Краткий справочник по математике для учащихся 10-11 классов

1. Формулы сокращённого умножения

а) Квадрат суммы: 13 EMBED Equation.3 1415
б) Квадрат разности: 13 EMBED Equation.3 1415
Вообще, квадрат алгебраической суммы нескольких слагаемых равен сумме квадратов этих слагаемых плюс сумма удвоенных попарных произведений этих слагаемых (с учётом правила знаков).

в) Куб суммы: 13 EMBED Equation.3 1415

г) Куб разности: 13 EMBED Equation.3 1415

д) Разность квадратов: 13 EMBED Equation.3 1415

е) Сумма кубов: 13 EMBED Equation.3 1415

ж) Разность кубов: 13 EMBED Equation.3 1415
з) Разность квадратов: 13 EMBED Equation.3 1415

2. Свойства степеней:

аman=am+n
13 EMBED Equation.3 1415
(am)n=amn

3. Свойства радикалов:

4.Линейные и квадратные уравнения

Уравнение вида ax + b=0, где х переменная, a(a
·0) и b – любые числа, называется линейным.
Если:
1) a
· 0, уравнение ax + b=0 имеет единственное решение 13 EMBED Equation.3 1415;
2) а = 0, в этом случае уравнение имеет вид 0*x + b=0,
при b = 0 решением уравнения является любое число х;
при b
· 0 уравнение решений не имеет.

Уравнение вида ax2 + bx + c = 0, где х переменная, а, b, с некоторые числа, причем a
· 0, называется квадратным.
В уравнении ax2 + bx + c = 0 коэффициент а называют первым коэффициентом, b вторым коэффициентом, с свободным членом.
Формула корней квадратного уравнения имеет вид:
x1,2=(b±
·b24ac)/(2a).
Выражение D =b2 4ас называется дискриминантом квадратного уравнения.
Если D = 0, то существует только одно значение переменной, удовлетворяющее уравнению ax2 + bx + c = 0. Однако условились говорить, что в этом случае квадратное уравнение имеет два равных действительных корня, а само число b/2a называют корнем кратности два.

Если D<0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Если D>0, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня.

5.Решение неравенств методом интервалов
Метод интервалов является основным методом решения неравенств. Он позволяет свести решение неравенства f(x)=>( (<
·
·) к решению уравнения f(x)=(. Метод заключается в следующем.

1. Находится ОДЗ неравенства.
2. Неравенство приводится к виду f(x)=>( (<
·
·) (т.е. правая часть переносится в влево) и упрощается.
3. Решается уравнение f(x)=(.
4. На числовой оси изображается: а) ОДЗ; б) непосторонние корни уравнения f(x)=( (попавшие в ОДЗ). Они наносятся в виде полых кружков, если исходное неравенство строгое, и закрашенных, если оно не строгое.

5. Все точки, отмеченные на ОДЗ и ограничивающие его, разбивают это множество на так называемые интервалы знакопостоянства. На каждом таком интервале определяется знак функции f(x). Ответ записывается в виде объединения отдельных множеств, на которых f(x) имеет соответствующий знак. Точки, отмеченные закрашенными кружками, в ответ входят в ответ отмеченных пустыми – нет (подумайте, почему). Точки ОДЗ, являющиеся граничными, включаются (или не включаются) в ответ после дополнительной проверки.

6. Основные методы решения рациональных
уравнений с модулями

При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, используется определение модуля:

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть х и у – действительные числа. Приведем (в виде формул) свойства модуля.
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 3) 13 EMBED Equation.3 1415
4) 13 EMBED Equation.3 1415 k = 2,4,, в частности, 13 EMBED Equation.3 1415
5) 13 EMBED Equation.3 1415 k = 2,4,, в частности, 13 EMBED Equation.3 1415
6) 13 EMBED Equation.3 1415 7) 13 EMBED Equation.3 1415

Основные методы решения уравнений с модулями

1. Попробовать "избавиться" от знака модуля, используя определение модуля.

2. Возвести уравнение (т.е. обе его части) в квадрат. Затем воспользоваться свойством 5.

3. Сделать постановку.

4. Самым универсальным методом решения уравнений, содержащих несколько знаков модулей, является следующий. Выражения, стоящие под знаками абсолютных величин, приравниваются к нулю. Корни полученных уравнений разбивают ОДЗ исходного уравнения на интервалы. На каждом таком интервале, используя определение модуля, удается освободиться от модулей.

7. Рациональные неравенства с модулями

Неравенства с модулями (как и все другие) можно решать методом интервалов. На этом пути, в частности, приходится решать уравнения с модулями. Однако, как правило, проще освободиться от модулей в самих неравенствах,а далее, если требуется, применять метод интервалов.
Обсудим, как это можно сделать.
1. Неравенства вида | f (x) > g (х) (
·, <,
·) рекомендуем решать одним из двух способов, которые рассмотрены ниже.
1а. Из определения модуля следует, что изучаемые неравенства равносильны совокупности либо системе следующих неравенств:
| f (х)| > g (х) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
(*)
| f (х)| < g (х) 13 EMBED Equation.3 1415 – g (х) < f (х) < g (х) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Если неравенства, находящиеся слева от знаков “ 13 EMBED Equation.3 1415 ”, являются нестрогими то и в правой части эквивалентностей все неравенства следует заменить соответствующими нестрогими (“направленными” в ту же сторону).
В частном случае, когда g (х) 13 EMBED Equation.3 1415 a = const,

неравенство
где
эквивалентно следующему:

1
2
| f (х)| < a
а
· 0
а > 0
нет решений
– a < f (х) < a

3
4
5
| f (х)|
· a
а < 0
а = 0
а > 0
нет решений
f (х) = 0
– а
· f (х)
· а

6
7
8
| f (х)| > a
а < 0
а = 0
а > 0
ответ = ОДЗ
f (х)
· 0
f (х) < – a и f (х) > a

9
10
| f (х)|
· a
а
· 0
а > 0
ответ = ОДЗ
f (х)
· – a и f (х)
·a

1b. В ряде случаев (например, если g (х) –абсолютная величина), рассматриваемые неравенства удобнее всего решать возведением в квадрат.

Как решить неравенство
| f (x)| > g (x), если g (x)
· 0

1
Почленно возвести в квадрат

| f (x)|2 > (g (x))2
( f (x))2 > (g (x))2

2
Перенести (g (х))2 в левую часть
( f (x))2 – (g (x))2 > 0

3
4
Воспользоваться формулой
Применить метод интервалов
( f (x) – g (x)) ( f (x) + g (x)) > 0
...

Освобождение от модулей на подмножествах ОДЗ. Неравенство может содержать несколько модулей | fi (x)|. Самым универсальным методом освобождения от них является следующий. Функции, стоящие под знаками модулей, приравниваются к нулю. Корни этих вспомогательных уравнений разбивают ОДЗ неравенства на интервалы. На каждом таком интервале определяем знаки функций fi и освобождаемся от модулей, используя определение: | fi (x)| = ± fi (x), в зависимости от знаков. Объединив решения, найденные на всех подмножествах ОДЗ, получаем окончательный ответ.

8. Иррациональные неравенства

Неравенства, в которых неизвестная содержится под знаком корня, называется иррациональным

При решении иррациональных неравенств используется следующее утверждение:
Если обе части неравенства на некотором множестве Х принимают только неотрицательные значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую четную степень) и сохранив знак исходного неравенства, получим неравенство, равносильное данному (на множестве X). Возведение обеих частей неравенства в одну и ту же нечетную степень (с сохранением знака неравенства) всегда является равносильным преобразованием неравенства.
Рассмотрим неравенство вида
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Ясно, что решение этого неравенства является в то же время решением неравенства f(x)
·0 и решением неравенства g(x) >0 (из неравенства (1) следует, что g (х) >13 EMBED Equation.3 1415 0). Значит, неравенство (1) равносильно системе неравенств
13 EMBED Equation.3 1415

Так как при выполнении условий, задаваемых первыми двумя неравенствами этой системы, обе части третьего неравенства системы определены и принимают только неотрицательные значения, то их возведение в квадрат есть равносильное преобразование неравенства. Выполнив это преобразование, придем к системе
13 EMBED Equation.3 1415
Неравенство13 EMBED Equation.3 1415равносильно системе неравенств
13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим теперь неравенство вида
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Как и выше, заключаем, что f(x)
·0 , но в отличие от предыдущего случая здесь g (х) может принимать как неотрицательные, так и отрицательные значения. Поэтому заданное неравенство (2) рассмотрим в каждом из следующих случаев:
g (х) < 0 и g (х)
· 0. Получим совокупность систем
13 EMBED Equation.3 1415
В первой из этих систем можно опустить последнее неравенство оно вытекает из первых двух неравенств системы. Во второй системе можно выполнить возведение в квадрат обеих частей последнего неравенства.
В итоге приходим к следующему результату: неравенство 13 EMBED Equation.3 1415 равносильно совокупности двух систем

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

9. Тригонометрические функции
Знаки Sin ( Знаки Cos (

Таблица значений тригонометрических функций

·

0

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
213 EMBED Equation.3 1415

sin
·
0

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
1

0

-1

0

cos
·

1

13
· EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
0

-1

0

1

tg
·
0
13 EMBED Equation.3 1415
1
13 EMBED Equation.3 1415
Не существует
0
Не существует
0

ctg
·
Не существует
13 EMBED Equation.3 1415
1
13 EMBED Equation.3 1415
0
Не существует
0
Не существует

Основные тригонометрические тождества

Sin2
·+cos2
·=1,
tg
· =13 EMBED Equation.3 1415 , cos
·
·0
Ctg
·=13 EMBED Equation.3 1415, sin
·
·0
tg
·
·ctg
· = l,
cos
·
·0, sin
·
·0

Sec
·=1/cos
·, cos
·
·0
Cosec
·=1/sin
·, sin
·
·0
tg2
·+1=1/cos2
·=sec2
·, (cos
·
·0)
ctg2
·+1=1/sin2
·=cosec2
·, (sin
·
·0)

Выражения одной функции через другую

Sin
·=±
·(1-cos2
·)
Cos
·=±
·l - sin2
·
tg
·=1/ctg
·, cos
·
·0, sin
·
·0
Ctg
·=1/tg
·, cos
·
·0, sin
·
·0

Формулы отрицательного аргумента

sin (-
·)=-sin
·
tg(-
·)=-tg
·

cos (-
·) = cos
·
ctg(-
·)=- ctg
·

Формулы приведения

Функция
·

Аргумент
·

·/213 EMBED Equation.3 1415
·

· 13 EMBED Equation.3 1415
·
3
·/213 EMBED Equation.3 1415
·
2
· 13 EMBED Equation.3 1415
·

sin
·
cos
·
13 EMBED Equation.3 1415sin
·
-cos
·
13 EMBED Equation.3 1415 sin
·

cos
·
13 EMBED Equation.3 1415 sin
·
-cos
·
13 EMBED Equation.3 1415 sin
·
cos
·

tg
·
13 EMBED Equation.3 1415 ctg
·
13 EMBED Equation.3 1415 tg
·
13 EMBED Equation.3 1415ctg
·
13 EMBED Equation.3 1415 tg
·

ctg
·
13 EMBED Equation.3 1415 tg
·
13 EMBED Equation.3 1415ctg
·
13 EMBED Equation.3 1415tg
·
13 EMBED Equation.3 1415ctg
·

Формулы суммы двух аргументов

sin (
· 13 EMBED Equation.3 1415
·)=sin
· cos
·13 EMBED Equation.3 1415 cos
· sin
·,
cos (
· 13 EMBED Equation.3 1415
·)=cos
· cos
· 13 EMBED Equation.3 1415 sin
· sin
·

tg (
·+
·)=13 EMBED Equation.3 1415
ctg (
·+
·)= 13 EMBED Equation.3 1415

tg (
·-
·)= 13 EMBED Equation.3 1415
ctg (
·-
·)= 13 EMBED Equation.3 1415

Формулы двойного и тройного угла

sin 2
·=2 sin
· cos
·
sin 3
·=3sin
·-4 sin3
·

cos 2
· = cos 2
· - sin 2
·
cos 3
· =4cos 3
·-3 cos
·

cos2
·=1-2sin 2
·, cos2
· =2cos2
·-1

tg 2
·=13 EMBED Equation.3 1415
tg 3
·=13 EMBED Equation.3 1415

Формулы преобразования
суммы тригонометрических функций
в произведения и произведения в суммы

sin
·+sin
·=213 EMBED Equation.3 1415
cos
·+cos
·=213 EMBED Equation.3 1415

sin
·-sin
·=213 EMBED Equation.3 1415
cos
·-cos
·=-213 EMBED Equation.3 1415

tg
·+ tg
·= 13 EMBED Equation.3 1415
ctg
·+ ctg
·= 13 EMBED Equation.3 1415

tg
·- tg
·= 13 EMBED Equation.3 1415
ctg
·-ctg
·= 13 EMBED Equation.3 1415

sin
·sin
·=13 EMBED Equation.3 1415

cos
·cos
·=13 EMBED Equation.3 1415

sin
·cos
·=13 EMBED Equation.3 1415

Формулы половинного угла

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

10. Арифметическая прогрессия

Арифметической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же (определенным для данной последовательности) числом d, называемым разностью прогрессии.
Формула n-го члена an = a1 + (n – 1) d.
Формула суммы n первых членов 13 EMBED Equation.3 1415
11. Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется такая последовательность, у которой каждый ее член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же (определенное для данной последовательности) число q, называемое знаменателем прогрессии. Предполагается, что q
· 0.
Если число членов прогрессии конечно, то она называется конечной геометрической прогрессией; в противном случае она называется бесконечной геометрической прогрессией.
Формула n-го члена an= a1q n –1.
Формула суммы n первых членов13 EMBED Equation.3 1415.

12. Понятие производной

Производной функции y= f (x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

13 EMBED Equation.3 1415
Таблица производных
№ п/п
Х – аргумент
u- дифференцируемая
функция аргумента

1.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

2. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

3.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

4.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

5.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

6.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

7.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

8.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

9.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

10.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

11.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

12.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13. Показательная функция

Показательной функцией называется функция вида:
y=ax, где а - заданное число, a>0, а13 EMBED Equation.3 1415.
графики функций y=2x и y=(1/2)x

14. Логарифмы и их свойства
a-основание
с –показатель степени
Определение:
Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени с, в которую надо возвести а, чтобы получить b.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, (где b>0; a>0; a
·1)
Основное логарифмическое тождество: 13 EMBED Equation.3 1415
Свойства логарифмов

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
loga 1=0
Формула перехода от одного основания к другому:
13 EMBED Equation.3 1415

Логарифмическая функция
Логарифмической функцией называют функцию вида
13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415

15. Показательные уравнения
Определение: Показательными называют уравнения, содержащие неизвестную величину в показателе степени (основание степени не содержит неизвестной величины.
Рассмотрим «простейшее» показательное уравнение вида
13 EMBED Equation.3 1415, а>0.
Если b13 EMBED Equation.3 14150, то это уравнение решений не имеет.
Если b>0 и а13 EMBED Equation.3 14151, то f(x)=logab.
Если а = 1, то при b 13 EMBED Equation.3 1415 1 данное уравнение не имеет решений.
при b =1 решением является любое число из области определения.

16. Логарифмические уравнения

Определение: Логарифмическим уравнением называют уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма.
logax=b; x>0; a>0; a
·1. x=ab
Для успешного решения логарифмических уравнений и неравенств необходимо уверенное владение формулами для логарифмов и свойствами логарифмической функции.
Использование формул логарифма произведения, частного и других без дополнительных оговорок может привести как к приобретению посторонних решений, так и к потере корней.
Поэтому необходимо внимательно следить за равносильностью совершаемых преобразований. Так, к примеру, в формуле logаху=logах+logау
ОДЗ: xy>0
x>0
y>0
Запишем равносильное преобразование:
1)logaxy=loga|x|+loga|y|, xy>0
2)logax/y=loga|x|-loga|y|, xy>0
3)logax2p=2p loga|x|, x
·0

17. Логарифмические неравенства

При решении логарифмических неравенств, так же как и при решении показательных неравенств, нужно четко представлять себе, что логарифмическая и показательная функции с основанием, большим единицы, монотонно возрастают, и монотонно убывают с основанием, меньшим единицы, но положительным.

Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
при а > 1 равносильно системе неравенств
13 EMBED Equation.3 1415

logax1x1а при 0 < а < 1 системе неравенств
13 EMBED Equation.3 1415

logax1>logax2
x1
Неравенство 13 EMBED Equation.3 1415
равносильно совокупности двух систем неравенств (переменное основание)
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

18. Первообразная

Функцию, от которой берут производную называется первообразной.

Таблица первообразных.

Функция f (x)
Первообразная F (x)

0
С

1
х

х
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

sin x
– cos x

cos x
sin x

13 EMBED Equation.3 1415
– сtgx

13 EMBED Equation.3 1415
tgx

ex
ex

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

ax
13 EMBED Equation.3 1415

19. Неопределенный интеграл
Совокупность всех первообразных функций f (x) называется неопределенным интегралом данной функции и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415, при этом f(x) - подинтегральная функция , f(x)dx –подинтегральное выражение.

Таблица основных интегралов
1. 13 EMBED Equation.3 1415;
9. 13 EMBED Equation.3 1415;

2. 13 EMBED Equation.3 1415,
а ( – 1;
10. 13 EMBED Equation.3 1415,
а > 0;

3. 13 EMBED Equation.3 1415;
11. 13 EMBED Equation.3 1415;

4. 13 EMBED Equation.3 1415,
а ( – 1, а > 0;
12. 13 EMBED Equation.3 1415,
а > 0;

5. 13 EMBED Equation.3 1415;
13. 13 EMBED Equation.3 1415;

6. 13 EMBED Equation.3 1415;
14. 13 EMBED Equation.3 1415,
а > 0;

7. 13 EMBED Equation.3 1415;
15. 13 EMBED Equation.3 1415,
b ( 0;

8. 13 EMBED Equation.3 1415;
16. 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415

13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED PBrush 1415

13 EMBED PBrush 1415

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativelEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeArial CyrArial CyrArial CyrArial CyrArial Cyr1"ИArial Cyr1"ИArial Cyr1"ИArial Cyr1" Arial Cyr1"
·Arial Cyr1"
·Arial Cyr1"бArial Cyr1"
·
·
·Arial Cyr1"бArial Cyr1"nArial Cyr1"n
·
·Arial Cyr1"nArial CyrО/15
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0"р.";[Red]\-#,##0"р."О;

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0.00"р.";[Red]\-#,##0.00"р."Оk*3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0_р_._-;\-* #,##0_р_._-;_-* "-"_р_._-;_-@_-О{,;
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0.00_р_._-;\-* #,##0.00_р_._-;_-* "-"??_р_._-;_-@_-а14 Microsoft Office Document ImagArial CyrArial Cyr3 Arial Cyr1"ИArial Cyr1"ИArial Cyr1"ИArial Cyr1" Arial Cyr1"
·Arial Cyr1"
·Arial Cyr1"бArial Cyr1"
·
·
·Arial Cyr1"бArial Cyr1"ZArial Cyr1"ZArial CyrО/15
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0"р.";[Red]\-#,##0"р."О;

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0.00"р.";[Red]\-#,##0.00"р."Оk*3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0_р_._-;\-* #,##0_р_._-;_-* "-"_р_._-;_-@_-О{,;
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0.00_р_._-;\-* #,##0.00_р_._-;_-* "-"??_р_._-;_-@_-а14 Microsoft Office Document ImagEquation NativeEquation Native