Билеты к экзамену ,2 курс(ОМД-21 ГР.)
Билеты к экзамену.
Билет № 1.
Предел функции.
Вычислить определитель .
Найдите x и y, для которых .
Билет №2.
Первый и второй замечательные пределы.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел и :
Вычислить интеграл : .
Билет № 3.
Асимптоты графика функции.
Вычислить:
Вычислить определитель по правилу Саррюса (треугольника) .Билет № 4.
Неопределенный интеграл.
Сколькими способами можно переставить буквы в слове «фикус»?
Запишите комплексное число в виде .
Билет № 5.
Методы вычисления неопределенных интегралов.
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете учащемуся не достанется вопрос по производной.
Вычислить определитель матрицы: .Билет № 6.
Определенный интеграл.
Вычислить:
Вычислить определитель матрицы .
Билет № 7.
Определение комплексного числа.
Даны матрицы А и В. Найти С = -2А + В. и .
Вычислить предел .Билет № 8.
Форма записи комплексных чисел.
Вычислить интеграл :
Вычислить определитель матрицы: .Билет № 9.
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической и тригонометрической форме.
Даны матрицы А и В. Найти С = 2А +В. .Вычислить неопределенный интеграл
Билет № 10.
Основные виды случайных событий.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел и :
Вычислить неопределенный интеграл .Билет № 11.
Способы подсчета вероятности события.
Даны матрицы А и В. Найти С = А + 2В. и .
Вычислить определенный интеграл .Билет № 12.
Операции над событиями.
Вычислить: .При каких действительных значениях x и y комплексные числа и будут противоположными?
Билет № 13.
Формула полной вероятности и формула Байеса.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел и :
Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.
Билет № 14.
Закон распределения дискретной случайной величины.
Вычислить: .
Известно, что Найдите: Билет № 15.
Матрицы.
Сколькими способами можно переставить буквы в слове «радиус»?
Вычислите: .Билет № 16.
Линейные операции над матрицами.
Вычислить определенный интеграл .Решить систему по формулам Крамера, методом Гаусса:
Билет № 17.
Определители.
Вычислить неопределенный интеграл
Решить систему по формулам Крамера, методом Гаусса:
Билет № 18.
Решение систем линейных уравнений матричным способом.
Вычислить определитель .
Исследовать график функции на наличие асимптот
Билет № 19.
Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел и :
Вычислить:
Билет № 20.
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
Вычислить: .
Запишите комплексное число в тригонометрической форме: .Решение задач по билетам.
Билет № 1.
Вычислить определитель .
Решение: .Ответ: 14.
Найдите x и y, для которых .
Решение: .Получим и решим систему двух уравнений:
Ответ: .
Билет №2.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел и : z1=2+3i ,z2= 1+2i.
Решение: z1+z2 =(2+3 i) + (1+2 i) = (2+1) + (3+2) i = 3 + 5 i.
z1-z2 = (2+3 i) - (1+2 i) = (2-1) + (3-2) i = 1 + i.
Ответ: z1+z2 =3 + 5 i. z1-z2 = 1 + i.
Вычислить интеграл : .
Решение: .Ответ: 23.
Билет № 3.
Вычислить: .Решение: .Ответ: 0.
Вычислить определитель по правилу Саррюса (треугольника) .Решение: Ответ: -13.
Билет № 4.
Сколькими способами можно переставить буквы в слове «фикус»?
Решение: В данном случае необходимо найти число перестановок из 5 букв, а поскольку в слове «фикус» все буквы разные, то число перестановок определяем по формуле: P5=5!=1·2·3·4·5=120.
Ответ: 120.
Запишите комплексное число в виде .
Решение: Имеем
Ответ: .Билет № 5.
В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по производной. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете учащемуся не достанется вопрос по производной.
Решение: В данном случае число благоприятных исходов равно (25-10)=15, общее число событий – 25.Вероятность события А = {учащемуся не достанется вопрос по производной} находим как отношение: Р(А) = 15/25 = 0,6 = 60 %.
Ответ: Р(А) = 0,6 = 60 %.
Вычислить определитель матрицы: .Решение:
Ответ: 17.
Билет № 6.
Вычислить: .Решение:
Ответ: 0.
Вычислить определитель матрицы .
Решение:
Ответ: 63.
Билет № 7.
Даны матрицы А и В. Найти С = -2А + В.
и .
Решение:
, +=.
Ответ: .Вычислить предел .Решение:
Получим неопределенность, разложим на множители числитель и знаменатель, сократим одинаковые элементы.
Ответ: - 4.
Билет № 8.
Вычислить интеграл : .
Решение:
Ответ: 14.
Вычислить определитель матрицы: .Решение:
Ответ: - 83.
Билет № 9.
Даны матрицы А и В. Найти С = 2А +В.
.
Решение:
+=.
Ответ: .Вычислить неопределенный интеграл .Решение: Внесем под знак интеграла 2x так, чтобы полученный многочлен под знаком интеграла совпадал со знаменателем
В результате, получили табличный интеграл, который в свою очередь равен
Ответ:
Билет № 10.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел z1 и z2: z1 = 8 + i, z2 = 2 – 5i.
Решение:
z1 + z2 =(8+ i) + (2-5i) = (8+2) + (1-5) i = 10 - 4i.
z1 - z2 = (8+ i) - (2-5 i) = (8-2) + (1+5)i = 6 + 6i.
Ответ: z1 + z2 = 10 - 4i. z1 - z2 = 6 + 6i.
Вычислить неопределенный интеграл
Решение:
за u обозначается многочлен. Интегрируем по частям:
u = x => du = dx,
dv = => v = = - ctg x.
.
Ответ:
Билет № 11.
Даны матрицы А и В. Найти С = А + 2В.
и .
Решение:
, +=.
Ответ: .Вычислить определенный интеграл .Решение:
Ответ: 8.
Билет № 12.
Вычислить: .Решение: , следствие из 1 замечательного предела.
Ответ: 6.
При каких действительных значениях x и y комплексные числа
z1 = (x – 4) + (y2+ 5)i и z2 = (y2+ 1) + (-3x)i будут противоположными?
Решение:
Комплексные числа z1 = (x – 4) + (y2+ 5)i и z2 = (y2+ 1) + (-3x)i ,будут противоположными, если выполняются условия:
Ответ: (2; -1) ; (2; 1).
Билет № 13.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел z1 и z2: z1 = 3 + 5i, z2 = 7 + i.
Решение:
z1 + z2 =(3+5i) + (7+ i) = (3+7) + (5+1) i = 10 + 6i.
z1 - z2 = (3+5i) - (7+ i) = (3-7) + (5-1) i = - 4 + 4i.
Ответ: z1 + z2 = 10 + 6i. z1 - z2 = - 4 + 4i.
Найти математическое ожидание числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.
Решение: Случайная величина X числа очков принимает значения 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность того, что выпадет одно из данных значений равна 1/6. Закон распределения представим в виде таблицы:
Значения xi1 2 3 4 5 6
Вероятности pi1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Найдем математическое ожидание величины Х:
М(Х) = 1·1/6 + 2·1/6 + 3·1/6 + 4·1/6 + 5·1/6 + 6·1/6 = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5.
Ответ: М(Х) = 3,5.
Билет № 14.
Вычислить: .Решение:
Ответ: 0.
Известно, что. Найдите: .
Решение:
.
Ответ: .Билет № 15.
Сколькими способами можно переставить буквы в слове «радиус»?
Решение:
В данном случае необходимо найти число перестановок из 6 букв, а поскольку в слове «радиус» все буквы разные, то число перестановок определяем по формуле:
P6=6!= 1·2·3·4·5·6 = 720.
Ответ: 720.
Вычислите: .Решение: Ответ:
Билет № 16.
Вычислить определенный интеграл .Решение:
Ответ: 10.
Решить систему по формулам Крамера:
Решение:
Вычисляем определитель матрицы системы:
Так как определитель матрицы системы неравен нулю, то по теореме Крамера система совместна и имеет единственное решение. Для его нахождения вычислим следующие определители:
Таким образом,
Ответ:
Билет № 17.
Вычислить неопределенный интеграл .Решение:
Ответ:
Решить систему методом Гаусса:
Решение:
Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду.
Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент a11 равнялся 1:
Так как rang A= rang = 3 и n = m = 3, то система имеет единственное решение.
,
.
Ответ: , ,.
Билет № 18.
Вычислить определитель .
Решение:
Ответ: 29.
Исследовать график функции на наличие асимптот .Решение: Так как функция непрерывна на R , то вертикальные асимптоты отсутствуют.Выясним, есть ли у графика наклонные асимптоты:k
.Значит, при у графика нет наклонной асимптоты.
.
Таким образом, прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой графика данной функции при .Ответ: ось абсцисс при .
Билет № 19.
Найдите сумму и разность двух комплексных чисел z1 и z2: z1 = 5 + 3i, z2 = 2 – 5i.
Решение:
z1 + z2 = (5+3i) + (2-5i) = (5+2) + (3-5) i = 7 - 2i.
z1 - z2 = (5+3i) - (2-5i) = (5-2) + (3+5) i = 3 + 8i.
Ответ: z1 + z2 = 7 - 2i. z1 - z2 = 3 + 8i.
Вычислить: .Решение:
, следствие из 2 замечательного предела.
Ответ: .Билет № 20.
Вычислить: .
Решение:
Ответ: 5.
Запишите комплексное число в тригонометрической форме: .Решение:
Запишем сначала число в тригонометрической форме: arctg z = arctg 31 = π3 , z = 2(cosπ3 + i sinπ3).
Ответ: z = 2(cosπ3 + i sinπ3).
.