Задачи с параметрами по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.

МАОУ ЛИЦЕЙ №44 г. Липецка

Учитель математики: Скорикова Людмила Алексеевна.
Уроки математики в 11 классе
(социально-экономический профиль)
Задачи с параметрами
по теме: Иррациональные уравнения и неравенства.
Цель:
Углубить знания учащихся по теме иррациональные уравнения и неравенства.
Показать как одна из линий курса математики средней школы “Уравнения и неравенства с параметрами” реализуются в содержании ЕГЭ.
Развивать практические навыки в решении иррациональных неравенств с параметрами.
Развивать логическое мышление, математическую речь, навыки самостоятельной работы, самоконтроля.
Воспитывать познавательный интерес, творческие способности, ответственное отношение. Повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ по математике.

Пояснительная записка.
Задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность. Большинство учащихся либо не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкое решение без всякой логической стройности. Многие же задачи можно решать различными способами.Решению задач с параметрами в школе уделяется мало внимания. Устранить этот пробел можно на внеклассных занятиях.
Предлагаю занятие по теме: «Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами», которое расширит и углубит базовую основу общеобразовательной программы по математике и поможет повысить уровень подготовленности учащихся к сдаче ЕГЭ.
Универсальных указаний по решению задач с параметрами дать нельзя. При решении задач с параметрами приходится рассматривать различные случаи, в зависимости от значений параметров, и методы решения задач различны. Но знание некоторых правил и алгоритмов решения необходимо.
Взяты эти задания из различных источников. Большинство из этих заданий предлагалось на вступительных экзаменах в ВУЗах.
Используются аналитические и графические способы решения уравнений и неравенств.
В конце рассматриваемой темы даются задания для самостоятельной работы.
Данный материал может быть полезным учителям математики, абитуриентам, школьникам.
Иррациональные уравнения и неравенства.
При решении иррациональных уравнений с параметрами пользуются общими формулами. Пусть f и q – некоторые функции, , тогда:
1). , f ≥ 0; q ≥ 0.
2). , f ≥ 0; q > 0.
3). , q ≥ 0.
4). , , q ≠ 0.
5). , fq ≥0.
Применяя эти формулы нужно иметь в виду, что ОДЗ левой и правой частей каждой из них могут быть различными. Для каждой формулы ОДЗ правой части может быть шире ОДЗ левой.
Отсюда следует, что преобразования уравнения с формальным использованием формул «слева-направо» приводят к уравнению, являющемуся следствием исходного. В этом случае могут появиться посторонние корни уравнения.
Преобразование уравнений с формальным использованием данных формул «справа-налево» недопустимы, т.к. возможно сужение ОДЗ исходного уравнения, а следовательно, и потеря корней.
Уравнение вида, равносильно системе:

Пример 1.
Решить уравнение .
Решение.
Заданное уравнение равносильно системе:
=> =>
Находим значения а, при которых
Ответ:
Пример 2.
Решить уравнение .
Решение.
Заданное уравнение равносильно системе:
=>
,
х1, х2 являются действительными числами при а ≤ 9/16. При значениях а > 9/16 решений нет.
Удовлетворим неравенства х ≥ а и х ≥ ½.
а) ≥ ½

≥ а

Если а ≤ 9/16, то 8а-5<0 и неравенство справедливо при всех допустимых а.
б).
а ≥ ½ (а ≤ 9/16)
Следовательно, х2 является решением исходного уравнения при ½ ≤ а ≤ 9/16
Ответ:, если а < ½;, если ½ ≤ а ≤ 9/16; нет решений, если а>9/16.
Пример 3.
Решить уравнение
Решение.
ОДЗ: х – а ≥ 0, х ≥ а
х1 = 1, х2 = а
Если а = 1, то х1 = х1 = 1.
Если а < 1, то х1 = 1 удовлетворяет условию ОДЗ х ≥ а, т.е. является корнем уравнения.
Если а > 1, то х1 = 1 не удовлетворяет условию х ≥ а, т.е. является посторонним корнем.
Ответ: 1) если а < 1; то х1 = 1; х2 = а; 2) если а ≥ 1, то х = а.
Пример 4.
При каких а уравнение имеет один корень?
Решение.
х1 = 4, х2 = а
Корень будет единственным, если а=4; если одно из двух значений (4 и а) является посторонним корнем, а именно х = а. Это произойдет при условии, что х = а не входит в область определения уравнения х ≥ 0, т.е. при а < 0.
Ответ: а = 4 или а < 0.
Пример 5.
Найти минимальное целое положительное значение параметра а, при котором уравнение имеет различные положительные корни.
Решение.
ОДЗ:
ах -8 ≥ 0, х ≥ 8/а, х > 0, а > 0

D =
а >16 (а < -16 не входит в ОДЗ)
, . А = 17 – минимальное целое число.
Ответ: 17.
Пример 6.
Найти все значения параметра а, при которых корни уравненияпринадлежат отрезку [2;17].
Решение.
Пусть
, t ≥ 0, х - 1 = t2
,
,
|t - 2| + |t - 3| = а
1) => => =>
2) => =>
3) => => =>
Ответ: .
Пример 7.
Решить уравнение.
Решение.
х ≥ 2
(х + 1)(х - 2) = а; х2 – х – 2 = а, х2 – х – 2 – а = 0.
, .
Множеству х ≥ 2 принадлежит только корень х2.
Ответ: при а ≥ 0 .
Пример 8.
Решить уравнение.
Решение.
. Так как , то m > 0. Пусть у = , тогда х = у2 + 3, и исходное уравнение равносильно системе уравнений:
т.е. <=> <=> ,
, , .
Ответ: при m < 0, m>3 решений нет, при .
Пример 9.
Решить уравнение.
Решение.
Пусть , тогда ,
, , а т.к. t > 0, то ,
, , . ( а > ¼)
х = .
Ответ: х = при а > ¼.
Пример 10.
Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет решение.
Решение.
Если изобразить графики функций и , то очевидно, что они пересекаются (и исходное уравнение имеет решение) при .
1
у
х -а а 1 -а 10=-а


3

Пример 11.
При каких значениях а решением неравенства является промежуток [2;18)?
Решение.
ОДЗ: 3 - а > 0, а < 3.
х – 2 < (3 - а)2,
х < (3 - а)2 +2,
х < 11 – 6а +а2, т.к. , то

а = -1.
а = 7 – не подходит в ОДЗ.
Ответ: а = -1.
Пример 12.
Решить неравенство , где а – параметр.
Решение.
При любом значении а, если правая часть х + а – 1 < 0, т.е. х < 1 – а, заданное неравенство справедливо.
При х ≥ 1 – а равносильная система имеет вид : => (*)
Рассмотрим возможные случаи:
Если а > 1, то 1 – а ≤ х < . Объединяя с множеством х < 1 – а, получим х < .
Если а = 1, то х ≥ 1 – решение системы (*). Объединяя с множеством х< а – 1 (а = 1), находим: х – любое число.
Если а < 1, то решение системы (*) х ≥ 1 – а. Присовокупив х < 1 – а, имеем: х – любое число.
Ответ: , если а > 1; , если а ≤ 1.
Пример 13.
Решить уравнение
Решение.
ОДЗ:

Из данного уравнения следует:
1 – х2 = х2 + 2ах + а2,
2х2 + 2ах + а2 - 1 = 0.
D/4 = 2 – а2. D > 0 при |a| <.Затем если изобразить графики функций и , то видно как меняется количество решений в зависимости от значений а.
у
х-1
1
-1

у = а + х

Ответ: при нет решений; прии одно решение; при два решения.
Задание на дом:
1). Решить уравнение .
Ответ: .
2). Найти левый и правый края области значений параметра а, в которой уравнение имеет различные положительные корни.
Решение.
ОДЗ:
, х > 0, а ≥ 0.
7х – а = ах2,
ах2 – 7х + а = 0,
D = 49 – 4a2 > 0
а = -3, 5 не входит в ОДЗ.
Ответ: 0 и 3,5.
3). Решить уравнение .
Решение.
Данное уравнение равносильно системе:
=>
При а = 2 второе уравнение имеет вид , т.е. .
При а ≠ 2 .
Выясним, при каких значениях а найденное значение х удовлетворяет неравенству х ≥ -1.
.
Ответ: при а ≤ 1/3 и а > 2 ; при 1/3 < а ≤ 2 уравнение не имеет решений.
4). Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения принадлежит отрезку [-4;44].
Ответ: .
5). При всех а решить неравенство .
Решение.
ОДЗ:
а). Если а ≤ 0, то данное неравенство справедливо при всех .
б). Если а > 0, то данное неравенство равносильно системе неравенств.
=> .
Ответ: при; при.