«Вывод формулы корней квадратного уравнения»

Учитель математики:
Заиграева Н.М.
Урок по проблемно – исследовательской технологии по теме: «Вывод формулы корней квадратного уравнения»
Тип урока: изучение нового материала.
Цели урока:
Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов при решении квадратных уравнений.
Развивать навыки самоконтроля;
Сформировать умение решать квадратные уравнения, методом разложения на множители и методом выделения полного квадрата.
Предполагается, что к началу систематического изучения темы учащиеся уже имеют представление о квадратном уравнении, о графическом методе их решения, причем различными способами (например, отыскание точек пересечения параболы у=ах13 EMBED Equation.3 1415+ Ьх + с с осью х; отыскание точек пересечения параболы у= ах13 EMBED Equation.3 1415и прямой у=Ьх- с; отыскание точек пересечения гиперболы у=с/х и прямой у= - ах - b). Графический метод решения квадратных уравнений в простейших случаях применялся уже в 7-м классе, в более сложных случаях в теме «Квадратичная функция» в 8-м классе.
(Целевые установки, выявление проблем, связанных с предложенной темой. Работа в парах. Среди сформулированных проблем могут быть и такие, которые ребята уже могут разрешить).
Ход урока
После того, как написана на доске тема, можно попросить пары сформулировать и записать в тетрадях все проблемы, которые возникают у них по этой теме. Например: -Сколько корней имеет уравнение ах13 EMBED Equation.3 1415 = 0 и чему они равны? -Как решить уравнение вида ах13 EMBED Equation.3 1415 + Ьх = 0? -Всегда ли имеет решение уравнение ах13 EMBED Equation.3 1415 + с = 0? -Существует ли формула, по которой можно найти корни уравнения ах13 EMBED Equation.3 1415 + Ьх + с= 0?
Всегда ли квадратное уравнение имеет корни? Каково наибольшее число корней квадратного уравнения? При каких условиях квадратное уравнение имеет единственный корень?
(Слушаем четверки. На некоторые вопросы учащиеся могут дать обоснованный ответ, пользуясь уже имеющимися знаниями)
Затем пары могут обсудить, сопоставить то, что они зафиксировали в тетрадях, с рассуждениями другой пары. Представитель четверки сообщает классу проблемы, которые надо решить при изучении этой темы. Учитель может все, что говорят ребята, кратко записывать на доске. Проблемы располагаются в удобном для изучения порядке, и начинается поиск их решения. Каждой четверке дается право высказаться по тем проблемам, решение которых она нашла.
(Поиск решений)
1. Учащиеся предлагают решение уравнения ах13 EMBED Equation.3 1415= 0, х13 EMBED Equation.3 1415 = 0, х = 0 и приводят примеры для различных а.
Решения (выводы учащихся).
2. Для решения уравнения ах13 EMBED Equation.3 1415 + Ьх=0 предлагают разложить левую часть на множители: х(ах + b) = 0 и каждый множитель приравнять нулю. Делают вывод, что данное уравнение всегда имеет два корня: х = 0 и х= - Ь/а. Далее приводят примеры решения таких уравнений при различных а и Ь. 3. Для решения уравнения ах13 EMBED Equation.3 1415 + с=0 в некоторых группах ребята могут прийти к выводу, что если левую часть уравнения можно разложить на множители, т.е. если ах13 EMBED Equation.3 1415 + с представляет собой разность квадратов, то получается два корня. Например, уравнения 9х13 EMBED Equation.3 1415- 25= 0, х13 EMBED Equation.3 1415- 0,49= 0 имеют по два корня.
4. В других четверках ребята замечают, что если с перенести в правую часть уравнения и все разделить на а, то получается уравнение х13 EMBED Equation.3 1415 = - с/а. Дальнейшее решение зависит от знака правой части. Если - с/а > 0, то можно получить два корня. Например, уравнение х13 EMBED Equation.3 1415= 36 имеет два корня, а уравнение х13 EMBED Equation.3 1415 = -1 не имеет действительных корней. (Сформулировать определение нового понятия).
Далее даю определение неполных квадратных уравнений и все записывают их решение в общем виде. Примеры уравнений и их решения учащиеся могут привести самостоятельно. Особое внимание уделяется решению полных квадратных уравнений.
(Актуализация знаний и опыта.)
Сначала можно с ребятами вспомнить решение частных случаев квадратных уравнений методом разложения на множители, графически и методом выделения полного квадрата. Например, 1)х13 EMBED Equation.3 1415-8х+15=О 2)х13 EMBED Equation.3 1415-8х+15=О х13 EMBED Equation.3 1415-Зх-5х+ 15=0 х13 EMBED Equation.3 1415-2*4Х +Iб-1 =0 х(х-3) - 5(х-3) = 0 (х - 4)13 EMBED Equation.3 1415 = 1 (х- 3)(х - 5)=0 х- 4 = 1 или х-4 = -1 х=3 или х=5 х=3 или х = 5(Проблемная ситуация)
Разумно поставить вопрос: можно ли этими способами решить любое квадратное уравнение? Для ответа на этот вопрос надо выявить недостатки указанных методов.
(Столкновение учащихся с затруднением)
Метод разложения на множители применим не всегда. Например, уравнение х13 EMBED Equation.3 1415+х-3 = 0 методом разложения на множители не решить, а графический метод в большинстве случаев может дать представление лишь о приближенных значениях корней (для того же уравнения). Таким образом, учащиеся стоят перед необходимостью найти алгоритм решения квадратных уравнений, не зависящий от эвристик метода разложения на множители и от ненадежности, приблизительности графического метода.
(Выдвижение гипотезы)
С другой стороны, все понимают, что выделить полный квадрат можно в любом трехчлене, хотя зачастую это сделать нелегко.
(Помочь реализовать выдвинутое предложение)
Поскольку вывод формулы корней достаточно сложный для самих ребят, то надо прийти на помощь и записать этот вывод на доске, ввести понятие дискриминанта, обсудить в диалоге с классом зависимость количества корней от знака дискриминанта. После того, как формулы корней выведены, рассматривается их применение в решении различных квадратных уравнений. Например: 2х13 EMBED Equation.3 1415+Зх + 1=0, 25х13 EMBED Equation.3 1415-10х+ 1=0, х13 EMBED Equation.3 1415-2х+5=0.
(Применение выводов на практике. Можно проверить усвоение новых формул каждым учеником)
В конце урока учащимся предлагается выполнить работу на закрепление полученных формул. Вариант 1 Вариант 2 Дано уравнение 2х13 EMBED Equation.3 1415-9х + 10= 0; 5х13 EMBED Equation.3 1415-8х + 3=0. 1. Укажите старший коэффициент, второй коэффициент и свободный член уравнения. 2. Определите количество корней уравнения. 3. Найдите корни.
(Подведение итога урока.)
Итог урока. Формула, которую мы вывели на этом уроке, не случайно воспринята вами как «подарок судьбы». С помощью нее можно решить любое квадратное уравнение, о значимости которых вы сможете убедиться в дальнейшем курсе алгебры. (Учащиеся записывают домашнее задание)

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native