Решение задач по планиметрии.
Доклад на теоретическом семинаре учителей математики
подготовила учитель математики МБОУ лицей Филипова Е.К.
Список литературы.
1.Ученик «Геометрия7-9»автор Л.С.Атанасян.
2.Дидактический материал Е.М.Дуровой.
3. Дидактический материал М.Н.Игольченко
И мои задачи.
Способ «достраивания» при решении задач на «медиану».
Геометрия как школьный предмет способствует становлению правильного логического мышления через задачи, умение решать геометрические задачи является важнейшим фактором для формирования умственных структур. Известно, что мыслительный процесс у человека протекает в форме образов, поэтому в решении геометрической задачи первостепенную роль играет чертёж, который является средством создания геометрического образа по словестному описанию. В планиметрии существуют задачи, к которым традиционные методы либо не применимы, либо дают сложные громоздкие решения. Во многих случаях решать такого рода задачи помогает введение в чертёж дополнительные построения. В некоторых случаях эти построения напрашиваются сами собой, в других требуют изобретательности, геометрической интуиции. Чертёж к данной задаче можно достраивать до фигуры другого типа.
Вашему вниманию я предлагаю следующие задачи.
.
№1
Медиана ВМ
·АВС равна его высоте АН. Найдите 13 EMBED Equation.3 1415МВС.
Дано:
·АВС, ВМ- медиана
АН-высота
ВМ=АН
Найти 13 EMBED Equation.3 1415МВС
Решение:
Пусть ВМ = АН= а.
Достроим
·АВС до параллелограмма АВСD
BD=2BM=2a,AH=a-высота параллелограмма, проведенная из точки А к стороне ВС.
Из точки D на продолжение стороны ВС, проведем высоту DK.
Рассмотрим
·ВКD,13 EMBED Equation.3 1415К=90
·,
BD=2a DK=AH=a
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415В=30
·
13 EMBED Equation.3 1415В=13 EMBED Equation.3 1415МВС=13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
№2
В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна к медиане ВК. Найти площадь треугольника АВС, если АМ=6 см, ВК=5см.
Дано:
·АВС
АМ, ВК - медианы
АМ перпендикулярна ВК
АМ=6см
ВК=5см
Найти: S
·АВС
Решение
Достроим
·АВС до параллелограмма АВCD.
Достроим
·АВС до параллелограмма BACE.
·DCA=
·BAC=
·CEB(диагональ параллелограмма делит его на равные треугольники.)
Значит
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
BD=2BK=10см, АЕ=2АМ=2
·6=12 см.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:13 EMBED Equation.3 1415
№3
Площадь
·АВС равна 13 EMBED Equation.3 1415.Найдите АС, если сторона АВ равна 8 и она больше половины сторон АС, а медиана ВМ равна 5.
Дано:
·АВС
13 EMBED Equation.3 1415S
·ABC=20
·3
BM=5-медиана
АВ=8
Найти АС
Решение :
Достроим до параллелограмма АВСD треугольник АВС.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415ABD=13 EMBED Equation.3 1415
По теореме косинусов в
·АВМ.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:14
№4
В
·АВС проведена медиана АМ. Найдите площадь
·АВС, если АС=13 EMBED Equation.3 1415, ВС=10, 13 EMBED Equation.3 1415МАС=13 EMBED Equation.3 1415
Дано:
·АВС
АМ- медиана
АС=13 EMBED Equation.3 1415
ВС=10
13 EMBED Equation.3 1415МАС=13 EMBED Equation.3 1415
Найти: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Достроим треугольник АВС до параллелограмма АВDC.
S параллелограмма можно найти по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим
·АМС, по теореме синусов.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
По теореме косинусов
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть АМ = х
13 EMBED Equation.3 1415
25 = x2+18-6x
x2-6x-7=0
x1 =7 x2 =-1 не удов. условию задачи
AM=7
AD=2AM=14
Тогда:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 21
№5
Вычислить площадь прямоугольного треугольника с острым углом13 EMBED Equation.3 1415,если медиана, проведенная к гипотенузе равна 10 см.
Дано:
·АВС, 13 EMBED Equation.3 1415В=13 EMBED Equation.3 1415
ВМ=10см-медиана
13 EMBED Equation.3 1415АСВ=13 EMBED Equation.3 1415
Найти:13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
Достроим 13 EMBED Equation.3 1415АВС до равнобедренного
·АCD.
АМ=МС=ВМ=10см (М-центр описанной окружности около 13 EMBED Equation.3 1415АВС)
АС=CD=20см
13 EMBED Equation.3 1415ACD= 13 EMBED Equation.3 1415ACB+ 13 EMBED Equation.3 1415DCB=13 EMBED Equation.3 1415
т.к СВ- биссектриса в равнобедренном
·АСD
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ:
№6
Стороны треугольника 13см,14см и 15см. Вычислить медиану проведенную к стороне 14см.
Решение:
Достроим до параллелограмма треугольник.
Сумма квадратов диагоналей
параллелограмма равна сумме квадратов
всех его сторон, т.е
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение задач по планиметрии
13PAGE 15
13PAGE 14215
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native