Билеты к экзамену, 2 курс (ТЕХМАШ- 27 ГР.)

Билеты к экзамену.
Билет № 1.
Матрица. Виды матриц.
Сколькими способами можно переставить буквы в слове «радиус»?
Вычислите: . Билет №2.
Линейные операции над матрицами.
Вычислить определенный интеграл .Решить систему по формулам Крамера:
Билет № 3.
Определители второго и третьего порядка.
Вычислить неопределенный интеграл
Решить систему методом Гаусса:
Билет № 4.
Решение систем линейных уравнений матричным способом.
Вычислить определитель .
Вычислить .Билет № 5.
Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел z1 и z2: z1= 53i, z2= 2 – 5i.
Вычислить интеграл : .
Билет № 6.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Вычислить определитель .
Запишите комплексное число в тригонометрической форме: .Билет № 7.
Определение комплексного числа.
Даны матрицы А и В. Найти С = – 2А В. и .
Найдите x и y, для которых .
Билет № 8.
Форма записи комплексных чисел.
Вычислить интеграл :
Вычислить определитель матрицы: .Билет № 9.
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической и тригонометрической форме.
Даны матрицы А и В. Найти С = 2А В. .Вычислить неопределенный интеграл.
Билет № 10.
Перестановки, размещения, сочетания.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел z1 и z2: z1= 8 i, z2= 2 – 5i.
Вычислить неопределенный интеграл .Билет № 11.
Вероятность событий. Виды событий.
Даны матрицы А и В. Найти С = А 2В. и .

Вычислить определенный интеграл .Билет № 12.
Операции над событиями.
Вычислить определитель .
При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут противоположными?

Билет № 13.
Формула полной вероятности и формула Байеса.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел и :
Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.
Билет № 14.
Графическое и табличное представление данных.
Вычислить интеграл :
Известно, что Найдите: Билет № 15.
Неопределенный интеграл. 
Сколькими способами можно переставить буквы в слове «фикус»?
Запишите комплексное число в виде .
Билет № 16.
Методы вычисления неопределенных интегралов.
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете учащемуся не достанется вопрос по производной.
Вычислить определитель матрицы: .Билет № 17.
Определенный интеграл.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел и :
Вычислить определитель матрицы .
Билет № 18.
Способы интегрирования.
Сколькими способами можно переставить буквы в слове «фокус»?
Вычислить определитель матрицы .
Билет № 19.
Применение производной к исследованию функций.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел и :
Вычислить определитель по правилу Саррюса (треугольника) .Билет № 20.
Вычисление площади плоских фигур с помощью определённого интеграла.
В партии из 100 деталей имеется 3 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.
Вычислить определитель по правилу Саррюса (треугольника) .
Решение задач по билетам.
Билет № 1.
Сколькими способами можно переставить буквы в слове «радиус»?
Решение: В данном случае необходимо найти число перестановок из 6 букв, а поскольку в слове «радиус» все буквы разные, то число перестановок определяем по формуле:
P6=6!= 1·2·3·4·5·6 = 720.
Ответ: 720.
Вычислите: .Решение:
Ответ:
Билет №2.
Вычислить определенный интеграл .Решение:
Ответ: 10.
Решить систему по формулам Крамера:
Решение: Вычисляем определитель матрицы системы:
Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:



Таким образом,
Ответ:
Билет № 3.
Вычислить неопределенный интеграл
Решение: 4x+12dx=2х2+12х+С.
Ответ: 4x+12dx=2х2+12х+С.
Решить систему методом Гаусса:
Решение: Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду.
Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент  равнялся 1:

rang A= rang=3, n = m = 3,система имеет единственное решение.

,

.
Ответ: , ,.
Билет № 4.
Вычислить определитель .
Решение:
Ответ: 29.
Вычислить .Решение:


. Ответ: .Билет № 5.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел z1 и z2: z1= 53i, z2= 2 – 5i.
Решение: z1+z2 =(5+3i) + (2-5i) = (5+2) + (3-5) i = 7 - 2i.
z1-z2 = (5+3i) - (2-5i) = (5-2) + (3+5) i = 3 + 8i.
Ответ: z1+z2 = 7 - 2i. z1-z2 = 3 + 8i.
Вычислить интеграл : .
Решение:

Ответ: 23.
Билет № 6.
Вычислить определитель .
Решение:
Ответ: 14.
Запишите комплексное число в тригонометрической форме: .Решение: Запишем сначала число в тригонометрической форме: arctg z = arctg 31 = π3 , z = 2(cos π3 + i sin π3).
Ответ: z = 2(cos π3 + i sin π3).
Билет № 7.
Даны матрицы А и В. Найти С = – 2А В. и .
Решение: , =.
Ответ: .
Найдите x и y, для которых .
Решение:

Получим и решим систему двух уравнений:

Ответ: .

Билет № 8.
Вычислить интеграл : .
Решение:
Ответ: 14.
Вычислить определитель матрицы: .Решение:
Ответ: -83.
Билет № 9.
Даны матрицы А и В. Найти С = 2А +В. .Решение:
+=.
Ответ: .Вычислить неопределенный интеграл
Решение: Внесем под знак интеграла  2х так, чтобы полученный многочлен под знаком интеграла совпадал со знаменателем

В результате, получили табличный интеграл №4, который в свою очередь равен

Ответ: .
Билет № 10.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел z1 и z2: z1= 8 + i, z2= 2 – 5i.
Решение: z1+z2 =(8+ i) + (2-5i) = (8+2) + (1-5) i = 10 - 4i.
z1-z2 = (8+ i) - (2-5 i) = (8-2) + (1+5)i = 6 + 6i.
Ответ: z1+z2 = 10 - 4i. z1-z2 = 6 + 6i.
Вычислить неопределенный интеграл .Решение: за  обозначается многочлен. Интегрируем по частям:
x dxsin2x=-xctgx+ctgxdx=-xctgx+cosxdxsinx=-xctgx+dsinxsinx==-хctgx + lnsinx+C, где C=const.Ответ: -хctgx + lnsinx+C.
Билет № 11.
Даны матрицы А и В. Найти С = А + 2В. и .
Решение:
, +=.
Ответ: .Вычислить определенный интеграл .Решение:
Ответ: 8.
Билет № 12.
Вычислить определитель .
Решение: Ответ: 7.
При каких действительных значениях x и y комплексные числа z1 = (x – 4) + (y2 + 5) i и z2 = (y2 + 1) + (-3x)i будут противоположными?
Решение:
Комплексные числа z1 = (x – 4) + (y2 + 5)i и z2 = (y2 + 1) + (-3x)i ,будут противоположными, если выполняются условия:

Ответ: (2; -1) ; (2; 1).
Билет № 13.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел z1 и z2: z1= 3+5i , z2= 7+i.
Решение: z1+z2 =(3+5i) + (7+ i) = (3+7) + (5+1) i = 10 + 6i.
z1-z2 = (3+5i) - (7+ i) = (3-7) + (5-1) i = - 4 + 4i.
Ответ: z1+z2 = 10 + 6i. z1-z2 = - 4 + 4i.
Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.
Решение: Случайная величина X числа очков принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность того, что выпадет одно из данных значений равна 1/6. Закон распределения представим в виде таблицы:
Значения xi1 2 3 4 5 6
Вероятности pi1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Найдем математическое ожидание величины Х:
М(Х) = 1·1/6 + 2·1/6 + 3·1/6 + 4·1/6 + 5·1/6 + 6·1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5.
Ответ: М(Х) = 3,5.
Билет № 14.
Вычислить интеграл :
Решение:
Ответ: - 10.
Известно, что z1 = 3 + i, z2 = 2i. Найдите: z2 z1.
Решение: z2z1 = 2i3-i = 2i (3+i)3-i(3+i) =-2+6i9+1= - 0,2 + 0,6i ;
Ответ: : z2z1 = - 0,2 + 0,6i .
Билет № 15.
Сколькими способами можно переставить буквы в слове «фикус»?
Решение:
В данном случае необходимо найти число перестановок из 5 букв, а поскольку в слове «фикус» все буквы разные, то число перестановок определяем по формуле: P5=5!=1·2·3·4·5=120.
Ответ: 120.
Запишите комплексное число в виде .
Решение: Имеем
Ответ: .Билет № 16.
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете учащемуся не достанется вопрос по производной.
Решение:
В данном случае число благоприятных исходов равно (25-10)=15, общее число событий – 25.Вероятность события А = {учащемуся не достанется вопрос по производной} находим как отношение: Р(А) = 15/25 = 0,6 = 60 %.
Ответ: Р(А) = 0,6 = 60 %.
Вычислить определитель матрицы: .Решение:
Ответ: 17.
Билет № 17.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел z1 и z2: z1= 9+5i , z2= 2+i.
Решение: z1+z2 =(9 + 5i) + (2 + i) = (9+2) + (5+1) i = 11+ 6 i.
z1-z2 = (9+5i) - (2 + i) = (9 - 2) + (5-1) i = 7 + 4i.
Ответ: z1+z2 = 11 + 6i. z1-z2 = 7 + 4 i.
Вычислить определитель матрицы .
Решение:

Ответ: 63.
Билет № 18.
Сколькими способами можно переставить буквы в слове «фокус»?
Решение:
В данном случае необходимо найти число перестановок из 5 букв, а поскольку в слове «фокус» все буквы разные, то число перестановок определяем по формуле: P5=5!=1·2·3·4·5=120.
Ответ: 120.
Вычислить определитель матрицы .
Решение:

Ответ: 68.
Билет № 19.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел z1 и z2 : z1=2+3i ,z2= 1+2i.
Решение: z1+z2 =(2 + 3i) + (1 + 2i) = (2+1) + (3+2) i = 3+ 5 i.
z1-z2 = (2+3i) - (1 + 2i) = (2 - 1) + (3-2) i = 1 + i.
Ответ: z1+z2 = 3+5i. z1-z2 = 1+ i.
Вычислить определитель по правилу Саррюса (треугольника) .Решение:

Ответ: - 13.
Билет № 20.
В партии из 100 деталей имеется 3 бракованных. Определить вероятность того, что, взятая наугад, деталь окажется стандартной.
Решение:
А: взятая наугад деталь оказалась стандартной.
Число исходов, благоприятствующих наступлению события А, равно 97.Поэтому вероятность события равна P(A) = m/ n = 97/100 = 0,97 .
Ответ: 0,97.
Вычислить определитель по правилу Саррюса (треугольника) .Решение:

Ответ: - 47.