Методическое пособие по теме Квадратные уравнения (8 класс)

Комсомольская общеобразовательная школа І – ІІІ ступеней №5
Методическое пособие
для самообразования обучающихсяпо теме
«Квадратные уравнения»
(8 класс)
Учитель математики
Осипенко Наталья Александровна
2016 год
Квадратные уравнения.
Исторические сведения.
Уравнения второй степени умели решать еще в древнем Вавилоне во ІІ тысячелетии до н.э.
Математики Древней Греции решали квадратные уравнения геометрически; например Евклид – при помощи деления отрезка в среднем и крайнем отношениях.
Формула корней квадратного уравнения «переоткрывалась» неоднократно. Одни из первых, дошедших до наших дней выводов этой формулы принадлежит индийскому математику Брахмагупте (около 598 г.) Среднеазиатский ученный аль – Хорезми (ІХ в.) в трактате «Китай аль – джебрваль – лукабала» получил эту формулу методом выделения полного квадрата с помощью геометрической иллюстрации.Определение. Уравнение вида ах2+bх+с=0, где а, b, с- некоторые числа, причём а≠0, называется квадратным (а- коэффициент при х2,b- при х, с – свободный член ).
Если хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным.
Виды неполных квадратных уравнений
b=0, c≠0 b≠0, c=0 b=0, c=0
ax²+c=0
ax²=-c
x² =caa) - ca˃0
х1=--ca; x2=-cab) - ca ˂0
нет корней ax2+bx=0
x(ax+b)=0
x=0 или ax+b=0
х1=0 или х2=-baах2=0
х2=0
х1,2=0
Примеры
а) х2-4=0
х2=4
х1=4=2; х2=-4=-2
Ответ: х1=2; х2=-2
b) х2-9=0
(х-3)(х+3)=0
х-3=0 или х+3=0
х1=3 или х2=-3
Ответ: х1=3; х2=-3
с)х2+1=0
х2=-1
Нет корней
Ответ: нет корней а) х2-5х=0
х(х-5)=0
х1=0 или х-5=0
х2=5
Ответ: х1=0; х2=5
b) 2х2-6х=0
2х(х-3)=0
2х=0 или х-3=0
х1=0; х2=3
Ответ: х1=0; х2=3
а) 5х2=0
х2=0х1,2=0
Ответ: х1,2=0
b) -3х2=0х2=0х1,2=0
Ответ: х1,2=0
Уравнение общего вида
ах2+bх+с=0 (а≠0)
D=b2-4ас – дискриминант.
Если D˃0, то два корня:
х1=-b-D2а; х2=-b+D2аD=0, тогда один корень:
х1,2=-b2аD˂0, нет корней Приведённое уравнение
х2+рх+q=0 (а≠0)
D=р24 – q- дискриминант.
Если D˃0, то два корня:
х1=р2+D ; х2=р2-DD=0, тогда один корень:
х1,2=-р2D˂0, нет корней
Если b=2k-чётное
D=k2-ac
х1=-k-Dа; х2=-k+DаТеорема Виета
Если х1и х2- корни приведенного квадратного уравнения, то
х1+х2=-р
х1×х2=q
Примеры
а) 2х2-3х+1=0
D=b2-4ac=-(-3)2-4×2×1=9-8=1˃0
х1=-b-D2а=--3-12×2=3-14=12х2=-b+D2а=4+12×2=3+14=1
Ответ: х1=1; х2=12b) х2-6x+9=0
D=b2-4ас=(-62)-4×1×9=36-36=0
x1,2=-b2a=62=3
Ответ: x1,2=3
c) 2х2+5x-6=0
D=b2-4ас=52-4×2×(-6)=25-48=-23˂0
Ответ: нет корней
d) -х2+9x-8=0
х2-9x+8=0
D=b2-4ас=(-92)-4×1×8=81-32=49˃0
х1=-b-D2а=--9-492×1=1
х2=-b+D2а=--9-492×1=8
Ответ: x1=8; x2=1
e) 3х2+4x-1=0
b=2k=4, k=2
D=k2-4ac=22-4×3(-1)=4+12=16˃0
х1=-k-Dа=-2-163=-2
х2=-k+Dа=-2+163=23х2-4х-5=0
D=р24 – q=424-(-5) =164+5 = =4+5=9˃0
х1=р2+D=-(-4)2+9=2+3=5
х2=р2-D=-(-4)2-3=2-3=-1
Ответ: х1=5; х2=-1
х2-4x+4=0
D=p24-q=(-4)24-4=4-4=0
x1,2=-p2=(-4)2=2
Ответ: x1,2=2х2-4x+5=0
D=p24-q=(-4)24-5=4-5=-1˂0
Ответ: нет корней
х2-6x+8=0
x1=2; x2=4
q=x1×x2=2×4=8
-p=-(x1+x2)=-(2+4)=-6
Ответ: х1=2; х2=4
Математический диктант.
Квадратное уравнение. Решение неполных квадратных уравнений.
Запишите квадратное уравнение, у которого первый коэффициент 3[-5], второй коэффициент -5[3], свободный член 0.
Запишите приведенное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент и свободный член равны -2[-3].
Запишите неполное квадратное уравнение, у которого первый коэффициент равен -5[-3], свободный член равен 7[5] и решите его.
Запишите неполное квадратное уравнение,у которого первый коэффициент равен 3[5], второй коэффициент равен 5[7] и решите его.
Диктант 2
Полные квадратные уравнения. Теорема Виета.
Вычислите дискриминант квадратного уравнения 3x2-8x-3=0
[2x2-3x-2=0]
При каком условии полное квадратное уравнение имеет единственный корень [не имеет корней.]
Решите уравнение x2-4x+9=0[x2-6x+9=0].
Запишите, чему равны сумма и произведение корней квадратного уравнения x2-5x+6=0[x2-6x+5=0].
Самостоятельная работа №1
Решить уравнения.
1 вариант
x2-25=0
x2-9=0
x2-7x=0
7x2-=0
5x2-4x-1=0
2x2-x+3=0
4x2+8x+4=0
x2-6x+5=0 2 вариант
x2-16=0
x2+25=0
x2-15x=0
−15x2=0
3x2-x+2=0
5y2-4y-1=0
2x2-3x+2=0
x2-2x+1=0
3 вариант
16x2-1=0
12+4x2=0
(x+2)(x-1)=0
2x2-3=-3x
7y2+5y=2
4(x-1)2=12x+3
2x2+x5=4x-23x2-15+36=0 4 вариант
25x2-1=0
(x-3)(x+4)=0
15+3x2=0
7x=3x27x
5(x+2)2=-6x-44
x2-x3=2x-45y2+11y-80=0
Применение квадратного уравнения при решении дробных рациональных уравнений и задач
Примеры Алгоритмы решения
x22-x = 3x2-xx22-x - 3x2-x = 0
x2-3x2-x = 0
x2-3x=0 и 2-x≠0
x(x-3)=0 -x≠-2
x1=0 или х-3=0
x2=3
При этих значениях х знаменатель не равен нулю.
Ответ: x1=0;x2=3
2x2+3x3-x = x-x2x-32x2+3x3-x-x-x2x-3=0
2x2+3x3-x+x-x2x-3=0
2x2+3x+x-x23-x=0
x2+4x3-x=0
x2+4x=0 и 3-x≠0
x(x+4)=0 -x≠-3
x1=0 или x+4=0 x≠3
x2=-4
При этих значениях знаменатель не равен нулю.
Ответ: x1=0;x2=-4
x-7x-2+x+4x+2=1
x-7x+2x-2-x+4x-2x+2-1(x-2)(x+2)=0
x+2x-7+x-2x+4-(x-2)(x+2)(x-2)(x+2)=0
x2-7x+2x-14+x2+4x-2x-8-x2+4x2-4=0
x2-3x-18x2-4=0
x2-3x-18=0 или x2-4=0
D=b2-4ас=(x-2)(x+2)≠0
=(-3)2-4×1×x-2≠0;x+2≠0
×(-18)=9+72=x≠2; x≠-2
=81˃0
2 корня
х1=-b+D2а=--3+812×1=3+92=6
х2=-b-D2а=--3-812×1=3-92=3
При этих значениях х знаменатель не равен нулю.
Ответ: х1=6; х2=-3
Перенести, изменяя знак, все имеющиеся члены уравнения из правой части в левую.
Привести к общему знаменателю.
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Сделай проверку.
Запиши ответ.
Перенести члены уравнения, изменяя знак, из првавой части уравнения в левуюПривести к общему знаменателю, для этого нужно знаменатель второй дроби умножить на -1.
Сложим две дроби с одинаковым знаменателем, в числителе приведем подобные члены.
Дробь равна нулю, если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Сделайте проверку.
Запиши ответ.
Перенести, изменяя знак, все члены из правой части в левую.
Найти общий знаменатель и дополнительные множители каждой дроби, умножить каждый числитель на дополнительный множитель.
Привести подобные слагаемые.
Дробь равна нулю, а знаменатель не равен нулю.
Сделай проверку.
Запиши ответ.
Самостоятельная работа
В каждом уравнении вида ax2+bx+c=0 укажите коэффициенты a,b,c:
5x2-x+1=0 b) x2+x-2=0 c) 6x2-1=0 d) 8x2+17=0
Заполните таблицу:
Уравнение х1+х2х1×х2x2-x-110=0
2x2+5x-7=0
6x2+4,2x-1,8=0
x2-х=0
3x2-11x=0
5x2-3=0 Укажите, чему равна сумма и произведение корней уравнения. Методом подбора найдите его корни.
x2-8x+12=0 b) x2+2x-15=0
Решите уравнение, введя новую переменную:
x4-8x+12=0 b) (x2-3x)2-14(x2-3x)+40=0
4x2-5x2+1=0 d) (1-y)2+7(1-y)+12=0
Найдите три последовательных четных натуральных числа, если известно, что сумма квадратов первых двух чисел на 180 больше квадрата третьего числа. Решая эту задачу, ученик составил уравнение:
(n-2)2+n2-180=(n+2)2Что он обозначил через n? Найдите эти числа.
Гипотенуза прямоугольного треугольника на 6см больше одного катета и на 12 см больше другого. Найдите стороны треугольника.
Дополнительное объяснение задачи и закончите ее решение.
Пусть гипотенуза равна х см, тогда один катет равен _____см, а другой -_____см. Зная, что по теореме Пифагора c2=a2+b2, составим и решим уравнение:
Решение задач
Этапы решения задачи Процесс решения задачи
Анализ задачи
Поиск способа решения
Решение задачи
Проверка решения задачи
Ответ Выделить в задаче условие и вопрос.
Выбрать и обозначить основную неизвестную величину.
Выразить остальные неизвестные через основную.
Составить уравнение.
Если нужно, сделать схему и чертеж.
Решить уравнение.
Проверить, соответствуют ли найденные корни уравнения условию задачи и ее смыслу.
Сформировать ответ, соответственно вопросу задачи.
Задача №1
Произведение двух натуральных чисел равно 273. Найдите эти числа. Если одно из них на 8 больше другого.
Решение
Пусть одно число равно х, тогда второе число равно (х+8). Зная, что их произведение по условию равно 273, составим и решим уравнение:
x(x+8)=273
x2+8x-273=0
D=b2-4ас=82-4×1(-273)=64+1092=1156
х1=-b+D2а=-8+11562×1=-8+342=13
х2=-b-D2а=-8-11562×1=-8-342=-21
(не подходит по условию задачи, так как не натуральное)
Значит, х=13,а х+8=21
Проверка:
13×21=273
Ответ: 13, 21
Задача №2
Площадь прямоугольника 480 см2. Найдите его стороны, если Р его равен 94 см.
Решение
S=480 см2.
P=94 см.
Пусть одна сторона равна а см, вторая – bсм. Зная, что площадь прямоугольника по условию равна 480 см2, а периметр – 94 см, по формулам вычислим площадь S=a×b и периметрP=2(a+b). Получим: 94=2(a+b), разделим на 2 левую и правую часть, получим: a+b=47тогда a=47-b, подставим в формулу нахождения площади, получим:
(47-b)×b=480
47b-b2=480
-b2+47b-480=0
b2-47b-480=0
D=(-47)2-4×1×480=2209-1920=289
b1=--47+2892×1=47+172=32
b2=--47-2892×1=47-172=15
Если b=32, тогда а=47-b=47-32=15
Если b=15, тогда а=47-b=47-15=32
Значит, стороны равны 15 см 32 см
Проверка
S=32×15=480 (см2); P=2×(32+15)=2×47=94 (см)
Ответ: 32 см; 15 см
Задача №3
Теплоход, собственная скорость которого 18 км/ч, прошел 50 км по течению реки и 8 км против течения, затратив на весь путь 3 часа. Какова скорость течения реки?
Решение
Пусть скорость течения реки х км/ч, тогда скорость катера по течению равна х+18 км/ч, а против течения реки будет 50х+8ч , а против течения будет 818-хч. Зная что на весь путь теплоход затратил 3 часа, составим и решим уравнение:
5018+8+818-х=3
50(18-х)х+18+8(18+х)х-18-3=0
50(18-х)+8(18-х)-3(18+х)(18-х)=0
900-50х+144-8х-976+3х2=0
58х+72+3х2=0
3х2-58х+72=0
D=b2-4ас=(-58)2-4×3×72=3364-864=2500
х1=58+25002×3=58+506=18
х1=58-25002×3=58-506=113(не подходит по смыслу)
Значит, скорость течение реки 18 км/ч
Ответ: 18 км/ч
Самостоятельная работа
1 вариант
Решить уравнение:
х23-х=2х3-хОдно из двух натуральных чисел на 7 меньше другого. Найдите эти числа, если их произведение равно 330.
вариант
Решить уравнение:
х2-1х+5=5-хх+5Найдите стороны прямоугольника, если их разность равна 14 дм, а диагональ прямоугольника-26 дм.
вариант
Решить уравнение:
у+3у-3=2у+3уПлощадь прямоугольного треугольника 180 см2. Найдите катеты треугольника, если их сумма равна 39 см
вариант
Решить уравнение:
х2+3хх-4=х2-хх-4Сумма кубов двух натуральных чисел равна 1547. Найди эти числа, если их сумма равна 17.
вариант
Решить уравнение:
2x2+7x-9=0
3x2=18
100x2-16=0
x2x2-9=12-xx2-9Периметр прямоугольника равен 20 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 24 см2.
В уравнении х2+рх-18 один из корней равен -9. Найдите другой корень и коэффициент р.
вариант
Решить уравнение:
3x2+13x-10=0
2x2-3=0
c) 16x2=49
d) 3x+4x2-16=x2x2-16Периметр прямоугольника равен 30 см. Найдите его стороны, если известно, что площадь прямоугольника равна 56 см2.
Один из корней уравнения x2+11x+q=0 равен -7. Найдите другой корень и свободный член q.
Вариант
Решить уравнение:
7x2-9x+2=0
5x2=12x
7x2-28=0
6x-2+5x=3
Периметр прямоугольника равен 26 см, а его площадь 36 см2. Найдите длины сторон прямоугольника.
В уравненииx2+рx-56=0 один из его корней равен -4. Найдите другой корень и коэффициент р.
вариант
Решить уравнение:
9x2-7x-2=0
4x2-x=0
5x2=45
8x-3-10x=2
Катер прошёл 15 км против течения и 6 км по течению, затратив на весь путь столько же времени, сколько ему понадобилось бы, если бы он шёл 22 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 2 км/ч.
Один из корней уравнения x2-7x+q=0 равен 13. Найдите другой корень этого уравнения и свободный членq.
Задания мониторинга по теме «Квадратные уравнения»
(Алгебра, 8 класс).
Левая сторона
І уровень 1б. × 3 зад. ІІ уровень 2б.×3 зад.
Найдите коэффициенты a,b иcквадратного уравнения
7-3х2+х=0
1;-3;-7;
-3;7;1;
7;-3;1;
-3;1;7.
В квадратном уравнении подчеркните одной чертой первый коэффициент, двумя чертами второй и тремя – свободный член по образцу
ax2+bx+c=0;
3x2+4x+1=0;
2x2+x+2=0;
3x2+x=0;
3x2-1=0;
6+7x2-x=0.
Реши уравнение:
x2+х-20=0
4;5;
4;-5;
-4;5;
-4;-5. Дискриминант какого из уравнения равен 49?
5x2+3x+2=0;
2x2-3x-5=0;
3x2-3x-5=0;
2x2-3x+5=0;
Укажи в квадратном уравнении его коэффициенты:
5,4x2-7x+2=0;
13x2+x-9=0;
6x2+24=0;
5x2=0;
4x2+x-3340=0.
Найди сумму корней уравнения:
2x2-х+7=0;
1;
-1;
0.5;
Другой ответ.
ІІІ уровень 3б.×3 зад. ІV уровень 4 б.×3 зад.
Какое из данных уравнений является квадратным?
x(x-1)=x2-2x;
2x2-3x+5=0;
8-9x2=0;
11x2=0;
3x2+2х=0.
В задании 1 укажи неполные квадратные уравнения и реши их.
Реши уравнения:
36y2-12y+1=0;
3t2-3t+1=0;
x2-9x-22=0.
Вычисли дискриминант квадратных уравнений и укажи число его корней:
2x2+3x+1=0;
2x2+x+2=0;
9x2+6x+1=0;
x2+5x-6=0.
Найдите подбором корни уравнения:
x2+11x-12=0;
x2-9x+20=0.
Замени данное уравнение равносильным ему квадратным уравнением и реши его:
15x2+17=15(x+1)2;
–x(x+7)=(x-2)(x+2);
4(x2-2)-x2+7=2x(2x).
Задания мониторинга по теме «Квадратные уравнения»
(Алгебра, 8 класс).
Правая сторона
І уровень 1б. × 3 зад. ІІ уровень 2б.×3 зад.
Найдите коэффициенты a, b и cквадратного уравнения
-х+9+3х2=0
-1;9;2;
-2;-1;9;
9;-1;2;
-2;9;1.
В квадратном уравнении подчеркните одной чертой первый коэффициент, двумя чертами второй и тремя – свободный член по образцу
ax2+bx+c=0;
4x2-5x-7=0;
x2+2-3x=0;
3x2+2x=0;
8-9x2=0;
17-x2-x=0.
Реши уравнение:
x2+2х-15=0
-5;3;
3;5;
-3;5;
-5;-3. Дискриминант какого из уравнения равен 49?
4x2-3x+1=0;
2x2-3x+2=0;
2x2+3x-2=0;
x2+3x+25=0;
Укажи в квадратном уравнении его коэффициенты:
5x2-9x+4=0;
48x2-x-9=0;
2.1x2+2x-23=0;
7x2-13=0;
-x2=0.
Найди сумму корней уравнения:
5x2-х+7=0;
-9;
Другой ответ;
1,8;
-1,8.
ІІІ уровень 3б.×3 зад. ІV уровень 4 б.×3 зад.
Какое из данных уравнений является квадратным?
4x2+x2+1=0;
x2-x+1=0;
9x2(x-2)(x+1)=0;
3x2-1=0;
-7x2=0.
В задании 1 укажи неполные квадратные уравнения и реши их.
Реши уравнения:
81p2-18p+1=0;
y2-12y+32=0;
15x2-13x+7=0.
Вычисли дискриминант квадратных уравнений и укажи число его корней:
-3x2+x+7=0;
x2+x-20=0;
2x2-x+7=0;
36x2-12x+1=0.
Найдите подбором корни уравнения:
x2+x-2=0;
x2-8x+12=0.
Замени данное уравнение равносильным ему квадратным уравнением и реши его:
(3x+4)2=15(x-1)2;
(x-2)(x+2)=7x-4;
x(x+7)+3(2-x2)=2x2=4.