Способы решения задач на растворы, смеси и сплавы
Тема: «Способы решения задач на растворы, смеси и сплавы»
Оглавление:
1.Введение……………………………………………………………………………………………..
2. Задачи на растворы, смеси и сплавы…………………………………………..
2.1.Теоретические основы решения задач на растворы, смеси и сплавы ………………………………………………………………………………………
2.2.Способы решения задач на растворы, сплавы и смеси…………….
2.3.Решение задач на растворы, смеси и сплавы…………………………….
3.Заключение………………………………………………………………………………….
4.Список источников информации………………………………………………..
5.Приложение………………………………………………………………………………...
Введение
При подготовке к сдаче ЕГЭ по математике на профильном уровне встретила задачи на растворы, смеси и сплавы, которые в школьном курсе математики почти не рассматриваются.
Они также встречаются на уроках химии и физики.
Имеют практическое значение в повседневной жизни. Например, как правильно приготовить маринад для консервирования, как смешать клей для обоев, приготовить раствор для заливки фундамента дома, разбавить уксусную кислоту для употребления в пищу, приготовить различной концентрации растворы.
Задачи на растворы, смеси и сплавы являются хорошим средством развития логического мышления, средством к углублению свои знаний . Одним из возможных путей подготовки к ЕГЭ является изучение методов (способов, алгоритмов) решения задач на растворы, смеси и сплавы. В данной ситуации будет полезным не только самому научиться решать такого типа задачи, но и научить одноклассников.
Объект исследования: Задачи на смеси и сплавы
Предмет исследования: Способы решения задачи на растворы, смеси и сплавы
Цель: Изучить способы решения задач на смеси и сплавы.
Задачи: 1. Изучить способы решения задачи на растворы, смеси и сплавы.
2.Выявить алгоритм решения задач данного вида.
3. Научиться решать задачи на растворы, смеси и сплавы. Гипотеза: все задачи на растворы, сплавы и смеси делятся на несколько типов, а каждый из типов имеет конкретный способ решения.
Человеку часто приходится смешивать различные жидкости, порошки, газообразные или твердые вещества, или разбавлять что-либо водой.
В задачах такого типа эти операции приходится проводить мысленно и выполнять расчеты.
Текстовые задачи на смеси, сплавы и растворы входят в различные сборники заданий по подготовке к итоговой аттестации по математике за курс основной школы, включаются в варианты ЕГЭ.
Теоретические основы решения задач на растворы, смеси, сплавы.
Чтобы лучше понимать условия задач, необходимо знать следующие понятия:
Все получающиеся сплавы или смеси однородны.
При решении этих задач считается, что масса смеси нескольких веществ равна сумме масс компонентов.
Процент - одна сотая любого вещества.
Производительность объекта - скорость работы
Процентным содержанием ( концентрацией) вещества в смеси называется отношение его массы к общей массе всей смеси. Она показывает долю вещества в растворе.
Это отношение может быть выражено либо в дробях, либо в процентах.
Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна единице.
Глава 2. Типы задач «на смеси сплавы, растворы». Способы их решения.
Все задачи на растворы, смеси, сплавы, можно разделить на три типа:
на вычисление концентрации;
на вычисление количества чистого вещества в смеси (или сплаве);
на вычисление массы смеси (сплава).
Существуют следующие способы решения задач:
с помощью таблиц;
с помощью схемы;
старинным арифметическим способом;
алгебраическим способом;
с помощью графика;
с помощью расчетной формулы.
правило квадрата
приравнивание площадей равновеликих прямоугольников
Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ
Правило креста
Алгоритм решения задачи на сплавы, растворы и смеси:
Изучить условия задачи;
Выбрать неизвестную величину (обозначить ее буквой);
определить все взаимосвязи между данными величинами;
Составить математическую модель задачи (выбрать способ решения задачи, составить пропорцию или уравнение относительно неизвестной величины) и решить ее;
провести анализ результата.
Глава 3. Рассмотрим несколько задач и решим их различными способами.
Задача 1. Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г70 % -го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты?
Решение: 1 способ – с помощью таблицы:
Наименование веществ, смесей Наименование веществ, смесей Масса
раствора (г) Масса вещества (г)
Исходный раствор 70 % = 0,7 200 0,7·200
Воды долили - x -
Новый раствор 8 % = 0,08 200 + x 0,08(200 + x)
Так как подливали только воду, масса уксусной кислоты в растворе не изменилась. Составляем уравнение : 0,08(200 + х) = 0,7·200
16 + 0,08х = 140
0,08х = 124
х = 1550г
Ответ :1,55 кг воды.
2способ: с помощью схемы: Пусть в сосуд долили х литров воды. Получаем схему:
Уксусная кислота
Уксуснаякислота
70%
8% + х литров воды
200 (200 + х) г.
0,08(200 + х) = 0,7·200; 16 + 0,08х = 140; 0,08х = 124; х = 1550г Ответ :1,55 кг воды.
Задача 2: В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение - с помощью формулы:
Концентрация раствора равна
Объем вещества в исходном растворе равен 0,12*5=0,6 литра. При добавлении 7 литров воды общий объем раствора увеличится, а объем растворенного вещества останется прежним. Таким образом, концентрация полученного раствора равна:
Ответ: 5.
75495159776460
00
Задача 3: Сначала приготовили 25%-ый водный раствор поваренной соли. Затем одну треть воды выпарили. Найдите концентрацию получившегося раствора.
Решение – с помощью схемы:
До выпаривания:
После выпаривания:
Сейчас соль стала составлять третью часть всего раствора, т.е. 100% : 3 = %
Ответ:%.
Задача 4: Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение: 1 способ – с помощью формулы.
Пусть количество каждого из растворов было V. Тогда количество сухого вещества в первом растворе 0,15V , а во втором – 0,19V. После того как растворы смешали их общий объем стал 2V, а количество сухого вещества в смеси стало 0,15V+0,19V. Концентрация раствора равна:
Таким образом, концентрация полученного
раствора равна:
Ответ: 17.
2 способ - правило креста или прямоугольника
15 19-х
х 19 Х-15
Запишем исходные концентрации в левый столбец таблицы, искомую полученную концентрацию х запишем в центральный столбец. Правый столбец таблицы заполним разностями исходных и полученной концентрации, вычитая из
большей концентрации меньшую.
Отношение полученных разностей
равно отношению долей, в которых требуется смешать растворы для получения из растворов исходной концентрации раствора с требуемой концентрацией. Так как объемы смешиваемых растворов равны, имеем:
Ответ: 17.
Задача 5. Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Решение - с помощью схемы:
Задача 6 Свежие абрикосы содержат 80 % воды по массе, а курага (сухие абрикосы) – 12 % воды. Сколько понадобится килограммов свежих абрикосов, чтобы получить 10 кг кураги?
Решение: (с помощью схемы)
При высыхании абрикосов испаряется вода, количество сухого вещества не изменяется. Выразим количество сухого вещества в свежих абрикосах и в кураге. Пусть взяли х кг свежих абрикосов. Тогда схема для решения такой задачи имеет вид: вода
вода
с.в.
с.в.
20%
88%
х кг *0,2
10 кг *0,88
80%
12%
=
вода
вода
с.в.
с.в.
20%
88%
х кг *0,2
10 кг *0,88
80%
12%
=
Составим уравнение, подсчитав количество сухого вещества в левой и правой части схемы:
0,2х=8,8
х=44.
Ответ:44кг.
Задача 7. При смешивании 5% -ного раствора кислоты с 40% -ным раствором кислоты получили 140 г 30% -ного раствора. Сколько грамм каждого раствора надо было взять?
5 10
30 40 25
Решение - старинным арифметическим способом.
Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре их большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей чёрточки. Получилась схема:
Из неё делается заключение, что 5% раствора следует
взять 10 частей, а 40 % - 25 частей. Узнав, сколько
приходится на одну часть 140: (10+25) = 4 г., получаем,
что 5% - ного раствора необходимо взять 40г,
а 40% -ного -100 г
Ответ: 40 г - 5% -ного раствора и 100г - 40% - ного раствора.
Задача 8 : В 100г 20%-ного раствора соли добавили 300г её 10%-ного раствора. Определите процентную концентрацию раствора
с помощью расчетной формулы
m1=100г .
m2=300г . а=а1m1+а2m2m1+m2 а=0,2*100+0,1*300100+300 =0,125
а1=0,2 .
а2=0,1 .
………….
а -? Ответ:12,5%
с помощью правила креста
0,2 Х- 0,1
Х
0,1 0,2- Х
1:3=(х-0,1):(0,2-х);
Х=0,125; х=12,5%.
Ответ: х=12,5%.
Задача 9: Смешали 30%-й раствор соляной кислоты с 10%-ым раствором и получили 600 г 15%-го раствора. На сколько граммов масса первого раствора меньше массы второго?
Решение: 1 способ – алгебраический.
Обозначим x массу первого раствора, тогда масса второго (600 - x).
Составим уравнение:
0,3x + 0,1* (600 - x) = 600 * 0,15; 0,3х + 60 - 0,1х = 90 0,2х = 3
x = 150 ( г.) масса 1 раствора
600 - 150 = 450 (г.) масса 2 раствора
450-150 = 300 (г.)
Ответ: на 300 г. масса 1 раствора меньше массы 2 раствора
2 способ – графический:Рассмотрим прямоугольники с площадями S1 и S2. Прямоугольники равновелики, так как количество соляной кислоты в обоих растворах после смешивания одинаково (Масса смеси умноженная на концентрацию равна количеству чистого вещества.) Приравняв площади, равновеликих прямоугольников получаем
15x = 5 (600- x); 15х = 3000 – 5х; 15х + 5х = 3000
20х = 3000 Х = 150; 600 – 150 = 450г; . 450-150 = 300 (г.)
Ответ: на 300 г. масса 1 раствора меньше массы 2 раствора
Задача 10: Первый сплав содержит 10% меди, второй – 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.
3396615533781000Решение – старинный арифметический способ:
10 10
30 40 20
Пусть масса первого сплава равна m кг,
тогда масса второго сплава m+3 кг.
Заполним таблицу:
Отношение полученных масс равно отношению
долей, в которых требуется сплавлять исходные сплавы. Поэтому
Тогда масса второго сплава равна 6 кг, а масса третьего сплава равна 9 кг.
Ответ: 9.
Задача 11.Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?
золото:серебро2:3 золото:серебро3:7
золото:серебро5:11
Х У
По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава.
Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение
25*х + 310 * у = 516* 1
Аналогично массу серебра и получаем уравнение
35 * х + 710 * у = 1116 * 1
Записываем одну из систем:
х + у = 1 { 25х + 310 у = 516 {
х + у = 1
35 х + 710 у = 1116 Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875
Ответ: 125 г и 875 г.
Задача12:Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?
Решение:Так как первый раствор 20 % - й, то в нем 0,2 объема занимает «чистая» кислота. Так как объем первого раствора равен 0,5л, то в этом количестве содержится 0,2*0,5=0,1 л «чистой» кислоты.
Аналогично во втором растворе будет содержаться 0,3*1,5=0,45л «чистой» кислоты.
При смешивании растворов получим 0,5+1,5=2л кислотного раствора, в котором 0,1+0,45=0,55л «чистой» кислоты.
Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе есть отношение 0,55:2=0,275, т.е.27,5%.
Ответ: концентрация кислоты в новом растворе 27,5%
Задача 13.От двух кусков сплава с массами 3 кг и 2 кг и с концентрацией меди 0,6 и 0,8 отрезали по куску равной массы. Каждый из отрезанных кусков сплавлен с остатком другого куска, после чего концентрация меди в обоих сплавах стала одинаковой. Какова масса каждого из отрезанных кусков?
Так как в обоих сплавах концентрация меди после двух операция
стала одинаковой, то массы сплавов и массы меди в этих сплавах
пропорциональны.
Первоначально массы меди в сплавах равны 0,6*3(кг) и 0,8*2(кг).
После того, как отрезали куски массой х(кг), содержание меди стало 0,6(3-х) и 0,8(2-х),
а после сплавления
216789017780000 1,8+0,2х
4863465825500378714029400500 0,6(3-х) + 0,8х и 0,8(2-х) +0,6х 1,6-0,2х mm (кг)
216789041656000 1,8+0,2х1,6-0,2х = 32 , х = 1,2
2 3 mc(кг)
Ответ: 1,2 кг
Задача 14. Латунь – сплав меди и цинка. Кусок латуни содержит меди на 11 кг больше, чем цинка. Этот кусок латуни сплавили с 12 кг меди и получили латунь, в котором 75% меди. Сколько килограммов меди было в куске латуни первоначально?
Обозначим искомую величину за х.
Тогда масса первоначального куска латуни 2х – 11, а его содержание меди составляет р = 100х2х-1 процентов.
Поскольку «медность» куска меди 100%, то по правилу квадрата получаем: р 25
75 2575-р =2х-1112 х= 22,5
100 75-р
Ответ: 22,5 кг меди было в куске латуни
Задача 15. В бидон налили 4л молока трехпроцентной жирности и 6л молока шестипроцентной жирности. Сколько процентов составляет жирность молока в бидоне?
Обозначим искомую величину за Х.
По правилу квадрата получим: 3 6-х
Х
6 х-3
Составим пропорцию:6-хх-3 =46 х= 4,8
Ответ: 4,8 % - жирность молока
Способ Л.Ф.Магницкого для трех веществ
Задача 16. Некто имеет чай трех сортов –цейлонский по 5 гривен за фунт,
индийский по 8 гривен за фунт и китайский по 12 гривен за фунт. В каких долях нужно смешать эти сорта, чтобы получить чай
стоимостью 6 гривен за фунт?
853440209550008534401238250015811520955100 5 6 6
158115189866006
12 1 2/8
…………………………………………………………………………..
22479018034000939165755650085344018034000 5 2 1
158115198755006
8 1 1/10
Взять 6+2=8 частей чая ценой по 5 гривен и по одной части ценой 8 гривен и 12 гривен за один фунт.
Возьмем 8/10 фунта чая ценой по 5 гривен за фунт и по1/10 фунта чая ценой 8 и 12 гривен за фунт, то получим 1 фунт чая ценой
8/10*5 + 1/10*8 + 1/10*12 = 6 гривен
Задача17.Имеется два сплава меди и свинца. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65% меди. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?
Изобразим каждый из сплавов в виде прямоугольника, разбитого на два фрагмента (по числу составляющих элементов). Кроме того на модели отобразим характер операции – сплавление, поставим знак «+» между первым и вторым прямоугольниками. Поставив знак «=» между вторым и третьим прямоугольниками, мы тем самым показываем, что третий сплав получен в результате сплавления первых двух. Полученная схема имеет следующий вид:
5791206032500
Теперь заполняем получившиеся прямоугольники в соответствии с условием задачи:
Над каждым прямоугольником («маленьким») указываем соответствующие компоненты сплава. При этом обычно бывает достаточно использовать первые буквы их названия (если они различны). Удобно сохранять порядок соответствующих букв.
Внутри прямоугольников вписываем процентное содержание (или часть) соответствующего компонента. Понятно, что если сплав состоит из двух компонентов, то достаточно указать процентное содержание одного из них. В этом случае процентное содержание второго компонента равно разности 100% и процентного содержания первого.
Под прямоугольником записываем массу (или объем) соответствующего сплава (или компонента).
Рассматриваемый в задаче процесс можно представить в виде следующей модели- схемы:
472440070485медь
00медь
411480070485свинец
00свинец
289560070485медь
00медь
228600070485свинец
00свинец
53340070485свинец
00свинец
114300070485медь
00медь
281940012954065%
0065%
339852068580=
00=
172212068580+
00+
469392015176530%
0030%
111252015176515%
0015%
46177209144000278892091440001036320914400040081209144000217932091440004267209144000
187452012827000
438912014605200г
00200г
Решение.
1-й способ. Пусть хг – масса первого сплава. Тогда, (200-х)г – масса второго сплава. Дополним последнюю схему этими выражениями. Получим следующую схему:
72008910796свинец
свинец
свинец
медь
медь
медь
15%
65%
30%
х г(200-х) г
200 г
+
=
00свинец
свинец
свинец
медь
медь
медь
15%
65%
30%
х г(200-х) г
200 г
+
=
Сумма масс меди в двух первых сплавах (то есть слева от знака равенства) равна массе меди в полученном третьем сплаве (справа от знака равенства):
Решив это уравнение, получаем х=140. При этом значении х выражение 200-х=60. Это означает, что первого сплава надо взять140г, а второго-60г.
Ответ:140г. 60г.
2-й способ. Пусть х г и у г – масса соответственно первого и второго сплавов, то есть пусть исходная схема имеет вид:
68580096520свинец
свинец
медь
медь
15%
65%
х гy г
свинец
медь
30%
200 г
+
=
00свинец
свинец
медь
медь
15%
65%
х гy г
свинец
медь
30%
200 г
+
=
Легко устанавливается каждое из уравнений системы двух линейных уравнений с двумя переменными:
Решение системы приводит к результату: Значит, первого сплава надо взять 140 г, а второго-60 г.
Ответ: 140г,60г.
Задача18. В 4кг сплава меди и олова содержится 40% олова. Сколько килограммов олова надо добавить к этому сплаву, чтобы его процентное содержание в новом сплаве стало равным 70%?
Решение: Пусть х кг – искомое количество олова. Тогда масса полученного сплава равна (4+х) кг. Составим схему и внесем эти выражения на схему:
457200124460олово
олово
олово
медь
медь
100%
4кг
х гхкг(4+х)кг
40%
70%
+
=
00олово
олово
олово
медь
медь
100%
4кг
х гхкг(4+х)кг
40%
70%
+
=
Составим уравнение, подсчитав массу олова слева и справа от знака равенства на схеме. Получаем уравнение: (1), корнем которого служит
Отметим, что уравнение можно составить и на основе подсчета массы меди слева и справа от знака равенства. Для этого понадобится знать процентное содержание меди в данном и полученном сплавах. Внесем эти данные в схему:
533400161925олово
олово
олово
медь
медь
60%
30%
4 кг
х гх кг(4+х) кг
+
=
00олово
олово
олово
медь
медь
60%
30%
4 кг
х гх кг(4+х) кг
+
=
В этом случае получаем следующее уравнение:
(2).
Уравнение (1) равносильно уравнению (2). В этом легко убедиться, решив последнее уравнение. Его корень равен 4. Обычно решают то уравнение, которое проще. В нашем случае разница не так заметна. Вместе с тем, второе уравнение содержит переменную только в одной (правой) части и его обе части сразу можно разделить на 0,3. Поэтому предпочтение можно отдать второму уравнению.
Ответ:4кг.
Задача 19. К некоторому количеству сплава меди с цинком, в котором эти металлы находятся в отношении 2:3, добавили 4 кг чистой меди. В результате получили новый сплав, в котором медь и цинк относятся как 2:1. Сколько килограмм нового сплава получилось?
Решение.
Прежде чем составлять схему, уточним, что в первом сплаве медь составляет , а в полученном сплаве - . Обозначим массу полученного сплава х кг, и внеся указанные части в соответствующие фрагменты схемы, получаем:
571500-457200цинк
медь
медь
медь
цинк
2/5
1
(x-4) кг
х г4 кг
х кг2/5
2/3
+
=
00цинк
медь
медь
медь
цинк
2/5
1
(x-4) кг
х г4 кг
х кг2/5
2/3
+
=
Нетрудно составить уравнение, подсчитав количество меди слева от знака неравенства, и приравняв его к количеству меди, справа от него. Получаем уравнение: Решив его, получаем искомое значение: х=9.
Замечание. Можно было составить уравнение на основе подсчета массы цинка в обеих частях неравенства. Для этого внесем в схему необходимые данные:
1)если в первом сплаве медь составляет часть , то цинк – ;883920358775медь
медь
медь
цинк
цинк
3/5
1/3
(x-4)кг
х г4кг
хкг2/5
+
=
00медь
медь
медь
цинк
цинк
3/5
1/3
(x-4)кг
х г4кг
хкг2/5
+
=
2) если в полученном сплаве медь составляет часть , то цинк – .
Уравнение в этом случае имеет вид:
Это уравнение равносильно предыдущему.
Ответ х= 9кг.