Статья по математике на тему Применение производной к решению прикладных задач

Применение производной к решению прикладных задач.
Варова О.А., преподаватель ГБПОУ ВО «Лискинский промышленно-транспортный техникум имени А.К.Лысенко»
Прикладная направленность обучения математике – это ориентация содержания и методов обучения на применение математики в технике и смежных науках, в профессиональной деятельности, в народном хозяйстве.
Прикладная направленность обучения математике функционирует совместно с практической направленностью, т.е. с формированием основных математических навыков, усвоением знаний и умений, необходимых для дальнейшего успешного изучения математики и её приложений.
Использование межпредметных связей с курсами физики, химии, информатики и др. является одним из важнейших условий для реализации прикладной и практической направленности обучения. Решение это проблемы осуществляется двумя путями: увеличением числа прикладных задач на уроках математики и привлечением знаний по математике при изучении других наук.
Особую значимость приобретают задачи на оптимизацию, которые возникают там, где необходимо выяснить как с помощью имеющихся средств достичь наилучшего результата, как получить максимальный эффект с наименьшей затратой средств, материалов, времени и труда.
Прикладная задача усваивается учащимися лучше и оказывает на них большее воздействие, если она имеет структуру: первая часть изложения посвящается постановке производственной проблемы, вторая часть – формулировке задачи, третья и четвёртая части содержат математическое моделирование, решение задачи и информацию о том, где и как используются полученные результаты.
Рассмотрим примеры задач, отвечающих указанной структуре.
Задача 1. Каковы должны быть размеры прямоугольного сосуда заданной ёмкости V с заданным значением величины k, чтобы расход металла на его изготовление был наименьшим?
В пищевой, химической и др. отраслях промышлености в огромных масштабах используются металлические сосуды, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда. Выбор такой формы позволяет более рационально использовать производственные и складские площади. Эти сосуды изготавливаются с заданным отношением высоты к одному из размеров основания. Из соображений экономии требуется, чтобы при изготовлении сосудов заданной ёмкости расход металла, а так же покрытий, был возможно наименьшим.
Решение. Если расход на швы не учитывать, а толщину стенок, дна и крышки считать одинаковой, то за параметр, определяющий расход металла, можно принять площадь его поверхности S.
Обозначим размеры x,y,z и положив k= zy , получим S(у)=ay2+by , где a=2k, b=2k+1kV;S|у=2ay-by2=2ay3-by2, S|у=0, 2ay3-b=0, y3=b2a, y=3b2a.Это значение у является наименьшим для функции S.
Итак, решение задачи задаётся формулами:
x0=V∙y0∙z0-1=34kVk+1-2, y0=3k-2k+1V2-1, z0=3kk+1V2-1.Если учесть, что прямоугольные сосуды различной ёмкости производятся в огромных количествах, становится очевидным, что отступление от оптимальных размеров приводит к значительным убыткам.
Аналогичная задача: системы центрального отопления, обслуживающие небольшое число объектов, имеют в наивысших точках расширительные ёмкости, в которые поступают излишки воды при нагревании. Эти ёмкости имеют форму цилиндров или прямоугольных параллелепипедов с крышкой из дорогостоящей листовой стали. Поэтому важное практическое значение приобретает следующая задача.
Задача 2.При заданном объёме расширительного сосуда, имеющего форму цилиндра, найти такие его размеры, чтобы на изготовление ёмкости было израсходовано наименьшее количество листовой стали (не учитывать расход материала на швы, а толщину всей поверхности считать одинаковой).
Решение. Задача сводится к исследованию на экстремум функции S=S(R)=2πR2+2VR , где R- радиус основания. Тогда производная S|R=4πR-2VR2=4πR(1-V2π∙1R3).В точке R=R0, где R0=3V2π производная S|Rменяет знак с «минуса» на «плюс», т.е. функция S(R) достигает наименьшего значения, если R=R0. Высота цилиндра Н =2R0, т.е. осевое сечение цилиндрического расширительного сосуда есть квадрат, что следует из равенства
V=2πR03=πR02∙H0.Задача 3. Известно, что мощность Р электроэлемента определяется по формуле: P=E2R(R+r)2 , где Е – электродвижущая сила элемента, r– постоянное внутреннее сопротивление, R– внешнее сопротивление. Каким должно быть внешнее сопротивление, чтобы мощность была наибольшей?
Решение. Рассмотрим Р как функцию от R, R+r≠0,R,r>0. Следовательно, D(P0;∞, 0≤R<∞) , (R=0, когда потребителя мощности нет). Найдём то значение R, при котором функция Р имеет наибольшее значение.
P|R=E2r-R(r+R)2,причём P|R=0R=r. При переходе аргумента R через значение r, производная функции Р меняет знак с «плюса» на «минус». Следовательно, при R= r функция имеет максимум, других экстремумов нет. Таким образом, мощность, которая обеспечивается электроэлементом, будет наибольшей, когда R= r.
В школьном курсе есть задача: Найти прямоугольник наибольшей площади, вписанной в данную окружность.
Максимум площади достигается при случае, если прямоугольник – квадрат.
Эта задача встречается в строительстве. В качестве строительных конструкций применяются стойки прямоугольного сечения, вырезанные из круглых брёвен. Стойка должна иметь возможно большую прочность, т.е. способность выдерживать большие нагрузки не разрушаясь. Поэтому, важное значение имеет указанная выше задача, которая в данном случае перефразируется так:
Из круглого бревна данного сечения вырезается прямоугольный брус, используемый как стойка. Каковы должны быть размеры сечения стойки, чтобы она имела наибольшую прочность при центральном нагружении.
При монтаже промышленных и сельскохозяйственных зданий небольшой высоты используются автомобильные краны. Габаритные данные объекта позволяют определить длину стрелы крана.
Задача 4. Вывести формулу для определения длины стрелы крана, с помощью которого можно построить здание высотой h и шириной 2l с плоской крышей.
Решение. Так как кран может перемещаться вокруг всего здания, то крюк его крана достанет до любой точки здания, если он достанет до середины крыши.
Пусть кран находится в точке О и подаёт деталь на середину крыши. Угол наклона стрелы α.
АВ=CD(cosα)-1=l(cosα)-1;АС=CЕ(sinα)-1=(H-h)(sinα)-1;Где h=АO- высота подвеса стрелы крана.
l=H-hsinα+1cosα -длина стрелы крана.
Определим при каком α из промежутка(0;π2) функция принимает наименьшее значение.
l|α=lcosαsinα2(tgα3-H-hl).
Функция l(α) достигает наименьшего значения при α0=arctg3H-hl.
Подставляем α0 в l, получим наименьшее возможное значение длины стрелы.
Литература.
Журналы «Математика в школе»:
Жак А.Е. Несколько простых прикладных задач. №5, 2000г.
Жак А.Е. Производственные задачи в школьном курсе математики. №2, 2003г.
Петров В.А., Чертков В.С. Применение производной в практической деятельности. №6, 2001г.