Методическая разработка по математике. 5 класс. Решение практических задач по математике

Решение практических задач по математике. 5 класс.

Анализ результатов входящей к/р по математике показал, что успеваемость по решению практических задач составляет соответственно 0,31%; 0,31%; 0,063%. Что явилось огромной учебной проблемой.
По этим причинам возникла необходимость более глубокого изучения традиционного раздела элементарной математики: решение текстовых задач. Полный минимум знаний, необходимый для решения всех типов текстовых задач, формируется в течение первых девяти лет обучения учащихся в школе.
Необходимость рассмотрения техники решения текстовых задач обусловлена еще и тем, что умение решать задачу является высшим этапом в познании математики и развитии учащихся.
С помощью текстовой задачи формируются важные общеучебные умения, связанные с анализом текста, выделением главного в условии, составлением плана решения, проверкой полученного результата и, наконец, развитием речи учащегося. В ходе решения текстовой задачи формируется умение переводить ее условие на математический язык уравнений.
Для развития познавательной активности учащихся, для повышения мотивации к данной учебной деятельности, использовалась форма групповой исследовательской работы.
Цель - формирование у обучающихся полного представления о решении текстовых задач.
Задачи:
выделить основные виды практических задач.
выработать единый алгоритм для решения всех видов задач.
применить единый алгоритм ко всем типам задач (разобрать на примерах).
Проанализировав текстовые задачи, мы выделили следующие типы задач:
Сложение и вычитание.
Все арифметические действия.
Деление с остатком.
Скорость. Время. Расстояние.
Движение навстречу и в противоположных направлениях.
Движение вдогонку.
Движение по воде.
Совместная работа.
Задачи, решаемые алгебраическим способом.
Нахождение дроби от числа.
Нахождение числа по его дроби.
Проценты.
Геометрические задачи.
Комбинаторные задачи.
Мы задумались над тем, а нельзя ли как-то систематизировать предложенный объем текстовых задач и выработать единый алгоритм их решения.
Еще с начальной школы предлагалось решать задачи, видя текст перед собой в виде краткой записи условия. Взяв за основу краткую запись, мы подошли к тому, что удобно делать ее в виде таблицы.
Все типы задач они решаются по одной и той же схеме.
Движение:
V(скорость) * t(время) =S (расстояние)
Работа:
р (производительность) * t (время) =А (работа)
Покупка:
Цена * Количество = Стоимость
То есть действия с выражениями аналогичные.
Таким образом, алгоритм решения задач следующий:
1. Прочитать текст задачи полностью;
2. Определить ее тип, исходя из условия;
3. Составить таблицу (краткое условие);
4. Заполнить таблицу, читая каждое предложение условия задачи;
5. Найти в таблице место вопросу задачи.
6. Составить арифметическое или алгебраическое выражение для решения задачи по таблице.
7. Проанализировать полученный результат.
8. Записать ответ.
Задачи на сложение и вычитание
Задача 1.
В одном мотке 250 м веревки, и это на 39 м больше, чем в другом мотке. Сколько метров веревки в двух мотках?
266392115302300 Длина
1844411520701 моток: 250м ?2 моток: на 39м <, чем
1) 250-39=211(м)-во 2 мотке.
2)250+211=461(м)
Ответ: всего 461 метр верёвки.
Задача 2.
В доме слева 560 квартир, что на 118 квартир больше, чем в доме справа. Сколько квартир в правом доме?
Количество квартир
218564679375Дом слева: 560 кв.
Дом справа: на 118кв. <,чем ?1) 560-118=442(кв.)
Ответ: в доме справа 442 квартиры.
Задача 3.
В первый день с овощной базы вывезли 2340 кг овощей, во второй день столько же, а в третий день – на 178 кг меньше, чем в первый. Сколько овощей вывезли с базы за 3 дня?
Вывезли овощей
2007870108585291401531115001 день: 2340 кг
2 день: : 2340 кг ?
3 день: на 178 кг <, чем
1) 2340-178=2162(кг) вывезли в 3 день.
2)2340*2+2162=6842 (кг)
Ответ: всего с базы вывезли 6842кг овощей.
Задачи на все арифметические действия
Задача 1.
Из двухкилограммового пакета муки для приготовления блинов брали 3 раза по 560 г муки. Сколько муки осталось в пакете?
Взяли муки Остаток
1 раз: 560г ?2 раз: 560г ?3 раз: 560г ?2000 - ( 560 * 3 ) = 320 (г)
Ответ : 320 граммов муки осталось в пакете.
Задача 2.
В пассажирском поезде 14 вагонов, по 58 мест в каждом. Сколько в поезде свободных мест, если в поезде едут 779 пассажиров?
Количество
вагонов Мест
в вагоне Пассажиры
в поезде Свободные места 14 * 58 = 812(м) - всего мест в пассажирском поезде.
812 - 779 = 33 (м)
Ответ: 33 свободных места в пассажирском поезде.
Поезд 14 58 779 ? Задача 3.
Микроволновая печь стоит 2300 рублей. Она дешевле стиральной машины в 4 раза. Сколько стоит стиральная машина?
Стоимость
270620260684Микроволновая печь: 2300 руб., < в 4 раза, чем
Стиральная машина: ?2300 * 4 = 9200 ( руб )
Ответ : стиральная машина стоит 9200 рублей .Задачи на деление с остатком
Задача 1.
Цена поздравительной открытки 37 руб. Какое количество открыток можно купить на 300 руб.?
Цена Стоимость Кол-во товара
Открытки 37 руб. 300 руб. ?300:37= 8 (ост.4) (откр.)
Ответ: 8 открыток можно купить.
Задача 2.
На одного отдыхающего в летнем лагере положено 40г сахара в день. В лагере отдыхают 248 человек. Сколько килограммовых пачек сахара необходимо иметь ежедневно?
Норма Кол-во Кол-во на человека отдыхающих сахара
Сахар 40г 248чел. ? 248*40= 9920 (г)
Ответ: Ежедневно необходимо иметь 10 килограммовых пачек сахара.
Задача 3.
В мешке 45 кг муки, а в один пакет входит 2 кг муки. Какое наименьшее количество пакетов потребуется, чтобы расфасовать всю муку?
Всего муки Муки в пакете Кол-во пакетов
Мука 45 кг 2кг ?45:2=22 (ост. 1)(п)
Ответ: Для расфасовки муки потребуется 23пакета.
Задачи на скорость, время, расстояние
Задача 1.
Теплоход за 6 часов прошёл 210 км, а поезд за 4 часа - 420 км. Во сколько раз скорость поезда больше скорости теплохода?
S, км v=S/ t, км/ч t,ч
18141952857500теплоход: 210км ? ? vп : vт 6ч
поезд: 420км ? 4ч 210:6=35(км/ч)-скорость теплохода.
2) 420:4=105(км/ч)-скорость поезда.
3)105:35=3(р)
Ответ: В 3 раза скорость поезда больше скорости теплохода.
Задача 2.
Самолёт за 3 часа пролетел 2160 км. Какое расстояние пролетит этот самолет за 7 часов?
самолет S= v* t, км v=S/ t, км/ч t,ч
1 условие: 2160км ?км/ч 3ч
2 условие: ?км ?км/ч 7ч 1)2160:3=720(км/ч) скорость самолета при 1 условии.
2)720*7=5040(км)
Ответ: этот самолет пролетит за 7 часов 5040 км.
Задача 3.
Туристы прошли 16 км со скоростью 4 км\ч и 225 км проехали на автобусе со скоростью 45 км\ч. Сколько времени туристы были в пути?
S, км v, км/ч t= S/ v,ч
26854151714500Пешком: 16 км 4 км/ч ? ? ч
На автобусе: 225 км 45 км/ч ?1)16:4=4 (ч) шли туристы пешком.
2)225:45=5(ч) ехали на автобусе.
3) 4+5=9 (ч)
Ответ: 9ч туристы были в пути..Задачи на движение навстречу и в противоположных направлениях
Задача 1.
Из двух городов, расстояние между которыми 140 км, одновременно навстречу друг другу выехали 2 велосипедиста. Скорость одного велосипедиста 15 км/ч, другого- 20 км/ч. Через сколько часов велосипедисты встретятся?
«навстречу» S, км v, км\ч t=S/v,ч
1247140133350027581651397000239204510795001 велосипедист: ? 140 км 15км\ч ? ?ч
2 велосипедист: ? 20 км\ч 1)20+15=35(км/ч.)-скорость сближения.
2)140:35=4(ч.)
Ответ: через 4 часа велосипедисты встретятся.
Задача 2.
Расстояние между городами 660 км. Одновременно навстречу друг другу вышли 2 автобуса и встретились через 6 ч. Определите скорость второго автобуса, если скорость первого - 60 км/ч.
«навстречу» S, км v=S/ t, км\ч t,ч
96062312700001 автобус: ? 660 км 60 км\ч 6,ч
2 автобус: ? ? 6,ч 1)660:6=110(км/ч.)-скорость сближения.
2)110-60=50(км/ч.)
Ответ: скорость второго автобуса 50 км/ч.
Задача 3.
От автовокзала одновременно в противоположных направлениях выехали 2 автобуса: один со скоростью 65 км/ч, другой 75 км/ч. Какое расстояние будет между автобусами через 3 ч?
«в противоположных» S= v* t, км v, км\ч t,ч
145340713335001 автобус: ? ?км 65км\ч 3ч
2 автобус: ? 75 км\ч 3ч 1) 65+75=140(км/ч.)-скорость сближения.
2)140*3=420(км.)
Ответ:420 км будет между автобусами через 3 часа.
Задачи на движение вдогонку
Задача 1.
От одной автобусной станции одновременно в одном направлении отъехали 2 автобуса. Скорость одного-60 км/ч, а другого – 67 км/ч. Какое расстояние будет между автобусами через 5 ч?
«вдогонку» v t S=v*t
1 автобус 60 км/ч 5ч ?2 автобус 67 км/ч 5ч ?60*5= 300 (км) проехал 1 автобус за 5ч
67*5= 335 (км) проехал 2 автобус за 5ч
335-300= 35 (км)
Расстояние между автобусами через 5 ч будет 35 км.
Задача 2.
Со станции вышел товарный поезд со скоростью 45 км/ч. Спустя 4 ч в том же направлении вышел пассажирский поезд со скоростью 75 км/ч. Через сколько часов после своего отправления пассажирский поезд нагонит товарный?
«вдогонку» v t S=v*t
227573287858товарный 45 км/ч ? >на 4ч Sт = Sп
пассажирский 75 км/ч ? Sп = Sт Пусть х(ч) – время дв. пассажирского поезда, тогда время товарного (х+4)ч.
75*х=45*(х+4)
75х=45х+180
75х-45х=180
30х=180
Х=180:30
Х=6 (ч)
Ответ: через 6ч пассажирский поезд нагонит товарный.
Задача 3.
Из гаража с разницей в 1ч выехали в одном направлении 2 автомобиля. Скорость первого -75 км/ч, второго -90 км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через 2ч после того, как они поравняются?
«вдогонку» v t1 S=v*t1
1 авто 75 км/ч ? >на 1ч S1= S2
2 авто 90 км/ч ? S2= S1
«вдогонку» v t2 S=v*t2
1 авто 75 км/ч 2ч S1= S2
2 авто 90 км/ч 2ч S2= S1
S=S2 –S1 ?75*2= 150 (км)проедет 1 авто за 2 ч
90*2= 180 (км) проедет 2 авто за 2 ч
180-150 =30 (км)
Ответ: через 2ч расстояние между авто будет 30 км.
Задачи на движение по воде
Задача 1.
Двигаясь по течению реки, катер за 3 ч прошел 57 км. Какова собственная скорость катера, если скорость течения реки 2 км/ч?
3008977167916277606416791600 «по» vкат = vобщ- vтеч vтеч vобщ =S:t
Катер по воде ? 2км/ч 57км 3ч 1)57:3=19(км/ч)-скорость катера по течению реки
2/19-2=17км/ч
Ответ: собственная скорость катера. 17км/ч.
Задача 2.
Теплоход за 3 ч прошел вверх по реке 69 км. Собственная скорость теплохода 24.5 км/ч. Какова скорость течения реки?
318150610747200292735016383000«против» vтепл vтеч= vобщ- vтепл vобщ =S:t
Теплоход 24,5км/ч ? 69км 3ч 1)69:3 = 23 (км/ч) скорость теплохода по воде
2)24,5-23 = 1,5 (км/ч)
Ответ: скорость течения реки -1,5 км/ч.
Задача 3.
Скорость катера по течению реки 36,5 км/ч. Скорость течения реки 2,5 км/ч. Какое расстояние пройдет катер против течения реки за 4ч?
vтепл= vобщ- vтеч vтеч vобщ
Катер по течению ? 2,5км/ч 36,5км/ч
vтепл vтеч vобщ= vтепл- vтеч
Катер
против течения ? 2,5км/ч ?
S= vобщ* t
? ? 4ч 1)36,5-2,5=34 (км/ч) собственная скорость катера
2)34-2,5=31,5 (км/ч) скорость катера против течения
3)31,5*4=126 (км)
Ответ: 126 км прошел катер против течения за 4ч.
Задачи на совместную работу
Задача 1.
Первая бригада может отремонтировать 1500 м дороги за 75 дней, а вторая – за 100 дней. За какое время бригады, работая совместно, отремонтируют 1750 м дороги?
Производительность t,дн A=п*t
1 бригада: ?м/дн 75 1500м
2 бригада ?м/дн 100 1500м
Совместно: ? м/дн ?дн 1750м
1)1500:75=20(м)-в день отремонтирует 1 бригада.
2)1500:100=15(м)-в день отремонтирует 2 бригада.
3)20+15=35(м)-за день отремонтируют обе бригады.
4)1750:35=50(дн)
Ответ:за 50 дней, работая совместно, 1 и 2 бригада отремонтируют 1750м дороги.
Задача 2.
Мастер может изготовить 540 деталей за 9 дней, а его ученик – за 18 дней. За сколько дней мастер и ученик изготовят это количество деталей, если будут работать вместе?
Производительность t,дн A=п*t
Мастер: ?дет/дн 9 540 дет.
Ученик: ?дет/дн 18 540 дет.
Совместно: ? дет/дн ?дн 540 дет.
1)540:9=60(дет)-в день изготавливает мастер
2)540:18=30(дет)-в день изготавливает ученик
3)30+60=90(дет)-в день изготавливают вместе
4)540:90=6(дн)
Ответ :за 6 дней изготовят 540 деталей мастер и ученик , если будут работать вместе.
Задача 3.
Один наборщик может набрать на компьютере 120 страниц текста за 15 ч, а другой – 120 страниц за 10 ч. За какое время наборщики смогут, работая одновременно, набрать этот текст?
Производительность t,ч A=п*t
1 наборщик: ?стр/ч 15 120 стр.
2 наборщик: ?стр/ч 10 120 стр.
Совместно: ?стр/ч ?ч 120 стр.
1)120:15=8(стр)-в день набирает 1 наборщик
2)120:10=12(стр)-в день набирает 2 наборщик
3)12+8=20(стр)-в день 1 и 2 наборщики вместе
4)120:20=6(ч)
Ответ :за 6 часов оба наборщика смогут, работая одновременно, набрать этот текст.
Задачи, решаемые алгебраическим способом
Задача 1.
После того как из бидона отлили 8л молока, в нем осталось на 24л больше, чем отлили. Сколько л молока было в бидоне первоначально?
Было хл1507981102379Отлили 8л
Осталось на 24л >, чем (8+24)л
Х-8=8+24
Х-8=32
Х=32+8
Х=40(л)
Ответ: первоначально в бидоне было 40л молока.
Задача 2.
Первое слагаемое на 47 больше второго слагаемого, а второе слагаемое на 16 меньше третьего слагаемого. Сумма трех слагаемых равна 315. Найдите каждое слагаемое.
293066924813152843365968Первое слагаемо на 47 >, чем (х+47)
168513534951Второе слагаемое х 315
Третье слагаемое на 16 >, чем (х+16) (х+47)+х+(х+16)=315
3х+ 63=315
3х=315-63
3х=252
х=252:3
х=84 – второе слагаемое
1)84+47=131 –первое слагаемое
2)84+16=100 – третье слагаемое
Ответ: 1 слагаемое – 131; 2 слагаемое – 84; 3 слагаемое – 100.
Задача 3.
Саша задумал число, уменьшил его на 48 и в результате получил число, равное сумме наибольшего двузначного и наибольшего однозначного чисел. Какое число задумал Саша?
Задуманное число х
Уменьшили на 48
Результат (99+9) (х-48)= 99+9
х – 48= 108
х=108+48
х=156
Ответ: задуманное число - 156.
Задачи на нахождение дроби от числа
Задача 1.
В пачке 10 коробок спичек. Достаточно ли 12 пачки на 3 недели, если в неделю тратить по 2 коробки?
Число Доля от числа
Неделя 2 коробки
3 недели ? 12 от 10 коробок 1)10*1:2=5(кор) выделили на 3 недели
2)2*3=6(кор) потребуется на 3 недели спичек
Ответ: 12 пачки спичек не хватит на 3 недели.
Задача 2.
Рост журавля 114 см, страус в 2 раза выше, а рост аиста составляет 13 роста страуса. Определите рост аиста.
Рост (Число) Доля Дробь от числа=
1215390145415 Число*Долю
Журавль 114см 1 114см
Страус в 2 раза >, чем 2 ?
Аист ? 13 ? 1)114*2=228 (см) рост страуса
2)228*1:3= 76 (см)
Ответ: рост аиста 76 см.
Задача 3.
В корзине лежат 72 яблока. Из них 14 зеленые, 23 желтые, а остальные – красные. Сколько красных яблок в корзине?
Число Доля Доля от числа
86923153340Зеленые ? 14 ?
Желтые ? 72 ябл. 23 ?
Красные ?
1)72*1:4= 18(ябл) зеленых яблок
2)72*2:3=48 (ябл) желтых яблок
3)72-18-48=6 (ябл)
Ответ: в корзине 6 красных яблок.
Задачи на нахождение числа по его дроби
Задача 1.
Сколько книг в книжном шкафу, если 19 книг – это 111 всего количества?

Часть числа Доля Число
Книги 19 111 ? 19:1*11= 209 (кн.)
Ответ: 209 книг в книжном шкафу.
Задача 2.
В корзине лежали яблоки: 36 желтых, остальные зеленые. На блюдо выложили 12 яблок, что составило 18 всех яблок. Сколько зеленых яблок было в корзине?
Яблоки Часть числа Доля Число
Желтые 36
Зеленые ?Ж + З 12 18 ?
12:1*8 = 96 (ябл.) было всего яблок в корзине
96-36= 60 (ябл.)
Ответ: в корзине было 60 зеленых яблок.
Задача 3.
Известно, что 715 всех квартир дома – двухкомнатные, а остальные 160 квартир – однокомнатные. Сколько двухкомнатных в доме?
Квартиры Часть числа Доля Число
комн. 160
комн. 715 ?1515 - 715 = 815 доля однокомнатных квартир в доме
160:8*15 = 300 (кв.) всего квартир в доме
300−160 = 140 (кв.)
Ответ: в доме 140 двухкомнатных квартир.
Задачи на проценты
Задача 1.
В книге 600 страниц. Мальчик прочитал 23% книги. Сколько страниц прочитал мальчик?
Количество страниц
100 % 600 стр.
23% х стр. 1)600 : 100 = 6 (стр.) – 1% книги
2)6 * 23 = 138 (стр.) – прочитал мальчик
Ответ: 138 страниц прочитал мальчик.
Задача 2.
Мальчик прочитал 138 страниц – это 23% всей книги. Сколько страниц в книге?
Количество страниц
138 стр. 23 %
Х стр. 100 % 1) 138 : 23 = 6 (стр.) – 1% книги.
2) 6 * 100 = 600 (стр.) – в книге.
Ответ: 600 страниц в книге.
Задача 3.
В книге 600 страниц. Мальчик прочитал 138 страниц. Сколько процентов всей книги он прочитал?
Количество страниц
600 стр. 100 %
138 стр. х % 1) 600 : 100 = 6 (стр.) – 1% книги
2) 138 : 6 = 23 (%)
Ответ: 23% книги прочитал мальчик.
Геометрические задачи
Задача 1.
В квартире 7 дверей. Ширина каждой двери 1 м, высота- 2 м. сколько потребуется белил, чтобы покрасить двери с двух сторон, если на 1 м2 поверхности требуется 110 г белил? Ответ дайте в килограммах и граммах.
Двери а=1м в=2м S1-? n=7
S1= а*в S= S1 *n
Белила Норма на 1м2 Расход
110г ?
1)S1 =1*2 = 2 (м2) площадь одной двери
2)S = 2*7 = 14 (м2) площадь 7 дверей
3)110*14 = 1540 (г)
Ответ: потребуется 1кг 540г белил.
Задача 2.
Площадь прямоугольника 192 см2 , длина одной из сторон – 16 см. Найдите периметр прямоугольника.
Прямоугольник S=192 см2, а=16 см, в=? Р=?
S= а*в ; Р= 2* (а+в) 1)в= 192:16 = 12 (см) другая сторона
2) Р= 2* (16+12) = 56 (см)
Ответ: периметр равен 56 см.
Задача 3.
Ребро куба 7 см. Найдите объем куба, площадь боковой поверхности.
Куб а=7 см.
V=a3 -? Sбок =6* а2-? V=7*7*7= 343 (см3 ) объем куба
Sбок =6*7*7= 294 (см2) площадь боковой поверхности куба.
Ответ: V=343 см3 , Sбок = 294 см2 .
Комбинаторные задачи
Задача 1.
Сколько различных нечётных трёхзначных чисел можно составить с числами 4 8 6 и 3, но чтобы числа в записи числа не повторялись.
8610001456314
6 8
3 3 8470901422406
4 8
3 3 8451851422408
4 6
3 3
2*3=6
Ответ: можно составить 6 различных трехзначных чисел.
Задача 2.
Сколько различных четных четырехзначных чисел с неповторяющимися цифрами можно записать, используя цифры 1. 2, 3, 5?
847617875311
3 5
1292321130786084374719117100 5 3
2 2 8470661238943
1 5
1281430147955841375173355 5 1
2 2 8451851287735
1 3
127188111353300848995174625 3 1
2 2
2*3=6
Ответ: можно составить 6 четных четырехзначных чисел.