Решение задач на сплавы, смеси и растворы

Решение задач на сплавы, смеси и растворы.
Гасинов БатразРСО – Алания, г. Владикавказ
МОУ СОШ № 46 имени И.М. Дзусова, 7 класс
Рассмотрим условия разнообразных задач на сплавы, смеси и растворы. Конечно, на первый взгляд, эти условия сильно отличаются друг от друга.
№1 Имелось два сплава серебра. Процент содержания серебра в первом сплаве был на 25% выше, чем во втором. Когда сплавили их вместе, то получили сплав, содержащий 30% серебра. Определить веса сплавов, если известно, что серебра в первом сплаве было 4 кг, а во втором 8 кг.
№2 Имеется два сплава золота и серебра. В одном количество этих металлов находится в отношении 1:9, а в другим – 2:3. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получить 15 кг нового сплава, в котором золото и серебро относились бы как 1:4?
№3 Проценты содержания (по весу) спирта в трех растворах образуют геометрическую прогрессию. Если смешать первый, второй и третий растворы в весовом отношении 2:3:4 , то получится раствор, содержащий 32% спирта. Если же смешать их в весовом отношении 3:2:1, то получится раствор, содержащий 32%. Сколько процентов спирта содержит каждый раствор?
№4 Имеются три сплава. Первый сплав содержит 10% золота, 40% серебра и 50% меди, второй – 20% серебра и 80% меди, третий – 20% золота, 30% серебра и 50% меди. Сплавив их, получили сплав, содержащий 5% золота. Какое наибольшее и наименьшее процентное содержание серебра может быть в этом сплаве?
№5 К раствору, содержащему 30г соли, добавили 400г воды, после чего концентрация соли уменьшилась на 10%. Найти первоначальную концентрацию соли в растворе.
№6 Смешали 30% и 5% растворы соли с 500г воды и получили 1000г 10% раствора соли. Найти массы двух растворов соли, слитых в общий раствор.
Если решать такие задачи, используя каждый раз смысл процентного содержания компонента в сплаве, в смеси или в растворе, то решение получается достаточно трудоёмким.
Решение задач данного типа получается намного проще, если установить некоторые общие подходы в этих решениях.
А для этого рассмотрим следующие две задачи.
Задача №1.
Смешали m1 граммов a1% раствора кислоты c m2 граммами a2% раствора той же кислоты и получили с % раствор. Установите, что изменения концентраций в вступающих долях обратно пропорциональны массам соответствующих долей.
Доказательство.
Пусть a1.> a2 , тогда a1.>с > a2 .
Значит, нужно доказать равенство =.
Для этого используем смысл концентрации.
Найдем массу концентрированной кислоты в каждое из смешиваемых растворов.
a1% от m1 г,
от m1 г; m1 г – содержится в первом растворе.
a2% от m2 г,
от m2 г; m2 г – содержится во втором растворе.
Тогда в смешанном растворе масса концентрированной кислоты будет:
(г).
Так как m1+m2 есть масса смеси, то c = %=%.
найдем изменения концентраций в вступающих долях.
a1- c=
.
Найдем теперь отношение полученных изменений концентраций.
, то есть . Что и требовалось доказать.
Для использования этой пропорции к решению задач удобна следующая схема:
19678658128000367665209550003539490-19050018173708128000а1 % (m1 г)(а1-с) %
36766513906500с %
196786523050500а2 % (m2 г )(с-а2) %,
заполнение, которой облегчает ход решения.
Перейдем к более сложным сплавам.
Задача № 2. Имеются три сплава меди и цинка. Процент содержания меди в первом сплаве с массой m1 кг равен а1 %, во втором сплаве с массой m2 кг содержится а2 % меди, в третьем массой m3 кг - а3 % меди. Найдите процентное содержание меди в сплаве, полученном из этих трех сплавов.
Решение. Представим, что вначале сплавили два первых сплава. Условимся обозначать процентное содержание сплава через с(n), если сплавлены n сплавов. Значит, сейчас ищем с(2). По решению предыдущей задачи имеем:(%).
Выходит, что процентное содержание сплава из двух равно , а масса его равна m1+m2.
Сплавим с этим сплавом из двух третий сплав, получим:
;
.
Замечание.
Методом математической индукции можно доказать, что при смешивании n сплавов определенного вещества результативное процентное содержание имеет вид (1).
Доказательство.
Шаг 1. Равенство (1) верно при n =2, то есть .
Шаг 2. Допустим, что (1) верно при n= k, то есть (2).
Шаг 3. Докажем, что из справедливости равенства (1) при n=k вытекает его справедливость при n=k+1.
Пусть сплав массой m1+m2+…+mk и содержащий % некоторого вещества добавили mk+1 кг сплава того же вещества с процентным содержанием ak+1.
Тогда имеем:. А это означает, что формула (1) верна при любом n.
В схеме
3377565-190500196786581280003676652095500018173708128000а1 % (m1 г)(а1-с) %
36766513906500с %
196786523050500а2 % (m2 г )(с-а2) % , решения задач двух смесей, сплавов или растворов, а также и в формуле процентного содержания вещества при более сложных смесях числа процентов an можно заменить дробями dn, массы mn – заменять объемами vn или одновременно производить замены и тех и других величин:
3155951987550016249651123950014338301123950026631905524500d1 (v1)d1-d
31559515621000d162496512382500d2 (v2)d-d2, то есть .
, смотря на условия конкретных задач.
Решение №1.
С учетом равенства a1= a2+25 подготовим данные условия к заполнению таблицы
32937451289050017545051670050018294351289050042481512890500а1 % (m1 г)(а1-с) %
36766513906500с %
196786523050500а2 % (m2 г )(с-а2) %
m1 кг – 100%;
m2 кг- (а2+25)%;
;
m2 кг – 100%
8 кг- а2%

а1-с=(а2+25)-30=(а2-5)%
с-а2=30-а2
48196536576000(а2+25)%()кг-(а2-5)%
4819652381250030%
а2%()кг-(30-а2)%
;
;
;
;
;

а2=-20;25.
Из этих значений подходит только а2=25%.
При этом (кг), и (кг).
Ответ:m1=8кг; m2=32кг.
Решение № 2.
Заменим запись процентов в таблице просто отношением. Тогда в первом сплаве содержание золота будет , во втором -, а в новом -.
Пусть первый сплав имеет массу m кг, тогда (15-m)кг есть масса второго сплава.
При этом имеем таблицу
31432527622500212788523812500192214527622500352996523812500(m кг)- =
41338537719000
212788521907500(15-m кг)- =
Откуда ;
; m=30-2m;
3m=30;
m=10(кг)- нужно взять из первого сплава
15-10=5 (кг)- нужно взять из второго сплава.
Ответ: 10 кг; 5 кг.
Решения № 3,5,6 представлены в прилагаемой презентации.
Решение № 4. (Гиперссылка к соответствующему условию).
Пусть m1, m2, m3 – массы сплавов, а с (3)зол и с(3)с – процентное содержание золота и серебра в окончательном сплаве.
Тогда по выведенной формуле имеем систему:
-1733552984500
.
Из первого равенства выразим m2.
10m1+20m3=5m1+5m2+5m3 ;5m2=5m1+15 m3 ;m2 = m1+3m3.
Подставим найденное выражение во второе уравнение системы.
;
.
Выделим из полученной дроби целую часть.
.
Поделим числитель и знаменатель дроби на m3.
.
Так как , то .
Значит, 30-7,5=22,5% - наименьшее значение ;
30-0=30% - наибольшее значение .
Ответ: 22,5%; 30%.
Использованные источники
Задачи, поставленные учителем математики Бетановым Д.М.
«Сборник задач по математике» для подготовленных курсов,
Р.В. Сагитова, В.Г. Шершнева