Элективный курс по математике Проценты на все случаи жизни 9 класс
Элективный курс для учащихся 10-11 классов
«Проценты на все случаи жизни»
Аннотация программы
Понятие «проценты» вошло в нашу жизнь не только с уроками в средней школе и с проведением сложных научно-исследовательских работ, не только с выпечкой кулинарных изделий и приготовлением лакомств, солений и варений, оно буквально атакует нас в пору утверждения рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, кредитов, инфляций, девальваций. Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.
Элективный курс «Проценты на все случаи жизни» призван помочь старшеклассникам систематизировать знания и умения по теме проценты, повысить свою математическую и алгоритмическую культуру, достичь уверенных навыков в решении стандартных задач по алгебре, освоить эвристические подходы к решению нестандартных, творческих задач, а также сформировать привычку поисковой активности, существенную отнюдь не только при занятиях математикой, но и в обыденной жизни.
Это программа для тех, кто изучает математику, физику, химию, кому завтра предстоят выпускные и вступительные экзамены, кому в повседневной жизни приходится считать.
Пояснительная записка
Предлагаемый элективный курс посвящён одной из важнейших тем математики «Процентные исчисления». В рамках общеобразовательной школы процентам уделяется несправедливо мало учебного времени, а, следовательно, уровень знаний, необходимый для приобретения умений, навыков для свободного оперирования ими на уроках математики, химии, физики и просто в быту, оказывается недостаточным. Проценты изучаются на первом этапе основной школы, когда учащиеся в силу возрастных особенностей ещё не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни.
Понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы каждому человеку; прикладное значение этой темы велико и затрагивает финансовую, демографическую, экологическую, социологическую и другие стороны нашей жизни.
Поэтому представляется необходимым возвращение к процентам на старшей ступени.
Элективный курс «Проценты на все случаи жизни» предназначен для реализации в старших классах. Он направлен на удовлетворение познавательных интересов учащихся, имеет прикладное общеобразовательное значение, способствует развитию логического мышления учащихся, использует целый ряд межпредметных связей. Предлагаемый курс демонстрирует учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства. Данный курс должен позволить учащемуся не столько приобрести знания, сколько овладеть различными способами познавательной деятельности. В каждом разделе курса имеются задания на актуализацию и систематизацию знаний учащихся, задачи различного уровня сложности, сюжеты подавляющего большинства которых, в отличие от обычных искусственных текстовых задач, непосредственно взяты из действительности, окружающей современного человека, в том числе и старшеклассника, - финансовая сфера (платежи, налоги, прибыли), демография, экология, социологические опросы и пр. Уровень сложности задач варьируется от простых упражнений на применение изучаемых формул до достаточно трудных примеров расчёта процентов в реальных банковских ситуациях. При постановке и решении задач возникают математические понятия, например, прогрессии, степени с произвольным действительным показателем и логарифмы, что даёт учащимся дополнительную возможность понять их глубинную суть.
Тема «Проценты» является универсальной в том смысле, что она связывает между собой многие точные и естественные науки. У учащихся воспитывается чувство удовлетворения от установленной им возможности приложения математики к другим наукам. Они увидят, что такие, на первый взгляд, «бесполезные» вопросы, как сумма членов арифметической или геометрической прогрессии, имеют глубокий экономический смысл.
Этот курс направлен на то, чтобы вооружить желающих дополнительными знаниями по процентным исчислениям для использования их не только в учебно-познавательном процессе, но и в повседневной жизни – при расчёте выгодности банковской сделки, рентабельности бизнеса, коммерческого предложения.
Цели курса:
повторить и привести в систему сведения о процентах;
создать основу для расширения сюжетов решаемых задач, сближающих содержание школьного курса с практическим приложением математики как науки;
способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности, развитию практических способностей, необходимых человеку для общей социальной ориентации.
Задачи курса:
актуализировать ранее изученный и новый материал для обеспечения ученикам достаточно высокого уровня компетентности по этой теме;
способствовать развитию учащихся в отношении интеллекта, способностей, мотивации, навыков самостоятельной деятельности;
сформировать умения производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности и для решения задач из смежных дисциплин;
помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.
В результате курса учащиеся должны:
понимать содержательный смысл термина “процент” как специального способа выражения доли величины;
знать широту применения процентных вычислений в жизни;
уметь применять формулы “простых” и “сложных” процентов, формулы массовой концентрации вещества, формулы процентного содержания вещества;
уметь сочетать устные и письменные приёмы вычислений, использовать приёмы, рационализирующие вычисления.
Для достижения целей курса предлагается следующие способы организации деятельности учащихся на различных уроках:
на уроках-лекциях учащиеся учатся конспектировать, анализировать возникновение новых методов решения задач;
на уроках-беседах совместными усилиями учителя и учащихся решаются ключевые задачи;
на уроках-практикумах учащиеся самостоятельно решают задачи, добиваясь тех или иных навыков, анализируют ошибки и пути их исправления;
Программа элективного курса предлагает знакомство с теорией и практикой рассматриваемых вопросов и рассчитана на 16 часов
№
урока
Название темы
(модуля)
Кол-во часов
1
Вводный тест по теме «Проценты»
1
2
Решение задач с помощью уравнений и неравенств
2
4
Задачи на процентный прирост
2
5
Задачи на вычисление “сложных процентов”
2
6
Задачи на концентрацию и процентное содержание.
3
7
Проценты вокруг нас
2
8
Игра-проверка знаний
1
Список литературы для учащихся
Усов Н.А. Повторим математику. – Киев, 1994 Дорофеев, Г. В., Седова, Е. А. Процентные вычисления. 10-11 классы: учеб.-метод. пособие. – М.: Дрофа, 2003. – 144 с.
Денищева, Л. О., Бойченко, Е. М., Глазков, Ю. А. и др. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика. – М.:Дрофа, 2003.-120 с.
Егерев, В. К. и др. Сборник задач по математике для поступающих во вузы / под ред. М. И. Сканави. – М.: “Оникс – 21 век” 2003.
Шевкин, А. В. Текстовые задачи. – М.: Просвещение,1997.–112 с.
Корешкова Т.А. Тестовые задания по математике. – М.: Экзамен, 2005
Петрова И.Н. Проценты на все случаи жизни. – Челябинск, 1996
Список литературы для учителя
Денищева Л.О. Единый государственный экзамен: Математика. – М.: Просвещение, 2003-2009
Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9-м классе. – М.: Просвещение, 1994
Математика: 2600 тестов и проверочных заданий для школьников и поступающих в вузы / П.И. Алтынов, Л.И. Звавич, А.И. Медяник и др. – М.: Дрофа, 1999
Петрова И.Н. Проценты на все случаи жизни. – Челябинск, 1996
Рельдман Ф.Г., Рудзитис Г.Е. Химия для 9-х классов средних общеобразовательных учебных заведений. – М.: Просвещение, 1994
А.Г.Мордкович. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. Москва. “Мнемозина” 2003. стр. 56-57.
Приложение
Вводный тест по теме «Проценты»
Найдите 25% от 56.
А) 14 Б) 22,04 В) 20 Г) 25
Найдите число, если 1% его равен 75.
А) 0,75 Б) 7,5 В) 7500 Г) 750
Клубника содержит 6% сахара. Сколько килограммов сахара в 27 кг клубники?
А) 1,82 кг Б) 1,62 кг В) 2,24 кг Г) 2,42 кг
Книга стоила 25 р. После повышения цены она стоит 30,25 р. На сколько процентов возросла стоимость книги?
А) на 21% Б) на 20% В) на 24% Г) на 25%
Найдите число, 34% которого равны 170.
А) 57,8 Б) 500 В) 56,5 Г) 510
На математической олимпиаде 32% участников получили грамоты. Сколько школьников приняло участие в олимпиаде, если наградили 416 человек?
А) 932 Б) 1300 В) 133,1 Г) 1340
Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?
А) 330% Б) 30% В) 125% Г) 45%
Число уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить полученное число, чтобы получить данное число?
А) на 20% Б) на 40% В) на 25% Г) на 30%
Число 56 составляет 80% от некоторого числа. Найдите среднее арифметическое этих чисел.
А) 63 Б) 44,8 В) 126 Г) 56
Сторону квадрата уменьшили на 20%. На сколько процентов уменьшилась его площадь?
А) на 20% Б) на 36% В) на 10% Г) на 40%
Тема: «Решение задач на проценты с помощью уравнений и неравенств»
Цель урока: Отработка навыков по решению задач на проценты с помощью уравнений и неравенств
Ход урока:
I Актуализация знания
Тест – опрос. Установите истинность (ложность утверждения)
1) Верно ли:
а) 37% = 0,37
б) 290% = 2,9
в) 9% = 0,9
2) Верно ли:
а) 5% от 400 равно 20
б) 20% от 300 равно 6
в) 1% от 1 м равно 10 см
II Решение задач
Задача 1. Одной машинистке на перепечатку рукописи требуется на 12 ч больше, чем другой. Если 25% рукописи перепечатает первая машинистка, а затем к ней присоединится вторая машинистка, то на перепечатку рукописи им понадобиться 35 ч, считая от момента начала работы первой машинистки. За сколько часов могла бы перепечатать рукопись каждая машинистка, работая отдельно?
Решение: Пусть на перепечатку рукописи первой машинистке требуется 13 EMBED Equation.3 1415 ч, тогда второй потребуется 13 EMBED Equation.3 1415 ч. На перепечатку 25% рукописи первая машинистка затратит 13 EMBED Equation.3 1415 ч. Выясним теперь, сколько времени потребуется двум машинисткам на перепечатку оставшихся 75% рукописи. Первая машинистка перепечатывает за один час 13 EMBED Equation.3 1415 часть рукописи, вторая – 13 EMBED Equation.3 1415 часть рукописи, а вместе за час они перепечатывают 13 EMBED Equation.3 1415 часть рукописи. На перепечатку 13 EMBED Equation.3 1415 рукописи им потребуется 13 EMBED Equation.3 1415 ч, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 ч. Отсюда получаем уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решив это уравнение, найдем, что оно имеет два корня: 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Второй корень не соответствует условию задачи.
Ответ: первой машинистке на перепечатку рукописи требуется 60 ч, а второй – 48 ч.
Задача 2. Положив в банк деньги, вкладчик получил через год прибыль в 240 тысяч рублей. Однако он не стал забирать деньги из банка, а, добавив к ним еще 60 тысяч, снова оставил деньги на год. В результате спустя еще год он получил в банке 1 миллион 100 тысяч рублей. Какая сумма была положена в банк первоначально и какой процент прибыли в год давал банк?
Решение: Допустим, что первоначальный вклад составляет 13 EMBED Equation.3 1415 тысяч рублей. Тогда процент прибыли за год равен 13 EMBED Equation.3 1415. Сумма вклада, положенного в банк через год, составила 13 EMBED Equation.3 1415 тысяч рублей, т.е. 13 EMBED Equation.3 14
·15 тысяч рублей. Этот вклад принес доход, равный 13 EMBED Equation.3 1415 тысячам рублей. Всего вкладчик получил 1100 тысяч рублей.
Получаем уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решив его, найдем, что это уравнение имеет два корня: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 Выполнив расчеты, можно убедиться, что оба корня соответствует условию задачи.
Ответ: задача имеет два решения: вкладчик вложил первоначально 200 тысяч рублей и получил доход 120% в год или вкладчик вложил первоначально 360 тысяч рублей и получил доход 13 EMBED Equation.3 1415 в год.
III Задачи для самостоятельной работы
Задача 1. В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала повышать сотруднику зарплату на 3%. Однако в связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько процентов фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы 1 января следующего года зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренной договором.
Решение: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 руб. - зарплата, 13 EMBED Equation.3 1415 - процент повышения зарплаты. Тогда,
По плану
I квартал 13 EMBED Equation.3 1415 руб.
IV квартал 13 EMBED Equation.3 1415 руб.
Фактически
I полугодие 13 EMBED Equation.3 1415 руб.
II полугодие 13 EMBED Equation.3 1415 руб.
По условию задачи зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренного договором, составляем уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: на 6,09 %.
Задача 2. На заводе было введено рационализаторское предложение. В результате время, необходимое для изготовления рабочими некоторой детали, уменьшилось на 20%. На сколько процентов возросла производительность труда этого рабочего?
Решение: Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - производительность труда, а 13 EMBED Equation.3 1415 - весь объем работы. Тогда работа будет выполнена за время 13 EMBED Equation.3 1415. В результате роста производительности труда время на изготовление детали стало равно 13 EMBED Equation.3 1415, соответственно производительность 13 EMBED Equation.3 1415, или 13 EMBED Equation.3 1415. Соответственно рост производительности труда составил: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 25%
«Задачи на процентный прирост и вычисление сложных процентов»
Задача 1. Предприятие работало три года. Выработка продукции за второй год работы предприятия возросла на p%, а на следующий год она возросла на 10% больше, чем в предыдущий. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за второй год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48,59%.
Решение Обозначим количество продукции, произведенной за первый, второй и третий годы работы предприятия, через А1, А2 и А3 соответственно. По условию задачи за второй год процентный прирост составил p%, а за третий год – (p + 10)%. В соответствии с определением процентного прироста эти условия дают два уравнения:
((А2 – А1)/А1)
· 100% = p%, ((A3 – A2)/A2)
· 100% = (p + 10)%.
По условию задачи также известно, что за два года производство выросло на 48,59%, то есть в третий год предприятие производило на 48,59% продукции больше, чем в первый год. Это условие можно записать в виде уравнения:
((А3 – А1)/А1)
· 100% = 48,59%.
Запишем полученные уравнения в виде следующей системы:
A2 = A1(1 + (p/100)),
A3 = A2(1 + ((p + 10)/100)),
A3 = A1(1 + (48.59/100)).
Умножая первое уравнение на второе, получаем:
A3 = A1(1 + p/100))(1 + ((p + 10)/100)).
Из полученного уравнения и третьего уравнения системы получаем уравнение для отыскания неизвестной величины p:
(1 + (p/100))(1 + ((p + 10)/100)) = 1 + 48.59/100 => pІ + 210p – 3859 = 0.
Корни последнего квадратного уравнения: p1 = 17, p2 = 227.
По смыслу задачи подходит первый корень p1 = 17.
О т в е т: 17 %.
Тема: «Задачи на концентрацию и процентное содержание»
Цели: сформировать умение работать с законами сохранения массы, обеспечить усвоение учащимися понятий концентрации вещества, процентного содержания раствора; обобщить полученные знания при решении задач на проценты.
Проверка домашнего задания.
Изучение нового материала.
Лекция учителя.
Задачи на концентрацию и процентное содержание – это различные задачи на составление смесей, растворов и сплавов нескольких веществ.
Введем основные понятия и допущения, которые принимаются в задачах подобного рода.
Все получающиеся сплавы и смеси однородны.
При слиянии двух растворов, имеющих объёмы 13 QUOTE 1415 и 13 QUOTE 1415 получается смесь, объём которой равен 13 QUOTE 1415, т.е. 13 QUOTE 1415.
Такое допущение не представляет собой закона физики и не всегда выполняется в действительности, это представляет собой соглашение, принимаемое при решении таких задач. На самом деле при смешении двух растворов не объём, а масса равняется сумме масс составляющих её компонент.
Рассмотрим смесь трёх компонент A, B, C. Объём смеси13 QUOTE 1415 складывается из объёмов чистых компонент: 13 QUOTE 1415, а три отношения
13 QUOTE 1415 ; 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415.
Показывают, какую долю полного объёма смеси составляют объёмы отдельных компонент.
Отсюда получаем:
13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415; 13 QUOTE 1415.
Отношения объёма чистой компоненты в растворе ко всем объёму смеси называется объёмной концентрацией этой компоненты.
Например: 13 QUOTE 1415.
Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна единице 13 QUOTE 1415.
Объёмным процентным содержанием компоненты 13 QUOTE 1415 называется величина: 13 QUOTE 1415, т.е. концентрация этого вещества, выраженная в процентах.
Если известно процентное содержание вещества 13 QUOTE 1415, то его концентрация находится по формуле: 13 QUOTE 1415 .
Так например, если процентное содержание составляет 20%, то соответствующая концентрация этого вещества равна 0,2 и т.д.
Таким же способом определяется массовая концентрация и процентное содержание, а именно как отношение массы чистого вещества 13 QUOTE 1415 в сплаве к массе всего сплава.
О какой концентрации, объёмной или массовой, идёт речь в конкретной задаче, всегда видно из условия.
Закрепление полученных знаний. Решение задач.
Процесс усвоения строится с учётом поэтапного усложнения задач.
Задача 1. Cканави. №13.289.
Имеются два сплава, состоящих из цинка, меди, олова. Первый сплав содержит 40% олова, а второй – 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором будет 30% цинка. Определить сколько килограммов олова содержится в новом сплаве.
I сплав
II сплав
Новый сплав
150 кг
250 кг
Цинк
13 QUOTE 1415
30%
Медь
26%
Олово
? кг
Таблицу следует заготовить заранее и заполнять по ходу решения.
I сплав
II сплав
Новый сплав
150 кг
250 кг
400 кг
Цинк
13 QUOTE 1415
13 QUOTE 1415
75 кг
30% 13 QUOTE 1415
Медь
26% 13 QUOTE 1415
Олово
40% 13 QUOTE 1415
? кг 13 QUOTE 1415
Пусть 13 QUOTE 1415 - количество олова, содержащегося в получившемся новом сплаве, тогда 13 QUOTE 1415 – количество цинка, содержащегося в первом сплаве.
13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 - цинка во втором сплаве.
Так как процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково, то:
Решая уравнение получаем: 13 QUOTE 1415.
13 QUOTE 1415 - олова в первом сплаве.
13 QUOTE 1415– олова во втором сплаве.
13 QUOTE 1415 - меди во втором сплаве.
13 QUOTE 1415 - цинка во втором сплаве.
Так как второй сплав весит 250 кг, то:
Значит, 170 кг олова содержится в новом сплаве.
Ответ: 170 кг.
Задача 2. Имеется два куска сплава олова и свинца, содержащие 60% и 40% олова. По сколько граммов от каждого куска надо взять, чтобы получить 600 г сплава, содержащего 45% олова?
Учащиеся решают самостоятельно, один из учеников комментирует решение.
Например.
Пусть 13 QUOTE 1415 – масса куска взятого от первого сплава; 13 QUOTE 1415 - масса куска от второго сплава.
Концентрация олова в первом куске:
13 QUOTE 1415.
Концентрация олова во втором куске:
13 QUOTE 1415.
Концентрация олова в сплаве:
13 QUOTE 1415.
Так как 13 QUOTE 1415, то составим уравнение:
Значит, от первого куска надо взять 150 г.
13 QUOTE 1415 - надо взять от второго куска. Ответ: 150 г; 450 г.
IV. Итоги занятия.
По записям на доске повторить формулы, по которым рассчитываются концентрация смеси и сплава.
Домашнее задание : сборник задач по математике под редакцией Сканави №13.041, №13.045, №13.319; формулы наизусть.
«Проценты вокруг нас».
Задача 1. Банк обещает выплатить 10% на сумму вклада ежемесячно. Сколько процентов за год реально сможет получить вкладчик?
Решение
Сумма вклада будет составлять после:
1 месяца (1000 + 1000
· 0,1) руб. = 1000
· 1,1 руб. = 1100 руб.
2месяцев (1100 + 1100
· 0,1) руб. = 1000
· (1,1)І = 1210 руб.
..
12 месяцев 1000
· (1,1)№І = 3138,4 руб.
Вклад ежемесячно увеличивается в 1,1 раза. Следовательно, за 12 месяцев он увеличится в (1,1)№І = 3,1384 раза, что составляет прирост на 214% или по формуле (2):
(1 + 0,1)№І - 1 = 2,14,
где X = 0.1 и Y = 2.14.
О т в е т: 214%.
З а д а ч а 2. Банк начисляет проценты раз в квартал в размере 30% на вклад. Сколько процентов годовых получит вкладчик, если он не забирает деньги в течение одного года?
Решение.
Так как вклад ежеквартально увеличивается в 1,3 раза, то за четыре квартала он увеличится в 1,3 раза, то за четыре квартала он увеличится в (1,3) =2,8561 раза, что составляет прирост на 186%, или, используя формулу (2) для сложных процентов:
(1+0,3) - 1=1,86.
О т в е т: 186%.
Игра «Проверка знаний»
Первый уровень
На сколько процентов уменьшится объем пирамиды, если уменьшить площадь ее основания на 20%?
На заводе 35% всех рабочих – женщины, а остальные мужчины, которых на 252 человека больше, чем женщин. Определить общее число рабочих.
Товар до снижения цен стоил 180 тыс. руб., а после снижения – 135 тыс. руб. На сколько процентов снижена цена товара?
Разделить число 650 на две части так, чтобы 80% первой части были равны 24% второй части. В ответе записать большую часть.
На сколько нужно увеличить число 252, чтобы 39% от него были бы равны 234?
Второй уровень
Найти число, 67% которого равны 164,25.
Масса меди составляет 77% массы бронзы. Сколько бронзы можно изготовить, имея 192,5 кг меди?
Цех выпускает в день 180 изделий. Сколько изделий в день будет выпускать цех, если производительность труда увеличится на 35%?
Магазин приобрел книги за 4325 руб. со скидкой в 13,5%. Сколько рублей стоили книги без скидки?
В результате увеличения производительности труда на 35% цех стал выпускать в день 243 изделия. Сколько изделий в день цех выпускал ранее?
Третий уровень
Цену товара сначала снизили на 20%, а затем новую цену снизили еще на 20% и, наконец, после пересчета произвели снижение еще на 5%. На сколько процентов всего снизили первоначальную цену товара?
Запас сена таков, что можно ежедневно выдавать на всех лошадей 96 кг. В действительности ежедневную порцию каждой лошади смогли увеличить на 33%, так как две лошади были переданы соседнему колхозу. Сколько лошадей было первоначально?
Цену товара сначала снизили на 20%, затем новую цену снизили еще на 15%. На сколько процентов снизили первоначальную цену товара?
Сколько килограммов воды нужно выпаривать из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с 75% содержанием воды?
Высота прямоугольника составляет 75% его основания. Найти периметр прямоугольника, зная, что его площадь равна 48 кв. см.
ОТВЕТЫ
№ задания Первый Второй Третий
уровень уровень уровень
1 20 275 39,2
2 840 250 8
3 25 243 32
4 500 5000 200
5 384 180 28
13PAGE 15
13 PAGE \* MERGEFORMAT 141815
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native