Сборник дидактического материала по математике для студентов 2 курса

Министерство Образования Республики Башкортостан
ГБПОУ Дуванский многопрофильный колледж
Сборник
Дидактического материала
по дисциплине ЕН.01.
«Математика»
Подготовлен преподавателем
Русиной Т.Г.
Дуван
2015г.
Аннотация
к методической разработке дидактического материала по дисциплине «Математика».
Данный методический материал содержит сборник дидактического материала для проведения практический работ, проводимых при изучении дисциплины «Математика», студентов 2 курса, специальности 23.02.03. «Техническое обслуживание и ремонт автомобильного транспорта».
Методическая разработка содержит:
Оглавление;
Пояснительная записка;
Основная часть;
Литература.
Методический материал составлен с учетом государственных образовательных стандартов. Предназначено для преподавателей математики и студентов второго курса СПО.
Оглавление
Пояснительная записка………………………………………… 4
Основная часть…………………………………………………….6
Практическая работа № 1………………………………….6
Практическая работа № 2…………………………………10
Практическая работа № 3………………………………….11
Практическая работа № 4………………………………….15
Практическая работа № 5………………………………….16
Практическая работа № 6………………………………….22
Практическая работа № 7………………………………….27
Практическая работа № 8…………………………………..31
Литература…………………………………………………………34
Пояснительная записка.
Сборник дидактических материалов для проведения практических занятий по дисциплине «Математика» предназначен для студентов 2 курса СПО изучающих математику в объеме 72 часов.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:
- решать обыкновенные дифференциальные уравнения;
В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:
- основные понятия и методы математического анализа, дискретной математики, теории вероятностей и математической статистики;
- основные численные методы решения прикладных задач.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен овладеть:
общими компетенциями, включающими в себя способность:
ОК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 3. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности.
ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.
ОК 7. Брать на себя ответственность за работу членов команды (подчиненных), за результат выполнения заданий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.
ОК 9. Ориентироваться в условиях частой смены технологий в профессиональной деятельности.
профессиональными компетенциями, соответствующими основным видам профессиональной деятельности:
ПК 1.1.-ПК 1.3.  Использование математических знаний при организации технического обслуживания и ремонта автотранспорта.
ПК 2.1.-ПК 2.3.  Использование математических знаний при эффективной организации деятельности коллектива исполнителей.
Тематика практических работ:
Практическая работа №1 Тема: Нахождение производных. Решение прикладных задач.
Практическая работа №2 Тема: Интегрирование функций. Решение прикладных задач.
Практическая работа №3 Тема: Решение дифференциальных уравнений первого порядка.
Практическая работа №4 Тема: Решение дифференциальных уравнений второго порядка.
Практическая работа №5 Тема: Определение вероятности с использованием теорем. Решение прикладных задач.
Практическая работа №6 Тема: Построение закона распределения случайной величины.
Практическая работа №7 Тема: Нахождение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратичного отклонения случайной дискретной величины.
Практическая работа №8 Тема: Численные методы решения прикладных задач.
Практическое занятие № 1
Тема: Нахождение производных. Решение прикладных задач.
Теоретическая часть.
В чём заключается механический смысл производной?
Ответ. Производная функции у = f(х), в точке х0, выражает скорость изменения функции в этой точке.
2. Если функция задана законом прямолинейного движения S = S(t), то S' (t) –?
Ответ. Скорость движения в момент времени t - это производная по перемещению S' (t) = v(t)
Что есть вторая производная от закона движения?
Ответ. Скорость изменения скорости этого движения, т.е. ускорение а(t) = v' (t) = S' ' (t).
С физической точки зрения дифференцирование – определение скорости изменения переменной величины. Производная, таким образом, играет роль скорости изменения зависимой переменной  y  по отношению к изменению независимой переменной х.
Выясняем формулы из физики, где используется производная.
υ(t) = х'(t) – скорость.
a(t) = υ'(t) – ускорение.
I(t) = q'(t) – сила тока.
с(t) = Q'(t) – теплоемкость.
d(l) = m'(l) – линейная плотность.
K(t) = l'(t) – коэффициент линейного расширения.
ω(t) = φ'(t) – угловая скорость.
e(t) = ω'(t) – угловое ускорение.
Чтобы охарактеризовать скорость совершения работы, вводят понятие мощности.
N(t) = A'(t) – мощность.
F(x)= A'(x) – Сила есть производная работы по перемещению.
Е = Ф'(t) – ЭДС индукции F = р'(t) – 2 закон Ньютона.
Примеры применения производной в физике
Задача Решение
Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t2+t+1.
Какова кинетическая энергия тела в конце
3 сек. после начала движения тела?
Какова сила, действующая на тело? Wк = (m·v2)/2
x ' (t) = v (t) = 2t+1,
v (3) = 7,
a(t)= v' (t) = 2,
Wк = (4·72)/2=98
2. F = ma,
a(t) = v' (t) = x' ' (t),
x ' (t) = v (t) = 2t+1,
a(t)= v' (t) = 2,
F = ma = 4·2 = 8 H.
Угол поворота тела вокруг оси изменяется по закону φ(t)=0,1t2-0,5t+0,2.
Найти угловую скорость вращения тела в момент времени t=20с. ω(t) = φ'(t)
φ'(t) = 0,2t-0,5
ω(t) = 0,2t-0,5
ω(20) = 3,5
Для любой точки С стержня АВ длиной 10 см, масса куска стержня АС определяется по формуле m(l)=3l2+5l.
Найти линейную плотность стержня в середине отрезка АВ, в конце отрезка. d(l) = m'(l)
m'(l) = 6l+5
d(l) = 6l+5
d(5) = 6·5+5=35 – в середине отрезка
d(10) = 6·10+5=65 – в конце отрезка
Количество электричества, протекающее через проводник, начиная с момента времени t=0, задаётся формулой q=3t2-3t+4.
Найти силу тока в конце 6-й секунды. I(t) = q'(t)
q'(t) = 6t-3
I(t) = 6t-3
I(6) = 6·6-3=33
Практическая часть.
Решить задачи.
Найти силу F, действующую на материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно по закону s(t) = 2t3-t2, при t=2.
Тело массой 2 кг движется прямолинейно по закону x(t)=t2+t+1. Найти действующую на тело силу F, кинетическую энергию тела через 2с после начала движения.
Маховик, задерживаемый тормозом, за время t поворачивается на угол φ(t)=4t-0,3t2. Найти угловую скорость ω(t) вращения маховика в момент времени 2 с.
Точка движется по закону x(t)=√t.
Найти её скорость в момент времени 4с.
Найти скорость тела, движущегося по закону s(t)=3t+5.
Тело движется прямолинейно по закону s(t)=2t2-t+4. Найти скорость тела в моменты времени t1=0, t2=2, t3=5 с.
Найти скорость движения точки в момент времени t=5с, если закон движения задан формулой s(t)=3t2-2t+5.
Тело движется прямолинейно по закону s(t)=1-2t+t3. Найти скорость и ускорение в момент времени t=3с.
Найти скорость и ускорение движения тела в момент времени t=2с, если закон движения задан формулой s=4t2-3.
Когда скорость точки, движущейся прямолинейно по закону s(t)=t2-4t+5, равна 0?
Сила тока изменяется по закону I=0,4t2 . Найти скорость изменения силы тока в конце 8-й секунды.
Изменение силы тока в зависимости от времени задано уравнением I = 2t2-5t. Найти скорость изменения силы тока в конце 10-й секунды.
Количество теплоты Q, получаемое некоторым веществом при нагревании определяется по формуле Q=10t+0,5t2. Найти теплоёмкость этого вещества при 20 К.
Закон изменения температуры Т тела в зависимости от времени задан уравнением T=0,3t2. С какой скоростью нагревается это тело в момент времени 10 с.
15.Температура тела изменяется по закону T(t)=0,5t2-2t. С какой скоростью нагревается тело в момент времени t=6с.
Точка движется прямолинейно по закону  S(t)= 2t3+t2+4
Найти ее скорость и ускорение в момент времени t=4.
Дана кривая  y= -x2+4. Провести к ней касательную в точке, абсцисса которой х = - 1, составить уравнение касательной? Указать угловой коэффициент.
Найти производные функций:
1) y =3x-2 2) y = 3x3 3) y= x2-x+2x3Найти производные сложных функций.
1) y= sin (7x-1) 6) y = cos (4x+5)
2) y= cos x32 7) y= (4x-1)10
3) y= (6x-5)4  8) y = sin2xcos3x 4) y=sin 5x + tg 3x  9) y= (0,5x7+3)6
5) y= arctg x3 10) y = tg (x5-e3x)
Маховик, задерживаемый тормозом, поворачивается за t=1 с. на угол φ(t)= 2t-0,04t2 (рад).
Найдите: а) угловую скорость вращения маховика в момент t=12 с;
б) в какой момент времени маховик остановится.
Практическая работа № 2
Тема: Вычисление интегралов. Решение прикладных задач.
Вариант 1 Вариант 2
Вычислить интегралы: а) методом подстановки;
б) методом интегрирования по частям.
а) х2 dx1+х3 a) cosx dx2sinx+1
б) xcosxdx б) (1-x)sinxdx
2. Составьте уравнение кривой, проходящей через заданную точку, если угловой коэффициент кривой в каждой точке равен:
к=2х2-4 ; А(-2;8) к=3х2-2х ; М(1;4)

3.Точка движется прямолинейно с ускорение а. Найти скорость точки и уравнение движения, если:
а=12t2+6t; t0=1 a=6t2+2t; t0=3
v0=8 м\с ; s0= 6м. v0=40 м\с; s0= 15м.
4. Найти площадь фигуры, ограниченную линиями:
y=-х2+х+6 и y=0 y= -x2+2x+3 и y=0
5. Задана скорость движения точки. Найти путь, пройденный точкой.
За 5 с от начала движения. За 2-ю секунду.
v= 6t2+4 v= 2t2+8t

Практическое занятие № 3
Тема: Решение дифференциальных уравнений
Цель занятия: научиться решать дифференциального уравнения 1-го порядка.
Теоретическая часть.
Дифференциальное уравнение первого порядка, содержит: 1) независимую переменную x;2) зависимую переменную  y (функцию);3) первую производную функции y ‘ .
Что значит решить дифференциальное уравнение? Решить дифференциальное уравнение – это значит, найти множество функций , которые удовлетворяют данному уравнению. Такое множество функций называется общим решением дифференциального уравнения.
358711585725Пример 1 Решить дифференциальное уравнение  
1634490193675В первую очередь нужно переписать производную немного в другом виде. Вспоминаем обозначение производной: 
4501515129540Итак, на первом этапе переписываем производную в нужном нам виде:
На втором этапе всегда смотрим, нельзя ли разделить переменные? Что значит разделить переменные? Грубо говоря, в левой части нам нужно оставить только «игреки», а в правой части организовать только «иксы». Разделение переменных выполняется с помощью «школьных» манипуляций: вынесение за скобки, перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, перенос множителей из части в часть по правилу пропорции и т.п.
Дифференциалы   dy и  dx – это полноправные множители. 
2129790393065В рассматриваемом примере переменные легко разделяются перекидыванием множителей по правилу пропорции:Переменные разделены.
В левой части – только «игреки», в правой части – только «иксы».
1405890292100Следующий этап – интегрирование дифференциального уравнения. Всё просто, навешиваем интегралы на обе части:
470154058420Разумеется, интегралы нужно взять. В данном случае они табличные:
К любой первообразной приписывается константа. Здесь два интеграла, но константу   достаточно записать один раз. Почти всегда её приписывают в правой части.
4911090553720Строго говоря, после того, как взяты интегралы, дифференциальное уравнение считается решенным. Единственное, у нас «игрек» не выражен через «икс», то есть решение представлено в неявном виде.  Решение дифференциального уравнения в неявном виде называется общим интегралом дифференциального уравнения. То есть,  – это общий интеграл.
Пример 2
Найти частное решение дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальному условию 
По условию требуется найти частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию. Такая постановка вопроса также называется задачей Коши.
Сначала находим общее решение. Переписываем производную в нужном виде:
Очевидно, что переменные можно разделить:
Интегрируем уравнение:
Общий интеграл получен. Теперь пробуем общий интеграл преобразовать в общее решение (выразить «игрек» в явном виде). Вспоминаем определение логарифма : . В данном случае:
Используя свойство степеней, перепишем функцию следующим образом:
Если  – это константа, то  – тоже некоторая константа, которую обозначим через букву :Итак, общее решение: .
На завершающем этапе нужно найти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию .
Необходимо подобрать такое значение константы , чтобы выполнялось заданное начальное условие .
В общее решение вместо «икса» подставляем ноль, а вместо «игрека» двойку:320040769620То есть, 
Итак,
-384810328295459676590170В общее решение  подставляем найденное значение константы: 
– это и есть нужное нам частное решение.
Практическая часть.
Найти общие решения дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.
1. y'=6x3  2.  y'= y2cosx3. xdx+2ydy=0  4. yy'+ x=0. 
Найти частные решения дифференциальных уравнений.
1. (1+х3)dy=3x2ydx,   если у=2 при х=0.
2.  (1+y2)dx=xydy, если у=1 при х=2.
3.  y'=(2y+1)ctgx , если у=0,5 при x=π2 .
III. Найти общее решение линейных дифференциальных уравнений
1. y'- 4yx=x  2.  y'+ 2yx= x2
3. xy'- y = x2cosx  4.  dydx - 2y – 3 = 0
VI. Найти частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям:
1. y'-2y+3e2x = 0, если у=1 при х=0
2. xy'-y = x3, если у=0,5 при х=1
3. y'sinx- ycosx =1, при x= π2 ,  у=0
Практическое занятие № 4
Тема: Решение дифференциальных уравнений второго порядка.
Цель: Научиться решать дифференциальные уравнения второго порядка, находить частные решения.
Найти частные решения дифференциальных уравнений второго порядка.
1) d2ydx2 = - 1x dydx ; y=2 , dydx =1, x=1
2) d2ydx2 = 6x-4 ; y=5, dydx = 6, x = 2
3) d2sdt2 = 6t +8 ; s=12, dsdt = -5, t = - 2.
Найти частные решения дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
1) d2ydx2 +2dydx -8y = 0; y=4, dydx = -4, x=0
2) d2ydx2 +dydx -6y = 0; y=5, dydx =0, x=0
3) d2ydx2 - 4dydx +13 = 0; y=2, dydx =1, x=0
4) d2ydx2 - dydx -2y = 0; y=3, dydx =0, x=0
5) d2ydx2 -6dydx +13 = 0; y=3, dydx =11, x=0
Практическая работа № 5
Тема: Определение вероятности, решение прикладных задач.
Цель: научится решать задачи по комбинаторике и теории вероятности.
Теоретическая часть.
Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил – правила суммы и правила произведения.
Выбор правила Выбор правила
Правило суммы Правило произведения
Если некоторый объект А можно выбрать m способами, а другой объект В можно выбрать n способами, то выбор объекта либо А, либо В можно осуществить m + n способами. Если объект А можно выбрать m способами и если после каждого такого выбора объект В можно выбрать n способами, то выбор пары А и В можно осуществить m · n способами.
Задача 1.
В магазине «Все для чая» есть 6 разных чашек и 4 разных блюдца. Сколько вариантов чашки и блюдца можно купить?
Решение.
Чашку мы можем выбрать 6-ю способами, а блюдце 4-я способами. Так как нам надо купить пару чашку и блюдце, то это можно сделать 6 · 4 = 24 способами (по правилу произведения).
Ответ: 24.
Задача 2.
Найдите количество трехзначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, если цифры в числе повторяться не могут.
Решение.
Для выбора формулы выясняем, что для чисел, которые мы будем составлять, порядок учитывается и не все элементы одновременно выбираются. Значит, это соединение – размещение из 7 элементов по 3. Воспользуемся формулой для числа размещений: A73 = 7(7 – 1)(7 – 2) = 7 · 6 · 5 = 210 чисел.
Ответ: 210.
Задача 3.
Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все цифры разные, а номер не может начинаться с нуля?
Решение.
На первый взгляд эта задача такая же, как и предыдущая, но сложность в том, что надо не учитывать те соединения, которые начинаются с нуля. Значит необходимо из существующих 10-ти цифр составить все семизначные номера телефонов, а потом от полученного числа отнять количество номеров, начинающихся с нуля. Формула будет иметь вид:
A107 – A96 = 10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 – 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 544 320.
Ответ: 544 320.
Задача 4.
Сколькими способами можно расставить на полке 12 книг, из которых 5 книг – это сборники стихотворений, так, чтобы сборники стояли рядом?
Решение.
Сначала примем 5 сборников условно за одну книгу, потому что они должны стоять рядом. Так как в соединении существенным есть порядок, и все элементы используются, значит  это перестановки из 8 элементов (7 книг + условная 1 книга). Их количество Р8. Далее будем переставлять между собой только сборники стихотворений. Это можно сделать Р5 способами. Поскольку нам нужно расставить и сборники, и другие книги, то воспользуемся правилом произведения. Следовательно, Р8 · Р5 = 8! · 5!. Число способов будет большим, поэтому ответ можно оставить в виде произведения факториалов.
Ответ: 8! · 5!
Задача 5. 
В классе 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории возле школы нужно 4 мальчика и 3 девочки. Сколькими способами можно их выбрать со всех учеников класса?
Решение.
Сначала отдельно выберем 4 мальчика из 16 и 3 девочки из 12. Так как порядок размещения не учитывается, то соответственные соединения – сочетания без повторений. Учитывая необходимость одновременного выбора и мальчиков, и девочек, используем правило произведения. В результате число способов будет вычисляться таким образом:
С164 · С123 = (16!/(4! · 12!)) · (12!/(3! · 9!)) = ((13 · 14 · 15 · 16) / (2 · 3 · 4)) ·((10 · 11 · 12) / (2 · 3)) = 400 400.
Ответ: 400 400.
Таким образом, успешное решение комбинаторной задачи зависит от правильного анализа ее условия, определения типа соединений, которые будут составляться, и выбора подходящей формулы для вычисления их количества.
Вероятность.
В классической схеме вероятность любого события определяется как отношение числа m благоприятных для события A элементарных исходов к общему числу элементарных исходов n.

Пример 1:
Некто, перетасовывая колоду из 36 карт, извлекает оттуда случайным образом одну карту. Какова вероятность того, что это будет туз?
Решение:Тузов всего 4. Это количество благоприятных исходов. Всего карт 36 - это количество всех исходов испытания. Искомая вероятность равна 4/36 = 1/9
Пример 2:
В конверте среди 25 карточек находится разыскиваемая карточка. Из конверта наудачу извлечено 6 карточек. Какова вероятность, что среди них окажется нужная карточка?
Решение:Извлечь 6 карточек из 25 можно C625 способами. Это количество всех исходов. Подсчитаем количество благоприятных исходов. Если нужная карточка уже есть в наборе, то остальные пять карточек из 24 можно выбрать C524 способами.

Вычисление вероятностей независимых событий 
Пример 1: Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих автомата – сигнализатора. Вероятность того, что при аварии сработает первый сигнализатор, равна  p1 = 0,95, второй – p2 = 0,9. Найти вероятность события А – при аварии поступит сигнал хотя бы от одного сигнализатора.
Решение: Событие  А  может осуществиться, если произойдет одно из следующих событий: сработает первый сигнализатор и одновременно не сработает второй – А12; сработает второй сигнализатор и одновременно не сработает первый – 1А2; одновременно сработают оба сигнализатора –А1А2, т.е.  А = А12 + 1А2 + А1А2. Вероятности противоположных событий  1  и  2  соответственно равны  q1 = 1 – p1 = 0,05  и  q2 = 1 – p2 = 0,1. События, составляющие  А,  несовместны (не могут произойти одновременно), поэтому вероятность события  А  равна
Р(А) = Р(А12) + Р(1А2) + Р(А1А2) = p1·q2 + q1·p2 + p1· p2 = 0,995.
2–й способ: Событие    противоположное  А  произойдет, если одновременно не сработают оба сигнализатора – 12. Тогда вероятность события  А  равна        
Р(А) = 1 – Р(12)  = 1 – q1·q2 = 1 – 0,005 = 0,995
Формула полной вероятности 
Пример 1: За различными материалами послана автомашина наудачу на одну из трех баз. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0,9, на второй - 0,8, на третьей - 0,6. Найти вероятность того, что автомашина не привезет нужного материала.
Решение: Для получения нужного материала необходимо выбрать одну из баз. События  Н1, Н2, Н3 - взятие материала с определенных баз составляют полную группу событий, примем эти события за гипотезы,   их вероятности равны  Р(Н1) = Р(Н2) = Р(Н3) = 1/3, т.к. гипотезы равновозможные. Условные вероятности события  А – (нет нужного материала) соответственно равны  Р(АïН1) = 1 – 0,9 = 0,1,  Р(АïН2) = 0,2,  Р(АïН3) = 0,4. Тогда по формуле полной вероятности получим
Р(А) = Р(АïН1)·Р(Н1) + Р(АïН2)·Р(Н2) + Р(АïН3)·Р(Н3) = 0,175.
Практическая часть.
1. Найти числовые значения выражений:
а) 45!43! б)15!7!∙9! в) 6!-4!3! г) А8-А845А83Решить уравнение:
а) Ах5 = 18Ах-24 б) Ах-12- Сх1 = 79
3. Из 20 рабочих нужно выделить 6 человек для работы на участке. Сколькими способами это можно сделать?
4. 12 рабочих разбиты на 3 бригады по 4 человека в каждой. Сколько может быть различных способов бригад?
5. В урне 12 шаров. Среди этих шаров 3 белых и 9 черных. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар окажется белым?
6 Талоны, свернутые в трубочку, пронумерованы всеми двузначными
числами. Наудачу берут один талон. Какова вероятность того, что номер взятого талона состоит из одинаковых цифр?
7.Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 4, либо 5, либо тому и другому одновременно.
8. Найдите вероятность того, что наудачу взятое двузначное число окажется кратным либо 3, либо 5, либо тому и другому одновременно.
9. Радиолампа, вставленная в телевизор, может принадлежать к одной из партий с вероятностями: 0,3: 0,2; 0,5. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, для этих партий равны соответственно: 0,9; 0,8; 0,6. Найти вероятность того, что лампа проработает заданное число часов,  если она выбрана наудачу.
10. Студенту нужна книга, которая может находиться в одной из 4–х библиотек с вероятностями 0,8; 0,7; 0.9; 0,75. Студент пошел в наудачу выбранную библиотеку. Какова вероятность того, что он получит книгу?
Тест
Элементы комбинаторики и теории вероятностей
№ вопроса I вариант
II вариант
1 Сколькими способами могут разместиться 8 человек в салоне автобуса на восьми свободных местах?
4 2) 1600 3) 24 4) 40320 Сколькими способами могут раз-меститься 7 человек в очереди за билетами в театр?
23 2) 4200 3) 64 4) 5040
2 В шахматном турнире участвуют 6 человек. Каждый из них сыграл с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
5 2) 10 3) 15 4) 12 В шашечном турнире участвуют 10 человек. Каждый из них сыг-рал с каждым по одной партии. Сколько всего партий было сыграно?
12 2) 45 3) 46 4) 52
3 Выберите число, на которое не делится число 20!
76 2) 45 3) 46 4) 910 Выберите число, на которое не делится число 30!
1)108 2) 91 3) 72 4) 62
4 Сколько существует вариантов выбора двух чисел из восьми?
28 2) 32 3) 42 4) 50 Сколько существует вариантов выбора двух чисел из шести?
10 2) 15 3) 32 4) 12
5 В классе 12 девочек и 7 мальчи-ков. Чтобы сделать уборку в классе нужно 3 мальчика и 2 девочки. Сколькими способами это можно сделать?
190 2) 32 3) 2310 4) 126 В классе 12 мальчиков и 10 девочек. Чтобы посадить цветы нужно 2 мальчика и 2 девочки. Сколькими способами это можно сделать?
2970 2) 12 3) 45 4)670
6 В партии из 4000 семян гороха 50 семян не взошли. Какова ве-роятность появления невсхожих семян?
0,05 2) 0,0125 3) 0,5 4) 0,1 В партии из 500 деталей отдел технического контроля обнару-жил 10 нестандартных деталей. Какова вероятность появления нестандартных деталей?
0,2 2) 0,5 3) 0,02 4) 0,06
7 Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3,4, 5, 6 без повторения цифр?
420 2) 120 3) 240 4) 180 Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3,4, 5 без повторения цифр?
26 2) 46 3) 34 4) 60
Ответы
Вариант 1 2 3 4 5 6 7
I 4 3 3 1 3 2 2
II 4 2 4 2 1 3 4

Практическая работа № 6
Тема: Закон распределения случайной величины.
Теоретическая часть.
Вероятность того, что в серии из n независимых испытаний событие А наступит ровно k раз (безразлично в какой последовательности) находят по формуле Бернулли, если n является достаточно небольшим значением:
Pn(k) = Сnk pk qn-k,
где Сnk = n! / k!(n-k)! – число сочетаний из n по k, р – вероятность события А, q – вероятность противоположного события Ā.
В различных задачах приходится находить следующие вероятности:
вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит менее m раз: Рn(k<m) = Рn(0)+ Рn(1)+…+Рn(m-1);
вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит более m раз: Рn(k>m) = Рn(m+1)+ Рn(m+2)+…+ Рn(n);
вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит не более m раз: Рn(k≤m) = Рn(0)+ Рn(1)+…+Рn(m);
вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит не менее m раз: Рn(k≥m) = Рn(m)+ Рn(m+1)+…+ Рn(n);
вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит не менее k1 и не более k2 раз: Рn(k1≤k≤k2) = Рn(k1)+…+Рn(k2).
Задача 1.
Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при десятикратном подбрасывании монеты герб выпадет 3 раза?
Решение. Число испытаний n=10 невелико, поэтому вероятность можно вычислить непосредственно по формуле Бернулли:
P10(3) = С103 p3 q10-3, где С103 = 10! / 3!(10-3)! = 120, р=1/2, q=1-р=1/2.P10(3) = 120*(1/2)3*(1/2)7=120*1/210=120/1024=15/128≈0,117
Задача 2.
В семье пять детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: а) ровно две девочки; б) не более двух девочек; в) более двух девочек; г) не менее двух и не более трех девочек. Вероятность рождения девочки принять равной 0,48.
Решение. Число испытаний n=5 невелико, поэтому вероятность можно вычислить непосредственно по формуле Бернулли:
а) P5(2) = С52 p2 q5-2, где С52 = 5! / 2!(5-2)!=10, р=0,48, q=1-р=0,52.
P5(2) = 10*(0,48)2*(0,52)3 ≈ 0,32.
б) вероятность того, что среди пяти детей не более двух девочек, равна Р5(k≤2) = Р5(0)+Р5(1)+Р5(2). P5(0) = С50 p0 q5-0 = q5 =0,525 ≈ 0,038
P5(1) = С51 p1 q5-1 = 5рq4 =5*0,48*0,524 ≈ 0,175
P5(2) ≈ 0,32 (смотри п. а)
Тогда Р5(k≤2) = Р5(0)+Р5(1)+Р5(2) ≈ 0,038+0,175+0,32 = 0,533.
в) событие А = {среди пяти детей более двух девочек} противоположно событию А̄ = {среди пяти детей не более двух девочек}, поэтому его вероятность равна Р5(3≤k≤5)=1- Р5(k≤2)=1-0,533=0,467.
г) вероятность того, что среди пяти детей не менее двух, но не более трех девочек, равна Р5(2≤k≤3)= Р5(2)+Р5(3),  Р5(2) ≈ 0,32 (смотри п. а),
P5(3) = С53 p3 q5-3 = 10*0,483*0,522 ≈0,299
Тогда Р5(2≤k≤3)= Р5(2)+Р5(3) ≈ 0,32+0,299 = 0,619.
Как известно, случайной величиной называется переменная величина, которая может принимать те или иные значения в зависимости от случая. Случайные величины обозначают заглавными буквами латинского алфавита (X, Y, Z), а их значения – соответствующими строчными буквами (x, y, z). Случайные величины делятся на прерывные (дискретные) и непрерывные.
Дискретной случайной величиной называется случайная величина, принимающая лишь конечное или бесконечное (счетное) множество значений с определенными ненулевыми вероятностями.
Функция, связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины.
Закон распределения может быть задан одним из следующих способов.
1. Закон распределения может быть задан таблицей:
Значения xi x1 x2 x3 ... xn
Вероятности pi p1 p2 p3 ... pn
События X = xi (i = 1, 2, 3,…,n) являются несовместными и единственно возможными, т.е. они образуют полную систему событий. Поэтому сумма их вероятностей равна единице: р1+р2+р3+…+рn = ∑pi =1
Закон распределения может быть задан аналитически (формулой) P(X = xi) = ϕ(xi).
а) с помощью биномиального распределения: Pn(X=k) = Сnk pk qn-k,
0<р<1, k = 0, 1, 2, …, n;
б) с помощью распределения Пуассона:

где λ>0, k = 0, 1, 2, … .
в) с помощью функции распределения F(x), определяющей для каждого значения x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x, т.е. F(x) = P(X < x).

- свойства функции F(x)
3. Закон распределения может быть задан графически – многоугольником (полигоном) распределения
Задача. Выпущено 1000 лотерейных билетов: на 5 из них выпадает выигрыш в сумме 500 рублей, на 10 – выигрыш в 100 рублей, на 20 – выигрыш в 50 рублей, на 50 – выигрыш в 10 рублей. Определить закон распределения вероятностей случайной величины X – выигрыша на один билет.
Решение. По условию задачи возможны следующие значения случайной величины X: 0, 10, 50, 100 и 500.
Число билетов без выигрыша равно 1000 – (5+10+20+50) = 915,
тогда P(X=0) = 915/1000 = 0,915.
Аналогично находим все другие вероятности: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02,
P(X=100) = 10/1000=0,01,
P(X=500) = 5/1000=0,005
Полученный закон представим в виде таблицы:
Значения xi 0 10 50 100 500
Вероятности pi 0,915 0,05 0,02 0,01 0,005
Практическая часть.
Самолет имеет 4 двигателя. Вероятность нормальной работы каждого двигателя равна 0,95. Найти вероятность того, что в полете могут возникнуть неполадки в одном из двигателей.
Составить таблицу распределения вероятности случайного числа очков, выпавшего на верхней грани игрального кубика при одном подбрасывании
Пусть вероятность «успеха» в одном испытании Бернулли равна 0,7. Вычислите вероятность того, что при 3 независимых повторениях испытания будет ровно 2 «успеха».
Вероятность того, что стрелок поразит мишень при одном выстреле, равна 0,4. Стрелок независимо производит 5 выстрелов. Заполните таблицу распределения вероятностей того, что из 5 выстрелов будет ровно k попаданий.
Число попаданий k Р5(k )=С5k·0,4k·0,65-k Имеется 3 мотора, работающих независимо друг от друга. Для каждого мотора вероятность того, что он включен, в данный момент равна 0,2. Найти вероятность того, что в данный момент включен хотя бы один мотор.
В коробке находится 7 карандашей, из которых 4 – красные. Наудачу извлекают 3 карандаша. Какой закон распределения имеет случайная величина, означающая число извлеченных красных карандашей?
Пусть вероятность «успеха» в одном испытании Бернулли равна 0,7. Вычислите вероятность того, что при 5 независимых повторениях испытания будет ровно 3 «успеха».
Вероятность того, что стрелок поразит мишень при одном выстреле, равна 0,4. Стрелок независимо производит 5 выстрелов. Заполните таблицу распределения вероятностей того, что из 5 выстрелов будет ровно k попадания.
Число попаданий k Р5(k )=С5k·0,4k·0,65-k Практическое занятие № 7
Тема: Нахождение математического ожидания, дисперсии и среднего квадратного отклонения случайной величины.
Теоретическая часть.
Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений ее возможных значений на соответствующие им вероятности:
М(Х) = х1р1 + х2р2 + … + хпрп .
Пример. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, зная закон ее распределения: 
Х 5 4 3
p 0,2 0,5 0,3
Решение: По формуле находим математическое ожидание:
M (X) = 5*0,2 + 4*0,5 + 3*0,3 = 3,3.
Дисперсией (рассеянием) дискретной случайной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
D (X) = M [X - M (X)]2.
Пример. Найти дисперсию случайной величины X, которая задана следующим законом распределения: 
Х 1 2 5
p 0,3 0,5 0,2
Решение: По формуле находим математическое ожидание:
M (X) = 1*0,3 + 2*0,5 + 5*0,2 = 2,3.
Записываем все возможные значения квадрата отклонения:
[X1 - M (X)]2 = (1 - 2,3)2 = 1,69;
[X2 - M (X)]2 = (2 - 2,3)2 = 0,09;
[X3 - M (X)]2 = (5 - 2,3)2 = 7,29.
Тогда закон распределения квадрата отклонения имеет следующий вид: 
[X - M (X)]2 1,69 0,09 7,29
p 0,3 0,5 0,2
По формуле находим дисперсию:
D (X) = 1,69*0,3 + 0,09*0,5 + 7,29*0,2 = 2,01.
Практическая часть.
Задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы указаны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности p этих возможных значений).
Найти: 1.математическое ожидание,
2.дисперсию,
3.среднеквадратичное отклонение
1.1
x 23 25 28 29
p 0,3 0,2 0,4 0,1
1.2
x 17 21 25 27
p 0,2 0,4 0,3 0,1
1.3
x 24 26 28 30
p 0,2 0,2 0,5 0,1
1.4
x 12 16 19 21
p 0,1 0,5 0,3 0,1
1.5
x 25 27 30 32
p 0,2 0,4 0,3 0,1
1.6
x 30 32 35 40
p 01 0,5 0,2 0,2
1.7
x 12 14 16 20
p 0,1 0,2 0,5 0,2
1.8
x 21 25 28 31
p 0,1 0,4 0,2 0,3
1.9
x 18 22 23 26
p 0,2 0,3 0,4 0,1
1.10
x 25 28 30 33
p 0,1 0,2 0,4 0,3
11. Игральную кость подбрасывали 12 раз. Найти M(x) и Д(x) числа не выпадения единицы.
Составить закон распределения числа попаданий в цель при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,5; вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
13.Монету подбрасывают 7 раз. Найти M(x) и Д(x) числа не появления герба.
14.Составить закон распределения числа попаданий в цель при 5 выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,6; вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
15. Рассчитать средний возраст студентов в группе из 20 человек:  
№ п\п Возраст
(лет) № п\п Возраст
(лет) № п\п Возраст
(лет) № п\п Возраст
(лет)
1
2
3
4
5 18
18
19
20
19 6
7
8
9
10 20
19
19
19
20 11
12
13
14
15 22
19
19
20
20 16
17
18
19
20 21
19
19
19
19
Практическое занятие № 8
Тема: Численные методы интегрального и дифференциального исчисления.
Теоретическая часть.

Значения у0, у1,..., уn находят из равенств , к = 0, 1..., n .Эти формулы называются формулами прямоугольников и дают приближённый результат. С увеличением n результат становится более точным.
Итак, чтобы найти приближённое значение интеграла нужно:
разделить отрезок интегрирования [a, b] на n равных частей точками х0= а, х1, х2,..., х n -1, х n = b ;
вычислить значения подынтегральной функции  в точках деления, т.е. найти у 0 = f (x0), у 1 = f (x1), у 2 = f (x2), у n -1 = f (xn-1), у n = f (xn) ;
воспользоваться одной из приближённых формул.
Для того, чтобы найти погрешность вычислений, надо воспользоваться формулами:

Алгоритм применения метода прямоугольников для нахождения приближённого значения интеграла Пример применения метода прямоугольников.

Разобьём отрезок [a,b] на n равных частей. Пусть n=6.
Найдем
2.
Найдем точки деления:
х k = a + k   х
k=0,1,…,n 3.



Найдем значение функции в точках деления:
у 0 = f(x0), у 1 = f(x1), у 2 = f(x2),
 у n -1 = f (xn-1), у n = f (xn); 4.






Подставим полученные значения в формулу:

5.

Вычислим точное значение интеграла.
6.
Вычислим погрешность:



Практическая часть.
Вычислить дифференциал функции y=ln cos2 x при x= П4 и dx= 0,01.
Вычислите относительное погрешность функции V=( 43)πR3 при R=300 и dR=0,3.
Найдите приближенное значение функции f(x)=x3-x2+x-3 при x=3,03.
Вычислить приближенное значение величины 10,998.
Вычислить по формуле прямоугольника приближенное значение интеграла 01dx1+x2 при n = 10.
Вычислите дифференциал функции y=ln tg 2x при x=П8 и dx=0,03.
Вычислите относительную погрешность функции y=x3 при x=750 и dx=0,5.
Вычислить приближенное значение величины (1,02)7.
Найдите приближенное значение функции f(x)=3x3-x2+5x-1
при х = 3,02.
Вычислить по формуле прямоугольника приближенное значение интеграла 196х-5 dx при n = 8.
Литература
Богомолов, Н.В. Сборник дидактических заданий по математике: учеб. Пособие для ссузов / Богомолов, Л.Ю. Сергиенко.- 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2010. – 236, [4]с.: ил.
Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: Учеб. Пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1991. – 480 с.: ил.
Tutoronline.ru Твой online репетитор. Методы решения комбинаторных задач http://www.tutoronline.ru/blog/feb_2012/metody-reshenija-kombinatornyh-zadach.aspxМатБюро. Примеры решений задач Теория вероятности. http://www.matburo.ru/ex_tv.php?p2=klass4Методы и средства обработки экспериментальной информации. Случайные величины. Закон распределения дискретных случайных величин. Числовые характеристики дискретных случайных величин. http://flash-library.narod.ru/IT-MathSredstva/Lab-rab/L1.htmlВысшая математика для заочников и не только. - http://www.mathprofi.ru/index.html