Конспект урока по алгебре и началам математического анализа на тему Нестандартные способы решения показательных и логарифмических уравнений
Тема: Нестандартные способы решения
показательных и логарифмических уравнений
и неравенств.(11 класс)
Сергеева Любовь Владимировна, МБОУ СОШ №37 г. Белгорода ,учитель математики 1 категории.
Цель урока: 1) систематизировать знания о некоторых нестандартных
способах решения, умение применять свойства функций,
правила при решении уравнений и неравенств;
2) развивать умение видеть, умение распознавать
рациональность применения того или иного способа;
3) прививать интерес к математике, воспитывать
математическую грамотность ученика, как при устной,
так и при письменной работе.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор, экран.
На доске:
План урока:
1. Орг. момент.
2. Устная работа.
3.Работа в группах
4. Защита решений.
5. Сам. работа.
6. Задание на дом
7. Итог урока.
Ход урока:
I. Организационный момент.
1.Знакомство с целью урока;
задачами, стоящими перед учениками в ходе уроке.
2.Использование при решении задач :
– монотонности функций;
– «правила знаков»;
– метода оценки;
– освобождение от логарифма.
II. Устная работа.
1. Какие из выражений имеют смысл?
а) 13 EMBED Equation.3 1415 а) да;
б) 13 EMBED Equation.3 1415 б) нет, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415 в) нет, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415а 13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415 г) да;
д) 13 EMBED Equation.3 1415 д) нет, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415
2. Решить уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
(Корень уравнения угадываем: х = 1. Докажем, что других корней нет. Левая часть – сумма возрастающих функций есть функция возрастающая; правая часть – постоянное число. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)
3. Решить уравнение:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 / : 13 EMBED Equation.3 1415
( Корень уравнения угадываем: х = 2. Докажем, что других корней нет.
Разделим обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 следовательно, в левой части уравнения – сумма двух убывающих показательных функций, правая часть – const. Следовательно, уравнение имеет одно решение.)
– Какое свойство функций мы использовали при решении этих уравнений?
(свойство монотонности)
III. Работа в группах. Решение задач.
1 группа. Решить уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
– Какой способ надо применить при решении данного уравнения?
Решение:
– Используем свойство монотонности убывающей функции, для этого
разделим на 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
– Можем ли мы угадать хоть один корень?
( Можно угадать корень уравнения: х = 2.)
– Докажем единственность.
В левой части – сумма убывающих функций, в правой части – const. Следовательно, левая и правая части имеют одну точку пересечения:
13 EMBED Equation.3 1415точка пересечения, х=2.
значит, уравнение имеет одно решение,
Ответ: х = 2.
2 группа. Решить неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
– Применим теорему для функции f(f(x)).
– Сформулируем теорему:
Если функция у = f(x) – монотонно возрастающая функция, то уравнение
f(x)=x равносильно f(f(x)= x.
ОДЗ: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
– Выполним некоторые преобразования:
– вынесем в левой части за скобки 2, сократим:
13 EMBED Equation.3 1415
– приведем к общему знаменателю:
13 EMBED Equation.3 1415
– приведем подобные
13 EMBED Equation.3 1415 т.к. 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
функция принимает вид 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - возрастающая функция, следовательно, по теореме имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
///////o o////// х
10
13 EMBED Equation.3 1415
– Учитывая ОДЗ, получим: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 1
· x < 5, x > 10.
3 группа. Решить неравенство:
– Решим неравенство методом оценки левой и правой частей
13 EMBED Equation.3 1415;
Решение:
–Заметим, что 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415;
– Разделим обе части уравнения на положительное выражение 13 EMBED Equation.3 1415, получим:
13 EMBED Equation.3 1415;
Выделим полный квадрат под радикалом и в показателе степени:
13 EMBED Equation.3 1415;
не меньше 1 не больше 1
– Левая часть неравенства не меньше 1, а правая часть не больше 1.
– Неравенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части неравенства будут равны 1, а равенство достигается при х = 3.
Ответ: х = 3.
4группа. Решить уравнение:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415;
Решение:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415;
немонотонная ф-я немонотонная ф-я
– Решим уравнение методом оценки;
– Один корень уравнения можно легко угадать, это х = 1.
– Преобразуем логарифмы в левой части;
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415;
Выделим полный квадрат в правой части;
13 EMBED Equation.3 1415
– Правая часть меньше или равна 1;
наибольшее значение правой части равно 1 при х=1;
– В левой части докажем, что выражение под знаком логарифма больше или равно 2: подведением под общую дробную черту, выделением полного квадрата
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
– левая часть достигает своего наименьшего значения, равного 1 при х = 1.
– Равенство выполняется тогда и только тогда, когда обе части уравнения равны 1, а это произойдет при х = 1.
Ответ: х = 1.
5 группа. Решить неравенство:
13 EMBED Equation.3 1415
– Решим неравенство методом освобождения от логарифмов.
– Освободимся от логарифмов по правилу знаков:
Знак log a b совпадает со знаком произведения (а – 1)
·(в – 1).
Рассмотрим ОДЗ:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
– Т.к. нас интересует только знак левой части, то от можно логарифмов
освободиться по правилу знаков:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
– Решим неравенство методом интервалов, рассмотрим функцию f(x):
13 EMBED Equation.3 1415
найдем нули функции: нули функции 13 EMBED Equation.3 1415
+ + +
//////o _
·////////o////// х
Ѕ 2 5
функция f(x) > 0 при 13 EMBED Equation.3 1415 учитывая ОДЗ, получим: 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
IV. Защита проектов.
От каждой группы выступает 1 человек с защитой своего решения (решение записать на ватмане).
V. Самостоятельная работа.
Решить уравнение:
I вариант. II вариант.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Проверим решение уравнений по готовым записям на доске:
I вариант.
II вариант.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
при х=0 достигает унаим = 2
13 EMBED Equation.3 1415т.к. основание 0<0,1<1, то 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
наибольшее значение равное 2 может быть при х = 0.
Равенство возможно, когда обе части уравнения равны 2 при х = 0.
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
выделим полный квадрат под знаком log:
13 EMBED Equation.3 1415
а 13 EMBED Equation.3 1415
Выделим полный квадрат в правой части:
13 EMBED Equation.3 1415
наименьшее значение равно 1 при 13 EMBED Equation.3 1415
Обе части одновременно будут равны 1 при 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Оценить самостоятельно (оценка на полях).
VI. Задание на дом.
1). Решить уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415
2). Решить неравенство:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
VII. Итог урока.
– Какие нестандартные способы решения мы использовали сегодня на уроке?
– Давайте посмотрим графические интерпретации этих способов.
На чем они основываются?
(Ответы: использование монотонности функции, использование правила знаков, метод оценки)
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native