Из опыта работы: Роль решения текстовых задач арифметическим способом в повышении уровня обученности.

Роль решения текстовых задач арифметическим способом в повышении уровня обученности.
«Что значит владение математикой?
Это есть умение решать задачи, причём,
не только стандартные, но и требующие
известной независимости мышления,
здравого смысла, оригинальности,
изобретательности»
Д. Пойа
В последние годы большие затруднения у детей на уроках математики вызывает задание: решите задачу. Почему так происходит? Зачем надо обучать детей решению текстовых задач и как это делать? – вот вопросы, которые волнуют каждого из нас.
В традиционном российском школьном обучении математике текстовые задачи занимали особое место. Исторически долгое время математические знания передавались из поколения в поколение в виде списка задач практического содержания с их решениями. Обученным считался тот, кто умел решать задачи определённых типов, встречавшихся на практике.
Со временем работа с задачами совершенствовалась, она была выстроена в систему, оказывающую определённое воздействие на развитие мышления и речи учащихся, развивающую их смекалку и сообразительность, показывающую связь изучаемого с практикой.
С помощью задач формируются важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением условий задачи и главного вопроса, составлением плана решения, поиском условий, из которых можно получить ответ на главный вопрос, проверкой полученного результата. Использование арифметических способов решения задач способствовало общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему усвоению естественного языка, а это повышало эффективность обучения математике и других дисциплин.
Пересматривая роль и место арифметики в системе школьных предметов, стремясь повысить научность изложения математики за счёт более раннего введения уравнений и функций, методисты-математики посчитали, что на обучение арифметическим способам решения задач тратится слишком много времени. Но арифметические способы решения текстовых задач как раз и готовят ребёнка к овладению алгеброй. А когда это произойдёт, то алгебра доставит ученику более простые, чем арифметические, способы решения некоторых задач.
«Наше традиционное отечественное преподавание математики имело более высокий уровень и базировалось на культуре арифметических задач. Ещё два десятка лет в семьях сохранялись старинные «купеческие» задачи. Теперь это утрачено. Алгебраизация последней реформы преподавания математики (конца 60-х годов) превращает школьников в автоматы. А именно арифметический подход демонстрирует содержательность математики, которой мы учим.», - писал академик В. И. Арнольд.
Для того чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют. Что же такое задача?
С точки зрения Л. М. Фридмана любая задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче.Задачи, в которых зависимость между условием и требованием сформулирована словами, называются текстовыми. При этом главным отличием задачи от примера является не только наличие текста, но и наличие части условия или требования, выраженного на естественном (нематематическом) языке. По определению Л. М. Фридмана задачи, в которых хотя бы один объект есть реальный предмет, называются практическими (житейскими, текстовыми, сюжетными).Под текстовой задачей я понимаю такую задачу, в которой речь идёт о реальных объектах, процессах, связях и отношениях. Реальные процессы – это движение, работа, наполнение и освобождение бассейнов, покупки, смеси, сплавы и др. Такой терминологии придерживается А. В.Шевкин, кандидат педагогических наук, автор учебников и учебно-методических пособийпо математике
Роль текстовых задач в школьном курсе математики.
Можно кратко определить значение текстовых задач в школьном курсе математики. Работа над задачей:
- развивает логическое мышление;
- помогает осмысливать и закреплять вычислительные навыки;
- имеет большое жизненно-практическое и воспитательное значение.
А. В.Шевкин так определяет роль текстовых задач в курсе математики:
1. Текстовые задачи являются важным средством обучения математике. С их помощью учащиеся получают опыт работы с величинами, постигают взаимосвязи между ними, получают опыт применения математики к решению практических задач.
2. Использование арифметических способов решения задач развивает смекалку и сообразительность, умение ставить вопросы, отвечать на них, то есть развивает естественный язык, готовит школьников к дальнейшему обучению.
3. Арифметические способы решения текстовых задач позволяют развивать умение анализировать задачные ситуации, строить план решения с учётом взаимосвязей между известными и неизвестными величинами (с учётом типа задачи), истолковывать результат каждого действия в рамках условия задачи, проверять правильность решения с помощью обратной задачи, то есть формулировать и развивать важные общеучебные умения.
4. Арифметические способы решения текстовых задач приучают детей к первым абстракциям, позволяют воспитывать логическую культуру, могут способствовать созданию благоприятного эмоционального фона обучения, развитию у школьников эстетического чувства применительно к решению задачи (красивое решение!) и изучению математики, вызывая интерес сначала к процессу поиска решения задачи, а потом к изучаемому предмету.
5. Обучение и воспитание ребёнка во многом напоминает этапы развития человечества, поэтому использование старинных задач и разнообразных арифметических способов их решения позволяет вести обучение математике в историческомконтексте, что повышает мотивацию учения, развивает творческий потенциал.
Пока мы будем учить детей на русском языке – не только великом и могучем, но и достаточно трудном, пока мы хотим учить их сравнивать, выбирать наиболее простой путь достижения поставленной цели, пока мы не отказались от воспитания гибкости и критичности мышления, пока мы стараемся увязывать обучение математики с жизнью, нам будет трудно обойтись без текстовых задач – традиционного для отечественной методики средства обучения математике.
Различные подходы к классификации текстовых задач.
Существуют различные подходы к классификации текстовых задач. Можно говорить о типологии задач по методам решения:
арифметический (по действиям или составлением выражения),
алгебраический (составлением уравнения, системы уравнений или неравенств), 
геометрический (использование подобия, площадей фигур и т. п.).
Но эта типология, как и любая другая, условна, так как одна и та же задача может быть решена и алгебраическим, и арифметическим методами.
Этапы решения текстовых задач.
Под решением задачи будем понимать процесс, представляющий собой поиск необходимой последовательности действий на основе анализа условия и требования задачи, направленных на определение результата задачи; выполнение этих действий и получение результата, анализа и оценки последних.
В методике обучения математике выделены
4 основных этапа процесса решения задачи:
1) осмысление текста задачи и анализ её содержания;
2) осуществление поиска решения и составление плана решения;
3) реализация плана решения;
4) анализ найденного решения, поиск других способов решения.
При работе с текстовой задачей на первом этапе предполагается первоначальная работа с целью понимания сюжета, выявление величин, которыми описывается ситуация, установление различных зависимостей между этими величинами, определение отношений, заданных условием задачи. Результаты такого предварительного анализа часто бывает удобно зафиксировать в схематической записи. Обычно говорят: «Сделать краткую запись». Для различных видов задач краткие записи могут быть разными. Это можно сделать в виде таблицы, отрезочных или столбчатых диаграмм, схематического чертежа, рисунков и т. д. Такая запись служит схематизации материала, даёт возможность одновременно видеть все связи между данными.
Второй этап работы над задачей является самым трудным для учащихся. Его результатом должна являться математическая модель ситуации. Поиск способа решения может занимать по времени самое большое место в общем процессе решения. При этом довольно часто поиск способа решения приходится производить не один раз, когда в процессе выполнения найденного способа решения мы убеждаемся в его ошибочности или сложности. Очень важно каждый раз в случае неудачи поиска решения возвращаться к анализу условия задачи.
Составление плана решения производится двумя методами: аналитическим и синтетическим. Анализ способа решения удобно начинать с вопроса к задаче и производить его по схеме: чтобы узнать – надо знать… Такой метод является аналитическим. Иногда поиск решения осуществляется синтетическим путём. Исходя из данных условия составляют первую простую задачу. Полученный при её решении результат и одна из величин основной задачи позволяют составить новую простую задачу; так поступают до тех пор, пока ответ на последнюю простую задачу не будет ответом на вопрос основной задачи.
В процессе поиска решения обычно одновременно используют и анализ и синтез, то есть аналитико-синтетический метод..При этом ученик должен уметь:
1) переводить отношения между величинами на язык равенств;
2) записывать зависимости между величинами с помощью формул известных процессов и выражать величины из формул.
Таблица 1.
Основные отношения и их перевод на язык равенств.
1. а в сумме с в есть с
2. А>В на С
3. А<В на С
4. А>В в С раз
5. А<В в С раз
6. А составляет mn от В
7. А составляет х % от В а+в=с
А=В+С
А=В-С
А=В С
А=В:СА= mn ВА=x100 В а=с-в
В=А-СВ=А+С
В=А:СВ=А С
В=А: mnВ=А: x100в=с-а
С=А-В
С=В-А
С=А:ВС=В:Аmn=А:Вx100 =А:ВПри арифметическом способе решения необходимо умение учеником найти в задаче три взаимосвязанные величины и по двум известным из них найти неизвестную.
Так успешное решение задач на «процессы» предполагает понимание отношений между величинами: скорость процесса (v) , время его протекания (t) и продукт или результат работы (s).
s=v t v=s:t t=s:vПричём важно разбираться в отношениях между этими величинами как в условиях одного участника процесса, так и в условиях нескольких участников.
Третий этап работы с задачей предполагает решение построенной математической модели, интерпретацию результата решения математической модели в заданную ситуацию. Объяснение решения задачи может иметь такие формы:
1. Составление всего плана перед решением задачи и затем производство действий к каждому пункту плана.
2. Краткий вопрос и следующее за ним действие.
3. Краткое пояснение полученных результатов действий.
4. Производство всех действий с последующим подробным устным объяснением всего решения задачи.
5. Постановка полных вопросов с последующим решением.
На практике чаще всего используются первые три вида объяснения.
На четвёртом этапе работы с задачей необходимо выполнить проверку результата решения, сравнить результат с условиями задачи, проверить его на достоверность. На этом этапе можно предложить другие варианты решения. Поиск наиболее рационального способа решения будят мысль ученика, развивают сообразительность и уводят его от шаблона, повышая в то же время интерес к работе.
Наконец, если ученик научится внимательно, вдумчиво анализировать задачу, вдумчиво решать каждую задачу, фиксируя в своей памяти все приёмы, с помощью которых были найдены решения, способы решения, то постепенно у него выработается умение решать любую задачу, пусть незнакомую. Известный математик, профессор Московского университета С. А.Яновская на вопрос «Что значит решить задачу?» дала короткий ответ: «Решить задачу – значит свести её к уже решённым.»
Знания, умения, навыки учащихся по решению текстовых задач по окончании начальной школы.
К началу 5-го класса учащиеся должны знать связи между такими величинами, как цена, количество, стоимость; время, скорость, путь при равномерном движении; уметь применять к решению текстовых задач знание изученных зависимостей. Таковы основные требования к знаниям, умениям и навыкам обучающихся, обеспечивающие преемственную связь с курсом математики 5 класса, предъявляемые программой.
Основная цель обучения решению текстовых задач в начальной школе – осознанное усвоение детьми смысла арифметических действий, отношений «больше» - «меньше» (на несколько единиц и в несколько раз), «столько же» (или «равно»), взаимосвязи между компонентами и результатами действий, использованию действий вычитания (деления) для сравнения чисел.
Поэтому можно выделить следующие ключевые задачи, которые должны уметь решать выпускники начальной школы:
нахождение суммы величин, если эти величины известны с использованием сравнений «на…больше», «на…меньше», «в..раз больше», «в… раз меньше» в прямой и косвенной форме;
нахождение разницы между величинами с использованием действий вычитания и деления;
нахождение одной из трёх величин в задачах на зависимости:
цена-количество-стоимость, норма расхода материала на 1 вещь-количество вещей-расход материала всего,
скорость-время-расстояние;
нахождение одной из трёх величин в задачах на зависимости:
было-израсходовали-осталось, было-добавили-стало.
Планирование работы учителя по обучению решению текстовых задач арифметическим способом.
Несмотря на требования к знаниям, умениям учащихся, предъявляемые программой начальной школы, опыт моей работы показывает, что большинство учащихся начальной школы приходят в 5-й класс с небольшим багажом знаний и умений именно по решению текстовых задач. Поэтому основная цель моей работы на первых уроках математики в 5 классе во время повторения учебного материала – определить пробелы в знаниях и умениях учащихся, в том числе и по решению текстовых задач. Простейшие задачи в одно действие можно включить в тренировочные упражнения для устного счёта При решении таких задач следует обращать внимание учащихся на те числовые данные, которые выражены не только числами, но и словами.
Иногда при анализе задач обнаруживается неумение некоторыми учащимися переводить на математический язык слова для сравнения величин. В таких случаях я пользуюсь таблицей, которую составляем вместе с учениками на первых уроках математики.
больше меньше
выше
толще
шире
дороже
старше
длиннее
глубже
дальше ниже
тоньше
уже
дешевле
младше
короче
мельче
ближе
Существуют различные подходы к определению типов задач. Несмотря на то, что любая классификация условна, обойтись без неё невозможно. В своей работе при планировании учебного материала и подготовке к урокам я выделяю некоторые так называемые ключевые задачи, приёмы решения которых должны освоить учащиеся 5 и 6 классов.
1.  Задачи на процессы (на движение, на работу, на бассейны)
2.  Задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме и разности; задачи на нахождение двух или нескольких чисел по их сумме (разности) и отношению.
3.  Задачи на предположение.
4.  Задачи на проценты.
5.  Задачи на нахождение части от числа и числа по его части.
6.  Задачи на пропорциональные зависимости.
Все эти задачи содержат новые приёмы решения. Поэтому требуется серьёзная подготовка к обучению.
В учебниках «Математика 5» и «Математика 6» автораС. М.Никольский, по которым я работаю, задачи разных видов систематизированы по сложности, по приёмам решения. Очевидно, для того, чтобы сформировать стереотипы решения, закрепить способы деятельности учащихся. Но, на мой взгляд, при освоении нового приёма решения лучше следовать «от простого к сложному». И только после того, как приём освоен и сформирован навык по его применению, его можно использовать и при решении составных задач разных видов.Наиболее целенаправленно арифметический подход к решению текстовых задач раскрывается в учебниках «Математика 5», «Математика 6» С. М. Никольского и «Математика 5», «Математика 6» Г. В. Дорофеева.
Организация работы учителя на каждом этапе решения задачи.
Как было сказано выше, работа над задачей включает 4 основных этапа. Причём все четыре этапа одинаково важны. Поэтому рассмотрим работу учителя и учащихся на каждом отдельном этапе при решении задач разных видов.
Организация работы учителя над условием задачи.
На первом этапе необходимо добиться того, чтобы учащиеся «приняли задачу», то есть поняли её смысл, сделав целью своей деятельности. С этой целью оформляется краткая запись. Для разных видов задач это можно сделать по-разному.
Краткую запись к любой задаче на движение удобно выполнить в виде схематического чертежа.

Графическая иллюстрация создаёт перед учениками пространственный образ, помогает в задачах на движение правильно расположить те неподвижные точки, с которыми условие связывает движущийся объект. Начиная с 5-го класса, ученики часто встречаются с этими задачами. Еще в начальной школе учащимся дается понятие «общей скорости». В результате у них формируются не совсем правильные представления о скорости сближения и скорости удаления (данной терминологии в начальной школе нет). Чаще всего, решая задачу, учащиеся находят сумму. Начинать решать эти задачи лучше всего с введения понятий: «скорость сближения», «скорость удаления». Для наглядности можно использовать движение рук, объясняя, что тела могут двигаться в одном направлении и в разном. В обоих случаях может быть и скорость сближения и скорость удаления, но в разных случаях они находятся по-разному. После этого ученики записывают следующую таблицу: 
В задачах на нахождение двух или нескольких величин по их отношению и сумме (или разности), а также в задачах на части удобно краткую запись оформить в виде отрезков. Учащиеся должны научиться принимать подходящую величину за 1 часть, определять, сколько таких частей приходится на другую величину, на их сумму (разность).

Правильно составленная краткая запись указывает на сознательный анализ учеником условия и требования задачи и намечает план дальнейшего решения.
Организация работы учителя по составлению плана решения.
Чаще всего при организации поиска решения задачи применяется аналитико - синтетический метод.
Реализация плана решения.
Различные формы объяснения решения задачи – это различные ступени логического мышления учеников. Как было сказано выше, объяснение решения задачи имеет различные формы. В своей практике при работе в классе я применяю чаще всего такую форму объяснения: краткий вопрос и следующее за ним действие. При выполнении домашних задач я требую от учащихся подробных объяснений к каждому действию.
Анализ найденного решения и работа по поиску других
вариантов решения.
Проверка решения задачи является моментом очень ценным для развития сознательности и самоконтроля. Часто учащиеся записывают ответ не задумываясь.
Составление задач учащимися.
При работе с арифметической задачей нельзя пройти мимо вопроса о самостоятельном составлении задач учениками. При решении задач того или другого вида проверить качество усвоения вопроса можно такими заданиями: придумать задачу, в которой надо найти одну из трёх величин скорость протекания процесса, время или продукт его сначала с одним объектом, а потом с несколькими. Придумать задачу, в которой требуется найти часть от числа, составить задачу на прямую пропорциональную зависимость и т. д. При этом вначале, следуя принципу «от простого к сложному», предлагаются задачи в одно действие.
Необходимо избегать шаблона в этой работе, когда составляется слишком большое количество задач совершенно однотипных. Такая работа для учеников мало продуктивна. Вслед за простенькими задачами можно предложить ученикам составлять так называемые комбинированные задачи, то есть такие, в которых к новому материалу предлагается присоединить материал, пройденный ранее. При этом, конечно, следует учитывать способности разных учащихся. Если ученику не под силу составление сложной задачи, пусть он придумает простую или предложить составить задачу по готовому условию, которое оформлено, например, в виде таблицы:
v t S
Объект 1 15кмч2ч Объект 2 ? 5ч Или в таком виде:
Объект 1
Объект 2 в 3 раза больше

Для составления задач надо учащимся дать ряд указаний:
1. Задача должна иметь все необходимые данные и чётко поставленный вопрос.
2. Предметное содержание и числовые соотношения задачи должны соответствовать действительности.
3. Очень желательно, чтобы числовые данные, хотя бы частично, добывались самими учащимися, для этого рекомендовать использовать журналы, газеты, исторический материал, производственную практику родителей. Составление условия задачи – хорошее упражнение в краткой и точной математической речи.
При таком подходе к составлению задач ясно, что работа эта вызывает большую самостоятельность, интерес, развиваетт ворчество.
Заключение.
Задачи (в широком смысле этого слова) играют огромную роль в жизни человека. Задачи, которые ставит перед собой человек, и задачи, которые ставят перед ним другие люди и обстоятельства жизни, направляют всю его деятельность, всю жизнь. Мышление человека главным образом состоит из постановки и решения задач.
В конце 60-х годов ХХ века арифметические способы решения задач посчитали анахронизмом и перешли к раннему использованию уравнений. Но без достаточной подготовки мышления учащихся это оказалось малоэффективным. Опыт моей работы в школе это подтверждает. За 17 лет работы я могу по памяти перечислить всех учеников, которые умели решать задачи.
Таким образом, можно сделать следующие выводы:
1) Исторически люди пришли к применению уравнений, обобщая решения задач, в которых приходилось оперировать с неизвестным числом. Ребёнок должен пройти тот же путь – сначала рассуждать о «частях», опираясь на воображаемые действия с конкретными предметами или величинами, и лишь потом прийти к применению уравнений. За этот путь говорят и особенности мышления учащихся, тяготеющего к оперированию наглядными образами.
2) На данном этапе обучения (5-6 класс) арифметические способы решения задач имеют преимущество перед алгебраическими уже потому, что результат каждого отдельного шага в решении по действиям имеет совершенно наглядное и конкретное истолкование, не выходящее за рамки опыта учащихся. Мышление пятиклассников конкретно, и развивать его надо в деятельности с конкретными объектами и величинами или их образами, чем мы и занимаемся при арифметическом решении задач.
3) Несмотря на небольшое количество часов, отведённое программой на изучение математики (5 часов в неделю), можно продумать и организовать работу с задачами таким образом, что ребёнок, опираясь на наглядность, будет переходить от простого к сложному, от практических действий с предметами к воображаемым действиям с данными в задаче величинами. Тем самым будет достигнута истинная цель обучения, заключающаяся не столько в освоении школьниками конкретных способов деятельности, сколько в развитии их мышления и практических умений в процессе освоения этих способов деятельности.
Невозможно изобрести универсальную методику обучения решению задач, пригодную для всех детей и во всех случаях. Это всё равно, что искать лекарство от всех болезней.