Доклад учащегося на тему Математические жемчужины

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение
гимназия «Эврика»

Проектная работа по экономике
Тема: «Математические жемчужины»
Выполнил: Максимов Данила
ученица 8 класса «А»

Проверила: Тиханкова Надежда Александровна
Учитель математики гимназии «Эврика»
город-курорт Анапа
2017 год
Содержание.
1. Историческая справка
2. Жемчужины геометрии
а) Фундаментальные задачи в геометрии
б) Красота геометрических форм
3. История развития алгебры
4. Основатели точной науки
5. Жемчужины алгебры
6. Интересные задачи и парадоксы
7. Высказывания знаменитых философов
8. Заключение
9.Ссылка на источники



1.1 Историческая справка
Геометрия
Геометрия как теоретическая наука стала складываться в Древней Греции в период с VII по III век до нашей эры. Известно, правда, и более ранние сведения о геометрии, в частности о многогранниках, но это были отдельные разрозненные факты. Многогранники были известны в Древнем Египте и Вавилоне. Достаточно вспомнить знаменитые египетские пирамиды.
Великая пирамида в Гизе. Эта грандиозная Египетская пирамида является древнейшим из Семи чудес древности. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. Во времена своего создания Великая пирамида была самым высоким сооружением в мире. И удерживала она этот рекорд, по всей видимости, почти 4000 лет.
Это правильная пирамида, в основании которой квадрат со стороной 233 м и высота которой достигает 146,5 м. Над её сооружением трудились ежедневно около 100 000 человек в течение 20 лет.

Источником сведений о египетской математике являются два папируса. Один из них, так называемый Московский, содержит самый замечательный результат в египетских измерениях – формулу для вычисления объёма правильной усечённой пирамиды. В Древней Греции основную роль в развитии геометрии сыграли так называемые философские школы. Самыми известными были школы: Фалеса, Пифагора, Платона, Александрийская и другие.
Фалес (635-548гг. до н.э.) из Милета определил высоту предмета по его тени, пользуясь тем, что ему было известно, что треугольник определяется одной стороной и двумя прилежащими к ней углами
В V веке до нашей эры центром дальнейшего прогресса математики становится Южная Италия.


Ведущая роль в развитии математики этого периода принадлежит Пифагору (570 – 470 гг. до н.э.). Пифагорейцы занимались правильными многоугольниками. Даже отличительным знаком их братства был правильный звёздчатый пятиугольник. Именно школе Пифагора приписывают открытие существования пяти типов правильных выпуклых многогранников, которые использовались для философских космологических теорий. Согласно этим теориям элементы первоосновы бытия: огонь, земля, воздух, вода – имеют форму правильных многогранников, соответственно правильного тетраэдра, куба, октаэдра и икосаэдра. Форму правильного додекаэдра имела вся Вселенная.
Другой знаменитой философской школой была школа Платона (V – IV вв. до н.э.). Её основатель – Платон не был математиком и не получил никаких результатов в этой науке, но в своих многочисленных произведениях любил говорить о математике. В трактате «Тимей» он изложил учение пифагорейцев
5
о правильных многогранниках, которые именно поэтому стали называться Платоновыми телами. Более поздняя школа – Александрийская. В 344 году до нашей эры Александр Македонский начал завоевание Персии. После его смерти в 323 году до нашей эры весь Ближний Восток был в руках греков. Началась эпоха эллинизма, которая дала миру трёх знаменитых учёных: Евклида, Архимеда, Аполлония.

Евклид является центральной фигурой этого периода, а вместе с тем и всей древнегреческой математической науки. Его книга XIII посвящена теории правильных многогранников. «Начала» Евклида имеют огромное историческое значение. Их даже сопоставляют с Библией по влиянию на науку и культуру цивилизованных народов. Переведённые на все языки «Начала » почти до конца XVIII столетия оставалось единственным учебником, по которому изучали геометрию в университетах и школах Европы, единственным источником всякого геометрического познания.
Крупным учёным эпохи эллинизма был Архимед , живший в Сиракузах, где он был советником царя Герона. Архимед – один из немногих учёных античности. Он был убит, когда римляне взяли Сиракузы, при осаде которых техническое искусство Архимеда было использовано защитниками города. Архимед был уникальным учёным – механиком, физиком, математиком. Он занимался изучением правильных многогранников, но, убедившись в том, что нельзя построить шестой многогранник, Архимед стал строить многогранники, у которых гранями являются правильные, но не одноимённые многоугольники, а в каждой вершине, как и у правильных многогранников, сходится одно и то же число рёбер. Получились так называемые равноугольные полуправильные многогранники. До нас дошла работа самого учёного, которая называется «О многогранниках», подробно описывающая тринадцать таких многогранников, получивших название тела Архимеда

1.2.Жемчужины геометрии
Фундаментальные задачи геометрии
Теорема Пифагора имеет огромное значение : она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы ( так, что она попала в Книгу рекордов Гиннеса), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.
Сформулировать и рассмотреть простейшее доказательство этой теоремы нам поможет простой лист бумаги квадратной формы.



Рассмотрим один из образовавшихся треугольников.
Мы сейчас рассмотрели простейшее доказательство теоремы, которое получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. И формулировалась она так:
Квадрат , построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах.
И тогда мы можем перейти к современной формулировке теоремы Пифагора.
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Докажем эту теорему, используя алгебраический метод. Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а,в и гипотенузой с. Докажем, что с2=а2+в2.
Достроим прямоугольный треугольник до квадрата со стороной (а+в), так как показано на рисунке


а
в
а в
Площадь S этого квадрата равна (а+в)2 . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников ( треугольники равны по двум катетам), площадь каждого из которых равна 1/2ав , и квадрата со стороной с, поэтому
S=4. 1/2ав+с2 = 2ав +с2.
Таким образом, (а+в)2= 2ав+с2.
Откуда с2=а2+в2. Теорема доказана.
Итак, мы доказали, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. А чтобы запомнить это было легче, я вам предложу стихотворение
Если дан нам треугольник. И ,притом, с прямым углом,
То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим-
И таким простым путем. К результату мы придем!
Часто математики записывали свои задачи в стихотворной форме. Вот одна из задач индийского математика 12 века Бхаскары:
На берегу реки рос тополь одинокий.
Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой течением реки его ствол составляет.
Запомни теперь, что в том месте река
В четыре лишь фунта была широка
Верхушка склонилась у края реки.
Осталось три фунта всего от ствола .
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота ?
Ответ:______________
При решении этой задачи вы получили прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5 ед., его называют «египетским треугольником». О нем упоминается в папирусе, который историки относят приблизительно к 2000 г. До н.э.
Пребудет Вечной истина, как скоро
Все познает слабый человек!
И ныне теорема Пифагора
Верна, как и в его далекий век.
Красота геометрических фигур
Многогранник – это часть пространства, ограниченная соединенными между собой многоугольниками так, что сами многоугольники являются его гранями, стороны – ребрами, а концы ребер – вершинами многогранника. Многогранник называется выпуклым, если он весь расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней. В зависимости от видов многоугольников, образующих многогранники, они делятся на множество групп. Рассмотрим самые важные из них.
По форме различают правильные, полуправильные и звёздчатые многогранники.
Многогранник называется правильным, если:
1) он выпуклый;
2) все его грани – равные друг другу правильные многоугольники;
3) в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер;
4) все его двугранные углы равны.
В свое время Евклид доказал, что правильных многогранников существует всего пять: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр, - и даже посвятил им XIII том «Начал». Стороны многогранников образованы правильными треугольниками (тетраэдр, октаэдр и икосаэдр), квадратами (куб) и правильными пятиугольниками (додекаэдр).

История развития алгебры
Истоки алгебры уходят к временам глубокой древности. Арифметические действия над натуральными числами и дробями — простейшие алгебраические операции — встречаются в ранних математических текстах. Ещё в 1650 году до н. э. египетские писцы могли решать отвлечённые уравнения первой степени и простейшие уравнения второй степени, к ним относятся задачи 26 и 33 из папируса Ринда и задача 6 из Московского папируса (так называемые задачи на «аха»). Предполагается, что решение задач было основано на правиле ложного положения. Это же правило, правда, крайне редко, использовали вавилоняне.
Вавилонские математики умели решать квадратные уравнения. Они имели дело только с положительными коэффициентами и корнями уравнения, так как не знали отрицательных чисел. По разным реконструкциям в Вавилоне знали либо правило для квадрата суммы, либо правило для произведения суммы и разности, вместе с тем метод вычисления корня полностью соответствует современной формуле. Встречаются и уравнения третьей степени. Кроме того, в Вавилоне была введена особая терминология, использовались шумерские клинописные знаки для обозначения первого неизвестного («длины»), второго неизвестного («ширины»), третьего неизвестного («глубины»), а также различных производных величин («поля» как произведения «длины» и «ширины», «объёма» как произведения «длины», «ширины» и «глубины»), которые можно считать математическими символами, так как в обычной речи уже использовался аккадский язык. Несмотря на явное геометрическое происхождение задач и терминов, использовались они отвлечённо, в частности, «площадь» и «длина» считались однородными. Для решения квадратных уравнений было необходимо уметь осуществлять различные тождественные алгебраические преобразования, оперировать неизвестными величинами. Таким образом был выделен целый класс задач, для решения которых необходимо пользоваться алгебраическими приёмами.
После того как была открыта несоизмеримость стороны и диагонали квадрата, греческая математика переживала кризис, разрешению которого способствовал выбор геометрии как основы математики и определение алгебраических операций для геометрических величин. Геометрической алгебре посвящена вторая книга «Начал» Евклида, работы Архимеда и Апполония. С использованием отрезков, прямоугольников и параллелепипедов были определены сложение и вычитание, произведение (построенный на двух отрезках прямоугольник). Такое представление позволило доказать дистрибутивный закон умножения относительно сложения, тождество для квадрата суммы. Алгебра первоначально была основана на планиметрии и приспособлена в первую очередь для решения квадратных уравнений(6). Вместе с тем к алгебраическим уравнениям сводятся сформулированные пифагорейцами задачи об удвоении куба и трисекции угла, построение правильных многоугольников. Решение кубических уравнений получило своё развитие в работах Архимеда (сочинения «О шаре и цилиндре» и «О коноидах и сфероидах»), который исследовал в общем виде уравнение {\displaystyle x^{3}+ax+b=0}. Отдельные задачи решались с помощью конических сечений.
Неожиданный переход к алгебре, основанной на арифметике, произошёл в работах Диофанта, который ввёл буквенные обозначения: неизвестное число он назвал «число», вторую степень неизвестного — «квадрат», третью — «куб», четвёртую — «квадрато-квадрат», пятую — «квадрато-куб», шестую — «кубо-куб». Также он ввёл обозначения для отрицательных степеней, свободного члена, отрицательного числа (или вычитания) и знака равенства. Диофант знал и использовал правило переноса вычитаемого из одной части уравнения в другую и правило сокращения равных членов. Исследуя уравнения третьей и четвёртой степеней, Диофант для нахождения рациональной точки на кривой использует такие методы геометрической алгебры, как провести касательную в рациональной точке кривой или провести прямую через две рациональные точки. В X веке «Арифметика» Диофанта, в которой он изложил свои методы, была переведена на арабский язык, а в XVI веке достигла Западной Европы, оказав влияние на работы Ферма и Виета.
Вплоть до второй половины XX века практическое применение алгебры ограничивалось, в основном, решением алгебраических уравнений и систем уравнений с несколькими переменными. Во второй половине XX века началось бурное развитие ряда новых отраслей техники. Появились электронно-вычислительные машины, устройства для хранения, переработки и передачи информации, системы наблюдения типа радара. Проектирование новых видов техники и их использование немыслимо без применения современной алгебры. Так, электронно-вычислительные машины устроены по принципу конечных автоматов. Для проектирования электронно-вычислительных машин и электронных схем используются методы булевой алгебры. Современные языки программирования для ЭВМ основаны на принципах теории алгоритмов. Теория множеств используется в системах компьютерного поиска и хранения информации. Теория категорий используется в задачах распознавания образов, определении семантики языков программирования, и других практических задачах. Кодирование и декодирование информации производится методами теории групп. Теория рекуррентных последовательностей используется в работе радаров. Экономические расчеты невозможны без использования теории графов. Математическое моделирование широко использует все разделы алгебры.
Жемчужины алгебры
Самой интересной в алгебре является задача «3 Чаши»
Однажды некий шах объявил, что щедро вознаградит того, кто лучше всех решит такую задачу: "В трех чашах хранил я жемчуг. Подарил я старшему сыну половину жемчужин из первой чаши, среднему — одну треть из второй, а младшему — только четверть жемчужин из последней. Затем я подарил старшей дочери четыре лучшие жемчужины из первой чаши, средней — шесть из второй, а младшей — только две жемчужины из третьей чаши. И осталось у меня в первой чаше 38, во второй — 12, а в третьей — 19 жемчужин. Сколько жемчужин хранил я в каждой чаше?" И вот во дворец пришли из разных стран три мудреца. Первый мудрец поклонился и сказал: — Если в первой чаше, о великий шах, оставалось 38 жемчужин, а подарил ты старшей дочери четыре жемчужины, то эти 42 жемчужины и составляют половину того, что было в чаше. Ведь вторую половину ты подарил старшему сыну? Значит, в первой чаше хранилось 84 жемчужины. Во второй чаше оставалось 12 жемчужин, да 6 ты подарил другой дочери. Эти 18 жемчужин составляют две трети того, что хранилось во второй чаше. Ведь одну треть ты подарил сыну? Значит, во второй чаше было 27 жемчужин. Ну а в третьей чаше оставалось 19 жемчужин, да две ты подарил младшей дочери. Выходит, что 21 жемчужина — это три четверти содержимого третьей чаши. Ведь одну четверть ты отдал младшему сыну? Значит, в этой чаше 28 жемчужин. Решить такую задачу помогла мне арифметика — наука о свойствах чисел и о правилах вычисления.
Это очень древняя наука: люди считают уже много тысяч лет. Название этой науки произошло от греческого слова "арифмос", что означает "число". Ученые Древней Греции больше всех помогли нам разобраться в арифметических правилах. — Твое решение мне нравится, — одобрил шах. — Рассказывай ты, — обратился он к другому мудрецу. —О, великий шах! Я не знаю, сколько жемчужин было в первой чаше. Поэтому я обозначил их число буквой "икс" — х. Выходит, что старшему сыну ты подарил половину — х/2. Если я из икса вычту его половину да еще 4 жемчужины, что ты подарил дочери, то остаток нужно приравнять к 38. Вот какое уравнение я для этого составил: х—х/2-4=38. Если от икса отнять его половину, половина икса и останется, а 4 надо прибавить к 38. Оказывается, х/2=42. Значит, сам икс в два раза больше: х= 84. Выходит, что в первой чаше было 84 жемчужины. А для второй чаши надо из икса вычесть только одну треть его — ту, что ты подарил сыну, да еще вычесть 6 жемчужин. А приравнял я эту разность к 12. Вот какое уравнение у меня получилось: хх/3— 6=12. Решить его нетрудно, две трети икса равны 18: 2/3х = 18. Чтобы узнать, сколько составляет целое, надо 18 разделить на 2 и умножить на 3. Значит, во второй чаше было 27 жемчужин: х = 27. Рассуждая так же, составляю уравнение для третьей чаши: х—х/4—2 = 19; 3/4x= 21. Отсюда следует, что в третьей чаше хранилось 28 жемчужин: х = 28. — Твое решение мне тоже нравится, — сказал шах. — А что скажешь ты? — обратился он к третьему мудрецу. Тот поклонился и молча протянул клочок бумаги, на котором было написано: х— ах— b=с, а рядом и ответ: x=(b+c)/(1-a). — Я здесь ничего не понимаю! — рассердился шах. — И почему у тебя только один ответ? Ведь у меня три чаши! — Все три ответа уместились в одном.
Алгебраические парадоксы
Парадокс Тесея
Данный парадокс можно сформулировать следующим образом:«Если все составные части исходного объекта были заменены, остаётся ли объект тем же объектом?»Было предложено несколько решений этого парадокса. Согласно философской школе Аристотеля существует несколько описывающих объект причин: форма, материал и суть вещи (которая, по учению Аристотеля, является самой важной характеристикой). Исходя из этого корабль остался тем же, так как его суть не поменялась, лишь изменился износившийся материал. В следующем решении предложили дать аргументу «тот же» количественную и качественную характеристику. В таком случае, после смены досок корабль Тесея окажется количественно тем же, а качественно — уже другим кораблём.В последнее время для решения парадокса Тесея предложили использовать 4-х мерную интерпретацию, в которой 3-х мерный корабль имеет также протяженность в 4 измерении-времени. Получившийся 4-х мерный корабль на протяжении временного ряда количественно идентичен с собой. Но отдельные «временные срезы» качественно могут отличаться друг от друга.
Парадокс лжеца
Если утверждение на картинке истинно, значит, исходя из его содержания, верно то, что оно — ложно; но если оно — ложно, тогда то, что оно утверждает, неверно; значит, неверно, что утверждение на картинке — ложно, и, значит, это утверждение истинно.Парадокс лжеца демонстрирует расхождение разговорной речи с формальной логикой, вводя высказывание, которое одновременно и истинно и ложно. В рамках формальной логики данное утверждение не доказуемо и неопровержимо, поэтому решения данного парадокса не существует, но существуют различные варианты его устранения.Для этого можно применить рассуждения используемые в предыдущем разделе, для этого положим, что утверждение истинно на 0,5, тогда оно и ложно на 0,5, то есть не всякую фразу можно назвать целиком ложной или целиком истинной — «в чем-то высказывание на картинке лжет, а в чем-то — говорит правду» К такому же выводу можно придти с помощью тройственной логики. В ней есть три степени истинности: «истина», «ложь» и «неопределенно». Под «неопределенно» понимается промежуточное по смыслу значение между истиной и ложью. К данной степени истинности и относят парадокс лжеца.Как уже говорилось это не решения парадокса лжеца, а всего лишь объяснения, почему данный парадокс возникает в классической двузначной логике высказываний. Они свидетельствует, что строгое деление всех высказываний на истинные и ложные в данном случае неприменимо, поскольку ведет к парадоксу.В настоящее всемя многие придерживаются такой точки зрения, что данное высказывание вообще не является логическим утверждением, и применять к нему классические методы формальной логики бессмысленно.
Высказывания философов
Нильс Абель
Геометрия – это искусство хорошо рассуждать на плохо выполненных чертежах.
* * *
Математика для учёного – то же самое, что скальпель для анатома.
А. Августин
Ничто не нравится, кроме красоты, в красоте – ничто, кроме форм, в формах – ничто, кроме пропорций, в пропорциях – ничто, кроме числа.
* * *
Число лежит в основе всякого восприятия красоты. Только в том случае, когда само ощущение удовольствия преисполнено определённых чисел, оно способно одобрять равные интервалы и отвергать беспорядочные. 
Архимед
Вновь и вновь следует повторить изречение Пифагора: Нет сомнений, что природа во всём остаётся себе подобной. Дело обстоит так: существуют числа, благодаря которым гармония звуков пленяет слух, эти же числа преисполняют и глаза, и дух чудесным. Легче найти доказательство, приобретя сначала некоторое понятие о том, что мы ищем, чем искать такое доказательство без всякого предварительного знания.
М.БашмаковГлавная сила математики состоит в том, что вместе с решением одной конкретной задачи она создаёт общие приёмы и способы, применимые во многих ситуациях, которые даже не всегда можно предвидеть.
И.А. Бродский
... Мысль о пространстве рождает "ах", Оперу, взгляд в лорнет. В числах есть нечто, чего нет в словах, Даже крикнув их, нет...
Заключение
Математика полезна тем, что она трудна. Нигде, как в математике, ясность и точность вывода не позволяет человеку отвертеться от ответа разговорами вокруг вопроса. Математика учит точности мысли, подчинению логике доказательства, понятию строго обоснованной истины, а всё это формирует личность, пожалуй, больше, чем музыка. Окружающий нас мир – это мир геометрии. В моральном плане математика учит нас строго относиться к тому, что утверждается как истина, что выдвигается как аргумент или высказывается как доказательство. Математика требует ясности понятий и утверждений, не терпит ни тумана, ни бездоказательных заявлений. Общеобразовательное значение курса математики, как и любого другого предмета, состоит прежде всего в тех общих понятиях, которые он даёт и которые расширяют кругозор и способы подхода человека к явлениям жизни. С этой точки зрения математика важна, во-первых, своей логикой, последовательностью и точностью выводов. Во-вторых, математика полезна тем, что она трудна. Её абстрактные строгие рассуждения требуют больших и длительных умственных усилий, требуют не столько памяти, сколько понимания и соображения. Значение математики сейчас непрерывно возрастает. В математике рождаются новые идеи и методы. Всё это расширяет сферу её приложения. Сейчас уже нельзя назвать такой области деятельности людей, где математика не играла бы существенной роли. Она стала незаменимым орудием во всех науках о природе, в технике, в обществоведении. Даже юристы и историки берут на своё вооружение математические методы.
Ссылка на источники
1. https://ru.wikipedia.org/wiki2. Виноградов И. М. Универсальная алгебра // Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия, 1977.
3.  Алгебра — статья из Математической энциклопедии4. Линейная алгебра // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
5. История математики, т. I, 1970, с. 146—150.
6. http://www.erudition.ru7. http://math4school.ru8. http://kyznecova-ee.solovschool.edusite.ru9. http://project.1september.ru10. Г. Глейзер, академик РАО, Москва. О теореме Пифагора и способах её доказательства11. Теорема Пифагора и пифагоровы тройки. Глава из книги Д. В. Аносова «Взгляд на математику и нечто из неё»