Статья на тему Развитие логического мышления младших школьников и формирование ключевых компетенций на уроках математики

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа № 27 г. Йошкар-Олы»








Развитие логического мышления младших школьников и формирование ключевых компетенций на уроках математики




Статью представила
учитель начальных классов
Шокина Ольга Вячеславовна






















Йошкар–Ола,
2016

В настоящее время перед школой стоит проблема формирования творческой личности у учащихся и подготовки их к творческой деятельности. Сегодня учебно-воспитательный процесс призван решать задачу воспитания гармонически развитой, активной, творческой личности школьника. Математика, ставящая перед собой образовательные и развивающие цели, открывает для этого большие возможности. Это объясняется тем, что в ней заложен огромный потенциал для развития интеллекта детей в процессе их обучения.
Одной из важнейших задач является задача развития логического мышления учащихся. Формирование мышления происходит в процессе обучения всем учебным предметам, в процессе всей жизни учащихся, но обучение математике в формировании мышления играет главную роль. Начальная школа располагает особенно благоприятными средствами для развития у детей логического мышления; и именно математика вносит большой вклад в развитие логического мышления детей, воспитание таких качеств научного мышления, как критичность и обобщенность, способность к анализу и синтезу, аналогии, сравнению, умение выдвинуть и сформировать логически обоснованную гипотезу. Уроки математики позволяют включать в процесс обучения задания, которые развивают мышление, формируют приемы умственных действий, оказывают положительное влияние на развитие психических процессов.
Вопросам обучения и умственного развития учащихся, развитию познавательных процессов и приемов умственных действий на уроках математики посвящены работы известных психологов и методистов: Л.С. Выготского, В.В. Давыдова, А.З. Зака, Е.Н. Кабановой-Меллер, В.П. Труднева, М.И. Моро, А.М. Пышкало, Н.Б. Истоминой и других. В настоящее время интерес к этой проблеме не угасает. Ведущими методистами и учителями-практиками ведется поиск новых методов и приемов, способствующих более качественному усвоению элементов логики в начальных классах, о чем свидетельствуют разработанные экспериментальные системы и курсы по математике, создание авторских программ. Однако, несмотря на то, что этот вопрос находится в центре внимания, результаты проверки знаний учащихся начальных классов говорят о недостаточно высоком качестве и неполноте логических знаний, не все учащиеся могут применять теоретические знания на практике.
Функции преподавателя, в связи с задачей развития мышления, сложны, что требует от него специальных знаний и умений. Учитель должен иметь представление о том, что практически любое содержание материала в разной мере представляет возможности для развития мышления школьников. Две задачи – обеспечить школьников знанием материала и овладение ими соответствующими умениями; и развитие логического мышления – нельзя разрывать в процессе обучения.
В настоящее время существует много различных программ развивающего обучения, и в школах сложилась такая ситуация, что учителя испытывают трудности при выборе программы обучения. Большинство учителей, особенно со стажем, предпочитают работать по традиционной программе обучения. Это связано, по-видимому, с тем, что отработана методика. Однако, не мало учителей, особенно молодых, хотят работать по нетрадиционным (развивающим) программам, в том числе и по математике. Программы развивающего обучения по математике предпочтительнее для учителей, так как они дают большие возможности для развития интеллектуальных и творческих способностей детей, в том числе и логического мышления. Но многие из учителей испытывают большие трудности и нередко смешивают программы обучения: одни разделы изучают по учебникам развивающего обучения, а другие разделы – по традиционным учебникам.
Как показывает статистика, по традиционной программе по математике работают учителя в 95 классах, по системе Л. Занкова – 7 классов, по системе Эльконина-Давыдова – 4 класса, по системе "21-ый век" – 4 класса, по системе "Школа 2100" – 74, смешивают программы – до 50 % учителей. Все это говорит о том, что программы в "чистом" виде в начальных классах встречаются достаточно редко.
С нашей точки зрения можно, работая по традиционным учебникам математики, успешно развивать логическое мышление детей. Мы решили выяснить, как можно организовать такое обучение.
Учитывая значимость проблемы, важность развития у детей познавательных процессов и приемов умственных действий, но недостаточное практическое решение данного вопроса, а также состояние знаний учащихся, можно сказать, что данная проблема является актуальной и требует дальнейшей разработки. Систематическая и целенаправленная работа по развитию мыслительных операций на основе программного материала с использованием специально подобранных заданий, направленных на овладение приемами умственных действий, разнообразие методов и приемов работы, индивидуальный подход к учащимся, учет их возрастных и психологических особенностей способствуют умственному развитию детей, их познавательных способностей, творческой активности и более успешному обучению.
Новизна работы заключается в том, что была разработана система заданий, направленная на развитие приемов логического мышления (анализа, синтеза, обобщения, аналогии, классификации, сравнения); на основе анализа программ определен круг вопросов и заданий, которыми можно дополнить начальный курс математики, а также предложены методические рекомендации по их выполнению; описываются возможные варианты развития логического мышления на уроках математики.
Практическая значимость данной работы состоит в том, что подобранный материал будет полезен для работы, как учителям начальных классов, так и студентам факультета начальных классов во время прохождения педагогической практики и в дальнейшей работе в школе.
Приемы логических действий
Известный советский психолог А.Н. Леонтьев считал, что "жизненный подход к воспитанию – это такой подход к отдельным воспитательным и даже образовательным задачам, который исходит из требований к человеку: каким человек должен быть в жизни и чем он должен быть для этого вооружен, какими должны быть его знания, его мышление, чувства и т.д." [32, С.238]. Если мы с этой точки зрения посмотрим на задачи общего образования, и в частности на задачи школьного курса математики, то придем к выводу, что одной из первоочередных и важнейших является задача развития мышления учащихся.
Формирование мышления происходит в процессе обучения всем учебным предметам, в процессе всей жизни учащихся. Однако, общепризнанно, и исторический опыт это подтверждает, что обучение математике в формировании мышления играет первостепенную и исключительно большую роль. Поэтому важно установить, какой вклад в решение задачи формирования мышления может внести обучение математике, как оно должно быть для этого организовано, каково должно быть его содержание и методы обучения. Для этого необходимо предварительно выяснить, в чем сущность мышления, каковы его особенности и виды, каким образом происходит процесс формирования мышления у детей.
Мышление – это социально обусловленный, неразрывно связанный с речью, психический процесс поиска и открытия существенно нового, процесс опосредованного и обобщенного отражения действительности в ходе ее анализа и синтеза.
Мышление – это особого рода теоретическая и практическая деятельность, предполагающая систему включенных в нее действий и операций ориентировочно-исследовательского, преобразовательного и познавательного характера.
С помощью мышления человек познает окружающий мир. Однако, познание может осуществляться и без мышления, с помощью одних лишь органов чувств (чувственное познание), дающее человеку разного рода ощущения, восприятия и представления о внешнем мире. Чувственное познание является непосредственным, т.к. оно осуществляется в результате прямого контакта человека, его органов чувств, с познаваемым объектом. Между тем, мышление является опосредованным познанием объекта, т.к. оно осуществляется путем чувственного восприятия другого объекта, закономерно связанного с познаваемым объектом, или же путем мысленной переработки чувственных представлений.
Важнейшими признаками мышления являются обобщенность (нахождение сути, общего) и опосредованность (т.е., знания получаются косвенно, посредством применения мыслительных операций). Но это не значит, что мышление не связано с чувственным опытом человека: без ощущений, без образов восприятия, без представлений, закрепленных в памяти, не могло бы возникнуть и развиваться мышление. Таким образом, мышление опирается на чувственное познание и без него не возможно. Однако, оно далеко выходит за его пределы и поэтому позволяет познать такие объекты, такие стороны явлений, которые недоступны органам чувств.
Мышление позволяет человеку выявить в познаваемых объектах не только отдельные их свойства и стороны, что возможно установить с помощью чувств, но и отношения и закономерности связей и отношений между этими свойствами и сторонами. Тем самым, с помощью мышления человек познает общие свойства и отношения, выделяет среди этих свойств существенные, определяющие характер объектов. Это позволяет человеку предвидеть результаты наблюдаемых событий, явлений и своих действий.
Итак, если чувственное познание дает человеку первичную информацию об объектах окружающего мира в виде отдельных свойств и наглядных представлений (образов) о них, то мышление перерабатывает эту информацию, выделяет в выявленных свойствах существенное, сопоставляет одни объекты с другими, что дает возможность обобщения свойств и создание общих понятий, а на основе представлений – образов – строить действия с этими объектами и тем самым предсказывать возможные результаты действий и преобразований объектов, позволяет планировать свои действия с этими объектами. Вся эта огромная работа выполняется с помощью особых умственных операций. Эти операции составляют различные взаимосвязанные, переходящие друг в друга стороны мышления.
Основными мыслительными операциями являются: анализ и синтез, сравнение, обобщение, аналогия, классификация. Так как мышление, в отличие от других процессов, совершается в соответствии с определенной логикой, то данные мыслительные операции еще называют логическими операциями. Рассмотрим каждую логическую операцию более подробно.
Анализ – это мысленное расчленение предмета познания на части, выделение отдельных признаков, сторон целого.
Синтез – это мысленное соединение отдельных элементов или частей в единое целое.
Анализ и синтез неразрывно связаны, находятся в единстве друг с другом в процессе познания: анализируем мы всегда, что синтетически целое; а синтезируем то, что аналитически расчленено. Ф. Энгельс по этому поводу писал: "мышление состоит столько же в разложении предметов сознания на их элементы, сколько в объединении связанных друг с другом элементов в некоторое единство. Без анализа нет синтеза " [63, С.41]. Анализ и синтез – важнейшие мыслительные операции. В единстве они дают полное и всестороннее знание действительности. Анализ дает знание отдельных элементов, а синтез, опираясь на результаты анализа, объединяя эти элементы, обеспечивает знание объекта в целом. Например, для запоминания определенного текста ученик выделяет в нем отдельные части, смысловые куски (анализирует) и пытается понять, как они логически связаны в единое целое (синтезирует). Всякий анализ начинается с предварительного общего ознакомления с предметом или явлением и затем переходит в более глубокое и детальное анализирование.
Сравнение – это сопоставление предметов и явлений с целью нахождения сходства (выделения общих свойств) и различия (выделения особенных свойств каждого из сравниваемых объектов) между ними. Эта операция лежит в основе всех других мыслительных операций.
Сравнение бывает односторонним (неполным, по одному признаку) и многосторонним (полным, по всем признакам). Основное требование к операции сравнения, чтобы оно проводилось в одном отношении (т.е. сравниваться должны однородные предметы, признаки или явления ).
В учебной деятельности школьника сравнение играет очень важную роль. Сравнивая, например, операции умножения и деления, числа, треугольник и прямоугольник, школьник глубже познает особенности данных предметов и явлений. Успешное сравнение предметов и явлений возможно тогда, когда оно целенаправленно, т.е. происходит с определенной точки зрения, ради ответа на какой-то вопрос. Оно может быть направлено или на установление сходства предметов, или на установление различия, или на то и другое одновременно.
Исследования показали, что младшие школьники более успешно будут находить сходство между предметами, если при сравнении давать дополнительный предмет, отличный от сравниваемых. Для более глубокого и точного познания деятельности особенно большое значение имеет такое качество мышления, как способность находить различие в наиболее сходных предметах, и сходство – в различных.
Обобщение – мысленное объдинение предметов и явлений по их общим и существенным признакам.
Обобщение используется в двух различных формах: 1) как мысленное выделение общих свойств в двух или нескольких объектах, и объединение этих объектов в группы на основе выделенных общих свойств (эмпирическое обобщение); 2) как мысленное выделение в рассматриваемом объекте или нескольких объектах, в результате анализа, их существееных свойств в виде общего понятия для целого класса объектов (теоретическое обобщение). Эмпирическому обобщению соответствует движение мысли от частного к общему, а теоретическому обобщению – движение от общего к частному, от внутреннего к внешнему.
В учебной работе школьников обобщение обычно проявляется в выводах, определениях, правилах, классификации. Школьникам иногда трудно произвести обобщение, т.к. не всегда им удается самостоятельно выделить не просто общие, но и существенные общие признаки. Простейшие обобщения заключаются в объединении объектов на основе отдельных, случайных признаков. Более сложным является комплексное обобщение, при котором объекты объединены по разным основаниям.
Классификация – направлена на разделение и последующее объединение объектов по каким-либо основаниям. Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие – основа приема классификации.
Аналогия – сходство в каком-нибудь отношении между явлениями, предметами, понятиями, способами действий.
Аналогия в деятельности учащихся может стать приемом, который будет помогать им открывать новые знания, способы деятельности и использовать их в измененных условиях. Для правильного умозаключения по аналогии можно выделить существенные признаки объектов, иначе вывод может оказаться неверным. Таким образом, можно сказать, что аналогия является особым видом рассуждений (умозаключений), когда от сходства двух объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них, делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта. Объектом может быть некоторый предмет, модель, рисунок, математическое выражение, задача и т.д. в качестве признаков могут выступать свойства объектов, отношения между ними, способы деятельности и т. д.
В психологической литературе выделяют и такие мыслительные операции: абстракция и конкретизация.
Абстракция – это мысленное выделение каких-либо существенных свойств и признаков объектов при одновременном отвлечении от всех других их свойств и признаков.
Выделенный в процессе абстрагирования признак предмета мыслится независимо от других признаков и становится самостоятельным объектом мышления. Абстрагирование обычно осуществляется в результате анализа. Именно путем абстрагирования были созданы отвлеченные, абстрактные понятия длины, ширины, количества, равенства, стоимости и т. д. Таким образом, все математические понятия как раз и представляют собой абстрактные объекты.
Абстракция – сложный процесс, зависящий от своеобразия изучаемого объекта и целей, стоящих перед исследователем. Благодаря абстракции, человек может отвлечься от единичного, конкретного. В то же время абстракция не существует без чувственной опоры, иначе она становится бессодержательной, формальной.
Среди видов абстракции можно выделить практическую, непосредственно включенную в процесс деятельности; и чувственную или внешнюю, высшую, опосредованную, выраженную в понятиях.
Конкретизация может выступать в двух формах: 1) как мысленный переход от общего к единичному, частному; 2) как восхождение от абстрактно-общего к конкретно-частному, путем выявления различных свойств и признаков этого абстрактно-общего; как наполнение, обогащение абстрактно-общего конкретным содержанием. К конкретизации обращаются в том случае, если высказанная мысль оказывается непонятной другим, или необходимо показать проявление общего в единичном.
В учебной деятельности конкретизировать – значит привести пример, конкретный факт, подтверждающий общее теоретическое положение, правило, закон. В учебном процессе конкретизация имеет большое значение: она связывает наши теоретические знания с жизнью, с практикой и помогает правильно понять действительность.
Все указанные операции не могу проявляться изолированно, вне связи друг с другом. На их основе возникают более сложные операции, например, систематизация. Каждая из мыслительных операций может быть рассмотрена как соответствующее умственное действие. Мышление человека не только включает в себя различные операции, но и протекает на различных уровнях, в различных формах, что в совокупности позволяет говорить о существовании разных видов мышления.
По степени развернутости мышление может быть дискурсивным, поэтапно развернутым процессом, и интуитивным, характеризующимся быстротой протекания, отсутствием четко выраженных этапов, минимальной осознанностью.
Если рассматривать мышление с точки зрения новизны и оригинальности решаемых задач, то можно выделить мышление творческое (продуктивное) и воспроизводящее (репродуктивное). Творческое мышление направлено на создание новых идей. Его результатом является открытие нового или усовершенствование решения той или иной задачи. В отличие от творческого мышления, репродуктивное представляет собой применение готовых знаний и умений.
По характеру решаемых задач мышление делят на теоретическое и практическое. Теоретический аспект мышления направлен на открытие законов, свойств объектов. Теоретические, интеллектуальные операции предшествуют практической деятельности, направленной на их реализацию.
Одной из наиболее распространенных в психологии является классификация видов мышления в зависимости от содержания решаемой задачи. Здесь выделяют:
1) практически-действенное мышление, которое характерно для ребенка до 3-х лет, и отличается тем, что мысленное познание объектов совершается в процессе практических действий с этими объектами;
2) наглядно-образное мышление возникает в дошкольном возрасте и представляет собой мышление с помощью наглядных образов, поэтому такое мышление подчинено восприятию, в нем отсутствует в развернутом виде абстрагирование;
3) словесно-логическое мышление: задача здесь решается в словесной (вербальной) форме. Для такого мышления характерно использование понятий, логических конструкций, которые иногда не имеют прямого образного выражения (например, стоимость, цена, честность, гордость и т. д.). Благодаря словесно-логическому мышлению, человек может устанавливать наиболее общие закономерности, предвидеть развитие процессов в природе и обществе, обобщать различный наглядный материал.
Следует отметить, что все виды мышления тесно взаимосвязаны между собой. Отдельные виды мышления постоянно взаимопереходят друг в друга. Только развитие всех видов мышления в их единстве может обеспечить правильное и достаточно полное отражение действительности человеком.
В мышлении каждого человека есть свои особенности, включенные в относительно устойчивую структуру умственных способностей. Эти различия в мышлении называют качествами ума. Качества ума: самостоятельность мышления (умение видеть и ставить новый вопрос, проблему, попытаться решить их особыми путями, самостоятельно); инициативность (стремление самому искать пути и средства для решения задачи); широта мышления (способность охватить вопрос в целом, охватить различные области деятельности); критичность мышления (способность человека критически рассматривать мысли, взвешивать все доводы "за" и "против", объективно оценивать выдвинутые гипотезы и результаты их проверки); гибкость мышления (свобода мысли от влияния закрепленных в прошлом приемов и способов решения задач, в умении быстро менять действия при изменении обстановки); глубина ума (умение проникнуть в сущность сложных вопросов).
Одновременно с развитием мышления у ребенка развивается и речь. Мышление невозможно вне речи, и речь выступает как материальная оболочка мышления.
Итак, мы выяснили, в чем сущность мышления, каковы его особенности, рассмотрели основные мыслительные операции, виды и качества мышления. Все они тесно связаны с основным качеством мышления, или признаком. Важнейший признак всякого мышления – независимо от его отдельных индивидуальных особенностей – умение выделять существенное, самостоятельно приходить ко все новым обобщениям. Ученики младших классов вполне способны на доступном им материале выделять существенное в явлениях и отдельных фактах и в результате приходить к новым обобщениям.
Мышление школьников, несомненно, имеет еще очень большие и недостаточно используемые резервы и возможности. Одна из основных задач психологии и педагогики – до конца вскрыть эти резервы и на их основе сделать обучение более эффективным и творческим.
2. Формирование логических действий при изучении алгебраического материала
Формирование логического мышления – важная составная часть педагогического процесса. Помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал – одна из основных задач современной школы. Успешная реализация этой задачи во многом зависит от сформированности у учащихся познавательных интересов.
Никто не будет спорить с тем, что каждый учитель должен развивать логическое мышление у детей. Об этом говорится в объяснительных записках к учебным программам, об этом пишут в методической литературе для учителей. Но как это делать, учитель не всегда знает. Нередко это приводит к тому, что развитие логического мышления в значительной мере идет стихийно. Поэтому, большинство учащихся, даже старших классов, не овладевает начальными приемами логического мышления, а этим приемам необходимо учить младших школьников.
Руководить развитием логического мышления учащихся – это значит:
1) учить их умело производить умственные операции анализа, синтеза, сопоставления, аналогии, обобщения и т.п.;
2) помогать им овладевать простейшими понятиями и делать выводы;
3) делать их мысль и речь определенной, точной, последовательной и доказательной, т.е. учить мышлению правильному, соответствующему элементарным правилам логики.
Начальное обучение математике предоставляет широкие возможности для развития логического мышления. Весь процесс обучения, если он правильно организован, должен быть в то же время процессом, развивающим логическое мышление учащихся. Для этого нужна лишь целенаправленная методика.
Преподавание различных учебных дисциплин открывает перед учителем широкие перспективы и дает ему возможность для работы над развитием у учащихся логического мышления. Однако следует иметь ввиду, что этим возможности сами по себе не реализуются. Учитель должен активно и умело работать в этом направлении, организовывая весь процесс обучения так, чтобы, с одной стороны, он обогащал детей знаниями, а с другой стороны, всемерно развивал их мышление и способствовал росту их познавательных способностей.
Из различных методов и приемов обучения, применяемых в школе, из множества различных видов упражнений в педагогической практике должны получить преобладающее место те из них, которые вооружают детей знаниями и вместе с тем повышают уровень их общего развития, в частности уровень развития логического мышления. Использование в процессе обучения логических приемов мышления (сравнения, анализа и синтеза, обобщения, конкретизации, абстрагирования и др.), работа над понятиями и суждениями, - все это обогащает педагогический процесс, делая его более содержательным, усиливает степень его влияния на всестороннее развитие учащихся. Усовершенствование методики обучения в этом направлении создает основу и необходимые предпосылки для повышения качества и продуктивности всей образовательно-воспитательной работы школы.
Работу над развитием логического мышления учащихся нужно начинать с первых шагов школьного обучения и вести на протяжении всего периода обучения, постепенно усложняя ее в соответствии с возрастными особенностями детей и в зависимости от содержания и методов обучения. С первого года обучения нужно развивать у детей способность логически мыслить на основе наблюдений над конкретными примерами действительности, учить приемам сравнения и сопоставления, простейшему анализу и синтезу, доступным обобщениям. Конечная цель работы по развитию логического мышления в начальной школе заключается в том, чтобы научить детей в практике их мыслительной деятельности соблюдать элементарные требования логики с тем, чтобы их мышление в процессе усвоения основ наук было правильным.
Перед учителем стоит важная задача – совершенствовать свое мастерство в этой области, осуществляя с возможно большей полнотой и последовательностью в процессе обучения развитие логических приемов мышления. Выполнение этой задачи не требует от учителя какого-либо добавочного материала и добавочного времени. Вся работа по развитию логического мышления должна проводиться в рамках установленной программы, на программном материале, в тесной связи со всей образовательно-воспитательной работой в школе.
Итак, как же развивать логическое мышление учащихся на уроках математики? Какие задания для этого использовать? В какой последовательности? Рассмотрим возможности активного включения в процесс обучения математике различных приемов умственных действий.
Анализ и синтез
Анализ и синтез являются важными мыслительными операциями. Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков или свойств, а синтез – это соединение различных элементов, сторон объекта в единое целое. Анализ и синтез дополняют друг друга, т.к. анализ осуществляется через синтез, а синтез – через анализ.
Успешность развития логического мышления учащихся в процессе обучения любому предмету, в частности математике, в значительной мере зависит от того, насколько учителю удалось научить детей анализировать и синтезировать. Поэтому, прежде всего из урока в урок нужно развивать у ребенка способность к данным мыслительным операциям.
Способность к аналитико-синтетической деятельности находит свое выражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта, его различных признаков, или соединять элементы в единое целое, но и в умении включать их в новые связи, видеть их новые функции. Формированию этих умений могут способствовать:
а) рассмотрение данного объекта с точки зрения различных понятий;
б) постановка различных заданий к данному математическому объекту.
Для рассмотрения данного объекта с точки зрения различных понятий младшим школьникам предлагаются такие задания:
1) Прочитай по-разному выражения: 16 – 5; 15 – 5 = 10.
2) Расскажи все, что ты знаешь о числе 325.
Дети должны знать, что это трехзначное число, записано цифрами 3, 2, 5; в нем 325 единиц, 32 десятка, 3 сотни; его можно записать в виде суммы разрядных слагаемых: 300 + 20 + 5; оно на единицу больше 324 и на единицу меньше 326 и т.д.
Конечно, не следует стремиться к тому, чтобы каждый ученик произносил этот монолог. Но, ориентируясь на него, можно предлагать детям вопросы и задания, при выполнении которых они будут рассматривать данный объект с разных точек зрения.
3) Разгадай правило, по которому составлена таблица, и заполни пропущенные клетки:
4
6
9
3
8
6
5

2


5
7
8
2



4

6


Увидев, что в таблице 2 строки, учащиеся пытаются выявить определенное правило в каждой из них, выясняют, на сколько одно число больше или меньше другого. Для этого они выполняют сложение и вычитание. Но закономерности не обнаруживают и пытаются анализировать таблицу с другой точки зрения, сравнивая числа верхней и нижней строки. Получается: 4<5 на 1, 6< 7 на 1, 9>8 на 1, 3>2 на 1. Если под 8 записать 9, а под 6 – 7, то получим: 8<9 на 1, 6<7 на 1. Следовательно, 5>
· на 1,
·>4 на 1.
Рассмотрение математических объектов с точки зрения различных понятий является способом составления вариативных заданий. Приведем пример такого задания.
Запишем все четные числа от 2 до 20 и нечетные от 1 до 19:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20;
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
Используем теперь эти математические объекты для составления заданий:
1) Разбей числа каждого ряда на 2 группы так, чтобы в каждой были числа, похожие между собой.
2) По какому правилу записан 1-ый ряд? Продолжи его. Какие числа нужно вычеркнуть в 1-ом ряду, чтобы каждое следующее было больше предыдущего на 4? Можно ли выполнить это задание для 2-го ряда?
3) Подбери из первого ряда пары чисел, разность которых равна 10 (Например, 2 и 12, 4 и 14 и т.д.). То же самое проделай со вторым рядом. Какая пара лишняя?
Таким образом, видно, что анализ и синтез осуществляются в единстве и помогают учащимся одновременно держать в поле зрения сложные ситуации, находить причины связи, овладевать длинной цепью умозаключений, открывать связи между единичными факторами и общими закономерностями.
Сравнение
О пользе сравнения в обучении математике говорилось неоднократно. В учебниках математики имеются упражнения, в которых учащиеся должны выполнить сравнение. Поэтому, учащиеся должны овладеть умением сравнивать. Но при его использовании они допускают многочисленные ошибки. Успех в применении сравнения зависит от знаний детей о сравниваемых объектах. Однако основная причина затруднений состоит в другом. В обучении прием сравнения сразу же пытаются применять в целом, нерасчлененно, без предварительной отработки входящих в него операций. Между тем, сравнение имеет сложный операционный состав, и простого показа использования этого приема недостаточно для успешного самостоятельного применения его учащимися. Нужно предварительно научить детей выполнять каждое входящее в него действие (операцию), а затем использовать этот прием в целом, путем выполнения соответствующих упражнений. Иными словами, формирование у учащихся приема сравнения (выявление сходного и различного в объектах) должно стать специальной целью обучения. Опишем основные положения соответствующей методики обучения.
Сравнение проводится с соблюдением определенных требований:
а) оно должно быть целенаправленным;
б) сравниваться должны однородные объекты (предметы, явления, способы деятельности и т.д.);
в) сравнение осуществляется по существенным признакам сравниваемых объектов;
г) для сравнения выбирается определенное основание (этим термином обозначается доминирующий, ведущий признак, относительного которого сравниваются данные объекты – форма предметов, содержание изученных правил, виды математических действий и др.);
д) сравнение проводится от начала до конца по одному и тому же основанию (возможно сравнение одних и тех же объектов по разным основаниям);
е) полное сравнение заканчивается выводом, в котором может быть зафиксировано отношение между сравниваемыми объектами, введено новое понятие, новое правило и т.п.
В состав приема сравнения входят следующие основные операции: выделение признаков предметов; расчленение выделенных признаков на существенные и несущественные в данной ситуации; выделение признаков, являющихся основанием сравнения; нахождение сходных и различных признаков объектов; формулировка вывода из проведенного сравнения.
Отсюда следуют некоторые методические выводы. Обучение сравнению – это длительный процесс. Формирование умения пользоваться этим приемом нужно осуществлять поэтапно, в тесной связи с изучением конкретного содержания. Целесообразно ориентироваться на следующие этапы:
I этап – отрабатываются операции, входящие в прием сравнения;
II этап – знакомство с приемом, правилами его использования; упражнения на самостоятельное и осознанное применение учащимися в варьирующихся условиях.
Работа по усвоению приема сравнения ведется параллельно с изучением программного материала. Покажем на конкретных примерах, как лучше обучать в начальной школе приему сравнения.
I этап – выделение признаков одного предмета.
Так как работу по формированию у детей логического приема сравнения лучше начать с первых уроков математики, то в качестве объектов можно сначала использовать предметы или рисунки с изображением хорошо знакомых предметов. На данном этапе важно познакомить учащихся с термином "признак" и использовать его при выполнении заданий: "Назови признак предмета", "Назови сходные и различные признаки" и др. Научившись выделять признаки (особенности) предмета, и ориентируясь на них, ученики переходят на математические объекты:
1) Назови признаки выражения 3+2 (числа 3, 2 и знак +); равенства X+5 =9 (X– неизвестное число, числа 5 и 9, знаки + и =).
2) Выдели все признаки числа 72.
После овладения этой операцией переходим к овладению общих признаков двух и более предметов. По этим внешним признакам, доступным для восприятия, дети могут установить сходство и различие между математическими объектами и осмыслить эти признаки с точки зрения различных понятий. Это II этап – обучение приему сравнения.
На данном этапе разъясняем учащимся, что во многих случаях получить новое знание можно путем сравнения данных предметов, т.е. путем установления сходных и различных признаков этих предметов. Чтобы провести сравнение, нужно установить, что сравнивается в данных предметах (выделить признак), затем взять какой-либо существенный признак одного предмета и найти сходный у другого. После этого взять другой существенный признак одного предмета и выяснить, имеется ли такой же признак у 2-го предмета и т.д., т.е. нужно выяснить, в чем сходны и различны данные предметы и сделать вывод.
Такая инструкция является ориентировочной основой выполнения этого действия. Постепенно нужно побуждать учащихся к самостоятельному использованию приема сравнения.
Критерием овладения приемом сравнения может служить: объем сравнения (количество сравниваемых признаков), владение правилами сравнения, глубина сделанного вывода, самостоятельное использование сравнения при изучении различного по содержанию учебного материала. Также показателем сформированности приема сравнения является умение детей самостоятельно использовать его для решения различных задач без указания: "Сравни", "Укажи признак", "В чем сходство и различие" и т.п.
Приведем примеры таких заданий:
1) Убери лишний предмет (ориентируются на сходство и различие).
2) Расположи числа в порядке возрастания: 12, 9, 7, 15, 24, 2 (ученики должны выявить признаки различия цифр).
3) Сумма чисел в 1-ом столбике равна 74. Как, не выполняя сложения, во 2-ом и 3-ем столбиках найти сумму чисел:
21 22 23
30 31 32
11 12 13
12 13 14
74
4) Продолжи ряд чисел:
а) 2, 4, 6, 8, ; б) 1, 5, 9, 13, .
(Основа установления закономерности (правила) записи чисел – также операция сравнения.)
Таким образом, систематическое использование приема сравнения с соблюдением требований к его применению и предварительным формированием у учащихся входящих в него операций – залог успеха овладения этим приемом.
Прием классификации
Исходя из актуальности формирования элементарных логических приемов, нужно использовать в работе один из необходимых видов мыслительной деятельности – прием классификации. Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие – основа приема классификации.
Так же, как и при формировании приема сравнения, дети сначала выполняют задания на классификацию хорошо знакомых предметов и геометрических фигур. Например, даны предметы: огурец, помидор, капуста, молоток, лук, свекла, редька. Ориентируясь на понятие "овощ", дети могут разбить множество предметов на 2 класса (группы): овощи и не овощи.
Умение выполнять классификацию формируется у школьников в тесной связи с изучением конкретного содержания. Например, для упражнений в счете детям часто предлагаются иллюстрации, к которым можно поставить вопросы, начиная со слова "Сколько?":
Сколько больших кругов? Сколько маленьких кругов? Сколько кружков синих? Красных? Больших красных? Маленьких синих?




Упражняясь в счете, учащиеся овладевают логическим приемом классификации. Задания, связанные с приемом классификации, обычно формулируются в таком виде: "Разбей (разложи) все круги на 2 группы по какому-то признаку". Большинство детей успешно справляется с этим заданием, ориентируясь на такие признаки, как цвет и размер.
По мере изучения различных понятий в задания на классификацию можно включать числа, выражения, равенства, уравнения. Например, при изучении нумерации чисел в пределах 100 детям можно предложить такое задание: "Разбейте данные числа на 2 группы так, чтобы в каждой оказались похожие числа":
а) 33, 84, 75, 22, 13, 11, 44, 53;
б) 91, 81, 82, 95, 87, 94, 85;
в) 45, 36, 25, 52, 54, 61, 16, 63, 43, 27, 72, 34.
(в данном случае основание для классификации – сумма "цифр", которыми записаны числа: I гр.: она равна 9, II гр. – 7).
Учащиеся должны усвоить, что если в задании не указано количество групп разбиения, то возможны различные варианты. Например: "Разбей числа 37, 61, 57, 34, 81, 64, 27 на группы". (Можно разбить на 3 группы, если ориентироваться на цифры, записанные в разряде единиц; и на 2 группы, если ориентироваться на цифры, записанные в разряде десятков; и др.).
При изучении сложения и вычитания в пределах 10 возможны такие задания на классификацию.
Разбей данные выражения на группы:
1) 3+1, 4-1, 5+1, 6-1, 7+1, 8-1.
В этом случае основание для разбиения на 2 группы дети легко находят, т.к. признак в записи выражений представлен явно.
2) 3+2, 6-3, 4+5, 9-2, 4+1, 7-2, 10-1, 6+1, 3+4.
Разбивая на группы данные выражения, можно ориентироваться не только на знак действия, но и на результат.
Приступая к новым заданиям, дети обычно сначала ориентируются на те признаки, которые имели место при выполнении предшествующих заданий. В этом случае полезно указывать количество групп разбиения. Например, к выражениям 3+2, 4+1, 6+1, 3+4, 5+2 дается задание: "Разбей на 3 группы по какому-то признаку". Учащиеся сначала ориентируются на знак арифметических действий, но разбиение на 3 группы не получается. Затем ориентируются на результат, но тоже получается только 2 группы. В процессе поиска выясняется, что разбить на 3 группы можно, ориентируясь на значения 2-го слагаемого (2, 1, 4).
В качестве основания для разбиения выражений на группы может выступать и вычислительный прием. С этой целью можно использовать задания такого типа: "По какому признаку можно разбить данные выражения на 2 группы: 57+4, 23+4, 36+2, 75+2, 68+4, 52+7, 76+7, 44+4, 88+6, 82+6 ?" Если учащиеся не могут увидеть нужное основание для классификации, то учитель помогает им: "В одну группу я запишу выражение: 57+4, а в другую – 23+4. В какую группу вы запишите выражение 36+9?". Если и в этом случае дети затрудняются, то учитель может подсказать им основание: "Каким вычислительным приемом вы пользуетесь для нахождения значения каждого выражения?".
Задания на классификацию можно применять не только для продуктивного закрепления знаний, умений и навыков, но и при знакомстве с новыми понятиями. Таким образом, при обучении математике можно использовать задания на классификацию различных видов:
1) Подготовительные задания ("Убери (назови) "лишний" предмет", "Дай название группе предметов" и др.).
2) Задания, в которых на основание классификации указывает учитель.
3) Задания, при выполнении которых дети сами выделяют основание для классификации.
Применение приема классификации на уроках математики позволяет расширять имеющиеся в практике приемы работы, способствует формированию положительных мотивов учебной деятельности, т.к. подобная работа содержит элементы игры и поисковой деятельности, что повышает активность учащихся и обеспечивает самостоятельное выполнение работы.
Прием аналогии
Понятие "аналогичный" в переводе с греческого языка означает "сходный", "соответственный", понятие аналогия – сходство в каком–либо отношении между предметами, явлениями, понятиями, способами действий.
Под аналогией понимается особый вид рассуждения, когда от сходства 2-х объектов в некоторых признаках и при наличии дополнительного признака у одного из них, делается вывод о наличии такого же признака у другого объекта. Здесь понятие "объект" используется в широком смысле. Им может быть некоторый предмет, модель, рисунок, математическое выражение, задача и т.д. Иными словами, понятие аналогия означает сходство в каком-либо отношении между предметами, явлениями, понятиями, способами действий.
Аналогия в деятельности учащихся может стать приемом, который будет помогать им открывать новые знания, способы деятельности и использовать их в измененных условиях. Аналогия – средство активизации учебно-познавательной деятельности учащихся, применение которого существенно влияет на повышение эффективности процесса обучения. Поэтому нужно систематически побуждать учащихся к использованию аналогии, создавать для этого соответствующие условия. Задача состоит в том, чтобы научить школьников самостоятельно использовать аналогию, хотя бы в несложных случаях.
Надо иметь в виду, что вывод по аналогии в общем случае является лишь предположительным и может оказаться неверным. Однако в условиях обучения эта особенность аналогии не препятствие для ее использования, т.к. учитель всегда может поправить неверный вывод ученика. Вместе с тем эта же особенность аналогии выполняет положительную роль и имеет обучающее значение, если приучать учащихся проверять сделанные ими выводы по аналогии.
В процессе обучения математике учитель часто говорит детям: "Сделай по аналогии" или "Это аналогичное задание". Обычно такие задания даются с целью закрепления тех или иных действий. Например, после рассмотрения свойств умножения суммы на число предлагаются различные выражения: (3+5)·2, (5+7)·3, (9+2)·4 и т.д., с которыми выполняются действия, аналогичные данному образцу. Но возможен и другой вариант, когда, используя аналогию, ученики находят новые способы деятельности и проверяют свою догадку. В этом случае они сами должны увидеть сходство между объектами в некоторых отношениях и самостоятельно высказать догадку о сходстве в других отношениях, т.е. сделать заключение по аналогии. Но для того, чтобы учащиеся смогли высказать "догадку", нужно определенным образом организовать их деятельность. Например, ученики усвоили алгоритм письменного сложения двузначных чисел. Переходя к письменному сложению трехзначных чисел, учитель предлагает им найти значение выражений: 74+35, 68+13, 54+29, а затем спрашивает: "Кто догадался, как выполнить сложение чисел 254+129?". Выясняется, что в рассмотренных случаях складывали 2 числа, то же самое нужно сделать в новом случае. При сложении двузначных чисел их записывали одно под другим, ориентируясь на их разрядный состав, и складывали поразрядно. Возникает догадка – вероятно, также можно складывать и трехзначные числа. Заключение о правильности догадки может дать учитель или предложить детям сравнить выполненные действия с образцом.
Умозаключение по аналогии можно применять при переходе к письменному сложению и вычитанию многозначных чисел, сравнивая со сложением и вычитанием трехзначных чисел, и при изучении свойств арифметических действий. Например, переместительного свойства умножения. Для этой цели учащимся сначала предлагается найти значения выражений:
6+3 7+4 8+4
3+6 4+7 4+8
– Каким свойством вы воспользовались при выполнении задания? (Переместительным свойством сложения).
– Подумайте: как установить, выполняется ли переместительное свойство для умножения?
Учащиеся по аналогии записывают пары произведений и находят значение каждого, заменяя произведение суммой.

Формируя у младших школьников умение выполнять умозаключения по аналогии, нужно иметь в виду следующее:
1) Аналогия основывается на сравнении, поэтому успех ее применения зависит от того, насколько учащиеся овладели таким приемом, т.е. умеют выделять признаки объектов и устанавливать сходство и различие между ними.
2) Для использования аналогии нужно иметь 2 объекта, один из которых известен учащимся, а второй сравнивается с ним по каким-либо признакам. Следовательно, применение приема аналогии способствует повторению изученного и систематизации знаний и умений.
3) Для ориентации учащихся на использование аналогии, нужно в доступной для них форме разъяснить сущность этого приема, обратив при этом их внимание на то, что в математике нередко новый способ вычислений (действий), преобразований и т.п. можно открыть по догадке, внимательно изучая известный способ деятельности и данное новое задание (термин "аналогия" можно не вводить).
4) Для правильного вывода по аналогии сравниваются признаки объектов, причем существенные признаки, на что учащихся нужно сориентировать. Иначе, аналогия может быть проведена по внешним, несущественным признакам, и привести к неверным выводам. Например, некоторые ученики пытаются применить способ умножения числа на сумму при умножении числа на произведение. Это говорит о том, что существенное свойство данного выражения (умножение на сумму) оказалось вне их поля зрения.
Использование аналогии должно стимулироваться действиями учителя, т.е. используемыми им приемами преподавания. Действия учителя направляют учащихся на проведение аналогии.
Отметим, что в учебниках нередко показывается как нужно делать, т.е. исполнительные операции даются в готовом виде. В этом случае поиски не нужны. При опоре на аналогию учащиеся ищут способ деятельности, открывают исполнительские операции, а затем проверяют догадку. В этом и проявляется активизирующее влияние аналогии, ее ценность в обучении: аналогию, как прием интеллектуальной деятельности осуществляют учащиеся, учитель побуждает их к этому.
Таким образом, школьный курс начальной математики содержит богатые возможности для использования аналогии. Систематическая ориентация учащихся на ее применение поможет им овладеть этим приемом учебной деятельности и самостоятельно использовать его в обучении.
Прием обобщения
Обобщение широко используется в обучении математике. Нередко успех в обучении достигается хорошо проведенным обобщением.
Обобщить – это значит зафиксировать общее, что имеется в каждом объекте рассматриваемой совокупности. Фиксируются обычно существенные признаки объектов, поэтому обобщение в математике – это мысленное выделение общих и существенных признаков математических объектов и объединение их на этой основе в пределах заданной области (темы, раздела и т.д.).
Обобщение может быть более или менее широкое. Например, правило прибавления числа к сумме – это обобщение. В 3 классе учащиеся узнают, что при сложении любые 2 или несколько слагаемых можно заменить их суммой. Это обобщение, но более широкое, охватывающее изученные ранее правила.
В обучении математике результат обобщения внешне фиксируется в понятиях, предложениях (суждениях), правилах. Например, показывая различные числа с постановкой знаков действий между ними, учитель говорит: "Это математические выражения". В данном понятии зафиксированы (обобщены) числовые выражения. Аналогично можно сказать и о многих правилах, изучаемых в математике, которые распространяются более чем на один объект.
Для методики обучения особенно важна организация у учащихся процесса обобщения. От этого зависит успех в обучении, т.к.:
1) он приводит учащихся к новым обобщенным знаниям, способам действий;
2) этот процесс выступает приемом учения, приемом осуществления учащимися учебно-познавательной деятельности.
Поэтому, в условиях развивающего обучения особенно важно, чтобы учащиеся овладели этим приемом.
Процесс обобщения протекает путем сравнения двух и более объектов по их общим и существенным признакам с целью получить обобщенный вывод. Такое обобщение называется эмпирическим. Большинство психологов, педагогов и методистов считают, что эмпирическое обобщение для младших школьников наиболее доступно. Этим и обусловлено построение курса математики в начальных классах. Эмпирическое обобщение широко используется в обучении математике. Примером может служить получение правил сложения суммы с суммой, умножение числа на сумму и др. Здесь учебная задача состоит в том, чтобы учащиеся подметили существенные признаки у всех объектов и на этой основе сделали верный вывод.
Процесс обобщения характеризуется тем, что с самого начала, путем анализа одного математического объекта, выявляются существенные его особенности, отражающие общие признаки всех объектов из заданной области. Это путь теоретического обобщения. Учебная задача здесь состоит в том, чтобы вскрыть в данном объекте существенное, общее, абстрагируясь от частного, единичного. Достигается это анализом данного объекта. Необходимое условие формирования у младших школьников способности к теоретическому обобщению – направленность обучения на формирование общих способов деятельности. Для этого нужно продумать такие действия с математическими объектами, в результате которых дети смогут сами "открывать" существенные свойства изучаемых понятий и общих способов действий с ними.
Для получения правильного обобщения нужно:
1) продумать подбор математических объектов и последовательность вопросов для целенаправленного наблюдения и сравнения;
2) рассмотреть как можно больше частных объектов, в которых повторяется та закономерность, которую ученики должны подметить;
3) варьировать виды частных объектов, т.е. использовать предметные ситуации, схемы, таблицы, выражения, отражая в каждом виде объекта одну и ту же закономерность;
4) помогать детям словесно формулировать свои наблюдения, задавая наводящие вопросы, уточняя и корректируя те формулировки, которые они предлагают.

Рассмотрим на примере, как можно реализовать приведенные рекомендации. Для того чтобы подвести учеников к формулировке переместительного свойства умножения, учитель предлагает такие задания:
1) Рассмотри рисунок и попробуй быстро подсчитать, сколько окон в доме.








Дети могут предложить следующие способы: 3+3+3+3, 4+4+4 или 3·4=12, 4·3=12.
Учитель предлагает сравнить полученные равенства. Отмечается, что оба произведения одинаковые, а множители переставлены.
2) Аналогичное задание учащиеся выполняют с прямоугольником, который разбит на квадраты.































Получается: 9·3=27 и 3·9=27. Описываются сходства и различия, которые существуют между данными равенствами.
3) Самостоятельная работа учащихся: найти значения выражений, заменив умножение сложением.
3·2 4·2 3·6 4·5 5·3 8·4
2·3 2·4 6·3 5·4 3·5 4·8
Выясняется, чем похожи и чем отличаются равенства в каждом столбике. Учитель помогает сформулировать свойство при помощи наводящего вопроса: "Если множители переставить, что можно сказать о произведении?". Вывод: "От перестановки множителей значение произведения не изменится".
Формируя у учащихся умение обобщать необходимые факты, полезно предлагать задания, при выполнении которых они могут сделать неверное обобщение. Рассмотрим несколько таких примеров:
1) Сравни выражения, найди общее в неравенствах и сделай соответствующие выводы:
2+3 2·3 4+5 4·5
3+4 3·4 5+6 5·6
Сравнив, учащиеся отмечают закономерности: слева записана сумма, справа–произведение двух последующих чисел; сумма всегда меньше произведения данных чисел. Дети делают вывод: "Сумма двух последующих чисел всегда меньше произведения". Но это обобщение ошибочно, т.к. не учтены случаи:
0+1 0·1 и 1+2 1·2
Можно попытаться сделать правильное обобщение: "Сумма двух последующих чисел, начиная с числа 2, всегда меньше произведения тех же чисел".
2) Найди сумму. Сравни ее с каждым слагаемым. Сделай вывод.
Слагаемое
1
2
3
4
5
6

Слагаемое
4
4
4
4
4
4










На основе анализа частных случаев, учащиеся приходят к выводу, что сумма всегда больше каждого из слагаемых. Но его можно опровергнуть, т.к.: 1+0=1, 2+0=2.
3) Проверь, будет ли делиться каждое слагаемое на 2, и сделай вывод:
(2+4):2=3 (6+2):2=4 (8+10):2=9
(4+4):2=4 (6+8):2=7
Анализируя частные случаи, дети могут прийти к заключению, что если сумма чисел делится на 2, то каждое слагаемое этой суммы делится на 2. Но вывод ошибочный, т.к. его можно опровергнуть: (1+3):2 – сумма делится на 2, а слагаемые нет.
Таким образом, учитель должен направлять деятельность учащихся по формированию приема обобщения, т.к. успех обучения также во многом зависит от того, насколько учащиеся правильно умеют обобщать и делать выводы.
Итак, мы рассмотрели возможности включения в процесс обучения математике различных приемов мышления: анализа и синтеза, обобщения, аналогии, классификации, сравнения; и примеры заданий, которые можно включать в уроки по развитию данных познавательных процессов. Математика способствует развитию у детей мышления, памяти внимания, творческого воображения, наблюдательности, последовательности рассуждений и их доказательности. В результате систематической работы по развитию логического мышления учебная деятельность учеников активизируется, качество их знаний заметно повышается.
Была составлена система занятий по развитию логического мышления, которые включались в содержание уроков как при изучении нового материала, так и при его закреплении, а также при повторении пройденного. Уровень сложности заданий постепенно возрастал. Соответственно, оторванности от программного материала не было. Занятия проводились с целью научить детей приемам логического мышления (анализировать, сравнивать, обобщать, классифицировать, проводить аналогию и т. д.) и развить в них данные умения, а главное применять их при дальнейшем обучении математике.
Приведем примеры некоторых заданий.
Занятие 1, 2. Анализ и синтез.
Подумайте, по какому принципу записаны цифры, и допишите их:
а) 9 4 7 11 19 3 8 6 б) 2 7 4 9 5 1 8 11
7 2 5 6 21 12
(цифры уменьшаются на 2) (увеличить в 3 раза)
в) 13 4 10 7 15 19 16 г) 8 14 2 30 16 28 10 22
16 7 13 4 7 1
(увеличить на 3) (увеличить в 2 раза)

Занятие проводилось следующим образом: сначала мы вместе с детьми искали закономерность составления данного ряда, анализировали каждую пару чисел, сравнивали их и т. д. Затем использовали найденную закономерность построения ряда чисел для выполнения задания.
Нужно отметить, что перед выполнением каждого задания с детьми проводилась небольшая беседа и объяснялся смысл каждой логической операции (что такое анализ, синтез, сравнение, обобщение и т. д.) в доступной для детей форме.
Занятие 3, 4. Сравнение.
Сначала дети учились сравнивать 2 числа, а затем несколько цифр и выражений с целью найти сходство и различие между ними.
1) Что общего в числах 17 и 77?
(Дети должны были ответить, что в каждом числе есть цифра 7, оба числа двузначные, нечетные).
2) Сравните числа 31 и 38; 35, 137, 39, 231, 337, 1031. что общего?
(Сначала дети сравнивают 2 числа, а затем наблюдают за рядом чисел и делают вывод, что общее здесь – число десятков.)
3) В чем сходство и различие выражений: 4+3 и 3+4? 6+2 и 6–2? 9+6 и 6+7? 4+4+4 и 4+5+3? Поставьте знаки <, > или =.
В данном случае обучение сравнению происходило постепенно, как бы по ступенькам (этапам): сначала дети научились выполнять каждую операцию, входящую в сравнение, а затем использовать этот прием в целом.
Занятие 5, 6. Обобщение.
1) Назовите обобщающим понятием: 2·4, 3·5, 5·6, 7·8, 29·9, 1345·3 (умножение)
2) Плюс, минус – (знаки)
вычитание, деление – (действия)
данные, неизвестное – (уравнение).
3) Выберите одно понятие:
10, 14, 20, 32, 44, 58 – цифры, двузначные числа, круглые числа, двузначные четные числа, четные числа.
При проведение данного занятия учащиеся уяснили, что, для того чтобы легче было обобщать, надо уметь выделять общие, а главное существенные признаки.

Занятие 7, 8. Классификация.
1) Разделите числа на 2 группы: 25, 8, 33, 49, 1, 93, 5, 17;
25, 23, 52, 54, 21, 58, 57, 29.

2) Разделите на 2 группы числа 1, 2, 5, 6, 9, 10, 13, 14, 17, 18 так, чтобы каждое последующее число было больше предыдущего на 4.
(1, 5, 9, 13, 17 и 2, 6, 10, 14, 18)
Что еще заметили? (I группа – нечетные числа, II группа – четные числа).
3) Разделите выражения на группы:
6 · 6 · 6 4 · 4 · 4
12 · 6 8 · 9 · 9
3 · 9 9 · 9 · 9
По какому принципу вы разделили на группы выражения?
Занятие 9, 10. Аналогия.
Задача данного занятия – научить школьников самостоятельно использовать аналогию хотя бы в несложных случаях. Так как аналогия основывается на сравнении, то успех ее применения зависит от того, насколько учащиеся овладели этим приемом.
Детям объяснялось, что для использования аналогии нужно иметь 2 объекта, один из которых известен, а второй сравнивается с ним по каким-либо признакам. Учащимся в доступной форме объяснялась сущность аналогии, при этом обращалось их внимание на то, что в математике нередко новый способ вычислений, преобразований и т. п. можно открыть по догадке, внимательно изучая известный способ деятельности и данное новое задание. После этого школьники выполняли задания:
1) Подчеркните нужный ответ:
4 – четное число; 3 – цифра, ответ, нечетное число, сумма цифр.
2) Допишите ответ:
5 – целое число, 13 EMBED Equation.3 1415 – (дробное число)
3 + 1 = 5 – 1 – равенство, 5 < 7 – 1 – (неравенство)
25 – двузначное число, 125 – (трехзначное число)

С более сложными заданиями на аналогию учащиеся знакомились непосредственно на уроках математики, например, при изучении темы "Умножение суммы на число" (аналогия с темой "Умножение числа на сумму").
Занятие 11, 12.
1) Найдите значение выражений, записанных на доске:
11 · 8 12 · 5 25 · 4 16 · 6 19 · 4
(88, 60, 100, 96, 76)
2) Расположите значение произведений в порядке убывания (100, 96, 88, 76, 60).
3) Установите закономерность (числа уменьшаются на 4, 8, 12, 16).
4) Продолжите ряд до первого числа во множестве отрицательных чисел.
(100, 96, 88, 76, 60, 40, 16, -12 – числа уменьшаются на 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28).
5) Назовите "лишнее" число и "интересные" числа.
("лишнее" – 100, т. к. трехзначное; "интересные" числа – 100, 60, 40, т. к. круглые; 88 – в записи числа используется одна цифра; 96 – перевернутая цифра в записи числа десятков единиц).
6) Объедините числа в группы по общему признаку.
(I группа: 100, 60, 40 – круглые десятки;
II группа: 96, 76, 60, 16 – в записи числа используется цифра 6)
7) Работа с числами 96, 76, 88.
Умножьте их на 9: 96 · 9 = 864, 88 · 9 = 792, 76 · 9 = 684.
– Что общего? (Сумма цифровых значений произведений равна 18.)
– Какое число "лишнее"? Почему? ("Лишнее" число – 792; 864 и 684 – используются одинаковые цифры в записи чисел)
Занятие 13, 14.
1) Предложите значения частных: 2322
· 86 (27) 3564
· 44 (81)
3060
· 68 (45) 4536
· 72 (63)
2) Расположите значения частных в порядке возрастания (27, 45, 63, 81).
– Что заметили в данном ряду чисел?
– Какие это числа? (нечетные, увеличиваются на 18, сумма цифр равна 9)
3) Что можно сказать о делимых?
(3060 – отсутствуют два разряда; 2322 – три одинаковых цифры; 4536 и 3564 – в записи чисел все цифры одинаковые и сумма цифр равна 18; 2322 и 3060 – сумма цифр равна 9)
4) Разбейте данные числа на 2 группы так, чтобы:
а) в каждой группе были числа, похожие между собой по одному признаку:
345, 54, 78, 594, 84, 765, 384, 91;
б) в каждую из них входили числа, похожие между собой по двум признакам:
570, 873, 343, 520, 740, 810, 983, 753.
Например, I группа – трехзначные числа, оканчивающиеся на 0;
II группа – трехзначные числа, оканчивающиеся на 3.
в) 376 – 375, 375 – 374, 374 – 373, 373 – 372,
Чем похожи между собой все записанные примеры? Какую закономерность можно отметить? Какой можно сделать вывод?
Занятие 15, 16.
1) Дано уравнение: 3 · х + 2. Напишите ряд чисел – значений уравнения.
(2, 5, 8, 11, 14, 17, )
Укажите значение х, чтобы выражение было равно 5. (1)
Что вы можете сказать о числе 5? (оно однозначное, нечетное)
Назовите еще одно значение х, при котором значение выражения было бы нечетным. Продолжите ряд значений. Какой можно сделать вывод? Что заметили?
(х = 1 5, х = 3 11, х = 5 17, х = 7 23, )
2) Решите уравнения: 7 · х = 63 и х · 6 = 42. Сравните их, отметив сходство и различия.
Следует отметить, что задания, использовавшиеся на занятиях по формированию приемов логического мышления, продумывались таким образом, чтобы они не дублировали материал учебника, не были стандартными и вызывали у детей интерес, стремление их решать. Но в то же время тематическая направленность совпадала с изученным и изучаемым материалом, на занятиях постоянно присутствовали упражнения и задания на закрепление изученного материала (понятия "больше на", "меньше на", "больше (меньше) в ", понятие последующего (предыдущего) числа, числовые выражения, действия и т. д.). Таким образом не было "оторванности" от школы, в частности от программного материала.
В процессе выполнения заданий логического характера и нестандартных заданий дети учились наблюдать, подмечать сходства и различия, устанавливать связи между объектами, классифицировать, устанавливать признаки классификации, обобщать, делать выводы и т. п. В результате такой систематической работы рассуждения и выводы учащихся становятся полноценными логическими умозаключениями, хотя по своей форме они бывают короткими и простыми.
Также мы убедились, что организовать развивающее обучение можно при изучении любого учебного материала, в том числе и математического, и по любой программе. Конечная цель такого обучения состоит в сформированности у учащихся обобщенных интеллектуальных умений. Отсюда следует, что включение учащихся в творческую деятельность – это основной путь развития логического мышления. Именно в такой деятельности нужны вышеназванные умения и в ней они формируются. Причина успешного развития логического мышления учащихся не в выборе учителем программы обучения, а творческий подход и целенаправленность при достижении поставленных задач.
Таким образом, математика способствует развитию у детей мышления, памяти, внимания, творческого воображения, наблюдательности, последовательности рассуждения и его доказательности, а также развитию умения кратко, четко и последовательно излагать свои мысли.









Список используемой литературы
1. Аблова В.С. Формирование элементов логической и алгоритмической грамотности при изучении математики в начальной школе. // Начальная школа. – 1991. - №10. – С. 97-103.
2. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах. / Под. ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. – М.: Просв., 1997.
3. Альсмик Т. Занимательная математика. // Начальная школа. – 1986. - №3. – С. 35.
4. Аменицкий Н. Н., Сахаров И. П. Забавная арифметика. – М.: Наука, 1991.
5. Артемов А.К. Использование аналогии в обучении математике. // Начальная школа. – 1987. - №3. – С.36.
6. Артемов А.К. Обобщения в обучении математике. // Начальная школа. – 1985. - №11. – С. 65.
7. Артемов А.К. Обучение сравнению в математике. // Начальная школа. – 1982. - №11.- С.43.
8. Артемов А.К. Приемы организации развивающего обучения. // Начальная школа. – 1995. - №3. – С. 38.
9. Артемов А.К. Трудности возникнувшие у детей при обобщении в математике. // Начальная школа. – 1982. - №4. – С.32.
10. Бань И.В. О формировании интереса к математике. // Начальная школа. – 1999. - №4. – С.73.
11. Белова Г. М. Работаем по системе развивающего обучения. // Начальная школа. – 1996. – №12. – С. 51.
12. Виноградова Л.В. Развитие мышления учащихся при обучении математике.– Петрозаводск: Карелия, 1989.
13. Гетманова А. Д. Логика: Учебник для студентов педагогических вузов. – М.: Высшая школа, 1986.
14. Годфруа Ж. Что такое психология: в 2–х томах. Т. 2: Пер. с франц. – М.: МИР, 1992.
15. Гребцова Е.С. Развитие учащихся на уроках математики. // Начальная школа. – 1992. - №4. – С. 27.
16. Доналдсон М. Мыслительная деятельность детей. – М.: Педагогика, 1985.
17. Жалдак Н.Н. Развитие логического мышления у младших школьников. // Начальная школа. – 2000. - №7. – С.77.
18. Зак А.З. Задачи для развития логического мышления. // Начальная школа.– 1989. - №6. – С.32.
19. Зак А.З. Занимательные задания для развития мышления. // Начальная школа. – 1985. - №5. – С.37.
20. Зак А.З. Развитие интеллектуальных способностей у детей младшего школьного возраста: Учебно-методическое пособие для учителей. – М.: Новая школа, 1996.
21. Зак А.З. Различия в мышлении детей: Учебно0методическое пособие. – М.: Издательство Российского открытого университета, 1992.
22. Истомина Н. Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальных классах. / Пособие для учителя. – М.: Просвещение, 1985.
23. Истомина Н.Б., Нефедова Н.Б. Информационно-методическое письмо об учебниках математики. // Начальная школа. – 1998. - №8. – С.12.
24. Истомина Н.Б. Концепции обучения математике в начальной школе. // Начальная школа. – 1996. - №10. – С.48.
25. Истомина Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учебное пособие. – М.: Издательский центр "Академия", 1998.
26. Кабанова-Меллер Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. – М.: Просвещение, 1968.
27. Кольман Э., Зих О. Занимательная логика. – М.: "Наука", 1966.
28. Конкова В.Н. Задания развивающего характера к уроку математики. // Начальная школа. – 1994. - №5. – С.22.
29. Крутецкий В.А. Психология. – М.: Просвещение, 1986.
30. Крутецкий В.А. Психология математических способностей. – М.: Просвещение, 1968.
31. Лапина И.А. Развитие логического мышления на уроках математики. // Начальная школа. – 1999. - №8. – С.37.
32. Леонтьев А.Н. Деятельность. Сознание. Личность. – М.: Просвещение, 1975.
33. Лилина И.А. Развитие логического мышления на математике. // Начальная школа. – 1989. - №8. – С.37.
34. Лихтарников Л. Занимательные логические задачи. – Санкт–Петербург, 1996.
35. Матюхина М.В., Михальчик Т.С., Патрина К.Г. Психология младшего школьника. – М.: Просвещение, 1970.
36. Мельник Н.В. Развитие логического мышления при изучении математики. // Начальная школа. – 1997. - №5. – С. 63.
37. Менчинская Н.А. Проблемы учения и умственного развития школьника. – М.: Педагогика, 1989.
38. Николау Л.Л. Задания повышенной трудности. // Начальная школа. – 1998. - №7. – С.55.
39. Николау Л.Л. Логические упражнения. // Начальная школа. – 1996. - №6. – С. 25.
40. Обухова Л.Ф. Этапы развития детского мышления. – М.: Изд–во московского университета, 1972.
41. Общая психология: Учебное пособие для студентов. / Под ред. В.В. Богословского и др. – М.: Просвещение, 1981.
42. Пентегова Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики. // Начальная школа. – 2000. - №11. – С.74.
43. Пентегова Г.А. Развитие логического мышления на уроках математики. // Начальная школа. – 2000. - №10. – С.69.
44. Петерсон Л.Г. Информационно-методическое письмо об учебниках математики. // Начальная школа. – 1998. - №8. – С. 36.
45. Погосян Л. Н. На уроках математики. // Начальная школа. – 1985. - №4. – С.36.
46. Петерсон Л.Г. Программа по математике. // Начальная школа. – 1996.– №11.– С.49.
47. Петерсон Л.Г. Учебник "Математика 3". // Начальная школа. – 1997. - №10.– С.31.
48. Познавательные процессы и способности в обучении. / Под ред. В.Д. Шадрикова. – М.: Просвещение, 1990.
49. Пономарев Я. А. Знание, мышление и умственное развитие. М.: Просвещение, 1967.
50. Простан Г.Д. Использование занимательного материала на уроках математики. // Начальная школа. – 1989. - №6. – С.46.
51. Развитие логического мышления на уроках математики: Учителю на заметку. // Газета "Начальная школа". – 2000. - №47.
52. Савенков А.И. Задачи для развития логического мышления. // Начальная школа. – 1997. - №6. – С.19.
53. Сереброва И.В. Развитие внимания и логического мышления на занятиях математикой. // Начальная школа. – 1995. - №6. – С.51.
54. Симановский А.Э. Развитие творческого мышления у детей: Пособие для родителей. – Ярославль, 1996.
55. Талызина Н.Ф. Формирование познавательной деятельности младших школьников: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1988.
56. Теоретические основы методики обучения математике в начальных классах. / Под ред. Н.Б. Истоминой. – М.: Воронеж, 1996.
57. Тихомирова Л.Ф., Басова А.В. Развитие логического мышления у детей. – Ярославль: "Гринго", 1995.
58. Тихомирова Л.Ф. Развитие познавательных способностей детей: Популярное пособие для родителей и педагогов. – М., 1996.
59. Улицкая Л.И. Для развития познавательной активности. // Начальная школа. – 1990. - №6. – С.48.
60. Фридман Л.М. Психолого-педагогические основы обучения математике в школе. – М.: Просвещение, 1983.
61. Чуприкова Н.И. Умственное развитие и обучение. Психологические основы развивающего обучения. – М., 1995.
62. Шардаков М.Н. Мышление школьников. – М.: Просвещение, 1986.
63. Энгельс Ф. Анти-Дюринг. – Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения. Т.20. – М.: Просвещение, 1954.
Приложение
В приложении представлены примеры заданий (по блокам) для развития приемов умственных действий (анализа и синтеза, классификации, сравнения, обобщения, аналогии) на уроках математики при изучении алгебраического материала (числовых и буквенных выражений, уравнений, равенств и неравенств) и творческих способностей младших школьников. Задания подобраны таким образом, чтобы учитель мог использовать их для развития приемов логического мышления при изучении выражений, уравнений, равенств и неравенств. Задания можно включать в различные этапы урока (по усмотрению учителя) при изучении алгебраического материала в зависимости от поставленных целей и задач урока, а также при повторении изученного.

Блок I
Уравнения
Элементы алгебраической пропедевтики предполагают ознакомление детей с таким важным математическим понятием, как переменная. В дальнейшем вводится буквенное обозначение переменной. Дети учатся находить значение буквенных выражений при заданных числовых значениях входящих в них букв. Постепенно, начиная с решения подбором так называемых примеров с окошками вида
· + 3 = 7, учащиеся знакомятся с простейшими уравнениями (х + 9 = 19, х · 8 = 56, х
· 4 = 7 и т. п.), у них формируется понятие о том, что значит решить уравнение. В теме "Числа от 1 до 100" программой предусмотрено решение уравнений на основе знания взаимосвязи между компонентами и результатами действий. В дальнейшем усложняется и структура решаемых уравнений (х · 8 = 246 – 86 и т. п.). это способствует формированию у детей понятий равенство, левая и правая части равенства.
Приучать детей к решению уравнений можно, выполняя задания с предметными картинками. Постепенно задания усложняются и вместо картинок используются цифры.

1)
а) * * * + ? = * * * х =
б) * + ? = * х = ?
в) ? + = х = ?
2)
а) х + = * * б) + х =
х = * * – х =
х = * * х =
в) пол + х = полка г) х + рог = носорог
х = х =
х = х =
3) – х = 5 – х = 4
х = х = 5 – 4
х = х = 1
4) 8 – х = 3
х =
х =
5) а) х – цап = ля б) х – * * =
х = х =
х = х =
6) Выполни действия с линиями по образцу А и Б.
А) + = Б) – =

+ = + =


7) 2 + х = 6 9 – х = 4 х – 8 = 1
х = х = х =
8) Найди обратную операцию. Чему равен х? Составь и реши уравнения.
+17 –32
а) х 88 б) х 13
Сделай вывод.
9) Установи последовательность операций при решении уравнений. Пользуясь ею, реши уравнение: х – 24 = 49

· – произвести вычисления (3)

· – применить правило (4)

· – сделать проверку (5)

· – найти части и целое (1)

· – определить, что неизвестно (2)
10) Коля задумал число, вычел из него 24, прибавил 31, вычел 45, прибавил 9 и получил 44. Какое число он задумал?
х ? 1)
–24 2)
+31 3)
–45 4)
+9
44

11) Учащиеся в каждом уравнении находят части и целое, а затем применяют одно из правил: а) целое равно сумме частей; б) чтобы найти часть, нужно из целого вычесть другую часть. При этом компоненты действий можно отметить на чертеже.
х + 8 = 12 х – 6 = 9 14 – х = 5
12 х 14

х 8 6 9 х 5
х = 12 – 8 х = 6 + 9 х = 14 – 5
х = 4 х = 15 х = 9
12) Найди х, пользуясь рисунком:
а) б)
52 х 58 42 х 48
х = х =
в)
71 х 77 50 х 60
х = х =

13) Реши уравнения, отметив компоненты действий на чертеже.
а) 15 + х = 52; б) 83 – х = 76; в) х – 10 = 29
14) В каждом уравнении подчеркни самое большое число:
а) а + 23 = 41; б) 85 – к = 72; в) х · 7 = 56; г) е
· 4 = 9
Реши уравнения, проверь себя.
15) Реши уравнения: к · 7 = 777; х · 4 = 888; а
· 3 = 222; е
· 3 = 333.
Сравни значения неизвестных. В чем их сходство?
16) Реши уравнения: 31 + х = 23 + 18 (31 + х) – 18 = 23
19 – а = 30 – 18 (19 – а) + 18 = 30
12 + у = 64 – 19 64 – (12 + у) = 19
Сравни уравнения каждой строки. Как они связаны между собой? Могут ли уравнения 1–го столбика помочь в решении уравнений 2–го столбика?
17) Сравни уравнения каждой строки:
50 – х = 18 + 25 50 – х = 43
е + 16 = 81 – 27 е + 16 = 54
а · 3 = 46 – 19 а · 3 = 27
у
· 4 = 23 – 17 у
· 4 = 6
Как ты думаешь, они связаны между собой? Может ли второе уравнение каждой строки помочь решить первое уравнение? Почему?
18) Какие уравнения имеют одинаковые корни?
а) 38 · 7 + х = 1022 37 · 8 + х = 1022 х + 38 · 7 = 1000 + 22
(1–ое уравнение можно записать так: 266 + х = 1022; 2–ое: 296 + х = 1022;
3-е: х + 266 = 1022. Поэтому, можно, не решая уравнений утверждать, что 1–ое и 3–е имеют одинаковые корни.)
б) 38 + 7 + х = 98 37 + 7 + х = 98 х + 38 + 7 = 98
19) Заполни схему, реши уравнения и сделай проверку:
а) х – 68 = 75 б) 79 – х = 36
х =
х =
20) Пользуясь схемой, найди задуманное число:


–30 +7 +19 –45
х 25
21) Составь и реши уравнения:
а) На сколько нужно умножить число 60, чтобы получилось 4320?
б) Какое число нужно разделить на 700, чтобы получилось 506?
в) На сколько нужно разделить 8500, чтобы получить 500?
22) Угадай корни уравнений и сделай проверку:
а) х · х + 4 = 29; б) (х – 2) · (х + 5) = 0

Блок II
Выражения
При изучении сложения и вычитания в пределах 10 дети знакомятся с названиями действий, их компонентов и результатов. В дальнейшем вводятся термины равенство, неравенство, выражение, значение выражения. Помимо терминологии, дети усваивают и некоторые элементы математической символики: знаки действий (+, –), знаки отношений (>, <, =); они учатся читать и записывать простейшие математические выражения вида 5 + 4, 7 – 2, а также сложные выражения вида 6 + (6 – 2).Дети знакомятся с некоторыми свойствами арифметических действий (переместительным и сочетательным), рассматривают правило о порядке выполнения арифметических действий.
С понятием выражения учащиеся знакомятся в 1 классе при решении текстовых задач и задач на классификацию. При этом используются как числовые, так и буквенные выражения. Постепенно выражения уточняются: под выражением понимается запись, составленная из чисел, букв и знаков арифметических действий. Записи 10 > 2, 3 – 1 < 4, 1 + 2 = 3 не являются выражениями, т. к. в них встречаются знаки сравнения (>, <, =).
1) Подчеркни записи, которые являются выражениями:
m + 6 20 – 54 + 8 50 = 50 78 – 40 87 + 8 > 90 а + в
2) Подбери к схемам подходящие выражения:
а) а а + (в + 3)
3 в ? (а + 3) – в
б) ? а – (в + 3)
а в 3 а – в – 3
в) а + 3 (а + в) + 3
в ?
3) Составь выражение к рисунку:
а) б)


· ·
·
· ·
·
4) Соотнеси примеры с ответами:
2 · 4 16 2 · 7 2
6 · 2 8 5 · 2 14
2 · 8 18 2 · 3 10
9 · 2 12 1 · 2 6
5) Запиши выражения:
– а увеличить на 2;
– а увеличить в 2 раза;
– а уменьшить на 2;
– а уменьшить в 2 раза.
6) Запиши выражения и вычисли:
– Во сколько раз 42 больше 7?
– На сколько 5 меньше 63?
– На сколько 56 больше 8?
– Во сколько раз 9 меньше 36?
7) Восстанови цепочку вычислений:
+37
·10 +40
·6 ·9
8

8) Запиши выражения в порядке возрастания. Проверь себя, вычислив значение каждой разности: 99 – 20, 99 – 40, 99 – 50, 00 – 70, 99 – 60, 99 – 30.
9) Чем похожи все выражения слева? Справа? По какому признаку можно выделить "лишнее" выражение в каждом столбике?
12 + 10 + 18 + 27 100 + 100 + 100 + 100 + 100
5 + 4 + 7 + 6 30 + 10 + 12 + 20 + 30
4 + 8 + 2 + 5 13 + 20 + 20 + 10 + 10
9 + 9 + 9 + 9 29 + 14 + 11 + 10
9 + 8 + 5 + 1 18 + 30 + 10 + 20 + 10
10) Сравни выражения: 20 + 8 20 + 4, 30 + 5 30 + 9, 40 + 6 40 + 7. Чем похожи все выражения? Как они называются?
11) Сравни между собой выражения в каждом столбике. Чем они похожи? Чем отличаются? Сравни выражения в 1 и 2 столбиках. Чем они похожи? Чем отличаются? Найди значения выражений.
12 + 7 2 + 7
13 + 6 3 + 6
14 + 5 4 + 5
15 + 4 5 + 4
17 + 2 7 + 2
16 + 3 6 + 3
12) Какое выражение "лишнее" в каждом столбике:
а) 6 + 4 б) 7 + 2 в) 4 · 7 5 · 7 3 · 9
7 + 3 8 + 1 4 · 6 + 4 5 + 5 · 6 3 · 8 + 9
5 + 5 9 + 4 4 · 9 – 4 · 2 5 · 8 – 7 3 · 5 + 3 · 4
3 + 5 5 + 4 4 · 8 – 7 5 · 3 + 5 · 4 3 · 11 – 3 · 2
9 + 1 6 + 3
13) Объясни, почему каждое выражение может быть "лишним":
а · 2 + 95 – (буквенное выражение, а остальные – числовые);
44
· 4 + 4 – (в записи используется 1 цифра, а в остальных – несколько);
31 – 7 · 3 – (разность, а остальные выражения – суммы);
56 + 8 – (выражение содержит одно арифметическое действие, а в остальных – 2).
14) Найди "лишнее" выражение: 5 · 4, 4 · 5, 4 · 6 – 4, 4 · 2 + 4 · 3, 5 · 3 + 4.
15) Составь выражения и найди их значение:
а) сумма 45 и 7; б) разность 32 и 9.
16) Петя записал число 87 и цифру 7 зачеркнул. На сколько уменьшилось число?
17) Между парами выражений поставь знак сравнения, если известно, что число а равно числу е:
7 + а 17 + е 18 – а 18 – е
а – 3 е – 5 е
· 3 е
· 4
48
· е 72
· а 27 · а е · 29
18) Разгадай правило, по которому записаны ряды чисел и продолжи каждый ряд:
а) 2, 4, 6, 8, 10.
2·1, 2·2, 2·3, 2·4, 2·5,
б) 3, 6, 9, 12, 15, 18,
3·1, 3·2, 3·3, 3·4, 3·5,
в) 4, 8, 12, 16, 20,
4·1, 4·2, 4·3, 4·4, 4·5,
19) Догадайся, по какому правилу записаны ряды выражений и запиши в каждом ряду еще 3 выражения по тому же правилу:
а) а, а + 1, а + 2, а + 3, а + 4, а + 5, ;
б) 3·а + 4, 6·а + 4, 12·а + 4, 24·а + 4, ;
в) 2·а, 6·а, 18·а,
Составь числовые ряды, если а = 5, а = 6, а = 17.
20) Прочитай выражения разными способами. Подчеркни числовые выражения одной чертой, а буквенные – двумя:
а) 15 – 9, б) а + с, в) 207 + 27, г) 16 – в.
21) Запиши выражения:
а) сумма m и n; б) разность 200 и 48;
в) разность 34 и х; г) сумма 3 и 18.
22) а) Составь все возможные суммы из 2–х чисел, используя лишь числа 5, 6, 7 (порядок слагаемых не принимается во внимание).
б) Составь все возможные разности из этих же чисел.
23) Составь буквенное выражение. Придумай задачу, решением которой является данное выражение.
24) Объясни смысл каждого выражения по картинке. Найди выражения, соответствующие данным, и объясни их смысл.
3 + 4 5 + 2 6 + 1


25) Какие из выражений имеют одинаковые значения:
480 + 20, 294 + 0, 300 – 200, 75 – 25, 75 + 25, 480 – 20, 294 – 0, 300 + 200
26) В каком порядке нужно выполнять действия в примерах:
а) 26 + (32 – 16) д) (а + в) – (c + d)
б) (247 – 123) + (384 – 164) е) а + (в – с) + d
в) 93 + (12 + 16) – 35 ж) (m - k) + (x – y) + (a - c)
г) а + в – с + d з) m – (a + b - c) + (d + k)
27) Расставь скобки в выражениях по данной программе действий. Найди значение этих выражений.
2 1 2 1 3
а) 3 + 8 – 2 в) 4 + 7 + 2 – 5
1 2 1 3 2
б) 9 – 3 + 5 г) 6 + 1 – 5 – 3
28) Плюс или минус: 7 * 4 * 3 = 8, 14 * 6 * 5 = 13, 8 * 6 * 5 = 7, 23 * 7 * 8 = 22.
29) Сравни выражения:
а) Задачи на сравнение решаются на основе логических рассуждений. Надо обосновать выбор знака, либо доказать невозможность его выбора, например:
2* < 7*, т. к. в 1–ом числе цифра десятков меньше, чем во 2–ом;
4* ? 48 – знак поставить нельзя, т. к. возможны различные варианты решения;
**3 > 8, т. к. любое трехзначное число больше однозначного.
9 < *1 **3 > 8 **8 ? **6
2* < 7* 59 < 1** 295 > 2*4
4* ? 46 3** < 5** 75* > 74*
б) 36 · 3
· 36 + 3 7 · 4
· 7 · к 8 · а
· 9 · а
17 · 4
·17 + 17 + 17 5 · 6
· 3 · 6 m · 15
· m · 24
29 · 2
· 30 + 30 44 · 8
· 41 · 5 в · 4 + в · 2
· в · 5
30) Найди неизвестную операцию:

+84 +16 +37 ?
a в
? +60
?
–36 +14 ? –12
d с
? –72

Блок III
Равенства. Неравенства.
1) Сравни:
а) в · 3 * в + в + в + в m · 8 – m· 3 * m – 5
m – 206 * m – 260 97 – d * 79 – x
a + 301 * a + 103 b – 40 * b + 48
m · 3 * m
· 3 b · 36 * 35 · b
a · 8 + a ·6 * 15 · a b · 24 – b · 10 * b · 7
б) 42 + 42 + 42 * 42 · 4 78 · 5 * 73 + 73 + 73 + 73
75 + 8 * 57 + 8 39 + 6 * 7 + 39
175 · 8 * 157 · 8 4 · 8 + 4 * 4 · 9
2) Вставь пропущенные знаки:
78 * 1 = 78 38 * 0 = 38 56 * 1 = 55
0 * 430 = 0 1 * 35 = 35 529 * 9 = 0
3) Составь 4 равенства из чисел 16, 2, 8.
4) Составь все возможные равенства с числами 2, 9, 18.
5) Запиши любые верные равенства с числами 3, 6, 2, 1, 7, 9. Запиши верные неравенства с этими же числами.
6) Выполни действия и сравни значения выражений в каждой строчке:
73 – 13 · 5 = (73 – 13) · 5 =
80
· 16 + 4 = 80
· (16 + 4) =
15 · 4 – 3 · 2 = 15 · (4 – 3) · 2 =
7) Сравни числа: 9
· 111 217
· 324 378
· 374
510
· 76 505
· 550 109
· 901
8) Сравни, не вычисляя: 952 – 74
· 952 49 + 714
· 714 + 49
306 + 287
· 306 440 – 342
· 540 – 342
827 – 63
· 827 – 36 310 + 98
· 305 + 98
9) Найди ошибки:
а) 456 · 2 = 456 + 456 = 812 б) 735 > 573 в) 17 · 3 = 51
3 · 4 = 4 + 4 + 4 в – 21 < в – 120 62 · 4 = 420
а · 7 + а · 3 + а = а · 10 94 – с > 49 – с 98 · 2 = 196
10) Какую цифру можно поставить вместо звездочки (*), чтобы получилось верное неравенство: 5*4 < 514, 206 >*06, 715 > 7*5.
11) Составь все возможные равенства из чисел 285, 347, 632. Объясни различные способы проверки примеров на сложение и вычитание.
12) Как нужно расставить знаки "+", чтобы получилась сумма, равная 100.
13) Вместо звездочек поставь цифры так, чтобы получились верные равенства или неравенства:
61 > 6* 89 < *0 98 < **
7* = 2 4* > 48 3* = *0
14) Можно ли сравнить эти числа, не видя закрытых цифр? Там, где можно, поставь между числами знаки >, < или =.
3*
· 5* 7*
· *8 4*
· 4* 99
· *7
6
· *4 39
· *3 *5
· *5 11
· *2
15) Не считая, скажи ответ: 36 – 24 + 24 = , 78 + 21 – 21 = , 43 + 39 – 39 =
16) Какие числа можно записать вместо а, чтобы получились верные числовые неравенства: а + 290 < 300 – 6, а – 180 < 96
· 16.
(Рассуждаем: сначала вычисляем значение разности 300 – 6 = 294, поэтому а + 290 < . Если а = 0, то 0 + 290 < 294 – верное неравенство;
если а = 1, то 1 + 290 < 294 – верно;
если а = 2, то 2 + 290 < 294 – верно;
если а = 3, то 3 + 290 < 294 – верно;
если а = 4, то 4 + 290 < 294 – неверно. Поэтому, вместо а можно записать числа 0, 1, 2, 3.)
17) Выбери числовые значения а, при которых неравенство а + 2070 < 5375 будет верным: а = 3020, а = 4080, а = 30020, а = 408.

Анализ и синтез.

1) Расположите цифры:
а) в порядке возрастания: 1, 9, 4, 14, 6, 2;
б) в порядке убывания: 15, 9, 21, 12, 24, 18;
в) найди закономерность и продолжи ряд.
2) В каждой группе найди лишнее число (подчеркни его). Объясни, почему ты так думаешь.
3) Составь все возможные равенства из чисел 9, 24, 15.
4) Составь все возможные числа из цифр 9, 1, 4, если:
а) цифры в записи числа не повторяются;
б) цифры в записи числа могут повторяться.
5) Найди и исправь ошибки: 8+6=14 12–8=5
7+9=16 13–7=18

Рекомендации: при выполнении заданий дети под руководством учителя ищут закономерность составления данного ряда чисел, анализируют, сравнивают числа и выражения. Затем используют найденную закономерность построения ряда чисел для выполнения задания.
6) Заполни пропуски: 13 EMBED Equation.3 1415
Поиск подходящих цифр можно осуществлять разными способами. Можно просто последовательно перебирать все цифры, начиная с конца:
0 + 5
· 7, значит 0 не подходит;
1 + 5
· 7, значит 1 не подходит;
2 + 5 = 7, значит цифра единиц 2–го слагаемого равна 2 и т. д.
Метод перебора помогает сформировать у учащихся идею: "не знаешь, что делать – пробуй", важную для решения задач в нестандартных ситуациях.
Вместе с тем, более результативным способом решения является использование взаимосвязи между частью и целым, например: 13 EMBED Equation.3 1415
1) * и 5 – части 7. Ищем часть, для этого из целого вычитаем другую часть: * = 7 – 5 = 2;
2) 8 и * – части 9, значит * = 9 – 8 = 1;
3) Проверка: 82 + 15 = 97.
(В речи вместо знака * можно говорить "неизвестное число")
Любой из способов решения следует считать верным, важно лишь, чтобы учащиеся правильно его обосновывали.
Позднее вводятся более сложные случаи сложения и вычитания с переходом через разряд: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Приведем обоснование решения одного из примеров: 13 EMBED Equation.3 1415
1) * + 9 не может быть равно 7, поэтому * + 9 = 17, и * = 17 – 9 = 8;
2) * + 2 + 1 = 6, поэтому * = 6 – 1 – 2 = 3;
3) Проверка: 67 – 28 = 39

Сравнение.

Вначале задания на сравнение вызывают у детей затруднения. Поэтому с первого урока нужно учить их сравнивать предметы и явления. Когда дети научатся выполнять такие задания, они будут это делать с интересом, выделяя не только главное, но и замечая малейшие подробности.
При сравнении чисел сначала нужно научить детей сравнивать 2 числа, а затем несколько чисел и выражений с целью найти сходство и различие между ними.
1) Что общего в числах 5 и 15? (Дети должны ответить, что в каждом числе есть цифра 5, оба числа нечетные)
Чем они отличаются?
2) Сравни числа: 9
· 111; 31
· 38; 109
· 901.
3) Сравни выражения: а+25
· а+125 86–14
· 86
в–602
· в–62 29 +79
· 79
4) Вместо звездочек поставь цифры так, чтобы получились верные равенства или неравенства:
61 > 6* 89 < *0 98 < ** 3* < 5*
7* = *2 4* > 48 3* = 0 7* ? *8
Задание выполняется с подробным обоснованием. Например:
3* < 5* – т. к. в 1–ом числе десятков меньше, чем во 2–ом числе.
7* ? *8 – в одном числе указана цифра десятков, а в другом – цифра единиц, поэтому при постановке цифр вместо звездочек могут получаться разные ответы: 78 = 78, 74 < 98, 71 > 38. Значит, сравнить нельзя.

5) Проверь, правильно ли Незнайка сравнил выражения:
а) 56–5 > 56+4 (да, нет);
б) 84+15 < 15+84 (да, нет);
в) 76–39 = 76–35 (да, нет);
г) 36–11 > 36–13 (да, нет).
В чем сходство и различие данных выражений. Исправьте ошибки.
6) Заполни пропуски:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
В данном случае обучение сравнению происходит постепенно, как бы по ступенькам (по этапам): сначала дети учились выполнять каждую отдельную операцию, входящую в сравнение, а затем использовать этот прием в целом. Показателем сформированности приема сравнения является умение учащихся самостоятельно использовать его для решения различных задач без указания "сравни", "укажи признаки" и т. д.

Обобщение.

Данные задания можно использовать как для объяснения нового материала, так и для закрепления. Цель заданий – научить детей самостоятельно обобщать.
Дети должны уяснить, что для того чтобы было легче обобщать, нужно уметь выделять общие, а главное, существенные признаки.
1) Найди лишнее число и объясни, почему оно лишнее: 17, 32, 56, 62, 44.
2) Выберите одно понятие: 17, 32, 56, 62, 44 – цифры, четные числа, двузначные числа круглые числа, нечетные числа.
3) Установи закономерность и продолжи ряд:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
б) 2 6 10
1 4 7 10
в) 47, 45, 41, 35, 27, (17, 5, т.к. числа уменьшаются сначала на 2, затем на 4, на 6, на 8, поэтому следующее число будет меньше на 10 и на 12.)
4) Каким обобщающим понятием можно назвать каждую группу?
а) "+", "–" – (знаки действий);
б) данные, неизвестное – (уравнение);
в) вопрос, условие – (задача).
5) Сравни выражения, найди общее в полученных неравенствах и сделай соответствующие выводы:
2+3 2·3 4+5 4·5
3+4 3·4 5+6 5·6
(Сравнив данные выражения и отметив закономерности: слева записана сумма, справа произведение двух последовательных чисел; сумма всегда меньше произведения.)
Постепенно нужно приучать детей объяснять ход своих мыслей. Такие рассуждения готовят учащихся к строгим логическим доказательствам и обеспечивают осознанность и глубину знаний.

Классификация.

Главное при выполнении заданий на классификацию – помнить условия, при которых она возможна (умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие).
Обучение приему классификации также происходит постепенно, от простого к сложному: дети сначала выполняют задания на классификацию хорошо знакомых предметов и геометрических фигур, а затем работают с числами, выражениями, равенствами, уравнениями.
1) Разбей данные числа на группы. В 1 группу запиши числа, которые меньше 5, а во 2 группу – числа, которые больше 5.
12, 3, 4, 6, 7, 10, 16, 1, 5, 20, 11
2) Разбей примеры на группы так, чтобы в каждой группе были похожие по записи примеры.
3+1, 4–1, 5+1, 6–1, 7+1, 8–1
3) Реши примеры и определи, на какие группы их можно разбить:
44+31= 79–72= 11+13= 15+22=
28+47= 93–56= 78–55= 78–3=
4) Что лишнее и почему: 62, 4, 8, 8+6, 9?
5) Прочитай числа: 22, 1, 34, 5, 48, 56, 24, 50, 39, 17, 37. Эти числа разбили на 2 группы – четные и нечетные. Найди правильный ответ.
22, 4, 48, 56, 24, 17 1, 5, 50, 39, 37;
22, 1, 34, 48, 56, 24 5, 50, 39, 17, 37;
22, 34, 48, 56, 24, 50 17, 1, 39, 37, 5;
22, 34, 48, 24, 50 56, 1, 17, 39, 37.
6) Разложи 4 одинаковых мяча в 3 коробки разными способами так, чтобы в каждой коробке было не более 2-х мячей.

Аналогия.

Цель данного занятия – научить школьников самостоятельно использовать прием аналогии хотя бы в несложных случаях. Так как аналогия основывается на сравнении, то успех ее применения зависит от того, насколько учащиеся овладели этим приемом.
Учащимся объяснялось, что для использования аналогии нужно иметь 2 объекта, один из которых известен, а второй сравнивается с ним по каким–либо признакам. Обращалось внимание детей на то, что в математике нередко новый способ вычислений, преобразований и т. п. можно открыть по догадке, внимательно изучая известный способ деятельности и новое задание.
1) Подбери пару:
а) птица – гнездо,
человек – (рабочий, птенец, люди, дом, дерево);
б) утро – ночь,
зима – (мороз, день, январь, осень, сани).
2) Допиши ответ:
а) 4+2 = 8–2 – равенство, 7 > 8–4 – ;
б) 15 – двузначное число, 4 – ;
в) 27 – нечетное число, 16 – .
3) Заполни пропуски:
58 переставить цифры ? 25 +7 ?

приписать справа 0 860 96 ? 84

5 ? 5 ? –9 52

4) Выполни сложение по частям, пользуясь образцом:
37+26 = 37+(20+6) = (37+20)+6 = 57+6=63
58+34 =
5) Найди правило нахождения числа, стоящего в средней клетке первой строки. По этому правилу заполните пустые клетки.
18
60
42

26
?
19


35
38
73

17
?
65

а)
 (26+19=45) (65–17=48)
6) Реши пример, записав в столбик. Используя полученный результат, реши остальные примеры устно.
13 EMBED Equation.3 1415 30 +85 = 29 + 86 = 30 + 84 = 129 + 135 =
На какие группы можно разделить полученные ответы?
Какое число лишнее и почему?

I. Задания на анализ и синтез.
1) Запишите все четные числа от 2 до 20 и все нечетные числа от 1 до 19.
Результат выполнения задания – запись двух рядов чисел:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20
1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19.
а) Разбей числа каждого ряда на две группы так, чтобы в каждой были числа, похожие между собой.
б) По какому правилу записан первый ряд? Продолжи его.
в) Какие числа нужно вычеркнуть в первом ряду, чтобы каждое следующее было на 4 больше предыдущего?
г) Можно ли выполнить это задание для второго ряда?
д) Подбери из первого ряда пары чисел, разность которых равна 10 (2 и 12, 4 и 14, 6 и 16, 8 и 18, 10 и 20).
е) Подбери из второго ряда пары чисел, разность которых равна 10 (1 и 11, 3 и 13, 5 и 15, 7 и 17, 9 и 19).
ж) Какая пара "лишняя"? (10 и 20, т.к. в ней два двузначных числа, во всех других парах двузначное число и однозначное).
з) Найди в первом ряду сумму первого и последнего числа, сумму вторых чисел от начала и от конца ряда, сумму третьих чисел от начала и от конца ряда. Чем похожи эти суммы?
и) Выполни это же задание для второго ряда. Чем похожи полученные суммы?
2) Запиши все возможные двузначные числа, составленные лишь с помощью цифр 0, 1, 3, 5.
3) Заполни пропуски:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

II. Задания на сравнение.
Умение выделять признаки и, ориентируясь на них, сравнивать предметы ученики переносят на математические объекты.
1) Назови признаки:
а) выражения 3+2 (числа 3, 2 и знак "+");
б) выражения 6–1 (числа 6, 1 и знак "–");
в) равенства х+5=9 (х – неизвестное число, числа 5, 9, знаки "+", "=").
По этим внешним признакам, доступным для восприятия, дети могут устанавливать сходство и различие между математическими объектами и осмысливать эти признаки с точки зрения различных понятий.
2) В чем сходство и различие:
а) выражений: 6+2 и 6–2; 9·4 и 9·5; 6+(7+3) и (6+7)+3;
б) чисел: 32 и 45; 32 и 42; 32 и 23; 1 и 11; 2 и 12;
в) равенств: 4+5=9 и 5+4=9; 3·8=24 и 8·3=24; 4·(5+3)=32 и 4·5+4·3=32; 3·(7·10)=210 и (3·7) ·10=210;
г) уравнений: 3+х=5 и х+3=5; 10–х=6 и (7+3)–х=6; 12–х=4 и (10+2)–х=3+1;
д) вычислительных приемов: 9+6=(9+1)+5 и 6+3=(6+2)+1
1+5 2+1
3) Чем похожи между собой все:
а) числа: 50, 70, 20, 10, 90 (разрядные десятки);
б) математические записи: 3+2, 13+7, 12+25 (выражения, которые называются суммой);
4) В приведенных группах числа записаны по определенному правилу. Установи для каждого столбца свое правило и впиши вместо точек нужные числа.
а) 40 20 60 б) 20 70 40 в) 80 10 70
10 80 90 30 20 0 30 20 10
70 30 50 90 60 20
(Числа нужно сравнивать не только по строкам, но и по столбцам.)
5) Реши 2 уравнения: 7 + х = 14 и х + 6 = 12. Сравни их, отметив сходство и различие.
6) Вместо звездочек поставь цифры так, чтобы получились верные равенства или неравенства:
6 < 4 39 ? 3*
99 > 7 4 * ? 4*
11 < *2 *5 ? *5
7) Какие числа можно вставить в "окошки", чтобы получились верные неравенства?
а)
· >
·,
· < 3,
· >
·, 6 <
·, 9 >
·, 4 <
·,
· < 8;
б) 3 +
· =
· + 3,
· + 3 >
· + 3, 4 +
· = 5 + 4, 7 + 2 >
·, 6 + 2 =
· + 6.

III. Задания на классификацию.
1. Задания на нахождение признака, по которому произведена классификация.
а) По какому признаку произведена классификация:
– По форме;
– По цвету и размеру;
– По размеру и форме.

3 + 4 = 7
Расположите фигуры так, чтобы они были разделены по цвету и запиши соответствующее выражение. (2 + 5 = 7)
б) Выбери правильный ответ: 1, 3, 5, 7, 9, ; 2, 4, 6, 8, 10,
Ответ: 1) однозначные и двузначные числа; 2) четные и нечетные числа.
2. Задания на проверку результатов классификации.
а) Прочитай числа: 25, 16, 12, 88, 26, 65, 43, 11, 99, 10, 74, 71.
Эти числа разбили на 2 группы – четные и нечетные. Найди правильный ответ.
Ответ:
25, 16, 10, 88, 12, 16 65, 43, 25, 71, 10, 99
12, 16, 10, 74, 88, 26 25, 71, 65, 43, 11, 99
12, 74, 16, 10, 88 25, 74, 65, 43, 11
12, 99, 74, 88, 26, 10 71, 99, 11, 43, 74
б) Записи 8 – 2, 100 > 15, 45 – 7 + 3, x + 3 = 5, c + n, 6 + 3 = 9, 25 – 8 < 25 – 3, d – 4, a + b + c, 12 – 7 разбили на группы. Определи, в какой группе записаны только выражения:
1) 8 – 2, 100 > 15, 45 – 7 + 3,d – 4, 12 – 7, c + n;
2) a + b + c, 45 – 7 + 3, d – 4, 12 – 7, 8 – 2, c + n;
3) c + b, 8 – 2, 6 + 3 = 9, 45 – 7 + 3, a + b + c, 12 – 7.
3. Задания на распознавание правильных группировок.
– Что "лишнее"? Почему?
1) 12, 4, 8, 8 + 4 = 12, 16, 2. (Равенство 8 + 4 = 12)
2) Сумма, произведение, разность, делитель. (Делитель)
3) 100, 96, 88, 76, 60, 40, 16. (100, т. к. – трехзначное)
4) 14, 23, 74, 41 (75, т. к. у остальных сумма чисел равна 5)
4. Задания на самостоятельный выбор основания для классификации.
а) Раздели выражения на 2 группы:
8 – 6 = 8 – 5 = 7 – 2 = 1 + 7 = 2 + 5 =
8 – 4 = 7 – 3 = 6 – 2 = 4 + 3 = 3 + 5 =
(I гр. – разности с одинаковым уменьшаемым, а II гр. – остальные выражения)
– Можно ли по-другому сгруппировать выражения? Сгруппируйте. (Например, суммы и разности)
б) По какому признаку можно разбить числа на 2 группы?
81, 85, 84, 89, 86, 82.
– Какими числами можно дополнить каждую группу?
в) Решите примеры и разбейте их на группы:
3 + 2 4 + 5 4 + 1 10 – 1 6 + 4
6 – 3 9 – 2 7 – 2 6 + 1 3 + 4
г) Заданы числа: 11, 40, 3, 19, 10, 16, 4, 13, 50, 6, 18. Выбери признак классификации и раздели их на 2 группы; 3 группы.

IV. Задания на обобщение и аналогию.
1) Подчеркни нужный ответ:
13 EMBED Equation.3 1415 – 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 – 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 – 13 EMBED Equation.3 1415
2) Допиши ответ:
– а, б, в, , я – алфавит; 1, 2, 3, 4, – (натуральный ряд чисел);
– часть – целое, слагаемое – (сумма);
– слагаемое – сумма, вычитаемое – (разность).
3) Выбери одно понятие:
– 2, 4, 6, 14, 28, 30 – цифры, числа, однозначные числа, двузначные числа, четные числа (четные числа).
4) Каким обобщающим понятием можно назвать каждую группу слов:
– Вычитание сложение – это (действия);
– Плюс, минус – (знаки действий);
– Данные, неизвестное – (уравнение);
– 3 + 5, 4 + 5, 6 + 7 – (действие сложения; суммы чисел);
– 12 – 5, 13 – 6, 17 – 4 – (разность чисел; вычитание).
5) Расставь скобки в выражении по заданной программе действий:
2 1 3 1 2 3
50 – 7 + 6 – 4; 50 – 7 + 6 – 4
6) Задай программу действий и расставь скобки так, чтобы получилось верное равенство: 40 – 9 – 6 = 37; 8 + 7 – 9 = 6; 50 – 9 + 4 – 25; 16 + 20 – 14 – 9 = 31.
7) Запиши по порядку все числа от 1 до 100. Сколько раз в этой записи встречается цифра 2 ?
Ответ: раз.
8) Сосчитай, используя результат первого примера:
37 + 7 = 44 45 + 6 = 51
37 + 6 = ? 45 + 8 = ?
9) Выполни действия в столбик, а все остальные ответы найди, не вычисляя.
13 EMBED Equation.3 1415 57 + 17 = 56 + 18 = 56 + 27 = 36 + 17 =
13 EMBED Equation.3 1415 83 – 45 = 82 – 46 = 92 – 45 = 82 – 55 =

Перечисленные виды заданий представляют различные этапы единого познавательного процесса самостоятельного "открытия" и применения математических свойств, понятий и закономерностей, изучаемых в различных темах. Эти задания можно использовать как на уроке, так и во внеклассной работе.











13PAGE 15


13PAGE 146115




 "
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·\Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native