Рабочая программа элективного курса по алгебре «Функции. Графики и свойства» 9 класс
МБОУ Кутуликская средняя общеобразовательная школа
Рабочая программа элективного курса по алгебре
«Функции. Графики и свойства»
9 класс
Разработана
Геворгян И. Т.,
учителем математики высшей
квалификационной категории
Пояснительная записка
В жизни мы часто встречаемся с зависимостями между различными величинами. Эти зависимости наиболее полно отражаются с помощью графиков. В курсе школьной программы идёт изучение функциональных зависимостей одних величин от других, изучение свойств этих зависимостей. Но чаще всего эта тема раскрывается неполно в связи с нехваткой времени, отводимого на изучение темы. Количество отводимых часов не позволяет показать всё многообразие задач по этой теме, научить учащихся глубоко понимать и использовать свойства функций. Однако в тестах по итоговой аттестации 9 и 11 классов уделяется большое внимание проверке умений читать по графику свойства функций, использовать их при решении других заданий.
Данный курс составлен на основе программы элективного курса по математике «Графики улыбаются», опубликованной в сборнике «Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов», автор - составитель М.Е. Козина, издательство «Учитель», Волгоград, 2007 год. Он развивает систему ранее приобретённых программных знаний, расширяет и углубляет курс математики основной школы.
Цель программы – создание условий для обоснованного выбора профиля обучения в старшей школе через оценку собственных возможностей в усвоении математического материала на основе расширения представлений о графиках основных функций.
Задачи:
- закрепление знаний учащихся о функциональных зависимостях, методах их задания и способах построения, свойствах основных функций;
- расширение представлений о видах функций и их свойствах: функции y=sin x, y=cos x, y=tg x, y=ctg x;
- формирование умения «читать» графики, определять свойства функций.
Курс рассчитан на учащихся 9 классов. Продолжительность курса 8 часов. Включенный в программу материал представляет познавательный интерес для учащихся. Требования к усвоению курса. Учащиеся должны - знать метод геометрических преобразований. Учащиеся должны уметь - применять метод геометрических преобразований на примере графиков различных функций, строить графики, содержащие модуль. Программа предусматривает разные типы занятий: уроки-лекции, уроки-практикумы, урок-семинар. Контроль над усвоением содержания курса проводится в форме зачётных заданий (тестов) по отдельным темам и на итоговом занятии-семинаре.
В результате изучения курса учащиеся смогут получить новые знания о тригонометрических функциях и их свойствах, закрепить умения строить графики различных функций, определять их свойства, использовать геометрические преобразования при построении графиков различных функций (смещение вдоль осей координат, деформация графиков). Введение материала о тригонометрических функциях выполняется на основе знаний учащихся о функциях из курса геометрии 8 класса.
Учебный план
№
Наименование разделов
Кол-во часов
1
Различные виды функций, способы их задания, геометрические преобразования, их свойства (линейная, квадратичная, обратной пропорциональности)
4
2
Функции у=|х|, у=13 EMBED Equation.3 1415, у=х3, их свойства, преобразования графиков
4
3
Тригонометрические функции, построение и преобразования графиков, свойства
4
4
Графики кусочно-заданных функций
4
5
Итоговое занятие-семинар
1
Содержание программы
1.Различные виды функций, способы их задания, геометрические преобразования, их свойства (линейная, квадратичная, обратной пропорциональности).
Цель: актуализировать и закрепить знания учащихся по видам функций, способам их задания, геометрическим преобразованиям, свойствам отдельных функций. На первом занятии необходимо провести с учащимися беседу о целях и задачах курса, о важности материала для итоговой аттестации, как в основной, так и в средней школе; рассказать о структуре курса, объяснить, как получить зачёт. Систематизировать знания о способах задания функции (словесный, табличный, аналитический и графический), о видах функции, функциональной символике. При необходимости провести тестирование учащихся по проверке базовых знаний.
Работу учащихся можно организовать (при наличии времени) по отдельным группам: группа линейной функции, группа квадратичной функции, группа функции обратной пропорциональности. Так как материал учащимся знаком, можно организовать его обобщение с помощью детей: группы готовят материал по истории функции, применении её в жизни человека, о преобразовании графиков функции, на готовых примерах объясняют свойства (область определения, множество значений, возрастание, убывание функций, нули функции, чётность, нечётность, выпуклость, наименьшее и наибольшее значения, ограниченность). Учитель контролирует материал, который дают группы, задаёт провокационные вопросы и задания повышенного уровня сложности, проводит индивидуальное или групповое консультирование.
2. Функции у=|х|, у=13 EMBED Equation.3 1415, их свойства, преобразование графиков
Цель: закрепить и расширить знания учащихся о данных функциях, их свойствах и геометрических преобразованиях, научить применять их к построению более сложных графиков (с модулем и квадратным корнем).
В зависимости от времени проведения курса и знаний, имеющихся у учащихся (разные учебники имеют разное планирование материала), работу по этому блоку можно построить в виде лекции или беседы с последующей практической работой. Необходимо дать учащимся основные правила построения графиков функции с модулем: у=|f(x)|, y=f(|x|), y=|f(|x|)|, |y|=f(x), пояснить последовательность применения правил при выпол-нении построения. Можно дать понятие обратной функции на примере функций у=х2 и у=13 EMBED Equation.3 1415 и провести тест по усвоению данного материала.
3. Тригонометрические функции, построение и преобразования графиков, свойства
Цель: познакомить учащихся с построением графиков тригонометрических функций, геометрическими преобразованиями данных графиков, некоторыми свойствами функций.
Материал даётся в виде лекции, начиная с единичной окружности, на которой необходимо показать значение полуокружности, четверти и др. (
·, 2
·,
·/2,
·/3,
·/4,
·/6, 3
·/2), дать понятие синуса как ординаты точки, а косинуса как абсциссы. Выполнить построение графиков в системе координат с пояснением расположения основных точек, необходимых для построения, дать понятие периода и показать его на графике. Геометрические преобразования начать с простого переноса осей плоскости на определённое количество клеток. После этого выяснить изменения в записи формул и соотнести их с записями формул других функций. Деформацию графиков рассмотреть через период функций: увеличение или уменьшение в зависимости от коэффициента. Функции у=tg x и у=ctg x изучаются позднее, так как имеют свои особенности. Необходимо ввести понятие асимптоты и обратить внимание на различия графиков. Свойства данных функций в полном объёме давать не следует, разобрать только основные.
4. Графики кусочно-заданных функций
Цель: закрепить умения строить графики кусочно-элементарных функций, понять необходимость их применения.
В данном блоке необходимо дать понятие кусочно-элементарной функции, выполнение условий согласования (разрыв в точках перехода), некоторые свойства, показать возможность рисовать с помощью этих графиков.
Учебно-тематическое планирование
№
Название темы
Кол-во часов
Виды деятельности
1
Различные виды функций, способы их задания, геометрические преобразования, их свойства
4
Беседа,
тестирование,
практикум (творческие отчёты групп)
1.1
Функциональная символика, виды функций, способы их задания.
1.2
Линейная, квадратичная функции, функция обратной пропорциональности
1.3
Геометрические преобразования графиков, свойства функций
2
Функции у=|х|, у=13 EMBED Equation.3 1415, их свойства, преобразования графиков
2
2.1
Построение графиков функций, содержащих модуль, на основе геометрических преобразований, свойства
1
Беседа, практикум
2.2
Построение и преобразование графиков функций, содержащих знак квадратного корня, свойства данной функции, определение обратной функции
1
Беседа, практикум, тестирование
3
Тригонометрические функции, построение и преобразование графиков, свойства
2
3.1
Функции у=sin x, y=cos x
Преобразования графиков, их основные свойства, деформация графиков
1
Лекция
Практикум
3.2
Функции y=tg x, y=ctg x
Преобразования графиков, их основные свойства, деформация графиков
1
Лекция
Практикум
4
Графики кусочно-заданных функций
2
4.1
Построение графиков кусочно-заданных функций, отдельные свойства
1
Беседа, практикум
4.2
Рисование с помощью графиков
1
Практикум
5
Итоговое занятие
1
Семинар
Дидактический материал
1 блок
1. Постройте графики функций в одной системе координат:
у=(3-х)/2 и у=0,5х+1,5 и сделайте вывод по взаимному расположению графиков;
у=(х-6)/3 и у=1/3х+4 и составьте ещё несколько формул подобного расположения графиков функций;
у=(х2-2х)/(12-6х), при каких значениях аргумента функция принимает отрицательные значения;
у=(х2-5х+6)/2-х, при каких значениях аргумента функция принимает положительные значения.
у=6/х; у=6/х-1; у=6/х+1 и сделайте вывод о взаимном расположении графиков;
у=6/(х-1); у=6/(х+1); у=6/(х-1)+1; у=6/(х+1)-1 и составьте ещё несколько формул подобного расположения;
у=х2, у=х2-3, у=х2+4, у=(х-3)2, у=(х+4)2, у=(х-3)2+4, определите известные вам свойства последней функции;
2. Определите:
область определения функции, заданной формулой: у=х/(х-1); у=1/х(х+4); у=6
чётная или нечётная функция f(х)=5х2-2; f(x)=8x3-2x; f(x)=(x-1)2+(x+1)2; f(x)=1/(x2-1); f(x)=1/(x7-x3)
промежутки возрастания и убывания функции у=5/(2х+1); у=3х2-4х+7;
ограничены ли функции у=3х-х2; у=2х-1; у=х2-4;
нули функции и промежутки знакопостоянства у=(х2-9х+14)/х.
2 блок
1. Постройте график функции и сделайте вывод о взаимном расположении графиков:
у=|х|; у=|х-3|; у=|х+3|; у=|х|-3; у=|х|+3; у=-3|х|; у=|х-3|+3;
у=|2х-3|; у=|3-х2|; у=|(|х|-3)2-2|; |у|=2х2-5;
у=13 EMBED Equation.3 1415; у=13 EMBED Equation.3 1415-3; у=13 EMBED Equation.3 1415 у=313 EMBED Equation.3 1415;
у=х3+4; у=-х3-2; у=(х-2)3; у=2(х-2)3+1
2. Исследуйте функцию:
у=13 EMBED Equation.3 1415; у=13 EMBED Equation.3 1415
у=х2-2|х|-3; у=|х2+2х-3|
у=-2х3+1; у=(х+1)3-2
3 блок
1. Постройте график функции:
у=sin x и выполните перемещение графика вдоль оси х на
·/6 вправо и на 2 вверх; запишите данное преобразование формулой получившегося графика;
у=cos x, выполните сжатие графика вдоль оси х в 2 раза;
y=2sin x-3; определите период и промежутки знакопостоянства;
у=0,5cos (2x+
·/4)-1, определите область определения и множество значений функции;
у=-sin х и у=-cos x определите свойства;
у=tg x и выполните перемещение графика вдоль оси х на
·/3 вправо и на 1 вниз; запишите данное преобразование формулой;
у=ctg x, выполните перемещение вдоль оси х на
·/6 влево и на 1 вверх;
у=tg(х+
·/4)+2, определите область определения и нули функции;
у=ctg(х-
·/3), определите множество значений функции, период.
4 блок
постройте график кусочной функции
8/х, при х
·-4,
(х+3)2+1, при -4<х
·-2,
|х|, при-2<х
·5,
(х-6)2+6, при 5<х
·8,
16/х, при х>8.
-х-1, при х<-1,
х+1, при -1
·х
·0,
-х+1, при 0<х<1,
х-1, при х
·1.
2-2х2, если -1
·х
·1,
х-1, если х>1,
-х-1, если х<-1.
(х-2)/2, при х
·-2,
-2, при -2
(х-6), при х
·2.
(1-х)(х+3), если х
·1,
(х-1)(х+3), если х>1.
-|х|, если |х|
·2,
x2-6, если |х|>2.
4/х, если х
·-2,
х, если -2
х2-4х+4, если х>1.
x2-4х-1, если х
·4,
-х2+4х-1, если х<4.
задайте функции у=х+|х-2|-|х| и у=|х+1|+|х|-|х-2| в виде кусочно-линейной и постройте графики
выполните построение графиков функций в одной системе координат
у=0,2х2-6, при -4
·х
·7; у=0,5х2-3, при -2
·х
·3; у=-(х+1)2-7, при -2
·х
·0;
у=-(х-1)2-7, при 0
·х
·2; у=-(х+5)2-2, при -7
·х
·-4; у=(х+6)2-6, при -7
·х
·-4;
|х|=2, при -8
·у
·-5,7; у=7х/11-5/11, при -4
·х
·7.
Тесты
Тест №1.
1. Какая из функций, приведённых ниже, является линейной:
а) у=1/х-3; б) у=х-3; в) у=х2-3.
2. Область определения функции 13 EMBED Equation.3 1415
а) х
·4; б) х
·4; в) х
·0.
3. Найдите значение функции у=1/(х-3)+1 при х=-2:
а) 0,8; б) 0; в) -2.
4. График функции у=4/х называется:
а) прямой; б) гипербола; в) парабола.
5. Какой из графиков параллелен прямой у=-х:
а) х-у=3; б) у=1-х; в) 2х-3у-1=0.
6. Каждый график соотнесите с соответствующей ему формулой:
а) у=2/х; б) у=2х; в) у=2-х2; г) y=2х+2
7. Найдите координаты точки пересечения графиков функций у=-4х-1 и у=2х+5:
а) (0;5) б) (1;7) в) (-1;3).
8. Функция у=6/х при х
·0:
а) возрастает; б) убывает; в) постоянна.
9. Какому из графиков принадлежит точка М(-2;-4):
а) у=2x2; б) у=х3/2; в) у=6/х.
Тест №2
1. Угловой коэффициент линейной функции 3х-2у-4=0 равен:
а) 2/3; б) 3/2; в) -2/3; г) -3/2.
2. Найдите наибольшее значение линейной функции у=3-2х на отрезке [2;4]:
а) 11; б) 7; в) -5; г) -1.
3. Какая из перечисленных функций является ограниченной снизу:
а) у=-2х2-5х+3; б) у=3х2-1; в) у=-3х2+х+1; г) у=2/х+2.
4. Уравнение оси симметрии параболы у=2х2-7х+1 имеет вид:
а) х=4/7; б) х=7/4; в) х=-4/7; г) х=-7/4.
5. Найдите значения b, при которых парабола у= 2х2+bх+18 касается оси х. Для каждого значения b определите координаты точки касания.
6. Вычислите значение функции у=х/(х2-1) в точке х=2:
а) 3/2; б) 2/3; в) 2; г)2/5.
7. Прямая 3х+2у=с, где с – некоторое число, касается гиперболы у=6/х в точке с положительными координатами. Вычислите координаты точки касания.
Тест №3
1. Найдите недостающую координату точки Р(х;3), если она принадлежит графику функции у=13 EMBED Equation.3 1415/(13 EMBED Equation.3 1415-1):
а) 9/4; б)
·2; в) 4/9; г) Ѕ.
2. Найдите область определения функции у=13 EMBED Equation.3 1415:
а) (-1;+
·); б)[1;+
·); в) (-
·; 1]; г) (-
·;-1].
3. Исследуйте функцию у=х/|х| на чётность и ограниченность:
а) чётная и ограниченная; в) нечётная и ограниченная;
в) чётная и неограниченная; г) нечётная и неограниченная.
4. Найдите наибольшее значение функции у = -х3 на отрезке [-2;1]:
а) 6; б) 0; в) 1; г)8.
5. найдите область определения функции
13 EMBED Equation.3 1415
а) (0; +
·); б) [0; +
·); в) (-
·; +
·); г) (-
·; 0) и (0; +
·).
6. Точка М(2; 4) принадлежит графику у=f(х). Отметьте соответствующие ей точки в результате преобразования этого графика.
Функции/точки
(2;4)
(-2; 4)
(2; -4)
(-2; -4)
у=|f(x)|
у=f(|x|)
|y|=f(x)
y=|f(|x|)|
|y|=f(|x|)
|y|=|f(x)|
Тест №4
1. Найдите область определения функции у = (3х-7)/cos x:
а) (-
·;+
·); б) (-
·;0) и (0;+
·); в) х
·
·/2+
·k; г) х
·
·k
2. найти множество значений функции у=-2sin 5x:
а) [-10; 10]; б) [-5; 5]; в) [-2; 2]; г) [-2; 0]
3. Выполните построение графика функции у=3sin(х/2)-2.
4. Завершите запись формулы у=tg x так, чтобы получившаяся функция оказалась чётной.
5. Выполните построение графика гармонического колебания у= 0,5sin2(х+
·/3).
6. Постройте график функции у=2cosх+1. По графику найдите промежутки возрастания и убывания функции.
Задания для семинара
1. Прямая у=-2х+2 пересекает прямую у=х и ось абсцисс в точках А и В соответственно. Найдите площадь треугольника АВО, где О – начало координат.
4/х, если х
· -2,
х, если -2<х
·1,
x2-4х+4, если х>1.
2. Прямая проходит через точку (0;3) и касается гиперболы у=3/х. В какой точке эта прямая пересекает ось абсцисс.
3. Установите истинность высказываний:
множество значений функции у=|х|-2 является промежуток [-2; +
·)
функция у=3х4+5/х2-8|х| - чётная
функция у=1/х3 – ограниченная
функция у=18/х убывает на промежутке(-
·; 0) и на промежутке (0;+
·)
функция у=х2-7х+10 имеет нули х=2, х=5
функция у=-8/х возрастает на промежутке (0;+
·)
период функции у=sin x равен 2
·
4. Найдите наибольшее значение функции у=-х+413 EMBED Equation.3 1415+1. При каком значении аргумента оно достигается.
5. Постройте график функции у=|х2-2х-3|. Сколько общих точек может иметь с этим графиком прямая у=m.
Требования к усвоению курса
Учащиеся должны знать:
- метод геометрических преобразований.
Учащиеся должны уметь:
-применять метод геометрических преобразований на примере различных графиков функций;
-строить графики, содержащие модуль;
-строить графики тригонометрических функций
Литература
1. Маркова В.И. Деятельностный подход в обучении математике в условиях предпрофильной подготовки и профильного обучения [Текст] / В. И.Маркова.-Киров: КИПК и ПРО, 2006
2. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики: Учеб.-метод. Пособие / А.Г. Мордкович.-2-е изд., доп. и перераб.- М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2005
3. Виленкин Н.Я. и др. Алгебра и математический анализ для 10 класса: Учеб. Пособие для учащихся шк. и классов с углубл. изуч. математики / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд.- 3-е изд., дораб. – М.: Просвещение, 1992
4. Егерев В.К., Радунский Б.А., Тальский Д.А. Методика построения графиков функций / Издательство «Высшая школа» Москва-1967
5.Алгебра: сб. заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 кл. / [Л.В. Кузнецова, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.].- 3-е изд.- М.: Просвещение, 2008
6. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. Вып. 2 / авт.-сост. М.Е. Козина. – Волгоград: Учитель, 2007