1.
Решая последнее стандартное рациональное неравенство в указанной области существования всех множителей исходного неравенства, получаем ответ:
13 QUOTE 1415.
Здесь я привожу лишь таблицу с приемами рационализации, облегчающими работу со сложными неравенствами.
Заключение.
При написании работы были проанализированы сборники по подготовке к ЕГЭ по математике. Многие задания части 13 QUOTE 1415 содержат неравенства, содержащие неизвестное в основании логарифма, решение которых требует громоздких выкладок и больших затрат времени. Метод рационализации. позволяет сократить время при решении такого типа неравенств. Этот способ распространяется и на решение других неравенств ( показательных, иррациональных и неравенств, содержащих модули). Были сделаны следующие выводы:
1) Основная идея метода рационализации состоит в замене любого множителя А на знакосовпадающий с ним и имеющий одни и те же корни (в области определения) множитель B.
2) Преобразованные таким образом неравенства всегда равносильно исходному в области определения последнего.
3) Указанная замена возможна только тогда, когда заменяемый множитель находится в числители или знаменателе дроби, которая сравнивается с нулем.
4) По внешнему виду неравенства легко определяется возможность применения метода рационализации.
Эта работа может быть использована при подготовке к ЕГЭ. Здесь собрано достаточное количество формул и решенных неравенств, которые помогут любому выпускнику изучить этот метод.
Список литературы.
1) В помощь абитуриентам/Составители В. И. Голубев, А. А. Егоров, В. А. Тихомирова.- М.: Бюро Квантум,2009( приложение к журналу КВАНТ)
2)Егэ-2013. Математика: типовые экзаменационные варианты:30 вариантов / под ред. А. Л. Семенова, И. В. Ященко. –М.: Издательство «Национальное образование»,2012.-192с.-(ЕГЭ-2013. ФИПИ – школе.)
3) Задачи вступительных экзаменов/ Составители А. А. Егоров, В. А. Тихомирова.- М.: Бюро Квантум,2008(приложение к журналу КВАНТ)
4) «Квант» 2006/№4, В.Голубев, «Метод замены множителей»
5)Математика. ЕГЭ: сборник заданий: методическое пособие для подготовки к экзамену / Ю. А. Глазков, Т. А. Корешкова, В. В. Мирошин, Н. В. Шевелева. – 3-е изд., испр.- М.: Издательство «Экзамен»,2010.-287с. ( Серия « ЕГЭ. Сборник заданий. »
6) Подготовка к ЕГЭ по математике в 2012 году. Методические указания/Ященко И. В., Шестаков. С. А., Трепалин А. Сю, Захаров П.И.-М.: МЦНМО,2012.
7)Самое полное издание типовых вариантов реальных заданий ЕГЭ:2010: Математика/ авт.-сост. И. Р. Высоцкий, Д. Д. Гущин, П. И. Захаров и др.; под ред. А. Л. Семенова, И.В. Ященко. – М,:АСТ: Астрель,2010.- 93с.-( Федеральный институт педагогических измерений.)
8)«Сборник задач по математике для поступающих в Вузы». Уч. Пособие / под ред. М. И. Сканави.- М.: Высшая шк.,1988.
9)«Эффективные пути Решения неравенств». Уч. Пособие / под ред. В. И. Голубева , В. А. Тарасова.1992.
10) [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] – Корянов А. Г., Прокофьев А. П. Метод решения неравенств с одной переменной.
13PAGE \* MERGEFORMAT14915
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Рисунок 2Описание: C:\Users\школа\Desktop\ghfh.jpgњFarebnй LCDLCD en colo