Статья из опыта работы Решение геометрических задач на построение в курсе планиметрии как один из способов формирования целостного восприятия окружающего мира учащимися 7-9 классов

Решение геометрических задач на построение в курсе планиметрии как один из способов формирования целостного восприятия окружающего мира учащимися 7-9 классов
Васильева И.А.,
учитель математики
г. Старый Оскол Белгородской области
Каждый учитель хочет, чтобы все дети на всех уроках усваивали все то, что подготовлено. Но будем реалистами. Такое бывает только в идеале. Не сделаю открытия, если скажу, что половина класса в силу тех или иных причин с трудом может включиться в урок и в тот темп, который навязываем мы – учителя. Однако и нас понять можно: времени в обрез, а материала для обучения очень много. Какой выход?! - Научить обучающихся работать самостоятельно.
Все хотят быть индивидуальностью: знаменитой, богатой, но не умной. Трудно нам, учителям, тягаться с бесконечными шоу во всех средствах массовой информации, которые одолевают яркостью, удовольствием и ни к чему не обязывают. Вот каждый из нас и придумывает в меру своих физических и материальных сил, как бы привлечь ребенка к нужной работе, которая разовьет в нем массу личностных качеств, так необходимых современному обществу.
Я не являюсь исключением. Описание моего опыта представляет собой попытку убедить детей в необходимости математических знаний. Я выбрала лишь одну тему школьного курса, посредством которой постараюсь раскрыть некоторые приемы и методы обучения, которые, на мой взгляд, являются эффективными в современных условиях обучения.
Очень много зависит от воспитания детей, от их умения дозировать и отбирать нужную информацию. Я думаю: нужно сначала научить детей отличать полезное от бесполезного, а для этого необходимо дать им убедительную мотивацию вашей точки зрения. Я считаю серьезным мотивом - удовольствие от самостоятельно решенной задачи или от самостоятельно сделанного научного вывода. Преодолевая трудности, любой человек получает моральное удовлетворение. Так пускай для каждого ребенка такими трудностями будут математические задачи.
Мною прочитано немало книг и статей о проблемах преподавания уроков геометрии, но не все советы и рекомендации мне приходилось применять. Очень часто обстоятельства диктуют нам совсем иные подходы к преподаванию предмета. Классы по своей интеллектуальной подготовке на одной параллели бывают очень разными. Нельзя упускать из виду здоровье детей. Что не говори, здоровый ребенок – важнее всего. Однако соглашусь с одной из ведущих разработчиков проблемы формирования интереса в процессе учебы – Щукиной Г.И. Она считает, что интересный урок можно создать за счет следующих условий: личности учителя (очень часто даже скучный материал, объясняемый любимым учителем, хорошо усваивается); содержания учебного материала (когда ребенку просто нравится содержание данного предмета); методов и приемов обучения.
Если два пункта не всегда в нашей власти, то последний – поле для творческой деятельности любого преподавателя.
Сопоставляя опыт других и свой, я убедилась, что в геометрии мало уделяется внимания задачам на построение, а это значит, что не на должном уровне идет отработка основных умений и навыков. Еще меня увлекает эта тема потому, что в схему решения задач на построение входит элемент исследования, а значит, есть место для фантазии ученика.
Дело в том, что задачи на построение, будучи доступными и понятными по постановке вопроса семиклассникам, в тоже время чрезвычайно содержательны в математическом и логическом отношении – это настоящие математические исследования в миниатюре.
Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какими инструментами, какую геометрическую фигуру требуется построить (начертить на плоскости) так, чтобы эта фигура удовлетворяла определенным условиям. Процесс решения задачи происходит по определенной схеме: анализ, построение, доказательство, исследование. Эту схему не следует рассматривать как, безусловно, необходимую и неизменную. Не всегда целесообразно строго расчленять решение задачи на отдельные этапы и осуществлять их в указанном порядке.
Основная роль, на мой взгляд, отведена анализу. При проведении анализа я своим обучающимся даю полезные советы, которые помогают найти решение задачи. Например, если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и исходными элементами, то целесообразно ввести в чертеж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т. д. Иногда полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым.
Попробую проследить курс планиметрии с точки зрения выделений задач на построение. Изучать геометрию в школе начинают с седьмого класса, и уже в седьмом классе находится тема «Решение задач на построение». Учитывая возрастные особенности, я пробую систему обучения решений задач на построение, которая предложена в учебном пособии «Как научиться решать задачи» и добавляю свои наработанные моменты. Например: в самом начале изучения геометрии по учебникам А.В. Погорелова или Л.С. Атанасяна и др. есть темы, связанные с отрезками. Я рекомендую при изучении этих тем брать дополнительные задачи на построение суммы или разности отрезков, тем самым давая задаток для алгебраического метода решения задач на построение.
Начинаю тему «Геометрические построения» я с большой схемы: сложная задача на построение – элементарные задачи на построение – основные построения (с помощью циркуля, с помощью линейки, возможные построения). Важно сориентировать детей на перспективу обучения. Считаю необходимым довести до детей смысл таких тем в геометрии, как «Построение биссектрисы угла» или «Построение перпендикулярных прямых» и т. д. С самого начала детям важно знать, где будут использованы те или иные знания. Фундаментом к дальнейшей деятельности служат уже отработанные знания, умения и навыки которые дети получили на уроках математики в младших классах. А именно: построения с помощью линейки отрезка, прямой, луча; построения с помощью циркуля окружности с данным радиусом из заданного центра; возможные построения точек, как пересечение двух прямых, прямой и окружности, двух окружностей.
Далее на протяжении нескольких уроков идет отработка элементарных построений:
Э.1. Деление отрезка на два равных отрезка.
Э.2. Деление угла на два равных угла или построение биссектрисы угла
Э.3. Построение на данной прямой от заданной точки отрезка заданной длины или сумму (разность) отрезков.
Э.4. Построение угла равного данному или суммы (разности) углов.
Э.5. Построение прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку.
Э.6. Построение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через заданную точку.
Э.7. Построение треугольника по трем сторонам.
Э.8. Построение треугольника по стороне и прилежащим к ней двум углам.
Э.9. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.
Э.10. Построение прямой касательной к окружности, проходящей через заданную точку.
Уроки геометрии не обходятся без чертежей, схем, рисунков. В настоящее время особую роль играют компьютерные технологии, поэтому я постоянно пользуюсь компьютером для большей наглядности изучаемого материала. Мною разработана серия мультипликационных фильмов, именно для наглядности элементарных построений. На уроке я рассказываю о каком либо построении, затем свои слова подкрепляю мультипликацией, далее прошу обучающихся озвучить действия на экране. В завершении каждый ученик, озвучивая свои действия, самостоятельно проводит построение. Используя данный метод, за один урок можно изучить несколько элементарных построений и сэкономить время для решения более сложных задач. Очень важно показать, что решение сложной задачи складывается из элементарных. На примере задачи «Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них» я покажу решение, которое рекомендую для своих учащихся.
Дано:

а, с –стороны треугольника
b – медиана треугольника, проведенная к стороне с
Анализ
Допустим, что фигура построена,
это треугольник АВС. Заметим, что


Построить треугольник
СМ – это половина ВС, тогда


известны три стороны треугольника АМС. Из этого вытекает следующее построение.
План построения
Э.1.- делим отрезок с пополам, чтобы иметь сторону СМ из треугольника АМС
Э.7. – треугольник АМС
Э.3. – на прямой СМ от точки М отрезок МВ=СМ
Теперь обучающиеся по ранее изученной схеме выполняют построения Э.1., Э.7. и Э.3.
Доказательство
ВС=СМ+МВ=c, АС=а, АМ=b по построению, значит АВС искомая фигура.
Исследование
С учетом Э.7. данная задача может иметь два решения или не одного, если не выполняются неравенства треугольника.
В данной задаче постоянно идет ссылка на ранее изученное, а значит, возникает дополнительная стимуляция и указание на то, что необходимо ученику знать. В такой ситуации мыслящий ребенок делает сам выводы, о том где у него пробелы в знаниях. На первых уроках желательно возвращаться к большой схеме и после каждой задачи её конкретизировать. 13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
В дальнейшем это позволит в старших классах оперировать сложными понятиями как синтез и анализ задачи.
Мне хотелось бы остановиться на еще одной серии задач на построение – это построение углов, конкретной градусной меры. Ряд таких задач рассматривается в седьмом классе и продолжается при изучении всего курса планиметрии. Особенно важны первые навыки решения таких задач в девятом классе, при изучении темы «Построение правильных многоугольников». Первые годы своей работы, я не обращала особого внимания на использование дополнительных задач. Но когда стала работать в классах с углубленным изучением математики, это стало просто необходимостью. Причем, важна методологическая система в подборе задач.
В девятом классе обучающиеся уже выступают на городских олимпиадах, а при хорошем результате далее. В 2003 году на городском туре олимпиады по математике была предложена задача: «Постройте угол, равный 93о, с помощью циркуля и линейки». Мои ученики уверенно справились с этой задачей.
А подготовка к решению началась еще в седьмом классе с задачи
№ 315: «С помощью циркуля и линейки постройте угол, равный: а) 30о, б) 60о, в) 15о, г) 120о, д) 150о, е) 135о, ж) 165о, з) 75о, и) 105о». Знания седьмого класса позволяют решить задачу, применяя свойство прямоугольного треугольника, у которого гипотенуза в два раза больше одного из катетов. Построив такой треугольник, обучающиеся знают, чему равны градусные меры его углов (30о, 60о, 90о). Построив биссектрису угла, не трудно догадаться о построении углов 15о и 45о. А далее идет просто комбинация уже решенных задач. Например, 150о=180о-30о=90о+60о (Э.3.) и тому подобное.
Без хорошей интеллектуальной основы высокое развитие творческих способностей невозможно. Мне известно, что начальным этапом процесса творчества является накопление материала; далее переработка материала на основе диссоциации и ассоциации; на третьем этапе происходит комбинирование старого в новые сочетания. Происходит сознательный переход от решения самых простых задач на первых уроках до самых сложных. Самое главное – создание теоретического обобщения самими обучающимися.
У каждого школьника на сегодняшний день формируется конвергентное мышление. Однако, мне думается, что в современном мире теперь больше нужны личности с творческим дивергентным мышлением. Очень важно при решении задач применять различные подходы. Каждая задача на построение начинается анализом и заканчивается этапом исследования, что так важно для развития дивергентного мышления. Этим я занималась при работе над методическим пособием «Приемы и методы решения задач на построение». В нем я попыталась собрать методы решений задач, изучаемых в школьном курсе, которые затронуты поверхностно. Учителя нашей школы знакомы с этим пособием и применяют некоторые советы в своей практике.
В конечном итоге у обучающихся возрастают не только интеллектуальные показатели, но и математическая интуиция, так как сформированы умения целенаправленно использовать именно те или иные приемы и методы, что является показателем математической интуиции.


13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
 «Математика», приложение к газете «Первое сентября» № 38, октябрь 2000 (стр. 1-3)
 Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред. шк. – М.: Просвещение, 1989. стр. 106-115.
 См. приложение № 1
 Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С.Атанасян и др. – М.: Просвещение, 2004, стр.89, № 295
 см. приложение № 1
 Геометрия, 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С.Атанасян и др. – М.: Просвещение, 2004, стр.92, № 315
 См. приложение № 1









13PAGE 15


13PAGE 14515
Васильева Ирина Александровна, учитель математики, высшая категория

13PAGE 15





Построить треугольник по дум сторонам и углу между ними. (Э.9.)

Построить прямую касательную к окружности проходящую через заданную точку. (Э.10.)

Построить на данной прямой отрезок заданной длины или сумму (разность) отрезков (Э.3.)

Разделить данный угол на два равных угла или построить биссектрису (Э.2.)

Элементарные задачи на построение


Сложная задача на построение

Э.3.

Э.7.

Э.1.

Построить треугольник по двум сторонам и медиане проведенной к одной из них

Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам (Э.8.)

Построить треугольник по трем сторонам (Э.7.)

Построить прямую, проходящую через заданную точку и перпендикулярную заданной прямой

Построить угол равный данному или сумму (разность) углов (Э.4.)

Построить прямоугольный треугольник по любым двум элементам. (Э.11.)

Построить прямую, параллельную данной, проходящую через заданную точку (Э.5.)

Разделить данный отрезок на два равных отрезка (Э.1.)

Основные построения

С помощью линейки: отрезок (Л.1.), прямая (Л.2.), луч (Л.3.)

С помощью циркуля: построить окружность с данным центром и радиусом

Возможные построения: точки пересечения прямых и окружностей.

Приложение № 1



15