Исследовательская работа на тему Симметрия орнамента вышивки мордовского национального костюма

Районная научно-практическая конференция
«Старт в науку»
«Симметрия орнамента вышивки мордовского национального костюма»
Математика
Автор: Воронкова Алёна Сергеевна,
ученица 8 класса,
МБОУ ООШ с. Мачкассы Руководитель: Куликова Елена Владимировна,
учитель математики - физики,
МБОУ ООШ с. Мачкассыс. Мачкассы, 2017
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u ВВЕДЕНИЕ31. Симметрия в геометрии42. Симметрия в орнаменте.53. Симметрия, как основной принцип построения мордовского орнамента6
4. Вышивка эрзянского и мокшанского женского костюма.8ЗАКЛЮЧЕНИЕ10
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ11
ПРИЛОЖЕНИЕ12

ВВЕДЕНИЕ
На протяжении многих столетий оттачивалось народное художественное мастерство мордовского народа.
Художественное творчество народа формировалось с учетом традиций финно-угорского мира и взаимодействия с культурами соседних народов. Наиболее ярко оно проявилось в орнаментике народного мордовского костюма, бытовых и ритуальных предметах, зодчестве. Сложность орнаментальных форм дает нам возможность показать красоту математики, ее органичность в окружающем нас мире. В данной работе мы исследовали состав орнаментального мотива композиции и типовой состав рисунка с точки зрения математики.
Симметрия с древних времен привлекает к себе внимание людей. В наблюдаемой симметрии природных форм находили подтверждение разумного устройства мироздания, в ней искали суть красоты, свидетельство гармонии. Симметрия принадлежит и миру человека в его творениях, в его мышлении и миру природы в ее образах, она прокладывает мост между человеком и природой.
Для исследования нами был выбран мордовский орнамент.
Объектом данного исследования является национальные мордовские узоры.
Предмет исследования – симметрия орнамента вышивки мордовского национального костюма. 
Актуальность заключается в значимости и неповторимости мордовской символики как элемента общероссийской культуры. Орнамент - важная часть народной культуры, является средством выражения художественных вкусов, национальных особенностей народа, его мировоззрения.
Цель: исследовать отображение мордовского орнамента и преобразования симметрии при построении орнаментов народов эрзи и мокши.
Задачи разрабатываемого проекта:
1. Изучить и описать особенности орнамента народов мокши и эрзи;
2. Определить значение и использование симметрии в орнаментах.
Гипотеза: орнамент национального мордовского костюма – есть отображаемый орнамент.
Методы исследования:
анализ литературы по изучаемым вопросам;
сравнение орнамента народов мокши и эрзи;
работа с информационными источниками.
1.Симметрия в геометрии
“Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении
веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”.
Г. Вейль
Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Принципы симметрии играют
важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи
и поэзии, скульптуре и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своем разнообразии картинами явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.
Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, цветов, пчелиных
сот и других естественных объектов и воспроизводили эту пропорциональность в произведениях искусства, в создаваемых ими предметах, через понятие симметрии.
Термин ≪симметрия≫ означает ≪соразмерность, пропорциональность≫. Понятие
симметрии берет начало в Древней Греции. Оно впервые было введено в V в до н.э.
скульптором Пифагором из Региума.
Математически строгое представление о симметрии сформировалось сравнительно недавно – в XIX веке. Научное определение симметрии принадлежит крупному немецкому математику Герману Вейлю (1885-1955), который в своей книге "Симметрия" проанализировал также переход от простого чувственного восприятия симметрии к ее научному пониманию. В жизни мы встречаемся со многими симметричными фигурами и
симметричными реальными телами и предметами. Как определить, что они симметричны?
Дадим определения геометрических преобразований.
Симметрией фигуры вообще называется свойство фигуры, состоящее в том, что
существует движение, совмещающее ее саму с собой. Существуют различные виды
симметрии:
а) Центральная симметрия;
Симметрию относительно точки называют центральной симметрией. Точки M и M1 симметричны относительно некоторой точки O, если точка O является серединой отрезка MM1 (приложение №1)
Точка O называется центром симметрии.
Алгоритм построения центрально-симметричных фигур.
Построим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC, относительно центра (точки) O (приложение №2):
 
Для этого соединим точки A, B, C с центром O и продолжим эти отрезки;
Измерим отрезки AO, BO, CO и отложим с другой стороны от точки O, равные им отрезки AO=OA1;BO=OB1;CO=OC1;
Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A1B1C1, симметричный данному треугольнику ABC.
Фигуры, симметричные относительно некоторой точки, равны.
Фигура симметрична относительно центра симметрии, если для каждой этой точки фигуры симметричная ей точка также лежит на этой фигуре. Такая фигура имеет центр симметрии (фигура с центральной симметрией). Есть фигуры с центральной симметрией это, например, окружность и параллелограмм. У окружности центр симметрии — это её центр, у параллелограмма центр симметрии — это точка, в которой пересекаются его диагонали. Есть очень много фигур, у которых нет центра симметрии.
б) Осевая симметрия;
Осевая симметрия — это симметрия относительно проведённой прямой (оси). Точки M и M1 симметричны относительно некоторой прямой (оси симметрии), если эти точки лежат на прямой, перпендикулярной данной, и на одинаковом расстоянии от оси симметрии (приложение №3)Алгоритм построения фигуры, симметричной относительно некоторой прямой.
Построим треугольник A1B1C1, симметричный треугольнику ABC относительно красной прямой (приложение №4):
Для этого проведём из вершин треугольника ABC прямые, перпендикулярные оси симметрии и продолжим их дальше на другой стороне оси.
Измерим расстояния от вершин треугольника до получившихся точек на прямой и отложим с другой стороны прямой такие же расстояния. Соединим получившиеся точки отрезками и получим треугольник A1B1C1, симметричный данному треугольнику ABC.
Фигуры, симметричные относительно прямой, равны.Фигура считается симметричной относительно прямой, если для каждой точки рассматриваемой фигуры, симметричная для неё точка относительно данной прямой также находится на этой фигуре. Прямая является в этом случае осью симметрии фигуры.
в) Поворот;
Если одна фигура получена из другой фигуры поворотом всех её точек относительно центра O на один и тот же угол в одном и том же направлении, то такое преобразование фигуры называется поворотом.
Чтобы поворот имел место, должен быть задан центр O и угол поворота α.
Против часовой стрелки положительный угол поворота, наоборот — отрицательный угол поворота (так же как углы поворота в единичной окружности).
Треугольник ABC повёрнут в положительном направлении (приблизительно на α=45 градусов) (приложение №5).
Если угол поворота равен 180 или −180 градусам, то фигура отображается как центрально симметричная данной, и этот поворот называется центральной симметрией (приложение №6).
г) параллельный перенос;
 Параллельным переносом фигуры называется перенос всех точек пространства на одно расстояние в одном направлении.
Параллельный перенос определяет вектор, по которому совершается перенос.
Чтобы совершить параллельный перенос, нужно знать направление и расстояние, что означает задать вектор (приложение №7). Чтобы при параллельном переносе построить изображение многоугольника, достаточно построить изображения вершин этого многоугольника.
Первоначальная фигура и фигура, полученная после параллельного переноса, равны.
2. Симметрия в орнаменте
Все орнаменты народного костюма мордвы имеют математическую основу. В орнаменте мордовской вышивки нашли широкое применение сетчатые узоры и сложные розетки, построенные на основе многочисленных вариантов ромбов. Основными орнаментальными мотивами бордюров являются ромбы с продленными и загнутыми гранями, ромбы с тремя и большим количеством отростков на каждом ребре, нередки более сложные мотивы из 2-4 ромбов (или их частей). Орнаментальные мотивы бордюров почти всегда усложняются введением дополнительных элементов и перемычек, а также исключением отдельных элементов.
Орнамент служит украшением предметов декоративно-прикладного искусства, широко
применяется в архитектуре, книжной графике. Исполняется орнамент средствами рисунка,
живописи, скульптуры в зависимости от материала - на бумаге, ткани, дереве, металле.
В настоящее время не существует исчерпывающей и общепринятой классификации
орнаментальных мотивов. Обычно его делят на животный (зооморфный), растительный и
геометрический; встречается деление на пять групп: геометрический, растительный,
животный, предметный и смешанный, есть и другие варианты.
Изучаемые методами точных наук, в частности с использованием геометрическипреобразований, орнаментальные мотивы подразделяются на три категории: бордюр,
розетка и сетка, которые в свою очередь имеют различные ≪виды симметрии≫:
а) осевая симметрия;
б) параллельный перенос;
в) поворот;
г) симметрия относительно горизонтальной оси + параллельный перенос.
3. Симметрия, как основной принцип построения мордовского орнамента
Что же такое «орнамент»? Орнамент (лат. Ornamentum — украшение) — узор, основанный на повторе и чередовании составляющих его элементов; предназначается для украшения различных предметов, архитектурных сооружений, произведений пластических искусств.
В мордовском орнаменте, как и у других народов, большое место занимают образы-символы в виде определенных графических знаков, связанных с отражением предметов и явлений реальной действительности в качестве амулета, оберега. В связи с этим Н. И. Гаген- Торн отмечала: «Одежда, как и жилище, служит человеку защитным покровом. На ней, естественно, тоже нужно охранить отверстия от враждебных невидимых сил, в полной аналогии с видимыми: надо сделать защитные знаки по краям и отверстиями. Поэтому у ворота, рукавов, по краю подола и по швам располагается цветная оторочка и вышивка: они служат отпугивающими и защищающими знаками» (2, 4).
Ярким и самобытным явлением народного творчества мордвы является вышивка, которая была основным украшением традиционной одежды. Для вышивания применялись шерстяные, реже - шёлковые и бумажные нитки преимущественно красно - кирпичного, чёрного или тёмно-синего цветов. Рассматривая мордовскую вышивку в исторической ретроспективе, можно выделить несколько групп орнаментов, семантика которых сводится к определенным значениям: орудия труда – уфат (ухват), крюк (крюк), цянга (вилы); зооморфные символы, получившие названия от животных и птиц – пацянят (крылышки), куень пря (змеиная головка), сявань кенчт (козьи копыта), шинем сюлма (след куницы), тувонь кургонят (свиные рыльца); фрукты – марь (яблоко); небесные светила – тяште (звезда), шинь сюлмот (солнечные узелки).
Вышивка исполнялась без предварительного нанесения рисунка, по счёту ниток. Для вышивания использовался специальный крючок-кечказ. Эрзянки вышивали на лицевой стороне холста, а мокшанки в основном - с обратной стороны. Для эрзянской вышивки характерна большая декоративность и монументальность, рельефность. Большие массивы вышивки выполняются сплошным заполнением площади крупными орнаментальными фигурами. Цветовая гамма её довольно сдержанна. Два основных цвета дополняются лишь зелёным и жёлтым.
Мокшанская вышивка ажурнее, сплошное заполнение площадей встречается реже. Цветовая гамма её богаче. Наиболее характерным элементом орнамента является ромб с продлёнными сторонами. Широко распространён у мордвы и мотив восьмиугольной звезды. Большая часть узоров располагается по косой сетке, но применялись также бордюры и розетки.
Бордюр – это линейный орнамент, полученный параллельным переносом некоторой фигуры. Линейный орнамент обычно применяется там, где нужно ограничить какую-то поверхность или разбить ее на части. На практике бордюр может строиться не только по прямой, но и вдоль ломаной или изогнутой линии. В любом случае параллельный перенос совершается, следуя изгибам и переломам оси. Бордюр, кроме симметрии параллельного переноса, может обладать и другими элементами симметрии. Они возникают в тех случаях, когда тот или иной вид симметрии присущ каждому отдельно взятому элементарному мотиву орнамента.
Существует семь видов бордюров, которые различаются направлением переноса по осям и плоскостям симметрии.
Сравнивая орнаменты вышивок на мордовских костюмах с характеристиками бордюров, можно отметить, что чаще всего используются орнаментальные полосы, полученные переносом симметричной фигуры вдоль прямой линии в одном и том же направлении при одинаковом расстоянии между двумя соседними.
Розетка, как вид симметрии, нашла широкое применение в орнаменте мордовской вышивки. При изучении нами выделено четыре типа розеток, используемых в вышивке, которые отличаются применением количества осей и плоскостей симметрии, применяемых к элементарной фигуре. Так при построении розеток могут использоваться только плоскость симметрии или только ось симметрии, или ось и плоскость симметрии, или и множество плоскостей симметрии.
Сравнивая образцы розеток мордовской вышивки с типологией розеток, отмечу, что при построении используются ось и плоскость симметрии.
Большая сложность розеток достигалась расположением в центре основного ромба, какого–либо мотива, повторением его на углах ромба и заполнением пространства между ними другими элементами в виде бордюров или несложных композиций в общую рамку, часто ступенчатую на мокшанских панарах. Розетка чаще всего встречается в бордюрах, которые встречаются на подолах у мокш.
Значительное место в народном искусстве мордвы занимало шитье бисером. Бисер широко применялся для отделки одежды, из него изготовлялись различные украшения. Его нашивали на холст, кожу или нанизывали на нитку, проволоку и т.п. Мордва-эрзя использовала бисер в основном как отделочный материал. Она применяла бисер красного, белого, жёлтого и чёрного цветов. Мокша из бисера изготовляла нагрудные и шейные украшения. Цветовая гамма мокшанских украшений из бисера была очень разнообразной: голубая, синяя, белая, розовая, зелёная, золотистая и др.
Орнамент бисерных украшений был схож с орнаментом вышивки: ромбы, косые кресты, зигзаги. Иногда бисер просто нашивался горизонтальными рядами. Широко в мордовском костюме применялись бисерные кисти в качестве накосников, височных подвесок и т.д. Занималась мордва и узорным ткачеством.
В основном узорные ткани употреблялись для отделки. Ими украшались концы поясных и головных полотенец, головные уборы и плечевая одежда. Состав орнаментальных мотивов узорного тканья был геометрическим: зигзаги, ёлочки, косые кресты, ромбы, клетка. У мокши было распространено художественное вязание. Простым геометрическим орнаментом украшались наколенники, связанные из чёрной и белой шерсти. Плоскость наколенника делилась горизонтальными чёрными полосами на зоны, в которых в шахматном порядке располагались квадраты, ёлочки и другие узоры.
Мордовский орнамент - есть отображаемый орнамент и при создании орнамента присутствуют все виды преобразований: поворот, осевая и центральная симметрия, параллельный перенос. Докажем это.
Дано: Мордовский орнамент в два цвета (красный и белый «заячьи уши») (приложение №8).
Доказать: Данный орнамент принадлежит к группе отображаемых орнаментов, т.е.
красный и белый орнаменты равны.
Доказательство: Изготовим синий орнамент, такой же величины, как красный.
Совместим синий орнамент с красным, отметим их общую точку H1, а соответствующую ей точку на красном орнаменте точкой H2, множество всех общих точек
на красной и синий фигурах точками А1, В1, С1, O1, М1….К1.
Совершим параллельный перенос (преобразование при котором множество точек однойфигуры перемещаются в одном и том же направлении на одно и тоже расстояние) внаправлении H1 H2, при этом множество всех точек А1, В1, С1, Н1, М1,…К1
передвинется на одинаковое расстояние /H1H2/=/А1А2/=/В1В2/=/С1C2/=/М1М2/=…/К1К2/. Синяя фигура расположилась надбелой фигурой, где точка H1 совпала с точкой H2.
Используем центральную симметрию, после чего синяя фигура, совмещается с белой,
т.е. произошло отображение синего орнамента на белый, синий орнамент – есть образ
красного орнамента, значит красный отобразили на белый, что и требовалось доказать.
Вышивка эрзянского и мокшанского женского костюма
Мордовский национальный костюм наряден и удобен. Глядя на него, сразу можно понять, какой в представлении народа была красота. И не только сам костюм у мордвы всегда являлся произведением искусства. Искусством, передававшимся из поколения в поколение, было умение надевать и носить костюм.
В составе мордовского народа выделяют два субэтноса - мордвы-мокши и мордвы-эрзи. Естественно, их национальные костюмы различались в зависимости от традиций этих локальных групп (таблица 1). Но были в костюмах и общие черты: белый холст как основной материал, туникообразный покрой рубах, отделка вышивкой, украшения из монет, раковин и бисера.

Мокша Эрзя
Нательная рубаха и распашная одежда. Основную декоративную нагрузку на рубахах мордвы – мокши выполняли вышивки наплечные и по подолу. Наплечная вышивка с каждой стороны начиналась у шейного выреза и заканчивалась на границе плеча и рукава розетками: одной или чётным числом небольших розеток, располагавшихся симметрично относительно наплечной вышивки (приложение №9 рис.1). Вышивка на подоле спереди, имитирующая разрез, представляет собой бордюр, состоящий из геометрических фигур (восьми – шести конечная розетка, треугольники, квадраты, ромбы и т. п.)(приложение №9 рис.2)
На эрзянских рубахах вышивка располагалась широкой полосой спереди с обеих сторон центрального шва и объединяла в единое целое вышивку по подолу, развитую нагрудную и наплечную. Вышивка на обрядовой одежде (покай) занимала большую площадь, нежели на будничной, иногда закрывала весь холст. Но расположение вышивок на обрядовой и будничной одежде было одинаковым. Основу наплечной вышивки составляла розетка – ромб, обращенная одной из вершин к шейному вырезу (приложение №10 рис.1). 
Головной убор. Очень своеобразными являются вышивки на головных уборах мордвы–мокши. Это или одна большая фигура ромба в центре, или четыре ромба по углам, или деление всей плоскости по вертикали на две половины и т. д. (приложение №9 рис.3). На эрзянских головных уборах прямоугольник в вышивки занимал всю лобную часть (приложение №10 рис.2). Почти на всех эрзянских головных уборах имеется узкая полоса горизонтального бордюра, которая делит всю налобную вышивку на две части. Орнамент на этих головных уборах располагается по косой сетке, очень редко – по прямой. Преобладающий орнаментальный мотив в косой сетки – ромб без каких-либо отклонений от его основных контуров, а в прямой – квадрат (приложение №10 рис.3).
таблица 1.
Народный костюм мокши и эрзи сохранился до настоящего времени, но в разной степени. Мокшанки еще довольно часто надевают его, имеют как будничные, так и праздничные варианты традиционной одежды. Однако нередко женщины пожилого и среднего возраста используют рубаху как нижнее белье, а поверх нее надевают передник с рукавами, кофту с юбкой или платье. В настоящее время распространены переходные формы одежды: городской костюм с элементами национального и национальный с элементами городского. Эрзянки наряжаются в традиционную одежду лишь по праздникам и во время концертов художественной самодеятельности. Свахи надевают ее на свадьбу, а пожилые женщины берегут в качестве посмертной одежды, чтобы на том свете предстать в ней перед умершими предками.

Заключение
В данной работе рассмотрена симметрия орнаментов вышивки мордовского национального костюма. В результате проведенного исследования мы видим, что:
Сложность орнаментальных форм подчинена законам симметрии. 
Расположение орнаментов на одежде и головных уборах мордовского костюма выстраиваются с применением симметрии: осевой, центральной и зеркальной. 
Для орнамента мордовской вышивки характерны такие виды симметрии, как бордюр, розетка и сетка.
В составе мотива вышивки чаще всего используются орнаментальные полосы, полученные переносом симметричной фигуры вдоль прямой линии в одном и том же направлении, а так же розетка.
Список литературы
Атанасян Л.С., «Геометрия».
Гаген- Торн Н. И., «Женская одежда народов Поволжья».
Мартьянов В. Н., «Мордовская народная вышивка»
Юрченкова Н. Г., «Мифология Мордовского этноса: Генезис и трансформации».
 
Приложение №1

Приложение №2

Приложение №3

Приложение №4

Приложение №5

Приложение №6

Приложение №7

Приложение №8

Приложение №9

Рис. 1 Фрагмент вышивки плеча женской рубахи мордвы- мокши.

Рис. 2 Композиция вышивки на подоле рубахи мордвы – мокши.

Рис. 3 Женский головной убор мордвы - мокши.
Приложение №10

Рис. 1 Фрагмент вышивки плеча женской рубахи мордвы-эрзи.

Рис. 2 Фрагмент вышивки налобника женского головного убора мордвы - эрзи.

Рис. 3 Женский головной убор мордвы- эрзи.
Приложение №11

Костюм девушки-эрзянки.

Костюм девушки-мокшанки.