Контрольно-измерительные материалы по Математика: алгебра и начала математического анализа геометрия
Министерство образования и науки Республики Бурятия
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Байкальский колледж туризма и сервиса»
КОМПЛЕКТ
контрольно-измерительных материалов
по учебной дисциплине
«Математика: алгебра и начала математического
анализа; геометрия»
основной профессиональной образовательной программы (ОПОП)
по специальности
38.02.05 Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров
Улан-Удэ, 201_
Рассмотрен и одобрен на заседании ДЦК ЕН
____________________________________
Протокол №____ «__»________20___г.
Председатель ДЦК ЕН ____________/_____________/
Разработчик(и): Е.О. Истомина, преподаватель общеобразовательной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» ГБПОУ «БКТиС» ___________
Содержание
Общие положения ……...…………………………………….…......... 3
Критерии оценивания ……………………………………….……….. 4
Комплект примерных материалов для оценки освоенных умений и усвоенных знаний по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» …………………….…………... 8
Общие положения
Контрольно – измерительные материалы (КИМ) ориентированы для контроля и оценки образовательных достижений, обучающихся по специальности 38.02.05 Товароведение и экспертиза качества потребительских товаров, освоивших образовательную программу учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия».
КИМ разработан на основе:
Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования (СПО) по данной специальности;
Положения о разработке комплекта контрольно-измерительных материалов ГБОУ СПО «БКТиС».
КИМ включает в себя контрольные материалы для оценивания обучающихся по текущим результатам работы, куда входят устные и письменные ответы на вопросы, выполнение самостоятельных контрольных работ, результаты тестирования и т.д.
В результате освоения дисциплины "Математика" обучающийся должен уметь:
выполнять алгебраические преобразования рациональных выражений, применять их для решения учебных математических задач и задач, возникающих в смежных учебных предметах;
решать линейные и квадратные уравнения и неравенства. А так же приводимые к ним уравнения, неравенства и системы; применять графические представления для решения и исследования уравнений, неравенств, систем; применять полученные умения для решения задач из математики, смежных предметов, практике;
овладеть системой функциональных понятий, функциональным языком и символикой, умение строить графики функций, описывать их свойства, использовать функционально-графические представления для описания и анализа математических задач и реальных зависимостей;
овладеть основными способами представления и анализа статистических данных; уметь решать задачи на нахождение частоты и вероятности случайных событий;
применять изученные понятия, результаты и методы для решения задач из различных разделов курса, в том числе задач, не сводящихся к непосредственному применению алгоритмов;
строить и исследовать математические модели для описания и решения прикладных задач, задач из смежных дисциплин.
В результате освоения дисциплины "Математика" обучающийся должен знать:
значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
вероятностный характер различных процессов окружающего мира.
Формой аттестации по учебной дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия» является: экзамен.
Критерии оцениванияКритерии оценивания знаний и умений учащихся по дисциплине «Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия».
ОЦЕНКА ПИСЬМЕННЫХ РАБОТ ОБУЧАЮЩИХСЯ
Отметка оценивается отметкой «5», если:
работа выполнена полностью;
в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробелов и ошибок;
в решении нет математических ошибок (возможны некоторые неточности, описки, которая не является следствием незнания или непонимания учебного материала).
Отметка «4» ставится в следующих случаях:
работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
допущены одна ошибка, или есть два – три недочёта в выкладках, рисунках, чертежах или графиках (если эти виды работ не являлись специальным объектом проверки).
Отметка «3» ставится, если: допущено не более двух ошибок или более двух – трех недочетов в выкладках, чертежах или графиках, но обучающийся обладает обязательными умениями по проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если: допущены существенные ошибки, показавшие, что обучающийся не обладает обязательными умениями по данной теме в полной мере.
Преподаватель может повысить отметку за оригинальный ответ на вопрос или оригинальное решение задачи, которые свидетельствуют о высоком математическом развитии обучающегося; за решение более сложной задачи или ответ на более сложный вопрос, предложенные обучающемуся дополнительно после выполнения им каких-либо других заданий.
ОЦЕНКА УСНЫХ ОТВЕТОВ ОБУЧАЮЩИХСЯ
Ответ оценивается отметкой «5», если обучающийся:
полно раскрыл содержание материала в объеме, предусмотренном программой и учебником;
изложил материал грамотным языком, точно используя математическую терминологию и символику, в определенной логической последовательности;
правильно выполнил рисунки, чертежи, графики, сопутствующие ответу;
показал умение иллюстрировать теорию конкретными примерами, применять ее в новой ситуации при выполнении практического задания;
продемонстрировал знание теории ранее изученных сопутствующих тем, сформированность и устойчивость используемых при ответе умений и навыков;
отвечал самостоятельно, без наводящих вопросов преподавателя;
возможны одна – две неточности при освещение второстепенных вопросов или в выкладках, которые обучающийся легко исправил после замечания преподавателя.
Ответ оценивается отметкой «4», если удовлетворяет в основном требованиям на оценку «5», но при этом имеет некоторые из недостатков:
в изложении допущены небольшие пробелы, не исказившее математическое содержание ответа;
допущены один – два недочета при освещении основного содержания ответа, исправленные после замечания преподавателя;
допущены ошибка или более двух недочетов при освещении второстепенных вопросов или в выкладках, легко исправленные после замечания преподавателя.
Отметка «3» ставится в следующих случаях:
неполно раскрыто содержание материала (содержание изложено фрагментарно, не всегда последовательно), но показано общее понимание вопроса и продемонстрированы умения, достаточные для усвоения программного материала (определены «Требованиями к математической подготовке учащихся» в настоящей программе по математике);
имелись затруднения или допущены ошибки в определении математической терминологии, чертежах, выкладках, исправленные после нескольких наводящих вопросов преподавателя;
обучающийся не справился с применением теории в новой ситуации при выполнении практического задания, но выполнил задания обязательного уровня сложности по данной теме;
при достаточном знании теоретического материала выявлена недостаточная сформированнось основных умений и навыков.
Отметка «2» ставится в следующих случаях:
не раскрыто основное содержание учебного материала;
обнаружено незнание обучающимся большей или наиболее важной части учебного материала;
допущены ошибки в определении понятий, при использовании математической терминологии, в рисунках, чертежах или графиках, в выкладках, которые не исправлены после нескольких наводящих вопросов преподавателя.
ОБЩАЯ КЛАССИФИКАЦИЯ ОШИБОК
При оценке знаний и умений учащихся учитываются все ошибки (грубые и негрубые) и недочёты.
Грубыми считаются ошибки:
незнание определения основных понятий, законов, правил, основных положений теории, незнание формул, общепринятых символов обозначений величин, единиц их измерения;
незнание наименований единиц измерения;
неумение выделить в ответе главное;
неумение применять знания, алгоритмы для решения задач;
неумение делать выводы и обобщения;
неумение читать и строить графики;
неумение пользоваться первоисточниками, учебником и справочниками;
потеря корня или сохранение постороннего корня;
отбрасывание без объяснений одного из них;
равнозначные им ошибки;
вычислительные ошибки, если они не являются опиской;
логические ошибки.
К негрубым ошибкам относятся:
неточность формулировок, определений, понятий, теорий, вызванная неполнотой охвата основных признаков определяемого понятия или заменой одного - двух из этих признаков второстепенными;
неточность графика;
нерациональный метод решения задачи или недостаточно продуманный план ответа (нарушение логики, подмена отдельных основных вопросов второстепенными);
нерациональные методы работы со справочной и другой литературой;
неумение решать задачи, выполнять задания в общем виде.
Недочетами являются:
нерациональные приемы вычислений и преобразований;
небрежное выполнение записей, чертежей, схем, графиков.
КРИТЕРИИ ОЦЕНКИ ТЕСТОВЫХ И ПИСЬМЕННЫХ ЗАДАНИЙ
Тестовые задания оцениваются исходя из следующих критериев:
за 36 до 50% набранных баллов выставляется оценка 3;
за 51 до 65% набранных баллов выставляется оценка 4;
за 66-100% набранных баллов выставляется оценка 5.
КОМПЛЕКТ
материалов для оценки освоенных умений и усвоенных знаний
по дисциплине
«Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия»
Входной контроль.
Вариант I
А1. Корень уравнения равен:
1) – 0,8; 2) 2; 3) - 0,2; 4) 1,5
А2. Сократите дробь .
1) 2) 3) 4)
А3. Не имеет корней уравнение
1) 7х2 – 3х –8 = 0; 2) 4х2 – 11х + 5 = 0; 3) 4х2 + 8х + 1 = 0; 4) 2х2 + х + 2 = 0
А4. Вычислите·
1) 14 2) 1,4 3) 0,14 4) 140
А5. Решите уравнение 5х+ 4х – 12 = 0.
1) 2,4; -4 2) 1,2; -2 3) -1,2; 2 4) решений нет
А6. Решением системы уравнений является пара чисел
1) (-2,4; -9) 2) (0,8; -1) 3) (-1; 0,8) 4) (-9; -2,4)
А7. Найдите значение выражения: .
1) 2) 5854701390653) -0,5 4) 0,5
А8. Дано: FH||EM, EM=10, GE=8, FG=6.
Найти: FН
13132) 7,5 3) 4,8 4) 7
А9. Какие из высказываний истинны?
а) Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
б) Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является биссектрисой
в) Если сторона и угол одного треугольника соответственно равны стороне и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
1) б 2) в 3) а и б 4) б и в
А10. Боковая сторона равнобокой трапеции равна 10см, а основания равны 7см и 19см. Найдите площадь трапеции.
1) 96 см 2) 208 см 3) 203 см 4) 104 см
В1. Найдите значение выражения() при ≠ ±3
В2. Найдите область определения функции у =.
С1. Из пункта А в пункт В велосипедист проехал по дороге длиной 48 км, обратно он возвращался по другой дороге, которая короче первой на 8 км. Увеличив скорость на обратном пути на 4 км/ч, он затратил на 1 ч меньше, чем на путь из А в В. С какой скоростью ехал велосипедист из пункта А в пункт В?
Вариант II
А1. Решите уравнение .
1) 4,4; 2) –4,4; 3) –2,4; 4) –2
А2. Сократите дробь .
1) 2) 3) 4)
А3. Не имеет корней уравнение
1) 9х2 – 3х – 5 = 0, 2) 3х2 –11х + 5 = 0, 3) 3х2–7х + 2 = 0, 4) 3х2 +2 х + 4 = 0
А4. Вычислите·
1) 1,2 2) 12 3) 0,12 4) 120
А5. Решите уравнение – 4х+ 9х – 2= 0
1) 0,25; -2 2) 4; -0,5 3) 2; 0,25 4) решений нет
А6. Решите систему уравнений
1) (-1; 1,5) 2) (1,5;-1) 3) (-3; -2,5) 4) (-2,5; -3)
А7. Найдите значение выражения: .
1) 0,5 2)- 0,5 3) -0,15 4) 0.15
А8. 327516343815
Дано: PH||EM, ET=12, PH=10, PS=6
Найти: ES
1) 4 2) 2,6 3) 5 4) 7,2
А9. Какие из высказываний ложны?
а) Медиана равнобедренного треугольника является высотой
б) Если две стороны и угол одного треугольника, соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны.
в) Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
1) в и б2) а 3) б 4) а и бА10. Найдите площадь равнобокой трапеции, основания которой равны 8см и 14см, а боковая сторона 5см.
1) 56см 2) 44см 3) 110см 4) 88см
В1. Найдите значение выражения при b≠ ±2
В2. Найдите область определения функции у =.
С1. Катер прошел 12 км против течения реки и 5 км по течению. При этом он затратил столько времени, сколько ему потребовалось бы, если бы он шел 18 км по озеру. Какова собственная скорость катера, если известно, что скорость течения реки равна 3 км/ч?
Раздел 1. Алгебра
Тема 1.1. Развитие понятия о числе
Ответьте на следующие вопросы:
Какие числа называются натуральными? Какие операции выполнимы на множестве натуральных чисел?
Дайте определение четным, нечетным, простым и составным числам?
Какие числа называются целыми? Какие операции выполнимы на множестве целых чисел?
Какие числа называются рациональными? Какие операции выполнимы на множестве рациональных чисел?
Перечислите виды дробей.
Какие числа называются иррациональными?
Какие числа называются действительными? Какие операции выполнимы на множестве действительных чисел?
Дайте определение бесконечной десятичной периодичной дроби.
Дайте определение абсолютной и относительной погрешностей.
Дайте определение комплексного числа.
Сформулируйте правила сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел.
Самостоятельная работа «Выполнения приближенных значений»
Вариант 1
На грядке длиной а ≈ 4,8 м и шириной b ≈ 0,75 м. 30% площади занято морковью, 50% —луком, остальная площадь занята укропом. Какая площадь занята каждой культурой?
Найти абсолютную погрешность приближения числа 7,4 числом 7.
Найти с точностью до 100: 645,27 + 102,324 + 715,645 -10,2 Вариант 2
Участок сада длиной а ≈ 3,8 и шириной b ≈ 1,75 м. 15% его площади занимают постройки, 40% —плодовые деревья, остальную площадь занимают ягодные посадки. Какую площадь занимают постройки, плодовые деревья и ягодные посадки на участке?
Найти абсолютную погрешность приближения числа 3,9 числом 4.
Найти с точностью до 100: 428,263 - 107,316 +264,2 + 748,35.
Самостоятельная работа «Комплексные числа»
Вариант 1
1. Найдите действительную часть комплексного числа, если: z=(6+7i)(3-2i)– 7 –4i.
2. Найдите сумму , разность и частное , если , . Вариант 2
1. Найдите действительную часть комплексного числа, если: z=(5+9i)(1+i)– 9 –3i.+6
2. Найдите сумму , разность и частное , если , .
Задания для контрольной работы по Теме 1.1. «Развитие понятия о числе»
Вариант I
А1. Даны комплексные числа . Тогда
15+8i; 23-3i;
23+11i; xy0
2
3
20+6i.
xy0
2
-3
А2. Изображение комплексного числа имеет вид
xy0
2
-3
xy0
-2
3
d)
А3. Если , то сопряженное ему число равно
2-3i; 3-2i;
3+2i; 4+6i.
А4. Если , то абсолютная погрешность округления до ближайшего целого числа равна
-0,6; 0,4;
0,6; -0,4.
А5. Если , то
7+3i; 7-3i;
4+6i; 4-6i.
А6. Выберите истинное утверждение
Множество комплексных чисел является подмножеством множества натуральных чисел;
Множество натуральных чисел является подмножеством множества рациональных чисел;
Множество иррациональных чисел является подмножеством множества натуральных чисел;
Множество рациональных чисел является подмножеством множества натуральных чисел.
В1. Представьте в виде обыкновенной дроби число а=2,6(32).
В2. Даны комплексные числа . Найдите .
В3. Известно, что значения . Округлив значения переменных до целых, нашли значение выражения . Найдите абсолютную погрешность результата.
В4. Вычислите 3,6(4)+4,(55).
В5. Вычислили значение функции при и получили результат 500. Известны относительные погрешности чисел 10 и 20: . Найдите относительную погрешность полученного результата.
С1. Решите уравнение x2-4x+29=0.
С2. Вычислите , если .
Вариант 2
А1. Даны комплексные числа . Тогда
8+6i; 4-3i;
xy0
1
-2
-10+10i; xy0
2
1
-2+8i.
А2. Изображение комплексного числа имеет вид
xy0
1
-2
xy0
-2
1
А3. Если , то сопряженное ему число равно
-3+5i; 5-3i;
3-5i; -5+3i.
А4. Если , то абсолютная погрешность округления до ближайшего целого числа равна
0,4; -0,4;
0,6; -0,6.
А5. Если , то
7-i; 5-2i;
5+3i; 7-3i.
А6. Выберите истинное утверждение
Множество иррациональных чисел и множество рациональных чисел пересекаются;
Множество иррациональных чисел является подмножеством множества целых чисел;
Множество натуральных чисел является подмножеством множества рациональных чисел;
Множество комплексных чисел является подмножеством множества рациональных чисел.
В1. Представьте в виде обыкновенной дроби число а=5,2(48).
В2. Даны комплексные числа . Найдите .
В3. Известно, что значения . Округлив значения переменных до целых, нашли значение выражения . Найдите абсолютную погрешность результата.
В4. Вычислите 2,3(2)+4,(27).
В5. Вычислили значение функции при и получили результат 45. Известны относительные погрешности чисел 60 и 80: . Найдите относительную погрешность полученного результата.
С1. Решите уравнение x2 -4x+13=0.
С2. Вычислите , если .
Тема 1.2. Корни, степени и логарифмы
Дайте ответы на следующие вопросы:
Дайте определение корня n-ой степени из неотрицательного числа.
Дайте определение корня нечётной степени из отрицательного числа.
Какими свойствами обладает корень?
Перечислите свойства степени с действительным показателем.
Дайте определение степени с дробным показателем.
Что такое логарифм?
Как называется логарифм с основание 10, е?
Как формулируется основное логарифмическое тождество?
Сформулируйте свойства логарифмов.
Самостоятельная работа «Корень n-ой степени и его свойства»
Вариант № 1 Вариант № 2
Вычислите: .
1) 4; 2) 8; 3) 0,5; 4) 2.
Вычислите: .
1) 3; 2) 2; 3) 4; 4) 6.
Вычислите: .
1) 14; 2) 7; 3) 2; 4) 6.
Упростить выражение: .
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Упростить выражение: .
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Вычислите: .
1) 0,12; 2) 1,2; 3) 0,6; 4) 3,6.
Вычислите: .
1) 3; 2) 2; 3) 6; 4) 8.
Вычислите: .
1) 10; 2) 25; 3) 15; 4) 5.
Упростить выражение: .
1) ; 2) 3) ; 4) .
Упростить выражение: .
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Самостоятельная работа «Степень с рациональным показателем»
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
Вычислите:
а) ;
б) .
Упростите выражение: а) ;б) ; в)
3. Выполните действия и ответ запишите с помощью радикалов:
а) ; б) . Вычислите:
а) ;
б) .
Упростите выражение: а) ;
б) ; в) .
3. Выполните действия и ответ запишите с помощью радикалов:
а) ; б) .
Самостоятельная работа «Понятие и свойства логарифма»
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
Вынесите множитель из-под знака корня:
а)
б)
Упростите выражение: а)
б) .
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби .
Расположите числа в порядке возрастания. Вынесите множитель из-под знака корня:
а)
б)
Упростите выражение: а)
б) .
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби .
Расположите числа в порядке возрастания.
Самостоятельная работа «Понятие и свойства логарифма»
Вариант I
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Найти значение выражения, если. Вариант II
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Вычислить .
Найти значение выражения , если .
Задания для контрольной работы по Теме 1.2. «Корни, степени и логарифмы»
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
Часть АНайдите значение числового выражения:
416∙0,0001; б) 6160,25; в) 9212; г) 3log38;
д) log3127; е) log28; ж) .
Представьте степень с дробным показателем в виде корня:
523; б) c0,2.
Упростите выражение: (a-1b-1)-12(a-3b-7)14(a-1b3)34;
Часть ВВычислите: а) 12log364-2log32log32;
б) ;
в)56-217∙56+217Упростите выражение: a32-b32a12+b12∙a-ba+a12b12+b+2a12b12 Часть АНайдите значение числового выражения:
а) 5243∙132; б) 454∙24; в) 0,16112; г) 4log412;
д) log1381; е) log515; ж) .
Представьте степень с дробным показателем в виде корня:
а) 345; б) a0,3.
Упростите выражения: (a-1b2)-12(a2b-1)34(a-4b17)-14;
Часть ВВычислите: а) 2log0,52+log0,510log0,510-log0,510+log0,54;
б) ;
в) 317+3∙317-3Упростить выражение: q12p-p12q12+p12q-p12q12∙pq12+p12qp-q Тема 1.3. Основы тригонометрии
Ответьте на вопросы:
Что называется радианной мерой?
Как перейти от радианной меры к градусной? Как перейти от градусной меры к радианной мере?
Косинусом числа называется …
Синусом числа называется …
Тангенсом числа называется …
Котангенсом числа называется …
Как записывается основное тригонометрическое тождество?
Самостоятельная работа
Вариант 1 Вариант 2
Выразить в радианах угол α = 20°
1) π/5 2) π/7 3) π/9 4) π/10
Выразить в градусах угол α = 4π/45
1) 16º 2) 15º 3) 20º 4) 35º
Какой четверти числовой окружности принадлежит точка t = 19π/4
1) первой; 2) второй; 3) третьей; 4) четвёртой
Упростить выражение: 3cos2α - 6 + 3sin2α
1) 1 2) -5 3) 3 4) -3 Выразить в радианах угол α = 240°
1) 4π/5 2) 2π/3 3) 4π/3 4) 3π/2
Выразить в градусах угол α = 5π/36
1) 40º 2) 35º 3) 25º 4) 50º
Какой четверти числовой окружности принадлежит точка t = -23π/6
1) первой; 2) второй; 3) третьей; 4) четвёртой
Упростить выражение: 9cos2α - 16 + 9sin2α
1) 2 2) -25 3)-15 4) -7
Самостоятельная работа «Тригонометрические формулы»
Вариант 1
1. Вычислите: ; б) ; в) ;
г) ; д) .
Упростите выражения: а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) .
Найдите значение выражения при : .
Дано: . Вычислите .
Докажите тождества: а) ; б) ;
в) .
Вариант 2
1. Вычислите: а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
Упростите выражения: а) ; б) ;
в) ; г) ;
д) .
Найдите значение выражения при : .
Дано: . Вычислите .
Докажите тождества: а) ; б) ;
в) .
Задания для контрольной работы по теме 1.3. «Основы тригонометрии»
Вариант №1
1. Радианная мера двух углов треугольника равна и . Найдите градусную меру каждого угла треугольника.
А) 750, 450, 600;
Б) 600, 550, 650; В) 600, 450, 750;
Г) другой ответ.
2. Какие из условий могут выполняться одновременно?
А) и .
Б) и . В) и .
Г) и .
3. Какое из данных выражений положительно, если ?
А) .
Б) . В) .
Г) .
4. Найдите область определения функции .
А).
Б) В) .
Г) другой ответ.
5. Какая из данных функций нечетная?
А) y = tg x + sin 2x.
Б) y = -x sinx. В) y = x5 + x2.
Г) y = ctgx + cos 2x.
6. Вычислите: arcsin 1 – arctg 0.
А) 0.
Б) 1. В) -1.
Г) другой ответ.
Решите уравнение .
Найдите сумму корней уравнения cos 2x + 1 = 0, принадлежащих промежутку .
Решите неравенство .
Вариант №2
1. Градусная мера двух углов треугольника равна 360 и 900. Найдите радианную меру каждого угла треугольника
А).
Б). В).
Г) другой ответ.
2. Какие из условий могут выполняться одновременно?
А) и .
Б) и . В) и .
Г) и .
3. Какое из данных выражений отрицательно, если ?
А) .
Б) . В) .
Г) .
4. Найдите область определения функции .
А).
Б). В) .
Г) другой ответ.
5. Какая из данных функций четная?
А) y = tg x + sin 2x.
Б) y = -x sinx. В) y = 3x - x2.
Г) y = ctgx + cos 2x.
6. Вычислите: arcos 1 + arctg 0.
А) 0.
Б) 1. В) -1.
Г) другой ответ.
7. Решите уравнение .
8. Найдите сумму корней уравнения cos 2x + cos2 x = sin x, принадлежащих промежутку .
9. Решите неравенство .
Самостоятельная работа «Тригонометрические преобразования выражений»
Вариант 1
А1. Вычислите: sin 30˚
1)0,5; 2) 1; 3) ; 4) .
А2.Найдите значение выражения: 2sin 30˚+6 cos 60˚ - 3ctg 30˚ + 9 tg 30˚
1)4; 2) – 4; 3)6; 4)
А4. Упростите, используя формулы приведения: cos(π-α)∙cos(2π-α)+cos²α
1) 2cos²α; 2)1; 3)0; 4)2sin²α.
А5. Определите знак выражения: sin110˚·cos 110˚
1) +; 2) -; 3) 0; 4) нет верного ответа.
В. По заданному значению тригонометрической функции, найдите значение ctg α, если sin α=0,8 и
< α < π.
С. Докажите тождество: = tg2α
Вариант 2
А1. Вычислите: cos 30˚
1) 0,5; 2) 1; 3); 4) .
А2.Найдите значение выражения: 2 cos 30˚- 6 sin 30˚ - ctg 30˚ + 9 tg 45˚
4; 2) – 4; 3) 6; 4)
А3. Упростите, используя формулы приведения: sin (π-α)∙cos( - α)+cos²α
1) 2cos²α; 2) 1; 3) 0; 4) 2sin²α.
А4. Определите знак выражения: sin100˚·cos 100˚.
1)+; 2) -; 3) 0; 4) нет верного ответа.
В. По заданному значению тригонометрической функции, найдите значение tg α, если cos α= 0,8 и
< α < π
С. Докажите тождество: = - tg2α
Тема 1.4. Функции, их свойства и графики
Дайте ответы на вопросы:
Что такое область определения и множество значений?
Какими свойствами характеризуются функции?
Как определить монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность функции?
Какие функции называются обратными?
Как записываются тригонометрические, степенные, показательная, логарифмическая функции?
Что используется при преобразовании графиков функций?
Самостоятельная работа «Логарифмическая функция»
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
Найдите область определения функции .
Расставьте числа в порядке возрастания и .
Решите неравенство . Найдите область определения функции .
Расставьте числа в порядке возрастания и .
Решите неравенство .
Самостоятельная работа «Функции , их свойства и графики»
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
Постройте график функции .
Найдите область определения функции .
Найдите область значения функции .
Решите неравенство графическим способом . Постройте график функции .
Найдите область определения функции .
Найдите область значения функции .
Решите уравнение графическим способом .
Задания для контрольной работы по теме 1.4. «Функции, их свойства и графики»
Вариант 1
1. Найдите область определения функции: а) ; б) .
2. Выясните четность (нечетность) функции .
3. Найдите промежуток (промежутки) возрастания функции .
а) ;б) ;в) ;г) .
4. Укажите график функции .
а) б) в) г)
5. Изобразите график непрерывной функции, зная, что:
а) область определения функции есть промежуток ;
б) значения функции составляют промежуток ;
в) функция убывает на промежутке , возрастает на промежутке ;
г) значения функции отрицательны только в точках промежутка ;
д) .
6. Изобразите схематично график функции и перечислите её свойства: а) ; б) .
Вариант 2
1. Найдите область определения функции: а) ; б) .
2. Выясните четность (нечетность) функции .
3. Найдите промежуток (промежутки) убывания функции .
а) ;б) ;в) ;г) .
4. Укажите график функции .
а) б) в) г) .5. Изобразите график непрерывной функции, зная, что:
а) область определения функции есть промежуток ;
б) значения функции составляют промежуток ;
в) функция возрастает на промежутках и , убывает на промежутке ;
г) нули функции 0 и 4;
д) .
6. Изобразите схематично график функции и перечислите её свойства: а) ; б)
Тема 1.5. Уравнения и неравенства
Самостоятельная работа «Иррациональные уравнения и неравенства»
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
Решите уравнение:
а) ; б) .
2. Решите неравенство:
а) ; б) . 1. Решите уравнение:
а) ; б) .
2. Решите неравенство:
а) ; б) .
Самостоятельная работа «Показательные уравнения и неравенства»
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
1. Решите уравнение:
а) ; б) ;
в) ;
г) .
2. Решите неравенства:
а) ; б) (найдите целые решения неравенства);
в) (решите графически).
3. Решить систему уравнений 1. Решите уравнение:
а) ; б) ;
в) ;
г)
2. Решите неравенства:
а) ; б) (найдите целые решения неравенства);
в) (решите графически)
3. Решите систему уравнений:
Самостоятельная работа «Логарифмические уравнения и неравенства»
Вариант 1
А1. Упростить выражение и найти х: lg x = lg 8 + 2 lg 5 – lg 10 - lg 2
10; 2) -1; 3) -10; 4) 0.
А2.Найдите корень уравнения log 2(3x +1) = 3
1) 11; 2) 1; 3) -10; 4) .
А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения log4 (4 – х ) + log4 2 = 1.
1) ( -3; -1 ); 2) ( 0; 2 ); 3) [ 2; 3 ]; 4) [ 4; 8 ].
А4. Найдите сумму корней уравнения
1) - 13; 2) - 5; 3) 5; 4) 9.
А5. Решите неравенство log3( 4 – 2х ) 1
1) ( -∞; 0,5 ]; 2) ( -∞; 2 ]; 3) [ 2; + ∞ ); 4) [ 0,5; + ∞ ).
В1. Решите неравенство logπ( 3х + 2 ) logπ ( х – 1 )
1) ( 1; + ∞ ); 2) (-∞;];3) [ -1,5; ]; 4) решений нет.
В2. Решите неравенство > - 1
1) ( -10; +∞ ); 2) (-∞; -10 ); 3) ( -1; 2); 4) ( -0,1; 20 ).
С. Найдите число целых отрицательных решений неравенства lg ( х + 5 ) 2 – lg 2
1) 5; 2) 4; 3) 10; 4) ни одного.
Вариант 2
А1. Упростить выражение и найти х: lg x = lg 12 - lg 3 + 2lg7 - lg14
14; 2) -1; 3) -10; 4) 0.
А2.Найдите корень уравнения log 5(2x - 4) = 2
1) 11; 2) 14,5; 3) -10; 4) .
А3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения lоg0,4 (5 – 2х) – lоg0,4 2 = 1
1) ( -∞; -2 ); 2) [ -2; 1 ]; 3) [ 1; 2 ]; 4) ( 2; +∞).
А4. Найдите сумму корней уравнения lg (4x – 3 ) = 2 lg x
1) - 2; 2) 4; 3) -4; 4) 2.
А5. Решите неравенство log8 (5 – 2х) > 1
1) (-∞; -1,5); 2) (-10; 2,5); 3) (2,5; + ∞); 4) (-10; + ∞).
В1. Решите неравенство log(4x -2) < log(3x +1)
1) (3; + ∞ ); 2) (-∞;];3) [ -1,5; ]; 4) решений нет.
В2. Решите неравенство < - 1.
1) (0,5; +∞); 2) (-∞;); 3) (1,4; 2 ); 4) ( 0,5; 7 ).
С. Найдите число целых решений неравенства lоg5 (х - 2) 1
1) 5; 2) 4; 3) бесконечно много; 4) ни одного.
Самостоятельная работа «Тригонометрические уравнения и неравенства»
Вариант 1
А1. arccos a имеет смысл, если:
а) а[0;];
б) а[-1;1]; в) а[-;];г) а(-1;1).
А2. Решением уравнения cos х = 0 являются:
а) х =+2n, nZ;
б) x =n, nZ; в) x =+n, nZ;
г) x =+2n, nZ.
А3. Вычислите: arcsin 0 + arctg
а)0,5; в) 1;
б) ; г).
А4. Уравнение 2tg х = -3: а) имеет одно решение;
б) не имеет решения; в) имеет два решения;
г) имеет бесконечное множество решений.
А5. Уравнение sin х = имеет решения:
а) x =(-1)n+2n, nZ;
б) x =(-1)n+2n, nZ; в) x =(-1)n +n, nZ;
г) x =(-1)n+n, nZ.
В. Решите уравнения: а) cos () = ; б) sin2 x – 3 cos x – 3 = 0; в) 1 + sin x = 0.
С. Решите неравенства: а) sin x ≥ ; б)
вариант
А1. arcsin a имеет смысл, если:
а) а[0;];
б) а[-1;1]; в) а[-;];г) а(-1;1).
А2. Решением уравнения cos х = - 1 являются:
а) х =+2n, nZ;
б) x =n, nZ; в) x =+n, nZ;
г) x =+2n, nZ.
А3. Вычислите: arcos 0 + arctg 1
а)0,5;
в); б) 1;
г).
А4. Уравнение ctg х - 4 = 0: а) имеет одно решение;
б) не имеет решения; в) имеет два решения;
г) имеет бесконечное множество решений.
А5. Уравнение sin x = имеет решения:
а) x =(-1)n+2n, nZ;
б) x =(-1)n+2n, nZ; в) x =(-1)n +n, nZ;
г) x =(-1)n+n, nZ.
В. Решите уравнения: а) sin () = ; б) cos2 x – 4 sin x – 1 = 0; в) 1 + sin x = 0.
С. Решите неравенства: а) cos x ≥ ; б) .
Самостоятельная работа «Логарифмические и показательные неравенства»
ВАРИАНТ № 1 ВАРИАНТ № 2
;
;
;
;
;
;
3-1-х≥132х+3 ;
32х-6*3х-27≤09*3х-1+3х<36;
;
;
;
.
0,54х+3≥0,56х-1;
164х-7≤6х-322х-6*2х+8≤010*5х-1+5х+1<7Задания для контрольной работы по теме 1.5. «Уравнения и неравенства»
Вариант 1
1. Решите уравнение: ; 2. Решите уравнение: 2х = 128;
3. Решите уравнение: 5х + 1 – 5х – 1 =24;
4. Решите неравенство: 54х – 7 > 1;
5. Вычислите: ; 6. Вычислите: ;7. Определите х, если :
8. Решите неравенство: log2(x -5) ≥ 1;
9. Решите уравнение: 2 2х – 5 ∙ 2 х + 4 = 0;
10. Решите уравнение: ;Вариант 2
1. Решите уравнение:; 2. Решите уравнение: 3х = 81;
3. Решите уравнение: 7х + 2 + 2∙7х – 1 = 345;
4. Решите неравенство: 22х – 9 < 1;
5. Вычислите: ; 6. Вычислите: ;7. Определите х, если :
8. Решите неравенство: log5 (5 –2x) < 1;
9. Решите уравнение: 2 2х – 6 ∙ 2 х + 8 = 0;
10. Решите уравнение: ; Вариант 3
1. Решите уравнение: ; 2. Решите уравнение: 5х = 125;
3. Решите уравнение: 5х + 3∙ 5х – 2 = 140;
4. Решите неравенство: 0,23х – 4 > 1;
5. Вычислите: ;6. Вычислите: ;7. Определите х, если :
8. Решите неравенство: log2(x-1)> 3;
9. Решите уравнение: 7 2х – 8 ∙ 7 х + 7 = 0;
10. Решите уравнение: ;Вариант 4
1. Решите уравнение: ; 2. Решите уравнение: 2х =256;
3. Решите уравнение: 3х – 2 ∙3х – 2 = 63;
4. Решите неравенство: 0,7х – 9 < 1;
5. Вычислите: ; 6. Вычислите: ; 7. Определите х, если :
8. Решите неравенство: ; 9. Решите уравнение: 3 2х – 10 ∙ 3 х + 9 = 0;
10. Решите уравнение: .
Раздел 2. Начала математического анализа
Тема 2.1. Производная функции и ее применения
Задания для контрольной работы
по теме 2.1. Производная функции и её применения
Вариант 1
А1. Найдите производную функции y=3x2+5x+4y'=6x+5; y'=x2+x+1;
y'=3x+5; y'=6x2+5x+4.
А2. Найдите производную функции y=sin(2x+1)y'=cos(2x+1); y'=2cos(2x+1);
y'=tg(2x+1); y'=2sin(2x+1).
А3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y=x3+3x2+1 в точке x=1
k=9; k=6;
k=3; k=0.
А4. По графику, изображенному на рисунке, определите, на каком промежутке производная данной функции положительна
y=f(x) y
-4 0 1 4 x
(-4;1); (-∞; +∞);
(-4;4); (1;4).
А5. Найдите производную функции y=3ex+lnxy'=3+1x; y'=3e3x+1x;
y'=3ex+1x; y'=3ex+lnx.
А6. Определите абсциссу вершины параболы y=x2-x-1x=1; x=0,5;
x=2; x=-2.
В1. Составьте уравнение касательной к графику функции y=x3-2x2-5 в точке x=2.
В2. Найдите промежутки возрастания функции y=x4-8x2+3.
В3. Найдите наибольшее значение функции y=x3+3x на отрезке [0,5; 2].
С1. Сравните значения функции fx=0,25x4-8x+191, при x=15153 и x=15253.Вариант II
А1. Найдите производную функции y=4x3+5x2+6x-1y'=4x2+5x+6; y'=12x2+10x+6;
y'=x2+x+6; y'=12x+5.
А2. Найдите производную функции y=cos(3x+1)y'=3cos(3x+1); y'=3sin3x+1;
y'=-3sin3x+1;y'=-sin(3x+1).
А3. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y=2x3+5x2+1 в точке x=-1
k=5; k= -4;
k=1; k=2.
А4. По графику, изображенному на рисунке, определите, на каком промежутке производная данной функции отрицательна
y=f(x) y
-4 -2 0 2 6 x
(-4;-2); (2;6);
(-2;2); (-∞; +∞).
А5. Найдите производную функции y=e2x∙cos3xy'=2e2xcos3x-3e2xsin3x; y'=e2xcos3x-e2xsin3x;
y'=e2xsin3x+e2xcos3x; y'=6e2xcos3x.
А7. Определите абсциссу вершины параболы y=x2+2x-5x=0; x=-2;
x=2; x=-1.
В1. Составьте уравнение касательной к графику функции y=2x3+4x2+5x-6 в точке x=-2.
В2. Найдите промежутки убывания функции y=2x3-3x2-12x.
В3. Найдите наибольшее значение функции y=x2-4x на отрезке [1; 4].
С1. Сравните значения функции fx=13x3-625x+234, при x=23439 и x=23539.
Тема 2.2. Первообразная и интеграл
Дайте ответ:
Что такое первообразная?
Какими свойствами обладает первообразная?
Что называется неопределенным интегралом?
Что называется определенным интегралом?
В чем заключается физический и геометрический смысл определенного интеграла?
Как записывается формула Ньютона – Лейбница?
Самостоятельная работа «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла»
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
Найти площадь фигуры, изображенной на заданном рисунке:
а) ; б) .
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: , Найти площадь фигуры, изображенной на заданном рисунке:
а) ; б) .
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y=6x-x2, y=0Самостоятельная работа на тему «Первообразная»
ВАРИАНТ 1
Найдите первообразную F функции f(x) = 3x2 + 4x3, если F(2) = 15.
1) F(x) = x3 + x4 – 9; 3) F(x) = x4 + 2x3 – 17;
2) F(x) = x3 + 2x4 – 25; 4) F(x) = 2x3 +2 x4 – 33.
Для функции f(x) = -3sinx укажите первообразную F, график которой проходит через точку М 1) F(x) = -3cosx + 13; 3) F(x) = 3cosx + 7;
2) F(x) = -3sinx + 10; 4) F(x) = 5cosx + 1.
Найдите общий вид первообразных функции f(x) = на промежутке .
1) F(x) =; 3) F(x) =;
2) F(x) = ; 4) F(x) = .
Известно, что f(x) = 3x2 + 2x – 1 и F(2) = 13. Найдите F(-1)
1) 5; 3) 4;
2) 6; 4) 2.
Вычислите
1) 27; 3) 18;
2) 21; 4) 24.
ВАРИАНТ 2
Найдите первообразную F функции f(x) = sinx + 5x4, если F(0) = 1
1) F(x) = cosx + 20x3 + 2; 3) F(x) = - cosx + x5 + 2;
2) F(x) = - cosx +x5 + 4; 4) F(x) = - cosx + 20x3 + 4.
Для функции f(x) = 2cosx укажите первообразную F, график которой проходит через точку М 1) F(x) = 2sinx + 2; 3) F(x) = sin2x;
2) F(x) = cos2x + 1; 4) F(x) = 2sinx – 2.
Найдите общий вид первообразных функции f(x) = на промежутке .
1) F(x) =; 3) F(x) =;
2) F(x) = ; 4) F(x) = .
Известно, что f(x) = 3x2 + 2x – 1 и F(2) = 13. Найдите F(-1)
1) 5; 3) 4;
2) 6; 4) 2.
Вычислите
1) 27; 3) 18;
2) 21; 4) 24.
Самостоятельная работа «Решение прикладных задач (Приложения определенного интеграла)»
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функциями: x-2y+4=0, x+y-5=0, y=0. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной функциями: 2x-3y+6=0, y=0, x=3.
При сжатии пружины на 0,05 м затрачивается работа 25 Дж. Какую работу необходимо совершить, чтобы сжать пружину на 0,1 м? Для растяжения пружины на 0,04 м необходимо совершить работу 20 Дж. На какую длину можно растянуть пружину, совершив работу 80 Дж?
Цилиндрическая цистерна с радиусом основания 0,5 м и высотой 2 м заполнена водой. Вычислить работу, которую необходимо произвести, чтобы выкачать воду из цистерны. Вычислить работу, которую надо произвести, чтобы выкачать из резервуара конической формы с вершиной, обращенной книзу. Резервуар наполнен доверху водой. Радиус основания конуса R=1м, высота конуса 2м.
Вычислить силу давления воды на вертикальный прямоугольный шлюз с основанием 20м и высотой 5м (уровень воды совпадает с верхним обрезом шлюза). Вычислить силу давления воды на вертикальную плотину, имеющую форму равнобедренной трапеции с основаниями a и b (a b) и высотой h.
Задания для контрольной работы по теме 2.2. Первообразная и интеграл
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
Докажите, что функция у=F(x) является первообразной для функции y=f(x), если Fx=0.25-x3+7, fx=x4-3x2.
Найдите первообразную для функции: y=1x2+x4; y=cosx-π3.
Для функции y=6x2-4x+1 найдите ту первообразную, график которой проходит через точку A(1; -3).
Вычислите интеграл: а) ; б) ; в) ; г) .
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=-x2+3, y=2.
Докажите, что функция у=F(x) является первообразной для функции y=f(x), если Fx=0.3x10+2x7-4x, fx=3x9+14x6-4.
Найдите первообразную для функции: y=1x; 2) y=sinx+π4.
Для функции y=2x2-2x-5 найдите ту первообразную, график которой проходит через точку A(2; -1).
Вычислите интеграл: а) ; б) ; в) ; г) .
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=x3, x=-1, y=0Раздел 3. Геометрия
Тема 3.1. Прямые и плоскости в пространстве
Самостоятельная работа «Параллельность прямых и плоскостей»
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
1. В тетраэдре DABC точки М, К, Р являются серединами рёбер AB,BC,BD. Докажите, что плоскости ADC и MKP параллельны.
2. Дан параллелепипед , точка E лежит на грани . Построить сечение параллелепипеда проходящее через точку Е параллельно плоскости .
3. В плоскости α даны параллельные прямые АВ и СD. Через точку К прямой АВ проведена прямая КЕ не лежащая в плоскости α.
а) Докажите, что прямые КЕ и СD скрещивающиеся.
б) Найдите угол между прямыми КЕ и СD , если . 1. В тетраэдре DABC точки Е, К,М являются серединами рёбер AС,BC,СD. Докажите, что плоскости ADВ и ЕKМ параллельны.
2. Дан параллелепипед , точка E лежит на грани . Построить сечение параллелепипеда проходящее через точку Е параллельно плоскости АВСD.
3. В плоскости α даны параллельные прямые АВ и СD. Через точку Р прямой АВ проведена прямая РЕ не лежащая в плоскости α.
а) Докажите, что прямые РЕ и СD скрещивающиеся.
б) Найдите угол между прямыми РЕ и СD, если .
Самостоятельная работа «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
Из вершины А треугольника АВС проведена прямая АDперпендикулярная сторонам АВ и АС этого треугольника.
а) Докажите, что АDперпендикулярно плоскости АВС.
в) Найдите АD, если , ВD=4см, ВС=3см, АС=см.
2. В прямоугольном параллелепипеде АВ=6см, АD=8см, =10см. Найдите
а) диагональ параллелепипеда
в) угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания. Из вершины В треугольника АВС проведена прямая ВК перпендикулярная сторонам АВ и ВС этого треугольника.
а) Докажите, что ВК перпендикулярно плоскости АВС
в) Найдите ВК, если , АК=8см, АС=6см, ВС=см
2. В прямоугольном параллелепипеде АD=6см, CD=4см, =см. Найдите
а) диагональ параллелепипеда
в) угол между диагональю параллелепипеда и плоскостью его основания
Тема 3.2. Многогранники
Задания для контрольной работы по теме 3.2. «Многогранники»
ВАРИАНТ 1 ВАРИАНТ 2
1. Сколько диагоналей у семиугольной призмы? 1. Сколько диагоналей у восьмиугольной усеченной пирамиды?
А) 21;
Б) 28; В) 14;
Г) другой ответ. А) 20;
Б) 28; В) 40;
Г) другой ответ.
Боковая поверхность правильной четырехугольной призмы равна 16 см 2, а полная поверхность 48 см 2. Найдите высоту призмы. 2. Боковая поверхность правильной треугольной призмы равна см 2, а полная поверхность см 2. Найдите высоту призмы.
А) 2 см;
Б) 4 см; В) 1 см;
Г) другой ответ. А) см;
Б) см; В) 3 см;
Г) другой ответ.
Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям, равным 3 см, 4 см, 5 см. 3. Найдите площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда по трём его измерениям, равным 4 см, 4 см, 6 см.
А) 94 см2;
Б) 47 см2; В) 20 см2;
Г) другой ответ. А) 92 см2;
Б) 128 см2; В) 96 см2;
Г) другой ответ.
Найдите боковую поверхность правильной треугольной пирамиды, если сторона основания равна 2 см, а все двугранные углы при основании 30 0. 4. Найдите боковую поверхность правильной четырехугольной пирамиды, если сторона основания равна см, а все двугранные углы при основании 45 0.
А) 2 см 2;
Б) см 2; В) см 2;
Г) другой ответ. А) см 2;
Б) см 2; В) 8 см 2;
Г) другой ответ.
Высота правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна см, а стороны основания 1 см и 4 см. Найдите площадь диагонального сечения. 5. Высота правильной усеченной четырехугольной пирамиды равна см, а стороны основания см и 7 см. Найдите площадь диагонального сечения.
А) 20 см 2;
Б) 10 см 2; В) 5 см 2;
Г) другой ответ. А) см 2;
Б) 20 см 2; В) 12 см 2;
Г) другой ответ.
6. Сторона основания правильной шестиугольной призмы равна 4 см, а высота -см. Найдите объём призмы. 6. Сторона основания правильной треугольной призмы равна см, а высота 5 см. Найдите объём призмы.
А) 60см3;
Б) 72см3; В) 76см3;
Г) другой ответ. А) см3;
Б) см3; В) см3;
Г) другой ответ.
7. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, если боковое ребро равно 10 см, а сторона основания равна см. 7. Найдите боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды, если ее объем равен 4 см3, а сторона основания равна 2 см.
А) 256 см 3;
Б) 224 см 3; В) 192 см 3;
Г) другой ответ. А) см;
Б) см; В) 4 см;
Г) другой ответ.
Тема 3.3.Тела и поверхности вращения
Задания для контрольной работы по теме 3.3. «Тела и поверхности вращения»
Вариант 1
1. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 300 и равна 8 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.
А) 8√3 см;
Б) 16√3 см; В) 4√3 см;
Г) другой ответ.
2. Найдите расстояние от центра шара до плоскости сечения, если радиус шара равен 6 см, а радиус сечения равен 3√3 см.
А) 2√3 см;
Б) 4 см; В) 3 см;
Г) другой ответ.
3. Найдите площадь поверхности сферы, радиус которой равен 4√3 дм.
А) 48 π дм2;
Б) 192 π дм2; В) 60√2 π дм2;
Г) другой ответ.
Боковая поверхность цилиндра равна 48 π см2, радиус основания – 6 см. Найдите площадь осевого сечения.
А) 27 см2;
Б) 48 см2В) 36 см2;
Г) другой ответ.
5. Площадь осевого сечения цилиндра равна 21 см2, а площадь основания – 18 π см2. Найдите объем цилиндра
А) 9 π см3;
Б) 21 π см3; В) 63 π см3;
Г) другой ответ.
6. По какой формуле вычисляется площадь поверхности цилиндра, радиус основания которого r, а высота h?
А) 4πrh;
Б) 2πrh; В) πrh;
Г) другой ответ.
7. Площадь осевого сечения цилиндра равна 12 см2, а высота цилиндра – 2 см. Найдите радиус основания.
А) 3√2 см;
Б) 4 см;
В) 3 см;
Г) другой ответ.
8. Радиусы оснований усеченного конуса равны 12 см и 6 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 450. Найдите высоту конуса.
А) 3 см;
Б) 4 см; В) 6 см;
Г) другой ответ.
9. Осевым сечением конуса является:
А) круг;
Б) квадрат; В) треугольник;
Г) другой ответ.
10. По какой формуле вычисляется объем шара?
Вариант 2
1. Образующая конуса наклонена к плоскости основания под углом 600 и равна 4 см. Найдите площадь осевого сечения конуса.
А) 8√3 см;
Б) 16√3 см; В) 4√3 см;
Г) другой ответ.
2. Найдите радиус шара, если расстояние от центра шара до плоскости сечения равно 3 см, а радиус сечения равен √7 см.
А) 2√3 см;
Б) 4 см; В) 2,5 см;
Г) другой ответ.
3. Найдите площадь поверхности сферы, радиус которой равен 2√5 дм.
А) 60 π дм2;
Б) 120 π дм2; В) 80 π дм2;
Г) другой ответ.
4. Боковая поверхность цилиндра равна 18 π см2, радиус основания – 3 см. Найдите площадь осевого сечения.
А) 27 см2;
Б) 18 см2; В) 36 см2;
Г) другой ответ
Площадь осевого сечения цилиндра равна 12 см2, а площадь основания – 4 π см2. Найдите объем цилиндра.
А) 6 π см3;
Б) 12 π см3; В) 8 π см3;
Г) другой ответ.
6. По какой формуле вычисляется площадь боковой поверхности конуса, радиус основания которого r, а образующая k?
А) 4πrk;
Б) 2πrk; В) πrk;
Г) другой ответ.
7. Площадь осевого сечения цилиндра равна 20 см2, а высота цилиндра – 5 см. Найдите радиус основания.
А) 4 см;
Б) 8 см; В) 2 см;
Г) другой ответ.
8. Радиусы оснований усеченного конуса равны 10 см и 4 см, а образующая наклонена к плоскости основания под углом 450. Найдите площадь осевого сечения конуса.
А) 10,5 см2;
Б) 19 см2; В) 21 см2;
Г) другой ответ.
9. Осевым сечением цилиндра является:
А) круг;
Б) прямоугольник; В) треугольник;
Г) другой ответ.
10. По какой формуле вычисляется объем усеченного конуса?
Тема 3.4. Измерения в геометрии
Задания для контрольной работы по теме 3.4. «Измерения в геометрии»
Вариант 1
1. Цилиндр имеет диаметр основания 12 см а высоту 6 см. Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.
2. Равнобедренный прямоугольный треугольник вращается вокруг оси, содержащей один из его катетов. Найдите объем фигуры вращения и площадь её полной поверхности, если длина гипотенузы треугольника равна 6 см.
3. Радиусы оснований усеченного конуса r = 4 см и R = 8 см, образующая наклонена к плоскости основания под углом 600. Найдите объем и площадь полной поверхности.
4. Площадь боковой поверхности конуса равна см2, а его образующая равна 13 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему данного конуса.
5. Шар касается сторон треугольника МКР, причем МК = 4 см, МР = 5 см, КР = 7 см. Центр шара – точка О – находится от плоскости треугольника МКР на расстоянии, равном см. Найдите объем шара.
Вариант 2
1. Прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см вращается вокруг оси, содержащей катет длиной 12 см. Найдите объем фигуры вращения и площадь её полной поверхности.
2. Цилиндр имеет диаметр основания 14 см, а высоту 5 см. Найдите объем и площадь полной поверхности цилиндра.
3. Радиусы оснований усеченного конуса r = 2 см и R = 6 см, образующая наклонена к плоскости основания под углом 450. Найдите объем и площадь полной поверхности.
4. Радиус основания конуса равен 12 см, а его образующая равна 13 см. Найдите ребро куба, объем которого равен объему данного конуса.
5. На поверхности шара даны три точки А, В и С такие, что АВ = 8 см, ВС = 15 см, АС = 17 см. Центр шара – точка О – находится на расстоянии см от плоскости, проходящей через точки А, В и С. Найдите объем шара.
5.5. Тема 3.5. Координаты и векторы
Заполните пропуски
Вектором на плоскости называется …
Вектором в пространстве называется …
Вектор изображается …
Вектор обозначается …
Модулем вектора называется …
Длиной вектора называется …
Два вектора в пространстве называются противоположно направленными, если …
Два вектора в пространстве называются одинаково направленными, если …
Два вектора считаются равными, если …
При умножении вектора на число …
Нулевой вектор коллинеарен …….. вектору.
Для того, чтобы сложить два вектора, нужно …
Два вектора называются коллинеарными, если …
Задания для контрольной работы по теме 3.4. «Координаты и векторы».
Вариант 1
1. Дан вектор В (-7; 4; -3). Найдите сумму расстояний от точки В до оси OX и от точки В до плоскости YOZ.
2. Известны координаты вершин треугольника CDE: C (-3; 4; 2), D (1; -2; 5), E (-1; -6; 4). DK – медиана треугольника. Найдите DK.
3. Дан вектор В (-2; 5; 3). Точка С - симметрична точке В относительно плоскости XOZ, а точка D симметрична точке C относительно оси OZ. Найдите расстояние между точками В и D.
4. При параллельном переносе точка А (-2; 3; 5) переходит в точку А1 (1; -1; 2). Найдите сумму координат точки В1, в которую переходит при этом параллельном переносе точка В (-4; -3; 1).
5. Упростите: а) ; б) .
6. Даны четыре точки А (2; 5; -3), В (-2; 3; -4), С (-6; 1; -5), D (-2; -1; -4). Укажите среди векторов равные векторы.
7. Выясните, компланарны ли векторы .
8. При каком значении (значениях) k векторы и перпендикулярны?
9. ABCD – параллелограмм. Точка М не лежит в плоскости параллелограмма. Выразите вектор через векторы , , .
10. Даны координаты точек: С (3; -2; 1), D (-1; 2; 1), М (2; -3; 3), N (-1; -1; -2). Найдите косинус угла между векторами и .
11. В треугольнике ABC даны координаты вершин А (-1; 2; 3), В (2; -1; 0), С (-4; 2; -3). Вычислите периметр треугольника.
Вариант 2
1. Дан вектор А (3; -2; -4). Найдите сумму расстояний от точки А до оси OY и от точки A до плоскости XOZ.
2. Известны координаты вершин треугольника ABC: A (2; -1; -3), B (-3; 5; 2), C (-2; 3; -5). BM – медиана треугольника ABC. Найдите длину ВМ.
3. Дан вектор А (3; 1; -4). Точка В - симметрична точке А относительно плоскости XOY, а точка С симметрична точке В относительно оси OY. Найдите расстояние между точками А и С.
4. При параллельном переносе точка М (-3; 2; -5) переходит в точку М1 (1; -3; -2). Найдите сумму координат точки К1, в которую переходит при этом параллельном переносе точка К (1; -2; -5).
5. Упростите: а) ; б) .
6. Даны четыре точки А (2; 7; -3), В (1; 0; 3), С (-3;-4; 5), D (-2; 3; -1). Укажите среди векторов равные векторы.
7. Выясните, коллинеарны ли векторы и .
8. При каком значении (значениях) m векторы и перпендикулярны?
9. ABCD – квадрат. Точка Н не лежит в плоскости квадрата. Выразите вектор через векторы , , .
10. Даны координаты точек: А (1; -1; -4), В (-3; -1; 0), С (-1; 2; 5), D (2; -3; 1). Найдите косинус угла между векторами и .
11. Даны координаты точек А (-3; 2; -1), В (2; -1; -3), С (1; -4; 3), D (-1; 2; -2). Найдите .
6. Раздел 4. Комбинаторика, статистика и теория вероятностей
6.1. Тема 4.1. Элементы комбинаторики
6.2. Тема 4.2. Элементы теории вероятностей
6.3. Тема 4.3. Элементы математической статистики
Самостоятельная работа на тему
«Решение простейших задач теории вероятностей»
Вариант 1 Вариант 2
Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал 5 различных цветов?
Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4. При условии, что каждая цифра может содержаться в записи числа лишь нечетное число раз?
Из колоды в 36 карт вытаскивают две карты. Какова вероятность извлечь при этом 2 туза? В яхт-клубе состоит 9 человек. Из них надо выбрать председателя, заместителя, секретаря и казначея. Сколькими способами это можно сделать?
Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,0. При условии, что каждая цифра может содержаться в записи числа лишь 1 раз?
Из колоды в 36 карт вытаскивают три карты. Какова вероятность того, что все они тузы?
Задания для контрольной работы по теме 4.2. Элементы теории вероятности
Вариант 1 Вариант 2
Вычислить: а) б) .
Из урны, в которой находятся 5 белых и 4 черных шара, вынимают один шар. Найти вероятность того, что шар черный.
В ячейке содержится 10 одинаковых деталей помеченных номерами 1, 2, 3, …, 10. Наудачу извлечены 6-ть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей останется деталь № 1 Вычислить: а) б) .
В лотерее из 10 000 билетов имеются 2 000 выигрышных. Вынимают наугад один билет. Чему равна вероятность тому, что билет выигрышный.
В ящике содержится 10 одинаковых деталей помеченных номерами 1,2,3,…10. научу извлечены 6-сть деталей. Найти вероятность того, что среди извлеченных деталей останется деталь № 1 и №2.
Задания для контрольной работы на тему «Комбинаторика, статистика и теория вероятностей»
Уровень А.
А1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:
1) завтра будет хорошая погода;
2) в январе в городе пойдет снег;
3) в 12 часов в городе идет дождь, а через 24 часа будет светить солнце;
4) на день рождения вам подарят говорящего крокодила;
5) круглая отличница получит двойку;
6) камень, брошенный в воду утонет.
А2. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда: 5, 6, 11, 11, – 1.
А3. Какова вероятность того, что задуманное двузначное число делится на 3 или делится на 2? Определите вид события.
а) сложение событий; б) произведение событий.
А4. Вычислите.
А5. На стол бросают два игральных тетраэдра (серый и белый), на гранях каждого из которых точками обозначены числа от 1 до 4. Сколько различных пар чисел может появиться на гранях этих тетраэдров, соприкасающихся с поверхностью стола?
А6. Из 10 первых натуральных чисел случайно выбираются 2 числа. Вычислите вероятности
следующих событий:
а) одно из выбранных чисел – двойка; б) оба числа нечетные.
Уровень В.
В7. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?
В8. На каждой карточке написана одна из букв к, л, м, н, о, п. Четыре карточки наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании получится слово «клоп»?
Уровень С.
С9. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное число при делении на 11 дает в остатке 10.
2 вариант
Уровень А.
А1. Для каждого из описанных событий определите, каким оно является: невозможным, достоверным или случайным:
1) вы выходите на улицу, а навстречу идет слон;
2) вас пригласят лететь на Луну;
3) черепаха научится говорить;
4) выпадет желтый снег;
5) вы не выиграете, участвуя в беспроигрышной лотерее;
6) после четверга будет пятница.
А2. Определите моду, среднее арифметическое и размах ряда:15, 4, 12, – 3, 15.
А3. Какова вероятность того, что первое из задуманных двузначных чисел делится на 2, а второе – делится на 5? Определите вид события.
а) сложение событий; б) произведение событий.
А4. Вычислите.
А5. Из коробки, содержащей 8 мелков различных цветов, Гена и Таня берут по одному мелку. Сколько существует различных вариантов такого выбора двух мелков?
А6. Из 10 первых натуральных чисел случайно выбираются 2 числа. Вычислите вероятности
следующих событий:
а) одно из выбранных чисел – единица; б) оба числа четные.
Уровень В.
В7. В урне 6 белых и 4 черных шара. Из этой урны наудачу извлекли 5 шаров. Какова вероятность того, что 2 из них белые, а 3 черные?
В8. На каждой карточке написана одна из букв р, с, т, у, л, х. Четыре карточки наугад выкладывают одну за другой в ряд. Какова вероятность, что при выкладывании получится слово «стул»?
Уровень С.
С9. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное число при делении на 13 дает в остатке 5.Письменная экзаменационная работа по дисциплине «Математика»
Вариант № 1
Инструкция по выполнению экзаменационной работы
На выполнение письменной экзаменационной работы по математике даётся 4 часа (240 минут).
Экзаменационная работа состоит из двух частей: обязательной и дополнительной.
Обязательная часть содержит 15 заданий минимального обязательного уровня, а дополнительная часть – более сложные задания.
При выполнении большинства заданий обязательной части требуется представить ход решения и указать полученный ответ. Только в нескольких заданиях достаточно представить ответ. За правильное выполнение любого задания из обязательной части Вы получаете один балл. Если Вы приводите неверное решение, неверный ответ или не приводите никакого ответа, получаете 0 баллов за задание.
При выполнении любого задания дополнительной части необходимо подробно описать ход решения и дать ответ.
Правильное выполнение заданий дополнительной части оценивается 3 баллами.
Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.
Баллы, полученные за все выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь правильно выполнить как можно больше заданий и набрать как можно больше баллов.
Обязательная часть
В1. Таксист за месяц проехал 6000 км. Стоимость 1 литра бензина — 20 рублей. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?
В2. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
5738495-560070В3. Стоимость проезда в пригородном электропоезде составляет 198 рублей. Школьникам предоставляется скидка 50%. Сколько рублей стоит проезд группы из 12 школьников?
В4. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 10 черных, 2 желтых и 8 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчице. Найдите вероятность того, что к ней приедет зеленое такси.
В5. Найдите корень уравнения .
В6. Вычислите значение выражения .
В7. Найдите значение выражения .
В8. Вычислите значение выражения .
В9. Найдите значение , если известно, что и четверти.
5534025118745В10. Высота конуса равна 15, а диаметр основания – 16. Найдите образующую конуса.
В11. Решите уравнение .
В12. Найдите наименьшее целое число из области определения функции .
В13. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
В14. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки правильной треугольной призмы площадь основания которой равна 3, а боковое ребро равно 2.5803900-1198245
В15. На рисунке изображён график функции и семь точек на оси абсцисс: х1, х2, х3, , х7. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?
3987800-877570
Дополнительная часть
С1. Решите неравенство
С2. Дано уравнение 5cos2x-12cosx+4=0
а) Решите уравнение;
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
С3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и .
С4. Решите уравнение
С5. Найдите наибольшее значение функции на отрезке .
Вариант № 2
Инструкция по выполнению экзаменационной работы
На выполнение письменной экзаменационной работы по математике даётся 4 часа (240 минут).
Экзаменационная работа состоит из двух частей: обязательной и дополнительной.
Обязательная часть содержит 15 заданий минимального обязательного уровня, а дополнительная часть – более сложные задания.
При выполнении большинства заданий обязательной части требуется представить ход решения и указать полученный ответ. Только в нескольких заданиях достаточно представить ответ. За правильное выполнение любого задания из обязательной части Вы получаете один балл. Если Вы приводите неверное решение, неверный ответ или не приводите никакого ответа, получаете 0 баллов за задание.
При выполнении любого задания дополнительной части необходимо подробно описать ход решения и дать ответ.
Правильное выполнение заданий дополнительной части оценивается 3 баллами.
Для экономии времени пропускайте задание, которое не удаётся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время, Вы сможете вернуться к пропущенным заданиям.
Баллы, полученные за все выполненные задания, суммируются.
Постарайтесь правильно выполнить как можно больше заданий и набрать как можно больше баллов.
Обязательная часть
В1. Летом килограмм клубники стоит 80 рублей. Мама купила 1 кг 200 г клубники. Сколько рублей сдачи она получит с 500 рублей?
В2. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
5432425-901065В3. Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое наибольшее число билетов можно будет купить на 100 рублей после повышения цены билета на 20%?
534670066040В4. В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, — вершина, , . Найдите длину отрезка .
В5. Найдите корень уравнения .
В6. На тарелке 16 пирожков: 7 с рыбой, 5 с вареньем и 4 с вишней. Юля наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
В7. Вычислите значение выражения .
В8. Решите уравнение .
В9. Найдите значение выражения .
В10. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки правильной треугольной призмы площадь основания которой равна 9, а боковое ребро равно 8.
5741670-664845В11. Прямая параллельна касательной к графику функции . Найдите абсциссу точки касания.
В12. Найдите набольшее целое число из области определения функции .
В13. Вычислите значение выражения .
В14. Найдите значение , если известно, что и четверти.
В15. На рисунке изображён график функции и семь точек на оси абсцисс: , , , , . В скольких из этих точек производная функции положительна?
Дополнительная часть
С1. Решите неравенство
С2. Дано уравнение 6sin2x-5sinx-4=0
а) Решите уравнение;
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
С3. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной графиками функций и .
С4. Решите уравнение .
С5. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .