Конспект урока по математике на тему Показательные и логарифмические уравнения и неравенства

Урок-игра в 10 классе по теме:
«Показательные и логарифмические
уравнения и неравенства»
Тип урока: итоговое обобщение и систематизация знаний
Цели урока: обобщение знаний по теме «Показательные и логарифмические уравнения и неравенства»; применение знаний в игровой ситуации; умение ориентироваться в ранее изученном материале, переключаться с одного действия на другое; развитие познавательной активности; воспитание взаимоуважения, взаимоподдержки.
Правила урока-игры.
Учитель заранее определяет литературу, с которой надо познакомиться ученикам. Например, те, которые захотят играть на «красной» дорожке (стол или ряд с более сложными заданиями), должны знать материал, с учетом которого составлены некоторые вопросы.
Если участник игры не может ответить на тот или иной вопрос, право ответа предоставляется зрителям. За каждый правильный ответ вручается «звезда». По количеству звезд в конце урока преподаватель выставляет оценки. Количество подобранных вопросов и заданий дает возможность «поиграть трем тройкам».
Ведущий проводит жеребьевку для участников и устанавливает, кто на какой дорожке будет работать. Зеленая дорожка допускает две ошибки, желтая — одну, красная — ни одной. Заранее нужно заготовить «звезды» в соответствии с цветом дорожек и количеством вопросов. Для зеленой дорожки предусмотрено 4 вопроса, для желтой — 3, для красной — 2 вопроса для каждого игрока.Участники игры:
Ведущий: преподаватель математики.
Игроки: обучающиеся.
Вопросы и задания для зелёной дорожки:
1 . Сделать анализ решения простейшего показательного уравнения.
Ответ: Уравнение вида ах = b — простейшее показательное уравнение. Пусть основание а > 0 и а ≠1. Так как функция у = ах строго монотонна, то каждое свое значение она принимает ровно один раз. Это означает, что уравнение ах = b при b > 0 имеет одно решение, которое по определению логарифма имеет вид: х = 1оgаb. Если b < 0, то уравнение ах = b корней не имеет, так как ах > 0. Если b записано в виде ас, т. е. ах = ас, то оно имеет один корень х = с.
2. Сформулируйте общий результат решения простейшего показательного уравнения.
Ответ: Пусть а > 0 и а ≠ 1 . Уравнение а f(х) = а g(х) равносильно уравнению f(х) = g(х). Обратно: если f(х) = g(х), то аf(х)=аg(х).
3. Решите уравнение .
Ответ: Решение: , по свойству а f(х) = а g(х), f(х) = g(х) имеем х2 + х - 3 = З, х2 - 2х - 3 = 0, х1 = -1, х2= 3. Проверка:
1) 21-1-3 = 23, 23 = 23.
2) 29+3-3 = 29 , 29 = 29.
Ответ: х1 = - 1 ; х2 = 3.
4. Решите уравнение: 3 ∙ 4х = 2 ∙ З2х.
Ответ: Решение: 3 ∙ 4х = 2 ∙ З2х . Ответ: х=.
Сделать анализ решения простейшего логарифмического уравнения.
Ответ: Уравнение вида logax=b называется простейшим логарифмическим уравнением. Оно имеет единственное решение x=ab при любом b.
Сформулируйте общий результат решения простейшего логарифмического уравнения.
Ответ: Уравнение logaf(x)=logag(x) равносильно уравнению f(x)=g(x), при ограничениях f(x)>0, g(x)>0.
7. Решите уравнение log2(x-1)= log2(5-х).
Ответ: Решение: х-1=5-х; 2х=6; х=3; х-1>0, 5-x>0, следовательно х=3.
8.Решите уравнение: lg (x2-x-3) = lg x.
Ответ: Решение: х2-х-3=х, х>0; х1=3, х2=-1, х>0. Ответ: х=3.
9.Сделать анализ решения простейшего показательного неравенства. Ответ: Неравенства вида ax>b или ax<b ( ax ≥ b, ax ≤ b ) называются простейшими показательными неравенствами. Рассмотрим два примера из возможных вариантов.
Пусть, а > 1 и b > 0. Решением неравенства аx > b является промежуток [lоgab; ∞), т. е. все числа х ≥ lоgа b Пусть а > 1 и b ≤ 0. Решением неравенства aх ≥ b является множествовсех действительных чисел R.
10.Решите неравенство
Ответ: Решение:; Ответ: х≤-2.
11. Решите неравенство 5х < 3 ∙ 2х
Ответ: Решение: 5х < 3 ∙ 2х равносильно х·lg5<lg3+x·lg2; х·(lg5-lg2)<lg3; Ответ: х < (в решении использовалось то, что lg5-lg2>0.)

12.Решите неравенство: 5х ≤ -5
Ответ: Решений нет, так как 5x > 0.
Вопросы и задания для желтой дорожки:
1. Решите неравенство:.
Ответ: Решение: ;Ответ: хє(1; 3].2.Сформулируйте два правила, которые нужно знать при решении показательных неравенств.
Ответ: Можно сказать, что неравенство типа аf(х) > b мы решаем логарифмированием. При логарифмировании неравенства надо помнить:
в обеих частях неравенства должны стоять положительные числа;
при логарифмировании по основанию а > 1 знак неравенства сохраняется, если же 0 < а < 1, то знак неравенства меняется на противоположный.
3.Решите неравенство:
Ответ: Решение: сначала учтем условия х2-1 > 0 и х+5>0 , т.е. х є (-5; -1) U (1; ∞). Потенцируем логарифмическое неравенство, получим: х2 - 1 ≤ х + 5 ; х2 - х - 6 ≤ 0; - 2 ≤ х ≤ 3. Соединяя решения вместе, получим ответ: -2 ≤ х < 1 и 1 < х ≤ 3. Ответ: х є [-2;-1) U (1; 3].
4.Объясните суть основного приема введения новой переменной при решении показательных и логарифмических уравнений.
Ответ: Выражение показательных функций друг через друга — это введение новой неизвестной. Рассмотрим выражения: у1 = 2х, у2 = 22х, у3 = 2-х, у4 = . Все они могут быть алгебраически выражены друг через друга. Например, у2 = у12, у3 = , у4 =и т.д.
5.Какое условие необходимо выполнять при решении показательных уравнений и неравенств?
Ответ: Если в уравнении и неравенстве встречается несколько показательных функций, то надо всех их выразить через одну. Обычно после этого показательное уравнение или неравенство превращается в алгебраическое.
6. Решите уравнение: 3 ∙ 4х – 2х+3 + 8 = 22х+1 - .
Ответ: Решение: пусть 2х = у. Тогда 4х = у2, 2х + 3 = 8у, 22х+1 = 2у2, . Уравнение можно записать так: 3у2 - 8у + 8 = 2у2 - 2у; у2 - 6у + 8 = 0, у1=4,у2= 2. Возвращаясь к неизвестной х, получим 2х = 4, х=2; 2х = 2, х= 1. Ответ: х1 = 2, х2 = 1.
7. Решите неравенство: 2х - .
Ответ: Решение: делаем замену 2х = у. Неравенство перепишем таким образом: у - (мы умножили неравенство на у, что можно, так как у = 2х > 0 <=> -1 < у < 2). Так как 2х > -1 верно при всех х, то остается решить неравенство 2х < 2 , х < 1. Ответ: х < 1 или
х є (- ∞; 1).
8. Решите уравнение: .
Ответ: Решение: Делаем замену lg х = у. Получаем уравнение относительно у:

Возвращаясь к неизвестной х, получим 1gх = 2, х1 = 100; lgх = 3, х2 = 1000.
Ответ: х1 = 100,х2= 1000.
Какое правило необходимо помнить при решении логарифмического уравнения или неравенства?
Ответ: Если в уравнении или неравенстве встречается несколько логарифмических функций, то надо (если не удается избавиться от логарифмов потенцированием) выразить их через одну и свести логарифмическое уравнение или неравенство к алгебраическому.
Вопросы и задания для красной дорожки:
1. Как используются свойства монотонности показательной функции при решении показательных уравнений?
Ответ: Монотонность функции часто позволяет определить число корней уравнения, а иногда и найти их значение.
Решите уравнение: 22х = 5 - х, используя свойство монотонности показательной функции.
Ответ: Решение: В левой части уравнения имеем возрастающую функцию, а в правой - убывающую. Следовательно, уравнение не может иметь более одного корня. Один корень можно угадать: х = 1. Это число является окончательным ответом.
Решите уравнение: 4х — 3х = 1 , используя свойство монотонности показательной функции.
Ответ: Решение: 4х — 3х = 1. Одно решение х = 1 легко найти подбором. Докажем, что других корней нет. Перепишем уравнение так: 1 = . В правой части последнего уравнения сумма убывающих функций, т. е. значение у = 1 эта сумма может принять только один раз. Ответ: х= 1.
4. Вы знаете одно решение уравнения. В каких случаях вы можете доказать, что других решений нет?
Ответ: Используя свойство монотонности функций можно:
изобразить графики схематически и наглядно убедиться в правильности предположения;
представить, если возможно, левую или правую части уравнения в виде суммы (разности) убывающих функций и сделать вывод.
5.Решите уравнение: .
Ответ: Решение: х1 = 2, х2 = 6. Учитывая неравенства х - 3>0 и х- 5>0, получим х = 6.
6.Решите неравенство: .
Ответ: Решение: Решением этого неравенства является множество [2; 6). Учитывая неравенства х-3>0, х-5>0 получим х є (5; 6]. Ответ: х є (5; 6].В конце урока подводим итоги и выставляем оценки.