Элективный курс по математике на тему Функциональный и графический методы решения уравнений, неравенств и систем

Элективный курс

«Функциональный и графический методы решения уравнений, неравенств и систем»
для 11 класса



Автор: учитель математики МБОУ СОШ №47
Яцкевич Татьяна Валентиновна



















г. Белгород, 2015
Пояснительная записка.
Элективный курс «Функциональный и графический методы решения уравнений, неравенств, систем» предназначен для учащихся 11 классов. Математика в наши дни проникает во все сферы общественной жизни. Овладение практически любой современной профессией требует тех или иных знаний по математике. С математикой связана и компьютерная грамотность, повсеместное распространение которой – одна из первоочередных задач народного образования сегодня. Математические знания, представление о роли математики в современном мире стали необходимыми компонентами общей культуры.
В школе математика является опорным предметом, обеспечивающим изучение на современном уровне ряда других дисциплин, как естественных, так и гуманитарных, а также и трудового обучения. Необходимо отметить, что математика является профилирующим предметом на вступительных экзаменах в вузы по широкому спектру специальностей. Наряду с поступающими на математические отделения и в технические вузы вступительные экзамены по математике должны сдавать физики, химики, биологи, врачи, психологи, экономисты.
Основная задача обучения математике в школе заключается в обеспечении прочного и сознательного овладения учащимися системой математических знаний и умений, необходимых в повседневной жизни и трудовой деятельности каждому члену современного общества, достаточных для изучения смежных дисциплин и продолжения образования.
Задача элективного курса, наряду с решением основной, заключается в формировании у учащихся устойчивого интереса к предмету, выявлении и развитии их потенциальных творческих способностей. Данный курс предусматривает ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, подготовку к обучению в вузе.
Программа элективного курса направлена на изучение функциональных и графических методов (использующие свойства функций, заданных в постановке задачи), в решении уравнений, неравенств и систем.
Изучению этих методов в программе общеобразовательной школы уделяется незаслуженно мало внимания. А при выполнении тестовых заданий, когда время ограничено и значение имеет не способ решения, а только ответ, использование рассмотренных методов в программе оказывается чрезвычайно полезным. Например, умение строить графики функций, уравнений, изображать на координатной плоскости множество решений неравенств часто позволяет избежать громоздких решений многих сложных систем, уравнений и неравенств. Незаменимыми оказываются эти методы и при решении задач с параметрами, а также и при решении так называемых «нестандартных» задач.
Темы элективного курса примыкают к основному курсу, углубляя отдельные, наиболее важные вопросы, систематизируя материал, изучаемый на уроках в разное время, дополняя основной курс сведениями, важными в общеобразовательном или прикладном отношении.
Для учащихся 11 классов возрастает роль теоретических знаний, становятся весьма значительными такие их качества, как системность и обобщенность.
Данная программа предусматривает обобщение и систематизацию материала, а также включение новых способов действий, которые дополняют программу основной школы.
Что позволит учащимся успешно сдать Единый Государственный Экзамен.
ЦЕЛИ КУРСА:
Формирование и развитие у учащихся:
устойчивого интереса к математике;
выявление и развитие их математических способностей;
умения самостоятельно приобретать и применять знания в различных ситуациях;
творческих способностей;
коммуникативных навыков, которые способствуют развитию умений работать в группе, отстаивать свою точку зрения;
ориентацию на будущую профессию;
подготовку к обучению в вузе.
В процессе обучения учащиеся приобретают следующие умения:
- решать задачи более высокой по сравнению с обязательным
уровнем сложности;
- точно грамотно формулировать изученные теоретические
положения;
- применять рациональные приемы вычислений и
тождественных преобразований;
- использовать эвристические приемы;
интерпретировать результаты своей деятельности;
делать выводы;
обсуждать результаты.
Структура программы.
Программа элективного курса по математике состоит из раздела «Содержание курса», который задает перечень и объем изучаемого материала, раздела « Примерное планирование материала», «Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий» и используемой литературы для учителя и учащихся.
Содержание курса предполагает работу с разными источниками информации. Содержание каждой темы включает в себя самостоятельную (индивидуальную или коллективную) работу учащихся.

Содержание элективного курса.
(Всего 34 часа, 1 час в неделю.)
Функции и их свойства (2ч.)
Область определения и множество значений функции.
Четность функций, периодичность, обратимость.
Сложные функции.
Монотонность, ограниченность функций.
Экстремальные свойства функций.

2. Графики основных функций (5 ч.).
Графики дробно-рациональных функций;
показательной, логарифмической и степенной функций;
тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций;
функций, содержащих модуль;
функций знак числа х, целая часть числа х, дробная часть числа х.
Графики уравнений с двумя переменными;
графики неравенств с двумя переменными.

3. Методы построения графиков функций (6ч.).
- Преобразование графиков.
- Композиции графиков.
- Построение на основании свойств функций.
- Построение с помощью производной.

4. Методы решения уравнений,
систем уравнений, неравенств (9 ч.).
- Графические методы.
- Дискриминантный метод.
- Методы, основанные на ограниченности функций.
- Методы, основанные на монотонности функций.
- Методы, основанные на симметричности и четности функций.
- Применение производной при решении некоторых уравнений, неравенств и систем.
- Метод тригонометрической подстановки.
5. Функциональные уравнения и неравенства (2ч.).
Решение задач.

6. Решение задач с параметрами (10ч.).
Свойства функций в задачах с параметрами.
Область значений; экстремальные свойства функций; монотонность; четность; периодичность; обратимость.
Графические приемы. Координатная плоскость (х,у).
- Параллельный перенос.
- Поворот
- Сжатие. Гомотетия.
Примерное планирование материала элективного курса.

№ урока
Содержание учебного материала
Количество часов


Функции и их свойства (2 ч.)


1-2.
Область определения и множество значений функций. Четность, периодичность, обратимость функций. Монотонность, ограниченность функций, экстремальные свойства функций.

2


Графики основных функций (5 ч.)


3.
Графики дробно-рациональных функций.
1

4.
Графики показательных, логарифмических, степенных функций.
1

5.
Графики тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций.
1


6.
Графики функций знак числа х, целая часть числа х, дробная часть числа х.
1

7.
Графики функций с двумя переменными, графики неравенств с двумя переменными.
1


Методы построения графиков функций (6 ч.)


8-9.
Преобразование графиков.
2

10-11.
Композиции графиков.
2

12.
На основании свойств функций.
1

13.
С помощью производной.
1


Методы решения уравнений, систем уравнений, неравенств (9 ч.)


14.
Графический метод.
1

15.
Дискриминантный метод.
1

16-17.
Методы, основанные на ограниченности функций.
2

18-19.
Методы, основанные на монотонности функций.
2

20.
Методы, основанные на симметричности и четности функций.
1

21.
Применение производной при решении уравнений, неравенств и систем.
1

22.
Метод тригонометрической подстановки.
1


Функциональные уравнения и неравенства (2 ч.)


23-24.
Решение задач.
2


Решение задач с параметрами (10 ч.)


25-28.
Свойства функций в задачах с параметрами (область значений, экстремальные свойства функций, монотонность, четность, периодичность, обратимость).

4

29-32.
Графические приемы. Координатная плоскость.
- Параллельный перенос.
- Поворот. Сжатие. Гомотетия.

4

33-34.
Итоговый тест.
2





Методические рекомендации по содержанию и проведению занятий

Функции и их свойства (2 часа)
Основная цель – систематизировать знания учащихся о функциях, их свойств, сформировать умения в нахождении области определения и множества значений функций, в определении четности и нечетности функций, периодичности.
Теоретический материал излагается в виде лекции с привлечением учащихся. Здесь идет повторение свойств функций, рассматриваются примеры нахождения области определения и множества значений сложных функций, определения монотонности, периодичности, четности и нечетности функций. Работают все вместе. Заканчивается тема тестом.

Графики основных функций (5 часов)
Основная цель – обобщить и систематизировать знания учащихся об уже известных им графиков функций, сформировать навыки учащихся в построении графиков функций, содержащие модуль, содержащие целую часть числа, дробную часть числа, графиков уравнений с двумя переменными, неравенств с двумя переменными.
На первом занятии рассматривается теоретический материал, далее идут практические занятия, на которых учащиеся работают в парах, группах и самостоятельно, с последующей проверкой построений.
Заканчивается тема проверочной самостоятельной работой.

Методы построения графиков функций (6 часов)
Основная цель – показать методы построения графиков сложных функций, сформировать умения применять их к построению.
На первом занятии разбираются методы построения графиков функций: путем преобразований, композиций, с помощью свойств функций, с помощью производной. Здесь идет обобщение материала и показывается связь теории с практикой. Далее идут практические занятия. Форма проведения разнообразная: индивидуальная, парная, групповая работы. На них учащимся дается возможность отстаивать свою точку зрения. Итоговое занятие по теме – защита проекта.

Методы решения уравнений, систем уравнений и неравенств (9 часов)
Основная цель – познакомить учащихся с нетрадиционными способами решения уравнений, систем уравнений и неравенств: дискриминантный метод, методы, основанные на ограниченности функции, монотонности, четности и симметричности. Показать решение некоторых уравнений, неравенств и систем с помощью производной. Рассмотреть уравнения, решаемые с помощью тригонометрической подстановки.
Тема дается без изложения теоретического материала путем проведения практических занятий. На них отрабатываются навыки решения уравнений, систем уравнений и неравенств различными методами. Занятия предусматривают творчество учащихся. Работа идет в парах, группах, где учащиеся отстаивают свою точку зрения в применении того или другого способа решения, учатся осознавать связь изученной темы с другими разделами школьного курса математики. Итог темы – выполнения тематического теста.

Функциональные уравнения и неравенства (2часа)
Основная цель – познакомить учащихся с основными способами решения функциональных уравнений и неравенств.
На занятиях разбираются решения нестандартных задач. Предлагаются задачи для самостоятельного решения с последующей защитой.

Задачи с параметрами (10 часов)
Основная цель – познакомить учащихся с решением задач с параметрами с применением свойств функций и графическими приемами.
Материал рассматривается на примерах. Все занятия - это уроки практикумы. Предполагается коллективная, групповая и самостоятельная работы. Учащиеся учатся сознательному, творческому подходу к математическим понятиям и утверждениям.
Итоговый тест подводит итог всему изученному курсу.





















Литература для учащихся

Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа, 10-11. - М.: «Просвещение», 2003
Звавич Л.И. 3600 задач по алгебре и началам анализа для школьников и поступающих в вузы. – М.: «Дрофа», 1999
Куланин Е.Д., Норин В.П. 3000 конкурсных задач по математике. – М.: «Рольф, Айрис-пресс», 2001
Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике. – М.: «Просвещение»,1991
Райхмистр Р.Б. Задачник по математике для учащихся средней школы и поступающих в вузы, - М.: «Московский лицей», 2005

Литература для учителя

Азаров А.И., Барвенов С.А. Функциональный метод решения экзаменационных задач. – Минск: «АВЕРСЭВ», 2004
Азаров А.И., Барвенов С.А. Методы решения задач с параметрами. –
Минск: «АВЕРСЭВ», 2003
Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В. Лекции и задачи по элементарной
математике. – М.: «Наука», 1974
Супрун В.П. Нестандартные методы решения задач. – Минск: «АВЕРСЭВ», 2003

















Заголовок 215