Урок по математике: «Введение декартовых координат в пространстве. Формулы середины отрезка и расстояния между двумя точками».

Урок математики по теме:
«Введение декартовых координат в пространстве.
Формулы середины отрезка и расстояния между двумя точками.»

Цели урока:
Повторить применение координат на прямой и на плоскости; формулы середины отрезка и расстояния между точками.
Ввести декартовы координаты в пространстве.
Познакомить с формулами середины отрезка и расстояния между двумя точками в пространстве.
Развивать пространственное и логическое мышление.
Прививать интерес к истории математики.
Воспитывать эстетический вкус и культуру оформления работы.

Методическое обеспечение урока:
Модель трёхмерной системы координат.
Чертежные инструменты.
Портрет Р. Декарта.
Учебник «Геометрия 10-11» А.В.Погорелова, Москва «Просвещение» 2008 г.
Презентация.
Дидактический материал (карточки).

Тип урока: комбинированный
Ход урока
I. Организационный момент.
Приветствие и размещение на рабочих местах.
Сообщение темы и цели урока:

13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415

- Тема нашего урока «Введение декартовых координат в пространстве.
Формулы середины отрезка и расстояния между двумя точками.»
Сегодня на уроке мы с вами повторим применение координат на прямой и на плоскости, а также формулы середины отрезка и расстояния между точками. Затем ознакомимся с декартовыми координатами в пространстве, с формулами середины отрезка и расстояния между двумя точками в пространстве, для того чтобы


расширить ваш кругозор и научиться применять данный метод при решении задач. Желаю вам успехов!
Выбор этой темы не случаен. Мы с вами практически закончили изучение геометрии, однако, решая задачи, вы показали, что некоторые вопросы у вас вызывают затруднения, кроме этого, тема имеет большую прикладную значимость не только в геометрии, но и в физике.
Назовите раздел физики, где вам постоянно приходится встречаться с координатами и векторами.
В кинематике задачи решаются координатным способом.
В динамике и в задачах на закон сохранения импульса используют векторный способ решения задач.
Координатный метод используется при выводе основного уравнения МКТ.
При изучении изопроцессов в газах. Электромагнитные волны.
Но оказывается, в современном мире это не самое главное приложение выбранной темы.
Главное – это ставшие возможными, благодаря развитию вычислительных средств, приложения к техническим наукам и непосредственно к технике, к практике. Вы знаете, что электронно-вычислительные машины умеют оперировать только с числами или с информацией, записанной с помощью чисел, но не с геометрическими объектами-точками, векторами и т.д. И когда ЭВМ управляет самолётом, подводной лодкой или космическим кораблём, она обрабатывает данные о положении, расположении, скорости, ускорения движущегося объекта, т.е. с геометрической точки зрения данные о точках и векторах не в геометрической форме, а в переводе их на язык чисел. Переход от точек и векторов к их координатам и представляет собой такой перевод. Таким образом, введение координат, даёт возможность использовать современной вычислительной технике в самых различных, геометрических с внешней точки зрения, ситуациях.

II. Повторение. Актуализация знаний.
- Сейчас мы с вами совершим небольшой экскурс в историю математики. Слово предоставляется обучающимся.

В 1637 г. во Франции вышла книга, которая принесла её автору невероятную известность. По обычаям того времени она имела довольно длинное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять разум и отыскивать истину в науках. Кроме того, Диоптрика, Метеоры и Геометрия, которые являются приложениями этого метода». Автор книги Рене Декарт (1596 – 1650 г.). В ней он ввел прямоугольную систему координат, поставил каждой точке в соответствие пару чисел – её координаты. Этот прогрессивный метод позволил решить ряд геометрических задач алгебраическим методом, что оказалось очень удобным.
Главные правила метода гласят:
Не принимать за истинное что бы то ни было, прежде чем не признал это несомненно истинным, т. е. старательно избегать поспешности и предубеждения и включить в свои рассуждения только то, что представляется уму так ясно и отчетливо, что никоим образом не может дать повод к сомнению.
Делить каждую из рассматриваемых трудностей на столько частей, на сколько требуется, чтобы лучше их разрешить.


Руководить ходом своих мыслей, начиная с предметов простейших и легко познаваемых, и восходить мало – помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существования порядка даже среди тех, которые в естественном порядке вещей не предшествуют друг другу.
Делать всюду настолько полные перечни и такие общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено.

- Руководствуясь этими правилами, начнем с ранее изученного материала.
1. Сначала координаты точки ввели на луче, потом на прямой.
- Что представляет собой координатная прямая?

Координатная прямая – это прямая с выбранными на ней направлением, началом отсчета и единичным отрезком.

13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Слайд 2.

- Что называют координатой точки?
Координатой точки М называют число, абсолютная величина которого равна расстоянию от начала отсчета до точки М.
Если точка расположена справа от точки О, то её координата положительная, если слева – то отрицательная.
2. Для определения положения точки на плоскости одной координаты недостаточно.
Поэтому по примеру географических координат Декартом были введены координаты на плоскости, добавив к оси х перпендикулярную ось и выбрав на ней направление и единичный отрезок.









13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Слайд 3.
- Что значит координатная плоскость задана?
III. Введение координат в пространстве.
- Первое определение IX книги «Начала» Евклида гласит: «Тело есть то, что имеет длину, ширину и глубину». Тем не менее есть основание полагать, что в древности нашего понятия о трехмерном пространстве не существовало. У Декарта имелись лишь далекие намеки на возможность распространения метода координат с двумерного пространства (плоскости) на трехмерное. Потребовалось ещё почти 100 лет, чтобы идея пространственных координат была сформирована, постоянно и широко использовалась.
(Объяснение с опорой на трехмерную модель )
Система координат в пространстве представляет собой три взаимно перпендикулярные прямые х, y, z, пересекающиеся в одной точке.
О – начало отсчета, x, y, z – координатные оси, xy, yz, xz – координатные плоскости.
13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415

Слайд 4.

13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Слайд 5.

13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Слайд 6.

- Где в повседневной жизни мы встречаем данную систему координат?
(длина, ширина, высота).
- Для чего необходимы эти знания в вашей профессии, профессии «Бухгалтер»? (составление сметы расходов для ремонта помещения)

- Определите координаты точки А на плоскости.
Координатой х точки А называется число, равное по абсолютной величине длине отрезка ОАх и т.д. Таким образом, точке А в пространстве ставится в соответствие тройка чисел – её координаты.
Обозначение: А(x; y; z).
- По внешнему виду точки можно определить место её расположения в пространстве.
Рассмотрим координаты частного расположения точек в пространстве.

13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Слайд 7.

Домашнее задание: обучающиеся получают карточки с индивидуальным заданием

Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин.


z
В1 С1 Ответы:

А1 D1 А А1
В В1
В С y С С1
D D1
А D
x


Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4. Определите координаты его вершин.


В1 z С1
Ответы:
А1 D1
А А1
В С В В1
А D y С С1
D D1
x




Ответы:

Задача 1. Дан куб с ребром, равным 4. Определите координаты его вершин.
z
В1 С1 Ответы:

А1 D1 А (4;0;0) А1 (4;0;4)
В (0;0;0) В1 (0;0;4)
В С y С (0;4;0) С1 (0;4;4)
D (4;4;0) D1 (4;4;4)
А D
x

Задача 2. Дан прямоугольный параллелепипед, измерения которого равны 6;4;4. Определите координаты его вершин.
В1 z С1
Ответы:
А1 D1
А (2;-3;0) А1 (2;-3;4)
В С В (-2;-3;0) В1 (-2;-3;0)
А D y С (-2;3;0) С1 (-2;3;4)
D (2;3;0) D1 (2;3;4)
x

IV. Практическое применение метода координат.
- В качестве иллюстрации приложения метода координат рассмотрим алгебраические равенства, имеющие простые геометрические истолкования. Это формулы координат середины отрезка и расстояния между точками.


13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Слайд 8.





13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Слайд 9.

Задача№1 на повторение. Найдите координаты середины отрезка АВ и длину отрезка АВ, если:

1 вариант – А (3;-1), В (-2;4)

2 вариант – А (3;4), В (2; -1)

(Взаимопроверка работ с помощью слайда)

13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Слайд 10.

- Аналогичные формулы применяются в пространстве.



13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Слайд 11.

13 EMBED PowerPoint.Slide.12 1415
Слайд 12.

Задача №2. Дано: А (1;-1;2), В (3;1;-2)
Найдите координаты середины отрезка АВ и его длину.
Решение:
1). Пусть С – середина отрезка АВ, тогда С (13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415), С (2;0;0)
2). АВ = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 = 213 EMBED Equation.3 1415.
(Решение задачи у доски)
V. Подведение итогов урока.
VI. Домашнее задание:
учебник А.В.Погорелова «Геометрия 10-11» п. 23 – 25, стр.53 ответить на вопросы № 1 – 3. Все обучающиеся получают индивидуальные задания по карточкам на определение координат вершин фигуры.
Root Entry