Конспект урока по геометрии на тему Решение планиметрических задач методом площадей
Муниципальное общеобразовательное учреждение – гимназия № 1
Урок геометрии в 11 классе
Тема: «РЕШЕНИЕ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
МЕТОДОМ ПЛОЩАДЕЙ»
Автор: Дацко Елена Владимировна
учитель математики
г. Клин, 2014 год
Содержание
Стр.
1. Цель и задачи урока………………………………………………………………………...…3
2. План урока……………………………………………………………………………..…3 – 11
2.1. Актуализация знаний……………………………………………………………………3 – 4
2.2. Устная работа………………………………...………………………………………….5 – 7
2.3. Работа на уроке по вариантам с различной сложностью……………………………..7 – 9
2.4. Самостоятельная работа контролирующего характера……………………………10 – 11
2.5. Итог урока. Домашнее задание с подробным разбором задач....……………….…11 – 17
3. Литература……………………………………………………………………………………18
Слайд 2
Цель урока: повторение и обобщение знаний о методе площадей в решении задач.
Задачи:
– обучающие: обобщить и систематизировать знания о методе площадей, отработать умения применить формулы в решении задач.
– развивающие: развить познавательные умения,
– воспитательные: развить положительное отношение к знаниям.
Тип урока: урок повторения.
Ход урока
I. Актуализация знаний.Слайд 3
Площади треугольников, имеющих равные высоты (общую высоту), относятся как стороны соответствующие этим высотам.
Рисунок 1
Слайд 4
Площади треугольников, имеющих равные стороны, относятся как соответствующие этим сторонам высоты.
Рисунок 2
Слайд 5
Площади треугольников, имеющих равный угол (или общий угол), относятся как произведение сторон, содержащий этот угол.
Рисунок 3
Слайд 6
Медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника.
Три медианы треугольника делят его на шесть равновеликих треугольников.
Рисунок 4
Слайд 7
Рисунок 5
II. Устная работа.
Слайд 8 Случай, когда треугольники имеют общую высоту.
Рисунок 6
Дано:
Найти:
Решение:
имеют общую высоту
Ответ:
Слайд 9
Рисунок 7
Дано:
Найти:
Решение: имеют общую высоту
т. к. то
Ответ: 20.
Вывод:
1) Отношение площадей треугольников, имеющих общую высоту равно отношению сторон, к которым проведена высота.
2) Если же стороны, к которым проводится высота равны, то и площади треугольников также равны.
3) Во сколько раз отношение сторон треугольников, к которым проводится высота больше (меньше), во столько раз и площади больше (меньше).
Слайд 10
Случай, когда треугольник и параллелограмм имеют общую высоту.
Рисунок 8
Дано:
параллелограмм,
Найти:
Решение:
Ответ: 8.
Вывод: В этом случае отношение площадей треугольника и параллелограмма равно отношению их высот. Высота параллелограмма есть высота треугольника. Но в нахождении площади треугольника присутствует коэффициент , а, значит, составляя и решая данную пропорцию, получаем 8.
Слайд 11
Рисунок 9
Дано:
Найти:
(Отношение площадей, имеющих общий угол равно отношению произведения сторон, заключающих данный угол).
– общая,
Ответ:
Слайд 12
Рисунок 10
Дано:
– параллелограмм,
– медиана
– медиана
– середина
Найти:
Решение:
Ответ: 10.
III. Работа на уроке.
1 ряд. Работа в парах (сидят слабый ученик и ученик средних способностей).
Решает I вариант – уровень «4»,
2,3 ряды – II вариант – уровень «4 – 5».
I вариант
Рисунок 11
Дано:
– параллелограмм,
Найти:
Решение:
1) Найдём какую часть составляет от
Проведём диагональ
(общий угол ),
2)
3)
Ответ:
II вариант
Рисунок 12
Дано:
– медианы,
Найти:
Решение:
1) (сторона – общая),
2) Дополнительное построение
По теореме Фалеса – средняя линия,
3) подобен (по двум углам),
– коэффициент подобия.
4) по свойству медиан
подставим в получим
Ответ:
IV. Самостоятельная работа контролирующего характера (дифференцированная).
1 ряд
I вариант
Рисунок 13
Дано:
– параллелограмм,
– диагональ,
Найти:
Решение:
Параллелограмм и имеют общую сторону
Ответ:
II вариант
Рисунок 14
Дано:
– параллелограмм,
– медиана,
Найти:
Решение:
– медианы,
(свойство диагоналей),
– общий,
имеют общую высоту, значит их площади
Ответ: 24.
V. Итог урока.Домашнее задание. Ученику следует выбрать для решения две любые задачи. При желании можно выполнить всё задание.
Задача 1. В треугольнике со сторонами вписан параллелограммпричём точки лежат на сторонах соответственно. Известно, что площадь параллелограмма составляет площади треугольника Найдите стороны параллелограмма.
Рисунок 15
Решение:
Пусть
1)
2)
3)
4) подобен по двум углам.
как накрест лежащие,
соответственные углы.
.
Составляем систему:
или
Ответ: 12 и 4 или 6 и 8.
Другой способ решения данной задачи:
1)
Пусть
2)
Ответ: 6 и 8 или 12 и 4.
Задача 2. В треугольнике на прямой выбрана точка так, что Точка середина стороны Прямая пересекает отрезок в точке Найдите площадь треугольника если площадь треугольника равна 120.
1 случай.
Рисунок 16
Решение:
(медиана).
Пусть
1)
2) и
Ответ: 12.
2 случай.
Рисунок 17
Решение:
1) медиана,
медиана;
Пусть ,
медиана,
2) общая высота, общая высота.
Ответ: 20.
Задача 3. Через точку лежащую в треугольнике проведены три прямые, параллельные всем сторонам треугольника. В результате треугольник разбился на 3 треугольника и 3 параллелограмма. Известно, что площади полученных треугольников равны соответственно 1;2,25и 4. Найдите сумму площадей полученных параллелограммов.
Рисунок 18
Найти:
Решение:
1) Рассмотрим
2) Рассмотрим
3) Рассмотрим
4)
Ответ: 13.
Задача 4. Площадь трапеции равна 810. Диагонали пересекаются в точке
Отрезки, соединяющие середину основания с вершинами и пересекаются с диагоналями трапеции в точках и Найдите площадь треугольника если одно из оснований трапеции вдвое больше другого.
1 случай.
Рисунок 19
Решение:
1) Рассмотрим четырёхугольник основания трапеции. параллелограмм.
2) по двум сторонам и углу между ними. Аналогично, Значит,
3) диагонали параллелограмма делят его на четыре равных по площади треугольника.
4) Т. к. то средняя линия треугольника
5) трапеция,
Пусть тогда
Ответ: 22,5.
2 случай.
Рисунок 20
Решение:
Пусть высота трапеции.
Положим Тогда
Треугольник подобен треугольнику с коэффициентом а треугольник подобен треугольнику с коэффициентом Тогда
Значит, Аналогично,
Следовательно,
Ответ: 14,4.
Литература:
1. Геометрия. 10 – 11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 22-е изд. – М.: Просвещение, 2013. – 255с.
2. Геометрия в таблицах. 7 – 11 кл.: Справочное пособие / Авт.-сост. Л.И. Звавич, А.Р. Рязановский. – 4-е изд., стереотип. – М.: Дрофа, 2000. – 128 с.
3. http://www.fipi.ru (Официальный сайт Федерального института педагогических измерений)