Конспект урока по теме Треугольники. Решение задач с практическим содержанием 9 класс

Конспект урока по математике 9 класс
Тема урока: Решение задач с практическим содержанием по теме «Треугольники и их виды»
Тип урока: обобщение и систематизация знаний
Цели урока:
1) Организовать деятельность школьников по обобщению и систематизации их знаний в рамках темы
2) Организовать деятельность школьников по самостоятельному применению знаний в различных условиях
3) Помочь обучающимся осознать социальную, практическую и личностную значимость учебного материала
4) Помочь обучающимся осознать ценность совместной деятельности
5) Содействовать развитию у школьников умения общаться
Образовательные результаты, на достижение которых направлено содержание урока: изучить понятие «треугольник», в результате чего ученик должен:
Личностные: четко выражать и объяснять свои мысли (способы решений), умение слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, воспитывать ответственность и аккуратность;
Метапредметные: уметь воспроизводить смысл понятия треугольник, умение обрабатывать информацию и ранжировать ее по указанным основаниям; выбирать способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности;
Предметные: уметь в процессе реальной ситуации использовать следующие понятия: треугольник и его элементы, признаки равенства треугольников, решение треугольников, теорема Пифагора, теорема синусов, теорема косинусов, решать задачи.
Ход урока: (рассчитан на сдвоенный урок)
Организационный момент 1 минута
Историческая справка 3 минуты
Устный счет 5 минут
Проверка домашнего задания 15 минут
Историческая справка 3 минуты
Работа в группах 15 минут
Проверка работ 10 минут
Проверочная работа 10 минут
Итоги урока 5 минут
Домашнее задание 3 минуты
Ход урока:
«Окружающий нас мир –это мир геометрии»
А.Д.АлександровМы закончили с вами изучение геометрии за курс основной школы и теперь повторяем и обобщаем все полученные знания. Начали мы с темы «Треугольники». Вы уже сдали зачет по теоретическому материалу и выполнили ряд практических заданий. А сегодня мы убедимся в том, что полученные знания помогут найти выход из разного рода затруднительных положений, возникающих в повседневной жизни.
Прежде, чем приступить к решению самих задач, немного истории. (Ребенок с сообщением)
На первых этапах своего развития геометрия представляла собой набор полезных, но не связанных между собой правил и формул для решения задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Лишь много веков спустя, учеными Древней Греции была создана теоретическая основа геометрии. Но и тогда прикладная геометрия не утратила не утратила своего значения, поскольку была незаменима для землемерия, мореплавания и строительства. Таким образом, написанные в древности руководства по геометрии, содержащие «рецепты» решения практических задач, сопровождали человечество на протяжении всей истории существования. Решения отдельных старинных задач практического содержания могут найти применение и в настоящее время, а поэтому заслуживают внимания.
История геометрии хранит немало приемов решения задач на нахождение расстояний. Определение расстояний до кораблей, находящихся в море, одна из таких задач. Нахождение ее решения приписывают Фалесу Милетскому.
Римляне занимались лишь одной практической и прикладной стороной математики. Нить практической геометрии тянулась от вавилонян и древних египтян через Герона до наших времен. В 16-17 веках все больше развивающаяся промышленность и торговля требуют удовлетворения практических нужд. Появление первых инструментов и аппаратов для научных исследований вызвало также интерес к практической стороне науки.
Спасибо. А теперь небольшая разминка. (задачи на готовых чертежах: равенство треугольников, подобие треугольников, площадь треугольника, неизвестные элементы треугольников)

(подборка задач примерная, каждый раз разная в зависимости от подготовленности класса)
Так как мы с вами люди походные, то каждой группе было задано вспомнить ситуацию, с которой мы сталкивались и разрешить ее с помощью геометрии.
Защита.
1 группа. Когда мы сплавлялись по реке на лодках, то не всегда можно было достать дно веслом и нам стало интересно, можно ли измерить глубину реки с помощью камыша, не вырывая его.

Слегка отклонив камыш и держа его в натянутом состоянии, замерим расстояние между точками А и В, в которых камыш пересекает поверхность воды соответственно в вертикальном и наклонном положении. Возвратим камыш в исходное положение и определим высоту b над водой, на которую при этом поднимется при этом точка В наклонного камыша, заняв исходное положение С. Тогда, обозначив через D основание камыша, а через х искомую глубину АD, из прямоугольного треугольника АВD находим: х2 + а2 =(х + b)2, откуда 2bх = а2 – b2
Т.е. х = (а2 – b2)/(2b)
2 группа. В походе Вы не разрешаете нам лазить на деревьях в целях безопасности, а узнать высоту дерева хочется. Поэтому мы решили выяснить, как можно найти высоту дерева в солнечный и пасмурный день.
Если день солнечный, то это можно сделать по тени человека и тени дерева. Так как лучи солнца можно считать практически параллельными, то тень от дерева во столько же раз длиннее тени человека, во сколько раз само дерево выше человека. Мы все знаем свой рост. Измерив отношение к длины тени от дерева к длине нашей тени, то, умножив к на наш рост, мы получаем высоту дерева.
Если же день пасмурный, то это сделать будет немного сложнее.

Установив человека с известным ростом на некотором расстоянии от дерева, нужно стать в такую точку, из которой макушка человека загораживает в точности верхушку дерева. Тогда, если высота человека над уровнем глаз равна а, а расстояние от глаз по горизонтали до человека и до дерева равны b и у соответственно, то из подобия треугольников можно найти высоту х дерева над уровнем глаз. Наконец, зная свой рост h до уровня глаз, получаем полную высоту дерева h + х = h+ уа/b, х = уа/b.
3 группа. Когда мы останавливаемся на нашем любимом месте, то за водой приходится ходить в деревню через гору. Возник вопрос, какой длины был бы туннель, если бы его можно было прорыть, и сколько бы мы сэкономили времени?

Нужно отойти на расстояние от горы такое, чтобы видеть всю ее ширину. Затем измерить расстояние до крайних точек А и С, и угол между этими отрезками, а потом воспользоваться теоремой косинусов. АС2 = а2 + с2 – 2асСоs∝.
4 группа. Мы взяли ситуацию, когда нужно вычислить ширину реки, при условии, что нельзя попасть на другой берег.

Выберем точку С на продолжении прямой АВ за точку В, а так же точку D, не лежащую на прямой АВ. Затем выберем точки Е и F на продолжениях прямых ВD и CD соответственно за точку D так, чтобы выполнялись равенства BD = DE, CD = DF. Наконец, найдем точку G пересечения прямых EF и AD. Тогда искомое расстояние между точками А и В будет равно длине отрезка EG. Действительно, треугольник BDC равен треугольнику EDF по двум сторонам и углу между ними. Из их равенства следует равенство углов CBD и FED, поэтому треугольники BAD и EGD равны по стороне и прилежащим к ней углам, а, значит, равны и их соответствующие стороны АВ и GE.
5 группа. Мы взяли себе ситуацию, когда нужно измерить расстояние между двумя предметами на противоположном берегу реки, не переплывая реку.

Пусть А и В недоступные точки, между которыми нужно найти расстояние. Выберем на некоторой прямой три точки D,E,F так, чтобы выполнялось равенство DE = EF. При этом заранее побеспокоимся о том, чтобы точка С пересечения прямых AF и BD оказалась доступной и лежала с той же стороны от прямой DF, что и отрезок АВ. Этого можно достичь уменьшением отрезка DF и переобозначением его концов. На продолжении отрезка СЕ за точку Е отметим точку G на расстоянии СЕ от точки Е. далее найдем точку Н пересечения прямых DG и АЕ, а так же точку К пересечения прямых FG и ВЕ. Тогда искомое расстояние будет равно КН. Действительно, при преобразовании симметрии относительно центра Е точка С переходит в точку G, точка D в точку F, прямая CD – в прямую GF, прямая ВЕ – в себя, а точка В пересечения прямых CD и ВЕ – в точку К пересечения GF и ВЕ. Аналогично точка А при этом преобразовании переходит в точку Н, поэтому отрезок НК симметричен отрезку АВ относительно точки Е.
Еще немного истории. (Рассказывает ребенок)
Начиная с древних времен и примерно до 17 века в тригонометрии рассматривали почти исключительно решение треугольников. Такие вычисления были вызваны запросами астрономии, географии, мореплавания, геодезии и архитектуры. Теорема косинусов была доказана еще в «Началах» Евклида. Там обобщалась теорема Пифагора и выводились формулы, выражающие квадрат стороны, лежащей против острого или тупого угла треугольника. Александрийские ученые, математики Индии и стран Ближнего и Среднего Востока, как и некоторые европейские математики 12-15 веков, пользовались формулами, близкими к теореме косинусов, но сама теорема была явно сформулирована в 16 веке французским математиком Франсуа Виетом. Современный вид теорема косинусов принимает в 1801 году у французского математика Лазара Карно. В 1799 году Лагранж вывел теорему синусов из теоремы косинусов. Другой французский математик Коши вывел теорему косинусов из теоремы синусов в 1821 году. Ученые Индии, как и ученые стран ислама в 9-10 веках сводили решение любых треугольников к решению прямоугольных треугольников и поэтому не нуждались в теоремах синусов и косинусов и ее не знали. Эта теорема была доказана только в 11 веке ученым из Хорезма, выдающимся астрономом ал-Беруни.
Переходим к работе в группах. Каждая группа получит задачу, которую им нужно будет решить и объяснить решение.
Задачи:
Параллельно прямой дороге на расстоянии 500 м от нее расположена цепь стрелков. Расстояние между крайними стрелками 120 м, дальность полета пули равна 2,8 км. Какой участок дороги находится под пристрелом цепи?
Эскалатор метрополитена имеет 17 ступеней от пола наземного вестибюля до пола подземной станции. Ширина ступенек 40 см, высота 20 см. Найдите: а) длину лестницы; б) угол ее наклона; в) глубину станции по вертикали.
Два парохода начинают движение одновременно из одного и того же порта и двигаются равномерно по прямым, пересекающимся под углом 60°. Скорость первого 70 км/ч, второго 60 км/ч. Вычислите, на каком расстоянии друг от друга будут находиться пароходы через три часа?
На какой высоте от земли нужно закрепить водосточный желоб, если его длина 13 м, а расстояние между домами 12 м?
Вершина горы видна из точки А под углом 38°, а при приближении к горе на 200 м вершина стала видна под углом 42°. Найдите высоту горы.
Проверяем решение ваших задач.
Теперь проверочная работа.
В треугольнике АВС сторона АВ = 8 см, угол С = 60°, угол В = 45°. Найдите сторону АС.
В треугольнике АВС сторона АВ = 7 см, угол В = 45°, ВС = 5 см. Найдите сторону АС.
Случися некоему человеку к стене лестницу поставить. Стены же той высота 117 стоп. И он взял лестницу длиной 125 стоп и хочет узнать, на сколько стоп нужно отставить лестницу от стены.
Стороны треугольника 12,6 м, 16,5 м, 18 м. вычислите стороны треугольника, подобного данному, если меньшая сторона этого треугольника равна большей стороне данного треугольника.
Спортивный самолет летит по замкнутому треугольному маршруту с постоянной скоростью. Два угла треугольника 60° и 100°. Меньшую сторону он пролетел за 1 ч. За сколько времени он пролетит весь маршрут?
Подведем итоги урока. Для чего нам был нужен этот урок? Что полезного мы извлекли из него? А теперь пусть консультанты оценят работу своей группы и выставят оценки за работу на уроке.
Каждая группа подготовила друг для друга задачи с практическим содержанием для домашней работы. Обменяйтесь ими.
Я думаю, что вы теперь согласны со словами: «Окружающий нас мир – это мир геометрии». Спасибо за урок.