Конспект по математике на тему Приемы быстрого счета

Код 108010
Математика
Приемы быстрого счета
Муниципальное бюджетное образовательное учреждение
Бискамжинская средняя общеобразовательная школа
Математика
Приемы быстрого счета
Автор:
Щекочихина Дарья, 8 класс
Руководитель:
Романова Татьяна Павловна,
учитель математики.
Бискамжа, 2014
Содержание
Введение
Частные случаи умножения и деления
Умножение на 11 и 111
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5
Умножение чисел, заключенных между 10 и 20
Умножение двузначных чисел, когда оба числа начинаются и оканчиваются цифрой 5 или одно число состоит из одних пятерок можно выполнять по формуле:
Способы умножения для тех, кто не знает таблицу умножения.
Русский способ умножения
Таблица умножения на пальчиках
Диагональное умножение
Заключение
Литература
3
Мы живем в быстро меняющемся мире. Чтобы идти в ногу со временем, нужно обладать определенным набором знаний, умений, навыков, которые развивают в школе. К ним я отношу вычислительные навыки. Может возникнуть вопрос: «Зачем считать устно, если есть микрокалькулятор?» Но МК не может быть под рукой все время, да и умение считать на нем требует тоже определенных знаний, т.е. хорошо, когда своя голова всегда находится при себе.
Особый разговор об изучении и запоминании таблицы умножения. Учить ее начинают со 2 класса, но даже в 7, 8 ,9 классах есть учащиеся, которые не знают всю таблицу умножения. А незнание таблицы умножения приводит к плохому усвоению дальнейшего материала по математике, к неумению выполнить правильно даже несложные вычисления. Пользование МК на уроках по данному предмету запрещается, т.к. математику сдают в обязательном порядке в выпускных классах, где нельзя МК даже приносить в место сдачи экзамена.
Обозначенную проблему можно разрешить, если использовать различные способы и приемы умножения.
За многие годы развития общества математики придумали много способов умножения, которые довольно просто дают результат.
Цель: изучить различные приемы и правила для упрощения вычислений.
Задачи:
1.найти и разобрать различные способы умножения чисел, научиться демонстрировать некоторые из этих способов;
2. научить пользоваться данными способами учащихся;
3.Научиться работать с информацией: искать, отбирать, оформлять найденный материал.
Актуальность: Полученные знания позволят заинтересовать учащихся математикой (изученный материал применим и для учеников начальной школы, и для старшеклассников), позволят мне избавиться от долгих и скучных вычислений при решении задач, а также помогут успешно сдать на следующий год ГИА по математике.
4
Умножение и деление на 4.
Чтобы число умножить на 4, его дважды удваивают.
Например: 213·4 = (213·2) · 2 = 426· 2 = 852
Чтобы число разделить на 4, его дважды делят на 2.
Например: 124:4 = (124:2) :2 = 62:2 = 31
Умножение и деление на 5,50,500,…
Чтобы число умножить на 5, 50, 500…нужно умножить его на 10, 100, 1000, … и разделить на 2.
Например: 138·5 = (138·10) : 2 = 1380 :2 = 690
Чтобы разделить число на 5, 50,500, … нужно разделить его на 10,100, 1000,…и умножить на 2.
Например: 10800 : 50 = 10800:100·2 =216
Умножение на 25, 250,2500,…
Чтобы число умножить на 25, 250, 2500, … нужно умножить его 100,1000,10000,… и полученный результат разделить на 4.
(На 4 делятся - те числа, у которых две последние цифры числа выражают число, делящееся на 4)
Например: 124 25 = 124 : 4 100 = 3100
1716 25 = 1716 : 4 100 = 42900
1716 25 = 1716 : 4 100 = 42900
Умножение на 125, 1250, 12500,…
Чтобы число умножить на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000. ( На 8 делятся те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящаяся на 8).
Например: 32 125 = 32 : 8 1000 = 4000
3168 125 = 3168 : 8 1000 = 396 000
Умножение на 1,5
Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.
Например: 24·1,5 = 24 + 12 = 36
129·1,5 = 129 + 64,5 = 193,5
Умножение на 9
Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число.
Например: 249·9 = 2490 – 249 = 2169
Умножение на 11
Чтобы умножить число на 11, к нему приписывают 0
и прибавляют исходное число.
Например:
47·11 = 470 + 47 = 517; 241·11 = 2410 + 241 = 2651
Умножение на 11
Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре
5
прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.
94 11 = 9 ( 9 + 4 ) 4 = 9 (13 ) 4 = (9 +1) 34 = 1034
73 11 = 7 ( 7 + 3 ) 3 = 7 ( 10 ) 3 = ( 7 + 1) 03 = 803
Умножение двухзначного числа на 111
Умножим 42 на 111.
Мысленно раздвигаем цифры первого сомножителя 42 (4…2), предварительно найдя сумму его цифр: 4+2=6, и вставляем полученную сумму, повторив эту операцию дважды:
4…2=4662,
42 · 111=4662
36x111= 3996; 72x111=7992
35x111=3885; 61x111=6771
Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5
Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25
652 = (6·7)25= 4225
Например: 952 =9025; 1252 = 15625
Умножение чисел, заключенных между 10 и 20
можно выполнять по формуле:
АС·ВК = (АС + К) ·10 + С·К
Например:
18·16 = (18 + 6) ·10 + 8·6 = 240 + 48 = 284
Умножение двузначных чисел, когда оба числа начинаются и оканчиваются цифрой 5 или одно число состоит из одних пятерок можно выполнять по формуле:
(АС) (ВЕ) = (А В + полусумма не пятерок) 100 + С Е
Пример:
52 · 57 = (25 +(2+7):2) · 100+14= (25 +4,5) · 100 +14 =2950 +14 =2964;
65 · 35 = (18+(6+3):2) · 100+25=(18+4,5) ·100+25=2250+25=2275
55 · 87=(40+(8+7):2) · 100+35=(40+7,5) · 100+35=4750+35=4785
Способы умножения для тех, кто не знает таблицу умножения.
Графический способ умножения.
Например, 2·3 = 6. Для этого рисуют 3 вертикальные и 2 горизонтальные линии так, чтобы они пересекались. Количество точек пересечения – результат.
Умножим: 12х321
Считаем точки пересечения прямых, при этом двигаемся справа налево (по часовой стрелке): 2,5,8,3. Число – результат будем
собирать слева направо (против часовой стрелки) и получим результат 3852
6

Умножим 24х34
В этом примере есть нюанс: при подсчете точек в первой части получилось 16. Единицу отправляем, т.е. прибавляем к точкам второй части (20 + 1)

Плюсы данного способа – наглядность. Минусы – при устном счете каждый раз выполнять рисунок – это потеря времени. Вывод: пользоваться можно, со временем таблица запомнится через эту наглядность.
Русский способ умножения:
Способ этот был в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа и таблица умножения в этом деле без надобности.
7
Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этом одновременно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и есть результат (пример1). Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не меняется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.
1 пример: 16·29 = 469
2 пример: 21· 12 = 252
3 пример: 6·215 = 1290
16· 29 = 469 21· 12 = 252 6· 215 = 1290
8 58
4 116
2 232
1 464
3 430
1 860
10 24
5 48
2 96
1 192

192 + 48 + 12 = 252 430 + 860 = 1290
Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам нечетное число? В этом случае от нечетного числа откидываем единицу и делим остаток пополам, при этом к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столба, которые стоят против нечетных чисел левого столбца – сумма и будет искомым произведением (рисунок 2 и 3). Иными словами, все строки с четными левыми числами зачеркиваем, а затем суммируем не зачеркнутые числа правого столбца.
Для рисунка 2: 192 + 48 + 12 = 252.
Правильность приема станет ясна, если принять во внимание, что:
5×48 = (4 +1) × 48 =4×48 +48;
21× 12 = (20 +1) ×12 = 20×12 + 12.
Ясно, что числа 48, 12, утраченные при вычеркивании, необходимо прибавить к результату последнего умножения.
Таблица умножения на пальчиках
Если до 5 таблицу умножения можно еще быстро заучить, то умножение на 6, 7, 8, 9 считается камнем преткновения для многих.
Поэтому предложенный способ помогает быстро освоить таблицу умножения на данные числа.
8

Способ умножения на 9.
Положить все 10 пальцев веером перед собой ладошками вниз и мысленно пронумеруем их слева направо от 1 до 10. Чтобы выполнить умножение, допустим 9×6. Загибаем 6-й слева палец. Слева от этого пальца будет 5 пальцев, это- число десятков, а справа от него будет 4 пальца – это число единиц. Итак: 9×6 =54
Можно вместо 10 пальцев использовать 10 клеток в тетради:
9×8=72 , найти 8 клетку (можно ее зачеркнуть), посмотреть слева от 8 клетки- 7 клеток (7 десятков), справа- 2 (единицы), т.е. получаем 72.
Способ умножения на 8.
Умножим например, 8 на 4. загибаем 4 палец, и за ним 5 палец (4 +1).Слева осталось 3 не загнутых пальца, значит надо загнуть еще 3 пальца после пальца с номером 5(это будут пальцы с номерами 6, 7 и 8). Осталось 3 пальца не загнуто слева (3 десятка) и 2 пальца справа (2 единицы). Получилось 32.
Плюсы – очень понравился этот способ, жаль, что в свое время не знала о нем. Минусов нет.
Вывод: применять можно всегда и очень успешно.
9
Диагональное умножение.
Умножим 47×28. Чертим таблицу 2х2, проводим диагонали во всех клетках. Подписываем над таблицей число 47 поразрядно, справа около таблицы пишем поразрядно число 28. Перемножаем цифры строки и столбца и записываем результат в соответствующую клетку таблицы по разные стороны относительно диагонали: над диагональю пишем разряд десятков а, а под диагональю – единиц. В данном примере получилось 4 диагонали. Складываем числа по каждой диагонали, начиная с нижней правой, в направлении к верхней левой, и пишем результат под диагональю. Если в результате сложения чисел одной диагонали получилось двузначное число, то число десятков прибавляем к результату следующей диагонали. А результат считываем в обратном направлении. В нашем случае результатом будет число 1316.
4 7
1 8 1 4 2
13 3
2 5
6 8
11 6 Результат: 1316
Умножим 1229x374. В данном случае таблица имеет размеры 4х3, а алгоритм вычисления тот же.
1 2 2 9 3 6 6 2
7 3
4 1
7 1
4 1
4 6
3 7
15 1
4 2
8 1
8 3
6 4
19 26 14 6 Результат: 459646
10
Заключение.
Работая над этой темой, я узнала, что существует много различных, способов забавных и интересных способов умножения (более 30). ). Некоторыми в различных странах пользуются до сих пор. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.
Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел. В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно!
Я думаю, что данная работа может быть использована для занятий на кружках, дополнительных занятиях во внеурочное время, как дополнительный материал. Думаю, что это привлечет внимание и интерес учащихся к математике.
11
Литература
1.Перельман Я. И. Быстрый счёт. Приемы быстрого счета
2. Л.Г. Петерсон – тетрадь по математике 5 класс
3. Шарыгин И.Ф. Математика. Задачи на смекалку. 2000г.
4. Шевкин А.В.Школьная олимпиада по математике. 2003г.
5. Ресурсы Интернета.
Размещено на
12