Методическое пособие по теме Уравнения с модулем (10 класс)
Комсомольская ОШ №5 І – ІІІ ступеней
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ, СОДЕРЖАЩИХ ЗНАК МОДУЛЯ
2017 год
АННОТАЦИЯ
Решение уравнений с модулем вызывает у учащихся затруднения.
Анализируя задания вступительных экзаменов, необходимо отметить, что очень часто предлагаются задания с модулями. Чтобы помочь учащимся научиться решать уравнения с модулями предлагается данный материал.
Уравнения с модулем разделены на группы по способу их решения. К каждой группе дается теоретический материал, необходимый для решения уравнений данной группы.
Даны решения уравнений каждой группы, а к отдельным уравнениям алгоритм их решения, что позволяет учащимся самообучаться.
Этот материал можно применять на уроках при работе по группам и индивидуально как в классе, так и для домашней работы.
Предназначается учащимся стерших классов.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
СОДЕРЖАЩИЕ ПЕРЕМЕННУЮ ПОД ЗНАКОМ МОДУЛЯ
Определение модуля
13 EMBED Equation.3 1415
Простейшими уравнениями с модулем являются уравнения вида 13 EMBED Equation.3 1415, (1)
где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 - некоторые функции.
Для того чтобы решить данное уравнение, нужно найти сначала все решения уравнения 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, принадлежащие множеству 13 EMBED Equation.3 1415, затем решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 на множестве 13 EMBED Equation.3 1415; объединение множеств найденных решений составляет множество всех решений уравнения (1). Другими словами, уравнение (1) равносильно совокупности систем
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Исходное уравнение равносильно совокупности систем:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415- 3; - 2; 2; 3.
Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415 равносильно совокупности систем (можно решить двумя способами)
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 2.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Данное уравнение равносильно совокупности систем:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 не удовлетворяет условию 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, система имеет решение 13 EMBED Equation.3 1415.
2)
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 не удовлетворяет условию 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно, вторая система имеет решение 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 - некоторые функции, равносильно совокупности систем
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 3.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Данное уравнение равносильно совокупности двух систем:
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 , система не имеет решений.
2) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 .
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
При решении уравнения, в котором под знаком модуля находится выражение, содержащее модуль, следует сначала освободиться от внутренних модулей, а затем в полученных уравнениях раскрыть оставшиеся модули.
Пример 4.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
Данное уравнение равносильно совокупности двух систем
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
то есть совокупности систем
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
Вторая система решений не имеет. Первая система равносильна двум следующим системам:
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 0.
5.Метод разбиения на промежутки. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Решается методом интервалов (или методом разбиения на промежутки). Для этого находят сначала все точки, в которых
13 EMBED Equation.3 1415
Эти точки делят область допустимых значений уравнения (2) на промежутки, на каждом из которых все функции 13 EMBED Equation.3 1415 сохраняют знак (считаем знак каждого модуля на указанном промежутке). Затем переходят от уравнения (2) и совокупности систем, не содержащих знаков модуля.
Пример 5.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример 6.
Решите уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
0 2 7
1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 нет решений.
2) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 нет решений.
3) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 нет решений.
4) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 нет решений.
Ответ: корней нет.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 13 EMBED Equation.3 1415
І способ
Раскрыть модуль по определению
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
ІІ способ
Возведение обеих частей в квадрат
13 EMBED Equation.3 1415
ІІІ способ
Метод разбиения на промежутки
ПРИМЕРЫ
Пример №1
13 EMBED Equation.3 1415
Решение
І способ (по определению)
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: -1; 7.
ІІ способ (возведение обеих частей в квадрат)
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: -1; 7.
Пример №2
13 EMBED Equation.3 1415
Решение
І способ (по определению)
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: нет решения
ІІ способ (возведение обеих частей в квадрат)
Так как правая часть функция, то
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Ответ: нет решения.
Пример №3
13 EMBED Equation.3 1415
Решение
Воспользуемся методом возведения в квадрат обеих частей.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример №4
13 EMBED Equation.3 1415
Решение
Используем метод разбиения на промежутки.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
-2
· -1
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: -2,5; -0,5.
Пример №5
13 EMBED Equation.3 1415
Решение.
Разложим 13 EMBED Equation.3 1415 на линейные множители.
13 EMBED Equation.3 1415
По теореме Виета 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Получили 13 EMBED Equation.3 1415
Решим методом разбиения на интервалы
0 1 2
Если 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то на данном промежутке решением является 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то на данном промежутке нет решения.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то на данном промежутке нет решения.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то на данном промежутке решением является 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415.
РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО.
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415
6. 13 EMBED Equation.3 1415
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415
9. 13 EMBED Equation.3 1415
10. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
11. 13 EMBED Equation.3 1415
12. 13 EMBED Equation.3 1415
13. 13 EMBED Equation.3 1415
14. 13 EMBED Equation.3 1415
15. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
16. 13 EMBED Equation.3 1415
17. Найдите наименьшее целое значение 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющее уравнению 13 EMBED Equation.3 1415.
18. Найдите все корни уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, удовлетворяющие неравенству 13 EMBED Equation.3 1415.
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ.
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. Воспользуйтесь методом разбиения на промежутки.
16. 13 EMBED Equation.3 1415. 17. 13 EMBED Equation.3 1415. 18. 13 EMBED Equation.3 1415
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ
С МОДУЛЕМ, СОДЕРЖАЩИЕ ПАРАМЕТР.
1. Для каждого значения параметра 13 EMBED Equation.3 1415 найдите число корней уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Запишем уравнение в виде 13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415не является корнем уравнения. Количество корней данного уравнения будет соответствовать количеству точек пересечения графика функции 13 EMBED Equation.3 1415 с прямой 13 EMBED Equation.3 1415. Построим график функции 13 EMBED Equation.3 1415, который состоит из двух частей:
при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415;
при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Из рисунка видно, что
при 13 EMBED Equation.3 1415 имеет единственную точку пересечения, а значит, единственный корень;
при 13 EMBED Equation.3 1415 имеет две точки пересечения, а значит, исходное уравнение имеет два корня;
при 13 EMBED Equation.3 1415 - одна точка пересечения, а значит, уравнение имеет единственный корень.
Осталось проверить, сколько корней имеет исходное уравнение при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда исходное уравнение примет вид 13 EMBED Equation.3 1415. Определим количество корней данного уравнения.
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415- единственный корень.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда имеем уравнение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 - единственный корень.
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение имеет единственный корень;
при 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение имеет два корня;
при 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение имеет единственное решение.
2. Для каждого значения параметра 13 EMBED Equation.3 1415 найдите число корней уравнения 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Перепишем уравнение в виде 13 EMBED Equation.3 1415.
Для решения задачи определим количество точек пересечения графика функции 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Построим график функции
13 EMBED Equation.3 1415,
который состоит из двух частей:
при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415;
при 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Из рисунка видно, что при любом значении параметра 13 EMBED Equation.3 1415исходное уравнение имеет один корень.
Ответ: при любом значении параметра 13 EMBED Equation.3 1415исходное уравнение имеет один корень.
3. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение
13 EMBED Equation.3 1415
Имеет хотя бы одно решение?
Решение. Подмодульная функция
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, так как 13 EMBED Equation.3 1415, причем равенство достигается только при 13 EMBED Equation.3 1415, то есть 13 EMBED Equation.3 1415.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415, равенство достигается только при 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, 13 EMBED Equation.3 1415 при всех 13 EMBED Equation.3 1415. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то уравнение (1) равносильно системе 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 и только при найденных значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 исходное уравнение имеет решение, а именно 13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: при 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
РЕШИ САМОСТОЯТЕЛЬНО.
1. Для каждого значения параметра 13 EMBED Equation.3 1415 найдите число корней уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
2. Для каждого значения параметра 13 EMBED Equation.3 1415 найдите число корней уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
3. При каких значениях параметра 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 имеет хотя бы одно решение?
ОТВЕТЫ
1. При 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение имеет единственный корень;
при 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 уравнение имеет два корня.
2. При любом значении параметра 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение имеет единственный корень.
3. При 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native