Научная работа по математике Первообразная и её свойства. Неопределённый интеграл, его свойства.

2
Первообразная и её свойства. Неопределённый интеграл, его свойства. Основные правила интегрирования.3
Замена переменной в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям. Циклический интеграл.5
Интегрирование рациональных дробей..7
Интегрирование тригонометрических функций11
Интегрирование иррациональностей.12
Приближённое вычисление определённого интеграла14
Определённый интеграл. Свойства определённого интеграла...16
Вычисление площадей плоской области18
Длина дуги кривой21
Несобственные интегралы.24
Заключение..27
Тест28
Ключ к тесту.67
Список используемой литературы71

Введение
Интегральное исчисление является важнейшим разделом математического анализа, его методы – одни из основных инструментов решения прикладных задач в математике, физике, экономике и других научных областей. Интегрирование – это настоящее искусство, ему можно научиться лишь глубоко изучив теорию и решив достаточное количество упражнений. Как раз освоение простейших приёмов, используемых в интегрировании, можно проверить с помощью решения тестовых заданий.
В курсовой работе по каждому из основных разделов интегрального исчисления приведены краткие теоретические сведения, позволяющие ответить на базовые теоретические вопросы и получить решения несложных практических задач. Пункты 1-10 содержат основные формулы, используемые при интегрировании неопределённых, определённых и несобственных интегралов, а также при вычислении некоторых геометрических величин.
Тест, включённый в текст курсовой работы, состоит из ста заданий, распределённых по темам и снабжённых решениями и четырьмя вариантами ответов. После тестовых заданий даётся ключ к тесту.

Первообразная и её свойства. Неопределённый интеграл, его свойства. Основные правила интегрирования.

Эти понятия связаны с задачей отыскания функции по известной её производной.
Определение. Функция F(x) на данном промежутке X называется первообразной для функции f(x) (или интегралом для f(x))), если для всех x промежутка X функция f(x) является производной функции F(x), то есть 13 QUOTE 1415
Теорема. Если на промежутке X функция F(x) является первообразной для f(x), то и функция F(x)+С, где С=const, также будет первообразной для f(x).
Действительно, пусть F(x) – первообразная для f(x) и С=const. Составим функцию Ф(x)=f(x)+C. Её производная Ф’(x)=(F(x)+C)’=F’(x)+0=f(x), то есть, по определению, функция Ф(х)=F(x)+C является первообразной.
Операция отыскания первообразной называется интегрированием и обозначается 13 QUOTE 1415 (1)
где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, dx – дифференциал аргумента (указывающий, по какой переменной производится интегрирование).
Свойства неопределённого интеграла и простейшие правила интегрирования
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
(13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
Последние три свойства относятся к правилам интегрирования.
Первые три свойства устанавливают связь операций дифференцирования и интегрирования как взаимообратных и взаимопроверяемых.
Таблица интегралов
1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Метод замены переменной (или подстановки)
Теорема. Если 1. функция x=
·(t) монотонна дифференцируема на (
·,
·),
2. функция f(x) непрерывна на [а, б], то
13 QUOTE 1415 (1)
Доказательство. Продифференцируем (1) по x, используя: свойство 3 неопределённого интеграла и известные формулы дифференцирования сложной и обратной функции: 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 QUOTE 1415
Тогда производная левой части формулы (1):
13 QUOTE 1415
Производная правой части:
13 QUOTE 1415(t))13 QUOTE 1415.

Интегрирование по частям
Пусть u(x), v(x) – функции, имеющие непрерывные производные.
Тогда 13 QUOTE 1415 Используя свойства 2 и 5 неопределённого интеграла, интегрируем последнее равенство:
13 QUOTE 1415 (2)
(2) – формула интегрирования по частям.
Замечание 1. Разбивая подынтегральное выражение на множители u, dv необходимо придерживаться двух правил:
Интегрирование дифференциала не должно представлять трудностей;
Применение формулы должно привести к упрощению подынтегральной функции (приблизить её к табличному виду)
Замечание 2. Если аргументы функции и дифференциала не совпадают, то лучше предварительно упростить подынтегральное выражение.
Замечание 3. Для интегралов вида:
13 QUOTE 1415
(в частности, степенная функция xn ), f(x)=eax, sin ax, cos ax, ln x, arctg x, arcsin x, , применяют интегрирование по частям, причем в большинстве случаев легко интегрируемые выражения: sin x dx, cos x dx, ex dx обозначают dv, а множитель при них P(x)=u; и наоборот, если f(x)=ln x, arcsin x, arctg x, то эту функцию обозначают u(x), а оставшуюся часть подынтегрального выражения – dv.
Замечание 4. А) Интегралы 13 QUOTE 1415называются циклическими, так как в процессе применения (2) подынтегральная функция принимает первоначальный вид.
Применим к первому из них формулу (2).
Обозначим:

,
, 13 QUOTE 1415

,

= 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415.13 QUOTE 1415 (3)
б) По такому же принципу можно найти интеграл типа 13 QUOTE 1415, где k целое число, k > 1 .

13 QUOTE 1415,

Последний интеграл преобразуем в сумму интегралов:

В итоге имеем:

.Получаем формулу, понижающую порядок k:
13 QUOTE 1415 (4)
Формула (4) является так называемой рекуррентной формулой, в которой последующий интеграл вычисляется через предыдущий.

Интегрирование рациональных дробей
Определение.
Дробь 13 QUOTE 1415 называется рациональной, если 13 QUOTE 1415многочлены целой степени.

Причём если m Теорема 1. Уравнение 13 QUOTE 1415 имеет ровно n корней, действительных или комплексных (включая их кратность), причём каждый комплексный корень (a+bi) имеет сопряжённый (a-bi).
Теорема 2. Каждый целый многочлен с вещественными коэффициентами разлагается, и притом единственным образом, на вещественные множители

где 13 QUOTE 1415кратность действительных корней 13 QUOTE 1415,
13 QUOTE 1415 кратность комплексных корней,

Паре сопряжённых комплексных корней 13 QUOTE 1415 соответствует квадратный трёхчлен 13 QUOTE 1415
Теорема 3. Каждая правильная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простых дробей вида

Проинтегрируем каждую из простых дробей:

Последние два интеграла предварительно преобразуем: в знаменателе выделим полный квадрат:

(по условию знаменатель не имеет действительных корней - 13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415).
Положим: 13 QUOTE 1415

Итак, правильная рациональная дробь может быть представлена в виде:

13 QUOTE 1415 (1)
Линейному множителю в знаменателе соответствует одночлен в числителе, квадратному множителю в знаменателе – двучлен в числителе.
Числа 13 QUOTE 1415находим методом неопределённых коэффициентов. В правой части равенства все дроби приводим к общему знаменателю – это Q(x). Остаётся приравнять числители левой и правой частей, но так как это многочлены, то надо приравнять коэффициенты при одинаковых степенях. Получим систему линейных уравнений, которая всегда совместна и определена.
Правила интегрирования рациональных дробей
Установить: дробь рациональная, правильная или неправильная. Если неправильная – выделить целую часть.
Найти корни знаменателя и записать его в виде произведения множителей (по теореме 2).
Правильную дробь разложить на сумму простых дробей:
Вид знаменателя: , число простых дробей p, вид дробей:

Вид знаменателя: , число простых дробей l, вид дробей:

Найти коэффициенты.
Проинтегрировать.

Интегрирование тригонометрических функций
R(sin x, cos x)
Универсальная подстановка 13 QUOTE 1415 сводит рациональную функцию R(sin x, cos x) к рациональной дроби, интегрирование которой рассмотрено в предыдущем пункте.
Выведем формулы для замены sin x, cos x:

Заменяем числитель и знаменатель на 13 QUOTE 1415

Из подстановки явно выделим x:

Интегрирование иррациональностей

13 QUOTE 1415 где R – рациональная функция своих аргументов,
13 QUOTE 1415 целые числа.
Подстановка 13 QUOTE 1415 - общий знаменатель всех дробей 13 QUOTE 1415 рационализирует подынтегральную функцию.

Пусть q – общий знаменатель всех дробей 13 QUOTE 1415 тогда подстановка 13 QUOTE 1415 рационализирует подынтегральную функцию.
13 QUOTE 1415 рациональные числа.
Подынтегральное выражение носит название дифференциального бинома и интегрируется в конечном видом только в трёх случаях – если целым оказывается одно из чисел: p, 13 QUOTE 1415
Эти случаи интегрируемости были известны ещё Ньютону, но только в середине 19 века Чебышев установил замечательный факт, что других случаев интегрируемости в конечном виде для биномиальных дифференциалов не существует.
Замечание. В некоторых частных видах иррациональных функций, содержащих квадратные корни из суммы или разности квадратов, удобно использовать тригонометрические функции:

Приближенное вычисление определённого интеграла
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Разделим отрезок 13 QUOTE 1415 точками 13 QUOTE 1415 на nравных частей. Длина каждого отрезка 13 QUOTE 1415 Построим прямоугольники с основаниями 13 QUOTE 1415 и высотой 13 QUOTE 1415

Тогда площадь криволинейной трапеции приближённо будет равна сумме площадей построенных прямоугольников
13 QUOTE 1415
Формула трапеции
Разделим отрезок 13 QUOTE 1415 точками 13 QUOTE 1415 на n равных частей и построим трапеции, заменив дугу кривой хордой, с основаниями 13 QUOTE 1415
Высоты у них равны 13 QUOTE 1415. Площадь каждой трапеции вычисляется по известной формуле (полусумму оснований умножить на высоту).

Искомая площадь приближённо равна сумме площадей построенных трапеций:

13 QUOTE 1415 (1)
Это и есть формула трапеций.

Параболическая формула или формула Симпсона
13 QUOTE 1415 (2)
(n-чётное число).
Формула (2) чаще других используется для приближённых вычислений, так как даёт более точный ответ при тех же затратах труда. Точность можно улучшать, увеличивая число делений.
Формулу (2) иногда записывают в несколько ином виде (для чётного числа разбиений n=2k):

Определённый интеграл
Свойства определённого интеграла
1.13 QUOTE 1415
2. 13 QUOTE 1415
3. 13 QUOTE 1415
4. 13 QUOTE 1415
5. 13 QUOTE 1415
6. 13 QUOTE 1415
7.13 QUOTE 1415
8. 13 QUOTE 1415
9. Теорема об оценке определённого интеграла.
Если функция f(x) непрерывна на 13 QUOTE 1415, m и M соответственно её наименьшее и наибольшее значения на 13 QUOTE 1415, то
13 QUOTE 1415.
Теорема о среднем.
Если функция f(x) непрерывна на 13 QUOTE 1415,то найдётся точка 13 QUOTE 1415 такая, что 13 QUOTE 1415
11.Пусть 13 QUOTE 1415. Рассмотрим определённый интеграл как функцию верхнего предела 13 QUOTE 1415
Геометрически это переменная площадь:

Теорема.
Производная от определённого интеграла с переменным верхним пределом по переменному пределу равна подынтегральной функции 13 QUOTE 1415
12.Основная формула интегрального исчисления или теорема Ньютона-Лейбница.
13 QUOTE 1415
Замена переменной в определённом интеграле
Пусть f(x) непрерывна на 13 QUOTE 1415 и функция 13 QUOTE 1415 монотонна и дифференцируема на (a, b), причём 13 QUOTE 1415 Тогда 13 QUOTE 141513 QUOTE 1415

Интегрирование по частям в определённом интеграле
Пусть u(x), v(x) дифференцируемы и интегрируемы на 13 QUOTE 1415. Тогда
13 QUOTE 1415 (2)

Вычисление площадей с помощью определённого интеграла в декартовой системе координат
Рассмотрим различные варианты расположения областей.
1.Пусть криволинейная трапеция ограничена кривой 13 QUOTE 1415 осью Ox и прямыми x=a, x=b. Её площадь равна: 13 QUOTE 1415

2.Пусть 13 QUOTE 1415 конечное число раз меняет знак на отрезке 13 QUOTE 1415. По свойству 6 интеграл по всему отрезку 13 QUOTE 1415 равен сумме интегралов по составляющим отрезкам. Площадь равна сумме абсолютных величин интегралов по каждому из отрезков, то есть 13 QUOTE 1415.

3.Площадь фигуры, ограниченной кривыми 13 QUOTE 1415 и прямыми x=a, x=b, находим по формуле:

4.Площадь трапеции, основанием которой является ось ординат , удобнее вычислять по формуле
13 QUOTE 1415dy

5. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме:
13 QUOTE 1415 (2)
Данные параметрические уравнения определяют некоторую функцию y=f(x) на отрезке 13 QUOTE 1415 и, следовательно, можно воспользоваться основной формулой

Перейдём в этом интеграле к переменной t по формулам (2):

Найдём пределы изменения новой переменной: если 13 QUOTE 1415 то переменная t изменяется от 13 QUOTE 141513 QUOTE 1415при условии, что 13 QUOTE 1415
Выполнив указанную подстановку, получим формулу для вычисления площади криволинейной трипеции, ограниченной параметрически заданной кривой:

13 QUOTE 1415 (3)

Длина дуги кривой
Длина дуги кривой в прямоугольных координатах
Найдём длину дуги АВ кривой 13 EMBED Equation.3 1415, где А(а,f(a)), B(b,f(b)).

Длиной дуги называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной линии при условии, что число звеньев неограниченно возрастает и длина наибольшего из них стремится к нулю.
13 EMBED Equation.3 1415длина звена Мi-1Mi ломаной АВ.
Рассмотрим незамкнутую дугу АВ, заданную уравнением y=f(x).
Пусть f(x) и 13 EMBED Equation.3 1415непрерывны на 13 EMBED Equation.3 1415. Разобьём дугу АВ на n частей произвольным образом точками
13 EMBED Equation.3 1415
Длина i-того звена 13 EMBED Equation.3 1415 равна длине вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
По теореме Лагранжа на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 существует такая точка 13 EMBED Equation.3 1415что 13 EMBED Equation.3 1415 то есть 13 EMBED Equation.3 1415
Просуммировав все 13 EMBED Equation.3 1415, получим приближённое значение длины дуги АВ:
13 EMBED Equation.3 1415
Перейдя к пределу при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, получим точное значение длины дуги.
13 EMBED Equation.3 1415
В правой части равенства предел интегральной суммы существует в силу непрерывности функции f(x) и её производной и не зависит от способа разбиения дуги на части.
13 EMBED Equation.3 1415
Длина дуги кривой, заданной параметрически
Пусть теперь кривая АВ задана параметрическими уравнениями
13 EMBED Equation.3 1415 (*)
Где функции 13 EMBED Equation.3 1415 непрерывны вместе со своими производными, причём 13 EMBED Equation.3 1415
Преобразуем формулу 13 EMBED Equation.3 1415, выполнив замену переменной по уравнениям (*).
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Отсюда следует формула для вычисления длины дуги, заданной параметрически:
13 EMBED Equation.3 1415
Длина дуги кривой в полярной системе координат
Пусть уравнение кривой задано в полярной системе координат: 13 EMBED Equation.3 1415
Преобразуем формулу 13 EMBED Equation.3 1415, рассматривая угол 13 EMBED Equation.3 1415 в качестве параметра. Воспользуемся обычными формулами перехода от декартовых координат к полярным:
13 EMBED Equation.3 1415
Получили формулу для вычисления длины дуги кривой в полярной системе координат.

Несобственные интегралы
Понятие определённого интеграла определено для конечного интервала и непрерывной на нём функции. Распространим это понятие на случаи бесконечного интервала интегрирования и разрывной функции.
Интеграл с бесконечными пределами
Пусть функция f(x)определена и непрерывна при всех значениях 13 EMBED Equation.3 1415.
Рассмотрим интеграл 13 EMBED Equation.3 1415 Он имеет смысл при любом b>a .При изменении b интеграл изменяется, являясь непрерывной функцией . Пусть 13 EMBED Equation.3 1415.
Определение. Несобственным интегралом от функции f(x) в интервале 13 EMBED Equation.3 1415 называется предел интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415
Если данный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует или равен бесконечности, то расходящимся.
Аналогично определяются несобственные интегралы и для других бесконечных интервалов.
13 EMBED Equation.3 1415
f(x) непрерывна 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 (*)
f(x) непрерывна 13 EMBED Equation.3 1415, с – любая точка оси Ох.
Замечание. В равенстве (*) интеграл, стоящий слева, сходится только тогда, когда сходятся (существуют) оба интеграла в правой части равенства.
Геометрический смысл сходящегося несобственного интеграла

Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 выражает площадь области, ограниченной кривой y=f(x) и прямыми y=0 (ось Ох), x=a, x=b. Поэтому естественно считать, что 13 EMBED Equation.3 1415 выражает площадь трапеции с бесконечно большим основанием, заключённой между линиями y=0, x=a и y=f(x).
Расходящийся несобственный интеграл не имеет какого-либо геометрического смысла.
Иногда бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, и оценить его значение, не вычисляя самого значения. Для этого можно воспользоваться теоремой:
Теорема.
Пусть для всех x (13 EMBED Equation.3 1415) выполняется неравенство 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда
1. если 13 EMBED Equation.3 1415расходится, то расходится и 13 EMBED Equation.3 1415;
2. если 13 EMBED Equation.3 1415 сходится, то сходится и 13 EMBED Equation.3 1415, при этом 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415;
3. если 13 EMBED Equation.3 1415 то интегралы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
(Либо оба сходятся, либо оба расходятся.)
Несобственные интегралы с бесконечными пределами называют несобственными интегралами I рода.
Интегралы от разрывных функций
Пусть функция y=f(x) для всех значений 13 EMBED Equation.3 1415, но при x=b претерпевает бесконечный разрыв. Обычное определение интеграла в этом случае теряет смысл.
Определение. Несобственным интегралом от функции f(x), непрерывной при 13 EMBED Equation.3 1415и неограниченной при 13 EMBED Equation.3 1415, называется предел интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Если данный предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, а если не существует или бесконечен, то расходящимся.
Аналогично если функция f(x) претерпевает бесконечный разрыв при x=a, то
13 EMBED Equation.3 1415
Если же функция имеет бесконечный разрыв в какой-нибудь точке с (a13 EMBED Equation.3 1415, причём a и b стремится к нулю независимо друг от друга.
Для определения сходимости несобственных интегралов от разрывных функций полезно воспользоваться следующей теоремой.
Теорема.
Если на отрезке 13 EMBED Equation.3 1415 функции f(x) и 13 EMBED Equation.3 1415имеют единственную особенность в точке b, причём во всех точках этого отрезка выполняются неравенства 13 EMBED Equation.3 1415 то
1. если 13 EMBED Equation.3 1415сходится, то сходится и 13 EMBED Equation.3 1415;
2. если 13 EMBED Equation.3 1415 расходится, то 13 EMBED Equation.3 1415 тоже расходится.
Несобственные интегралы от разрывных функций называются несобственными интегралами II рода.

Геометрическая интерпретация сходящегося несобственного интеграла II рода – это площадь криволинейной трапеции с бесконечно большой высотой.

Заключение
В работе рассмотрены вопросы теории интегрального исчисления функции одной переменной, такие как первообразная и её свойства, неопределённый интеграл и его свойства, замена переменной в определённом интеграле, интегрирование по частям, циклический интеграл, интегрирование рациональных дробей, интегрирование тригонометрических функций, интегрирование иррациональностей, приближённое вычисление определённого интеграла, определённый интеграл и его свойства, вычисление площадей плоской области, длина дуги кривой, несобственные интегралы. Составлены и решены тестовые задания по этим темам, причём задания 1-5, 9-17, 27, 29, 43, 58-59 – метод замены переменной и основные свойства неопределённого интеграла; задания 6-8, 18, 23-24 – метод интегрирования по частям; задания 25-26, 28, 41-42, 44 – интегрирование рациональных дробей; задания 30, 46-57 – интегрирование тригонометрических функций; задание 60 – использование стандартной формулы дифференциального бинома; задания 61-66, 86-88 – вычисление определённого интеграла; задания 79-81 – вычисление площади с помощью определённого интеграла; задания 82-84 – вычисление длины дуги; задание 85 – вычисление объёма шара; задания 31-40 – теоретические вопросы по темам: первообразная и её свойства, неопределённый интеграл, его свойства, основные правила интегрирования, замена переменной в неопределённом интеграле, интегрирование по частям, циклический интеграл; задания 67-78 – теоретические вопросы по темам: приближённые методы, определённый интеграл, задачи, приводящие к понятию определённого интеграла: о площади трапеции, свойства определённого интеграла, задания 89-100 – теоретические вопросы по темам: вычисление площадей с помощью определённого интеграла в декартовой системе координат, вычисление длины дуги, вычисление объёма методом параллельных сечений, объём тела вращения, несобственные интегралы.
Предполагается, что все задания имеют базовый уровень сложности.

Тесты
Первообразная и её свойства. Неопределённый интеграл, его свойства. Основные правила интегрирования.
Замена переменной в неопределённом интеграле, интегрирование по частям. Циклический интеграл.
1. 13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415 b) 13 QUOTE 1415
c) 13 QUOTE 1415 d) 13 QUOTE 1415
Решение задачи 1.
Интегрируем, используя свойства:

13 QUOTE 1415
2. 13 QUOTE 1415
a) 13 QUOTE 1415 b) 13 QUOTE 1415
c) 13 QUOTE 1415 d) 13 QUOTE 1415
Решение задачи 2.
Интегрируем методом замены: 613 QUOTE 1415

3. 13 QUOTE 1415
a) 13 QUOTE 1415 b) 13 QUOTE 1415
c) 13 QUOTE 1415 d) 13 QUOTE 1415
Решение задачи 3.
Используем подстановку: 13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415

4. 13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415 c) 13 QUOTE 1415 d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 4.
13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415
5.13 QUOTE 1415
a) 13 QUOTE 1415 b) 13 QUOTE 1415 c)13 QUOTE 1415 d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 5.
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
6.13 QUOTE 1415
a)- 13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415 c)13 QUOTE 1415 d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 6.
Пусть u=x, dv=13 QUOTE 1415dx => du=dx, 13 QUOTE 1415

7.13 QUOTE 1415
a) 13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415 d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 7.
u=arcsin13 QUOTE 1415 , dv=dx13 QUOTE 1415v=x

= 13 QUOTE 1415
8.13 QUOTE 1415
a) 13 QUOTE 1415
b) 13 QUOTE 1415
c) 13 QUOTE 1415
d) 13 QUOTE
·1415
Решение задачи 8.
Пусть u=13 QUOTE 1415, du=13 QUOTE 1415, dv=(x-6)dx => v=13 QUOTE 1415 =>
13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415
9.13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415 c)13 QUOTE 1415 d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 9.

10.13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415 d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 10.
В знаменателе присутствует квадратный трёхчлен. Выделяем полный квадрат:

13 QUOTE 1415
11.13 QUOTE 1415
a) 13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415 d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 11.
Замена:13 QUOTE 1415
12.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415 b) 13 EMBED Equation.3 1415 c)sinx+c d)sinx+c
Решение задачи 12.
13 EMBED Equation.3 1415
13.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a) 13 EMBED Equation.3 1415 b) 13 EMBED Equation.3 1415 c) 13 EMBED Equation.3 1415 d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 13.
13 EMBED Equation.3 1415
14.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415 b) 13 EMBED Equation.3 1415 c) 13 EMBED Equation.3 1415 d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 14.
13 EMBED Equation.3 1415
15.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415 b) 13 EMBED Equation.3 1415 c) 13 EMBED Equation.3 1415 d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 15.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
16.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415 b) 13 EMBED Equation.3 1415 c) 13 EMBED Equation.3 1415 d) 13 EMBED Equation.3 1415

Решение задачи 16.
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
17.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415 b) 13 EMBED Equation.3 1415 c) 13 EMBED Equation.3 1415 d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 17.
13 EMBED Equation.3 1415
18.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415 b) 13 EMBED Equation.3 1415 c) 13 EMBED Equation.3 1415 d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 18.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
19. Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415 b) 13 EMBED Equation.3 1415 c) 13 EMBED Equation.3 1415 d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 19.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
20. Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a) 13 EMBED Equation.3 1415 b) 13 EMBED Equation.3 1415 c) 13 EMBED Equation.3 1415 d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 20.
13 EMBED Equation.3 1415
21.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 21.
13 EMBED Equation.3 1415
22.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 22.
Пусть k=1, k+1=2, a=3:
13 EMBED Equation.3 1415
Последний интеграл табличный: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
23.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 23.
13 EMBED Equation.3 1415
24.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 24.
13 EMBED Equation.3 1415
25.Чему равен неопределённый интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c)13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 25.
13 EMBED Equation.3 1415
26.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 26.
13 EMBED Equation.3 1415
27.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a) 13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 27.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
28.Чему равна первообразная 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415 c) 13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415 d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 28.
13 EMBED Equation.3 1415
29.Чему равна первообразная 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 29.
13 EMBED Equation.3 1415
30.Чему равна первообразная 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 30.
13 EMBED Equation.3 1415

Теория
31. Какая из ниже приведённых формул относится к формуле интегрирования по частям?
a)13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415
c) 13 QUOTE 1415 c)13 QUOTE 1415
32. Чему равен интеграл: 13 QUOTE 1415 ?
a)13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415 c)13 QUOTE 1415 d )x+c
33. Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a) sinx+c b)cosx+c c)-sinx d)cosx
34.Закончите теорему: «Если 1. функция x=
·(t) монотонна дифференцируема на (
·,
·), 2. функция f(x) непрерывна на [а, б], то.»
a)13 QUOTE 1415
b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415
d)13 QUOTE 1415
35. Интегралы вида 13 QUOTE 1415называются:
a) рекуррентными b) циклическими с) определёнными в) неопределёнными
36.Интегралы у которых в процессе применения формулы 13 QUOTE 1415
подынтегральная функция принимает первоначальный вид называются:
a) рекуррентными b) циклическими с) определёнными в) неопределёнными
37.Формула в которой последующий интеграл вычисляется через предыдущий называется:
a) рекуррентной b) циклической с) определённой в) неопределённой
38. Какая из ниже приведённых формул является рекуррентной:

c)13 QUOTE 1415

13 QUOTE 1415понижает порядок k
13 QUOTE 1415порядок k

d) нет правильного ответа
39.Чему равен интеграл 13 QUOTE 1415?
a)13 QUOTE 1415 c)13 QUOTE 1415
40. Операция отыскания первообразной называется:
a) интегрированием b)дифференцированием
с) a) и b) верно в) нет правильного ответа

Рациональные дроби. Тригонометрические функции. Иррациональности
41.13 QUOTE 1415dx
a)13 QUOTE 1415
b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415
d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 41.
f(x) – неправильная рациональная дробь.
;
13 QUOTE 1415 , 13 QUOTE 1415

13 QUOTE 1415 =>A=2, B=3, C=0.

42. 13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415
b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415
d)нет правильного ответа
Решение задачи 42.
F(x) – правильная рациональная дробь. Корни знаменателя: x=0, x=2, x=-2.
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415

x3: A+C+D=0,
x2: B+2C-2D=1, => 13 QUOTE 1415
x1: -4A=6,
x0: -4B=-12
Подставив корни 13 QUOTE 1415 в уравнение (*), найдём С и D: 13 QUOTE 1415

13 QUOTE 1415=13 QUOTE 1415.
43.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a) 13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 43.
13 EMBED Equation.3 1415
44.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 44.
Дробь рациональная, неправильная. Делим 13 EMBED Equation.3 1415 (уголком):
Получаем 13 EMBED Equation.3 1415
Последняя дробь правильная, её знаменатель имеет корни:
13 EMBED Equation.3 1415
Приводим правую часть равенства к общему знаменателю и приравниваем числители левой и правой дробей:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Можно найти коэффициенты, не составляя системы, а подставляя корни знаменателя в равенство (*):
13 EMBED Equation.3 1415
Вернёмся к исходному интегралу: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
45.13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415 d) нет правильного ответа
Решение задачи 45.

46.13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415 c)нет правильного ответа
Решение задачи 46.
Используем формулу: 13 QUOTE 1415

47.13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415
b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415
d)нет правильного ответа.
Решение задачи 47.
Выполняем подстановку: 13 QUOTE 1415

Правильную рациональную дробь разлагаем на сумму простых дробей:

48.13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415 d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 48.

49.13 QUOTE 1415
a) 13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415
c) 13 QUOTE 1415 d ) 13 QUOTE 1415
Решение задачи 49.

50.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 50.
13 EMBED Equation.3 1415
51.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 51.
13 EMBED Equation.3 141552.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b)13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 52.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
53.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c)13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 53.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
54. Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 54.
13 EMBED Equation.3 1415
55. Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 55.
13 EMBED Equation.3 1415
56. 13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415 d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 56.

57.13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415 d)нет правильного ответа
Решение задачи 57.

13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
58.13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415
b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415
d)нет правильного ответа
Решение задачи 58.

59.13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415
b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415
d)нет правильного ответа
Решение задачи 59.

Корни знаменателя: 13 QUOTE 1415

60. Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c)13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 60.
Запишем стандартную форму дифференциального бинома:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Приближённые методы. Определённый интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла: о площади трапеции.
Свойства определённого интеграла.

13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415 c)13 QUOTE 1415 d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 61.
Функция 13 QUOTE 1415 непрерывна всюду. Преобразуем её:

Вычисляем определённый интеграл:

13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415 c)13 QUOTE 1415 d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 62.
Функция 13 QUOTE 1415 непрерывна всюду.
Вычисляем определённый интеграл, понижая порядок функции по формулам: 13 QUOTE 1415:

13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415 c)13 QUOTE 1415 d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 63.
Функция 13 QUOTE 1415 непрерывна на промежутке интегрирования.
Делаем замену: 13 QUOTE 1415
Пределы интегрирования: если х=0, t=0, если x=ln2, 13 QUOTE 1415
Вычисляем определённый интеграл:

Получили неправильную рациональную дробь. Для выделения целой части применим искусственный приём: добавим единицу и вычтем единицу в числителе, а затем поделим почленно числитель на знаменатель:
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
a)10 b)-5 c)-10 d)5
Решение задачи 64.

a)13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415 c)13 QUOTE 1415 d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 65.

13 QUOTE 1415
66. Найти интеграл используя замену переменной: 13 QUOTE 1415
a)- 13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415 c)13 QUOTE 1415 d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 66.
13 QUOTE 1415

Теория
67. Чему равна площадь криволинейной трапеции приближённо?
a) сумме площадей построенных прямоугольников;
b) сумме площадей построенных трапеций;
c)разности площадей построенных прямоугольников;
d) разности площадей построенных трапеций.
68.Какая из ниже приведённых формул является формулой для нахождения площади криволинейной трапеции?
a)13 QUOTE 1415
b)13 QUOTE 1415
c) 13 QUOTE 1415
d)

69. Как называется ниже приведённая формула?

Формулой Симпсона
Формулой трапеции
Формулой прямоугольников
Нет правильного ответа
70. Закончите теорему:
Производная от определённого интеграла с переменным верхним пределом по переменному пределу равна подынтегральной функции . .
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
Нет правильного ответа
71. Какая из ниже приведённых формул относится к формуле интегрирования по частям в определённом интеграле:
a) 13 QUOTE 1415
b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415
d)13 QUOTE 1415
72. Чему равен интеграл 13 QUOTE 1415
a) a-b b)0 c)b-a d)x
73.Как называется ниже приведённая теорема?
Если функция f(x) непрерывна на 13 QUOTE 1415, m и M соответственно её наименьшее и наибольшее значения на 13 QUOTE 1415, то
13 QUOTE 1415.
a)Теорема о среднем
b) Теорема об оценке определённого интеграла
с)Основная формула интегрального исчисления
d)Теорема Ньютона-Лейбница
74.Чему равен интеграл 13 QUOTE 1415
a)0 b)1 c)a-b d)-f(x)
75. Как называется ниже приведённая теорема?
Если функция f(x) непрерывна 13 QUOTE 1415,то найдётся точка 13 QUOTE 1415 такая что 13 QUOTE 1415
a)Теорема о среднем
b) Теорема об оценке определённого интеграла
с)Основная формула интегрального исчисления
d)Теорема Ньютона-Лейбница
76. Формула Ньютона-Лейбница служит для вычисления:
a) неопределённых интегралов
b) определённых интегралов
с) неопределённых и определённых интегралов
d)нет правильного ответа
77.13 QUOTE 1415
a)13 QUOTE 1415
b)13 QUOTE 1415
c)13 QUOTE 1415
d)13 QUOTE 1415
78.Теорема 13 QUOTE 1415 называется
a)Теорема о среднем
b) Теорема об оценке определённого интеграла
с)Основная формула интегрального исчисления
d)Теорема Ньютона-Лейбница

Вычисление площадей с помощью определённого интеграла в декартовой системе координат.
Вычисление длины дуги.
Вычисление объёма методом параллельных сечений. Объём тела вращения.
Несобственные интеграла.

Чему равна площадь фигуры, ограниченной синусоидой 13 QUOTE 1415и центральной ветвью тангенсоиды 13 QUOTE 141513 QUOTE 141513 QUOTE 1415

a)13 QUOTE 1415 b)ln2 c)lne d)13 QUOTE 1415
Решение задач 79.
Фигура, ограниченная заданными кривыми, состит из двух «лепестков», симметричных относительно начала координат, поэтому можно найти площадь одного лепестка и результат удвоить. Площадь области OmBn найдём как разность площадей трапеций OmBb и OnBb. Найдём точки пересечения линий, решив систему уравнений:
13 QUOTE 1415

Учитывая условия задачи, выбираем: 13 QUOTE 1415
Итак: 13 QUOTE 1415

13 QUOTE 1415.
80.Чему равна площадь области, ограниченной эллипсом 13 QUOTE 1415?
а)13 QUOTE 1415 b)13 QUOTE 1415 c)13 QUOTE 1415 d)13 QUOTE 1415
Решение задачи 80.
В силу симметрии области достаточно найти площадь четвёртой части области, например, расположенную в первой четверти. Полученную величину затем умножить на 4.
Для вычисления площади удобнее уравнение эллипса представить в параметрической форме
13 QUOTE 1415 (в первой четверти 13 QUOTE 1415
Пределы интегрирования для переменной t:

Итак:

81.Чему равна площадь, ограниченной петлёй декартова листа

13 EMBED Equation.3 1415

a)13 EMBED Equation.3 1415 b) -13 EMBED Equation.3 1415 c) 13 EMBED Equation.3 1415 d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 81.
Запишем уравнение кривой в полярной системе координат, используя формулы перехода 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
- уравнение кривой в полярных координатах.
Кривая симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла y=x (замена переменных х на у и у на х не изменяет уравнения), поэтому найдём площадь половины лепестка и результат удвоим. Если радиус-вектор описывает дугу ОmB, угол
· изменяется от 0 до 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
(Разделим числитель и знаменатель на 13 EMBED Equation.3 1415)=
13 EMBED Equation.3 1415
Замена переменной
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415новые пределы 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
82.Чему равна длина дуги полукубической параболы 13 EMBED Equation.3 1415заключённой между точками О(о,о) и А(5, 13 EMBED Equation.3 1415).
a)13 EMBED Equation.3 1415 b) -13 EMBED Equation.3 1415 c) 13 EMBED Equation.3 1415 d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 82.
13 EMBED Equation.3 141583. Чему равна длина дуги астроиды 13 EMBED Equation.3 1415
a)6a b)-6a b)0 c)-3a

Решение задачи 83.
Воспользуемся симметрией кривой и найдём длину дуги, расположенной в первой четверти, затем умножим на 4 полученную величину:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
84.Чему равна длина кривой 13 EMBED Equation.3 1415при изменении угла 13 EMBED Equation.3 1415от 0 до13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415 b)-13 EMBED Equation.3 1415 c) 13 EMBED Equation.3 1415 d)-13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 84.
13 EMBED Equation.3 1415
85.Чему равен объём шара радиуса r?

a)13 EMBED Equation.3 1415 b) 13 EMBED Equation.3 1415 c) 13 EMBED Equation.3 1415 d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 85.
Будем рассматривать шар как тело, образованное вращением полуокружности 13 EMBED Equation.3 1415 вокруг оси Ох.
Центр окружности – в начале координат, следовательно, a=-r, b=r.
Для вычисления объёма шара воспользуемся формулой
13 EMBED Equation.3 1415
Используем чётность функции на симметричном интервале:
13 EMBED Equation.3 1415
86.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415 b)0 c)13 EMBED Equation.3 1415 d) 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 86.
13 EMBED Equation.3 1415
87.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415 b) 13 EMBED Equation.3 1415 c)0 d)нет правильного ответа
Решение задачи 87.
В точке x=0 функция 13 EMBED Equation.3 1415терпит бесконечный разрыв.
13 EMBED Equation.3 1415
88.Чему равен интеграл 13 EMBED Equation.3 1415?
a)13 EMBED Equation.3 1415 b) 13 EMBED Equation.3 1415 c)0 d)13 EMBED Equation.3 1415
Решение задачи 88.
Интеграл несобственный 1-го рода, функция – правильная рациональная дробь – определена на бесконечном интервале. Разложим дробь на сумму простых дробей, применив искусственный приём.
13 EMBED Equation.3 1415

Теория
89.Предел, к которому стремится длина вписанной ломаной линии при условии, что число звеньев неограниченно возрастает и длина наибольшего из них стремится к нулю это:
a) длина дуги
b) длина кривой
с) длина ломанной
d) Нет правильного ответа
90.13 EMBED Equation.3 1415 - это формула для вычисления:
a) длины дуги, заданной параметрически;
b) длина дуги кривой в полярной системе координат;
с) длина дуги кривой в прямоугольных координатах;
d) длина дуги
91.13 EMBED Equation.3 1415 это формула для вычисления:
a) длины дуги, заданной параметрически;
b) длина дуги кривой в полярной системе координат;
с) длина дуги кривой в прямоугольных координатах;
d) длина дуги
92.13 EMBED Equation.3 1415
a) длины дуги, заданной параметрически;
b) длина дуги кривой в полярной системе координат;
с) длина дуги кривой в прямоугольных координатах;
d) длина дуги
93.Вставьте в определение недостающее слово:
Несобственным интегралом от функции f(x) в интервале 13 EMBED Equation.3 1415 называется интеграла 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415.
a)предел
b)интеграл
с)несобственный интеграл
d)собственный интеграл
94.Несобственные интегралы с бесконечными пределами называют несобственными интегралами:
a) II рода
b) I рода
с) III рода
d) нет правильного ответа
95. Какая из ниже перечисленных формул относится к формуле для вычисления площади криволинейной трапеции, ограниченной параметрически заданной кривой?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
96.Формула для отыскания площади криволинейного сектора:
a)13 EMBED Equation.3 1415
b)13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
97.Вставьте недостающее слово:
Криволинейным сектором называется область, ограниченная лучами 13 EMBED Equation.3 1415
и линией 13 EMBED Equation.3 1415, которую любой луч, исходящий из полюса, пересекает не более чем .
в одной точке;
в двух точках;
в трёх точках
в четырёх точках.
98.13 EMBED Equation.3 1415 - это формула для вычисления:
a) площади фигуры, ограниченной кривыми 13 EMBED Equation.3 1415 и прямыми x=a, x=b;
b)площадь трапеции, основанием которой является ось ординат;
с)площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной в параметрической форме;
d)площадь криволинейного сектора в полярной системе координат.
99.Какая из ниже перечисленных формул является формулой для определения несобственного интеграла от функции f(x)?
a)13 EMBED Equation.3 1415
b) 13 EMBED Equation.3 1415
c) 13 EMBED Equation.3 1415
d) 13 EMBED Equation.3 1415
100.Геометрическая интерпретация сходящегося несобственного интеграла 2-го рода это:
a) площадь криволинейной трапеции с бесконечно малой высотой;
b) площадь прямоугольной трапеции;
c) площадь криволинейной трапеции с бесконечно большой высотой;
в) площадь равнобедренной трапеции.

Ключ к тесту
1-a
2-a
3-a
4-a
5-b
6-a
7-a
8-b
9-a
10-c
11-a
12-a
13-c
14-a
15-d
16-c
17-b
18-a
19-d
20-c
21-a
22-a
23-a
24-a
25-a
26-a
27-b
28-b
29-a
30-b
31-c
32-b
33-a
34-b
35-a
36-c
37-a
38-a
39-a
41-a
42-a
43-b
44-b
45-b
46-a
47-a
48-b
49-a
50-a
51-a
52-a
53-a
54-a
55-a
58-a
59-a
60-а
61-a
62-а
63-a
64-a
65-а
66-b
67-a
68-в
69-a
70-a
71-b
72-c
73-b
74-c
75-a
76-b
77-d
78-a
79-a
80-a
81-a
82-a
83-a
84-a
85-b
86-c
87-b
88-a
89-a
90-a
91-c
92-a
93-b
94-b
95-a
96-b
97-a
98-b
99-a
100-c

Список используемой литературы
Бугров Я.С. Никольский СМ. Высшая математика: Дифференциальное и интегральное исчисление. М.: Наука, 1984. 432 с.
Зорин В.А. Математический анализ: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1981. 544 с; Т. 2. М.: Наука, 1984. 640 с.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1982. 616 с; Т. 2. М.: Наука, 1980. 448 с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 3 т. М.: Высш. шк., 1988. Т. 1. 712 с; Т. 2. 576 с; Т. 3. 352 с.
Уваров В.Б. Математический анализ. М.: Высш. шк., 1984. 288 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ: Функции одного переменного: В 2 т. Т. 1. М: Наука, 1969. 528с.

13 PAGE \* MERGEFORMAT 142815

Root EntryEquation NativeРисунок 1Рисунок 4Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native